Es sobre la definición de la derivada, formulas básicas de derivación, ejemplos y ejercicios planteados

1. ANÁLISIS MATEMÁTICO 1
Derivada de una función.

2. Da lo mejor de ti cada día!!!
Reflexión del día…

3. LA PALOMA SE DESPLAZA
¿Te podrás imaginar cuánto se
desplaza en:
• Un minuto ...
• Un segundo ...
• Una décima de segundo ...
• Una milésima de segundo ...
¿Qué tan pequeño debe
ser el tiempo para que
percibas el cambio?

4.  ¿Qué es una razón?
 ¿Qué es una razón de cambio?
 ¿Qué es una razón de cambio instantáneo?
 ¿Qué quiere decir que una recta es tangente
a una curva en un punto?
Sabías …

5. UN PASEO CON BICICLETA
Coco, es un aficionado al ciclismo. La bicicleta
que usa en sus paseos lleva un dispositivo que
mide la distancia (en metros) y el tiempo (en
minutos) de recorrido.
El domingo pasado realizó un paseo a Ancón.
Al llegar a su destino observó el dispositivo y
encontró que la distancia recorrida estaba
dada por la función
 ¿Con qué velocidad media se desplazó durante el intervalo de
tiempo de 𝒕𝟏 = 𝟏𝟎 y 𝒕𝟐 = 𝟐𝟎?
 ¿Cuál fue la velocidad en el instante 𝒕 = 𝟏𝟓?
Preocupado, se preguntó:
𝑺 𝒕 = 𝟓𝟎 𝒕 + 𝟒. 𝟗(𝒕)𝟐

6. LOGRO
Al finalizar la sesión, el estudiante
calcula la derivada de una función en
un punto haciendo uso de la
definición y aplica la derivada en el
planteamiento y resolución de
problemas de contexto real de
manera clara y ordenada.

7. • Incrementos y razón de cambio
• La derivada
• Interpretación geométrica de la derivada
• La derivada como razón de cambio
CONTENIDOS

8. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
 ¿Qué es una recta secante 𝓛𝒔 a la gráfica de una función?
 ¿Cómo se define la pendiente de
esta recta secante?
 ¿Qué entiende por recta
tangente a una curva?
SABERES PREVIOS

9. x
y
Incremento de 𝒙 : ∆𝒙 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
Incremento de 𝒚 : ∆𝒚 = 𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇(𝒙𝟎)
Cuando una variable pasa de un valor a otro, se dice que ha
sufrido un INCREMENTO.
INCREMENTO
𝒚 = 𝒇(𝒙)
∆𝒙
∆𝒚
𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟎 𝒙𝟏
𝑷
𝑸

10. La Razón de cambio de 𝑦 con respecto a 𝑥 en 𝑥0, 𝑥1
𝚫𝒚
𝚫𝒙
=
𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇 𝒙𝟎
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
es el cociente:
La razón de cambio promedio es una medida de la variación que
experimenta la función 𝒇, en el intervalo. 𝒙𝟎, 𝒙𝟏
RAZÓN DE CAMBIO
x
y
𝒚 = 𝒇(𝒙)
∆𝒙
∆𝒚
𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟎 𝒙𝟏
𝑷
𝑸

11. RAZÓN DE CAMBIO
Se conoce como razón de cambio a la medida en que una variable
cambia con respecto a otra, como por ejemplo:
1) La velocidad es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo.
2) La aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
3) La densidad es la razón de cambio de la masa con respecto al volumen.
4) La pendiente es la razón de cambio entre la altura con respecto a la
distancia horizontal.
5) La corriente es la razón de cambio de la cantidad de carga eléctrica con
respecto al tiempo

12. DIFERENCIAL
Una diferencial (dx) se define como una infinitesimal, que
es una diferencia entre dos puntos de una misma variable,
pero dicha diferencia es extremadamente pequeña, tanto
que tiende a ser cero, pero no llega a ser cero.

13. ¿DONDE SE APLICA?
Su principal uso es la optimización de funciones (máximos mínimos)
En economía: Para minimizar costos, maximizar utilidades, etc.
En física: para maximizar la velocidad de un cuerpo.
En geometría: para minimizar el área superficial de un cilindro.
En ingeniería: Para estimar los errores cometidos al evaluar funciones
por métodos numéricos.

14. Cuando el precio de venta de un libro es S/ 100 se venden al mes 50 libros.
Al aumentar el precio a S/ 110 se venden al mes 20 libros.
¿Cuál es la razón de cambio promedio de las ventas con respecto al precio?
 Incremento del precio 𝒙: ∆𝒙 = 𝟏𝟏𝟎 − 𝟏𝟎𝟎
 Incremento de ventas 𝒚: ∆𝒚 = 𝟐𝟎 − 𝟓𝟎
 Razón de cambio promedio de las ventas mensuales con respecto al
precio es
𝚫𝒚
𝚫𝒙
=
−𝟑𝟎
𝟏𝟎
= −𝟑
Por lo tanto:
Por cada sol que se incrementó el precio, se vendieron en promedio
unos 3 libros menos
Resolución:
= 𝟏𝟎
= −𝟑𝟎
Incrementos – Razón de cambio
APLICACIONES

15. La temperatura 𝑇 estimada para un punto de experimentación agrícola está
dada por 𝑇 𝑡 = 20 − 2𝑡 + 0,01𝑡2 grados centígrados a las 𝑡 horas de cierto día.
Cuál es la razón de cambio promedio de la temperatura entre las 4 a.m. y 9 a.m.
Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t segundos, está
dado por la función 𝑑 𝑡 = 64 + 4𝑡2 metros.
Determine la razón de cambio promedio (velocidad promedio) entre t = 2 y t = 4.
Incrementos – Razón de cambio
APLICACIONES

16. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
16
h
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
Recta Secante
𝓛𝑺
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
 Si, 𝑸 → 𝑷

17. 17
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

18. 18
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

19. 19
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

20. 20
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

21. 21
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

22. 22
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

23. 23
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

24. 24
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

25. 25
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

26. 26
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

27. 27
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

28. 28
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

29. 29
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

30. 30
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

31. 31
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

32. 32
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷 𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

33. 33
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷 𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

34. 34
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷 𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

35. 35
x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷 𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

36. 36
x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

37. 37
x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

38. 38
x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

39. 39
x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
p
p
p
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
𝑸
Recta secante a una curva
Recta Secante
𝓛𝑺
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

40. x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
p
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑷
Recta secante a una curva
Recta Tangente
𝓛𝑻
 La pendiente de la Recta secante (𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si, 𝑸 → 𝑷
 Recta secante → Recta Tangente
 𝒎ℒ𝑺
→ 𝒎ℒ𝑻
𝒎𝓛𝑻
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒎𝓛𝑺 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
= 𝒇′
(𝒙𝟎)
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
𝒇′
(𝒙𝟎) es la pendiente de 𝓛𝑻 en el punto 𝐏(𝒙𝟎, 𝒇 𝒙𝟎 )

41. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función 𝒇 en 𝒙 𝒙 ∈ 𝑫𝒇 , es el límite:
siempre y cuando este límite exista.
Ejemplo: Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐, halle 𝒇′(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(𝒙 + 𝒉)𝟐
−𝒙𝟐
𝒉
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐
𝒉
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒉(𝟐𝒙 + 𝒉)
𝒉
𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝒙
𝒇′
𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
= 𝟐𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐 − 𝒙𝟐
𝒉
Resolución:
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉

42. Ejemplo Si 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑
− 𝟐𝒙, halle 𝒇′
(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝟑(𝒙 + 𝒉)𝟑−𝟐(𝒙 + 𝒉) − 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙
𝒉
𝒇′ 𝒙 = 𝟗𝒙𝟐
− 𝟐
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
Resolución:
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
[𝟑 𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
𝒉 + 𝟑𝒙𝒉𝟐
+ 𝒉𝟑
− 𝟐𝒙 − 𝟐𝒉] − 𝟑𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝟑𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐𝒉 + 𝟗𝒙𝒉𝟐 + 𝟑𝒉𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒉 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒉(𝟗𝒙𝟐 + 𝟗𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟐)
𝒉
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

43. La derivada de una función 𝒇 en 𝒙𝟎 𝒙𝟎 ∈ 𝑫𝒇 , es el límite:
si este límite existe
Ejemplo Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐, halle 𝒇′ 𝒙𝟎 , si 𝒙𝟎 = 𝟑
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(𝟑 + 𝒉)𝟐
−𝟑𝟐
𝒉
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝟔𝒉 + 𝒉𝟐
𝒉
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒉(𝟔 + 𝒉)
𝒉
𝒇′ 𝟑 = 𝟔
𝒇′
𝟑 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝟑 + 𝒉 − 𝒇(𝟑)
𝒉
= 𝟔
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝟑𝟐 + 𝟔𝒉 + 𝒉𝟐 − 𝟑𝟐
𝒉
𝒇′ 𝒙𝟎 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Resolución:

44. Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 en el punto (𝟏, 𝟏).
      







x
y
(1,1)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(𝟏 + 𝒉)𝟐−𝟏𝟐
𝒉
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝟐𝒉 + 𝒉𝟐
𝒉
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒉(𝟐 + 𝒉)
𝒉
𝒇′ 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝟏 + 𝒉 − 𝒇(𝟏)
𝒉
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝟏𝟐 + 𝟐𝒉 + 𝒉𝟐 − 𝟏𝟐
𝒉
= 𝟐
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
en el punto 𝟏, 𝟏 es 2
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Resolución:

45. Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 en el punto de abscisa x = 2.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Resolución:
       








x
y

46. Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑
− 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 en el punto de abscisa −𝟐
(−1,6)
(−2,11)
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

47. FUNCIÓN DERIVABLE
Una función es derivable si, en cada punto de su gráfica tiene una
recta tangente
Una función es derivable si,
para cada 𝒙 ∈ 𝑫𝒇, existe su derivada 𝒇′(𝒙)
También se puede decir,

48. 𝑓 no es derivable en 𝑥0 si 𝑓′ 𝑥0 ∄
CASO I: Cuando la recta tangente en (𝒙𝟎, 𝒇 𝒙𝟎 ) es vertical
CASO II: Cuando no hay recta tangente en (𝒙𝟎, 𝒇 𝒙𝟎 )
CASO III:
Cuando no hay continuidad en (𝒙𝟎, 𝒇 𝒙𝟎 )
FUNCIÓN NO DERIVABLE

49.  La razón de cambio de 𝒇(𝒙) en 𝒙𝟎, 𝒙𝟎 + 𝒉 , es:
 La razón de cambio instantánea de 𝒇(𝒙) en 𝒙𝟎, 𝒙𝟎 + 𝒉 es:
𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟎 + 𝒉)
𝒙𝟎 𝒙𝟎 + 𝒉
𝚫𝒚
𝚫𝒙
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇 𝒙𝟎
(𝒙𝟎 + 𝒉) − 𝒙𝟎
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇 𝒙𝟎
𝒉
∆𝒚
∆𝒙
𝒚 = 𝒇′(𝒙)
𝒇′(𝒙𝟎) es la razón de cambio instantánea de f en 𝒙𝟎
= 𝒇′(𝒙𝟎)
𝒀
𝑿
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝚫𝒚
𝚫𝒙
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

50. La temperatura 𝑻 estimada para un punto de experimentación agrícola
está dada por 𝑻 𝒕 = 𝟐𝟎 − 𝟐𝒕 + 𝟎, 𝟎𝟏𝒕𝟐 grados centígrados a las 𝒕 horas.
Determine la razón de cambio instantáneo de la temperatura a las 4
a.m.
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

51. El tamaño de una población está modelada por: 𝑷 𝒕 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 + 𝟓𝟎𝟎𝒕 − 𝟓𝟎𝒕𝟐
,
donde 𝒕 es el número de años .
Calcule la tasa de crecimiento instantáneo en 𝒕 = 𝟐
El espacio recorrido, en metros, de una partícula se expresa con:
S 𝒕 = 𝒕𝟐
− 𝟔𝒕 + 𝟏𝟎, donde t se mide en segundos.
¿Cuál es la rapidez instantánea a los 5 segundos?
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

52. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña 𝒕 años a partir
de ahora será:
𝑵(𝒕) =
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒕 + 𝟑𝟎𝟎𝟎
𝒕 + 𝟏
Determine la tasa de cambio de la población dentro de 10 años.
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

53.  DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL
𝒇 𝒙 = 𝑥𝑛 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝒏 𝒙𝒏−𝟏
EJEMPLOS: Determine la primera derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟓
𝒇′
𝒙 = 𝟓𝒙𝟒
2. 𝒉 𝒛 = −𝟑𝒛−𝟐
𝒉′ 𝒛 = 𝟔𝒛−𝟑
3. 𝒈 𝒙 = 𝟑
𝟒
𝒙𝟑
𝒈′ 𝒙 =
𝟗
𝟒
𝒙−𝟏/𝟒
4. 𝒉 𝒕 =
𝟓
𝟑
𝒕−𝟐
𝒉′
𝒕 = −
𝟏𝟎
𝟑
𝒕−𝟑
𝒈 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑/𝟒
REGLAS DE DERIVACIÓN

54.  DERIVADA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE:
𝒇 𝒙 = 𝒌 ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝟎
EJEMPLOS: Determine la primera derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒇 𝒙 = −𝟕 2. 𝒈 𝒙 =
𝟓
𝟐
 DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD:
𝒇 𝒙 = 𝒙 ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝟏
REGLAS DE DERIVACIÓN
3. 𝒉 𝒙 =
𝝅
𝟐
1. 𝒇 𝒙 =x 2. 𝒈 𝒛 = 𝒛 3. 𝒉 𝒕 = 𝒕
4. 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒛 5. 𝒈 𝒛 = −𝟐𝒙 6. 𝒉 𝒕 =
𝒙
𝟐

55. 𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝒙 = 𝒆𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝒍𝒏𝒙 =
𝟏
𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 = −𝒔𝒆𝒏𝒙
1.
2.
3.
4.
𝒅
𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝒙 = −𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒔𝒄 𝒙 = −𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
5.
6.
7.
8.
REGLAS DE DERIVACIÓN

56. 01. DERIVADA DE UNA SUMA :
𝒇 + 𝒈 ′
(𝒙) = 𝒇′
(𝒙) + 𝒈′
(𝒙)
Ejemplo 1: Determine 𝒚′
, si 𝒚 = 𝟑𝒙𝟒
+ 𝟓𝒆𝒙
𝒚′
= 𝟏𝟐𝒙𝟑
+ 𝟓𝒆𝒙
Ejemplo 2: Si 𝐲 =
𝟏
𝟐
𝒙𝟑 + 𝟓
𝒙 − 𝒍𝒏𝒙 + 𝟑, determine 𝒚′.
𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒙𝟑 + 𝒙𝟏/𝟓 − 𝒍𝒏𝒙 + 𝟑
𝒚′ =
𝟑
𝟐
𝒙𝟐 +
𝟏
𝟓
𝒙−
𝟒
𝟓 −
𝟏
𝒙
Resolución:
Resolución:
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

57. Ejemplo 3:
Determine la primera derivada de la función:
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝟓.
𝒇′ 𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝒙. 𝒕𝒂𝒏𝒙
Ejemplo 4:
Si 𝒚 = −𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟕 𝒄𝒐𝒕 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄𝒙 − 𝟑𝒍𝒏𝒙, determine 𝒚′.
𝒚′ = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟕𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝒙. 𝒄𝒐𝒕𝒙 −
𝟑
𝒙
Resolución:
Resolución:
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
01. DERIVADA DE UNA SUMA:
𝒇 + 𝒈 ′
(𝒙) = 𝒇′
(𝒙) + 𝒈′
(𝒙)

58. 02. DERIVADA DE PRODUCTO DE FUNCIONES:
𝒇. 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 . 𝒈 𝒙 + 𝒇 𝒙 . 𝒈′(𝒙)
Ejemplo 1:
Derivar 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 ′
𝒔𝒆𝒏𝒙 + (𝟑𝒙𝟒)(𝒔𝒆𝒏𝒙)′
Resolución:
𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝟐𝒙𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑𝒙𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙
Ejemplo 2:
Derivar 𝒉 𝒙 = 𝒍𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒉′ 𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 ′ 𝒄𝒐𝒔𝒙 + (𝒍𝒏𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝒙)′
Resolución:
𝒉′
𝒙 =
𝟏
𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒍𝒏𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

59. Ejemplo 3:
Derivar 𝒇 𝒙 =
𝟑
𝒙𝟐 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒇′
𝒙 =
𝟑
𝒙𝟐
′
𝒕𝒂𝒏𝒙 + (
𝟑
𝒙𝟐)(𝒕𝒂𝒏𝒙)′
Resolución:
𝒇′ 𝒙 =
𝟐
𝟑
𝒙−
𝟏
𝟑. 𝒕𝒂𝒏𝒙 +
𝟑
𝒙𝟐. 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙
Ejemplo 4:
Derivar 𝒉 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙. 𝒍𝒏𝒙
𝒉′ 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙 ′ 𝒍𝒏𝒙 + (𝒔𝒆𝒄𝒙)(𝒍𝒏𝒙)′
Resolución:
𝒉′
𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙. 𝒕𝒂𝒏𝒙. 𝒍𝒏𝒙 +
𝟏
𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒙
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
02. DERIVADA DE PRODUCTO DE FUNCIONES:
𝒇. 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 . 𝒈 𝒙 + 𝒇 𝒙 . 𝒈′(𝒙)

60. 03. DERIVADA DEL COCIENTE DE FUNCIONES:
𝒇
𝒈
′
𝒙 =
𝒇′
𝒙 . 𝒈 𝒙 − 𝒇 𝒙 . 𝒈′
𝒙
[𝒈(𝒙)]𝟐
Ejemplo 1:
Derivar 𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙𝟓+𝒆𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒇′ 𝒙 =
𝟐𝒙𝟓 + 𝒆𝒙 ′
𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟐𝒙𝟓 + 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 ′
𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟐
Resolución:
𝒇′ 𝒙 =
(𝟏𝟎𝒙 + 𝒆𝒙) 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟐𝒙𝟓 + 𝒆𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒙)
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

61. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
# AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1
PURCELL,
EDWIN J.
Cálculo Diferencial E
Integral
Pearson
Educación
2
STEWART,
JAMES
Cálculo De Una
Variable:
Transcendentes
Tempranas
Thomson
Learning
3
LARSON,
RON
Cálculo Mcgraw-Hill