Razón de cambio instantaneo

1. Departamento de Ciencias
MATEMÁTICA BÁSICA
PARA INGENIERÍA
SESIÓN 14: Razón de cambio instantáneo

2. INTRODUCCIÓN
Situación problemática:
Coco, es un aficionado al ciclismo. La bicicleta que usa en sus
paseos lleva un dispositivo que mide la distancia (en metros) y el
tiempo (en minutos) de recorrido.
El domingo pasado realizó un paseo a Ancón. Al llegar a su destino
observó el dispositivo y encontró que la distancia recorrida estaba
dada por la función:
𝑺 𝒕 = 𝟓𝟎 𝒕 + 𝟒. 𝟗(𝒕)𝟐
❑ ¿Con qué velocidad media se desplazó durante el intervalo
de tiempo de 𝑡1 = 10 y 𝑡2 = 20?
❑ ¿Cuál fue la velocidad en el instante 𝑡 = 15?
Preocupado, se preguntó:

3. SABERES PREVIOS
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4. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve ejercicios relacionados a
incrementos y razones de cambio
instantánea de manera correcta,
demostrando dominio del tema y
habilidad en la resolución de
problemas de contexto de manera
clara y ordenada.

5. Contenidos
Razón de cambio instantáneo
Pendiente de la recta tangente
Pendiente de la recta normal

6. Recordando:
x
y
𝒚 = 𝒇(𝒙)
∆𝒙
∆𝒚 Incremento de 𝒙 : ∆𝒙 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
Incremento de 𝒚 : ∆𝒚 = 𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟎 𝒙𝟏
La Razón de cambio de 𝒚 con respecto a 𝒙 en 𝒙𝟎, 𝒙𝟏 𝚫𝒚
𝚫𝒙
=
𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇 𝒙𝟎
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
Cuando una variable pasa de un valor a otro, se dice que ha sufrido un INCREMENTO.
es el cociente:
𝑷
𝑸
La razón de cambio promedio es una medida de la variación que
experimenta la función 𝒇, en el intervalo. 𝒙𝟎, 𝒙𝟏
INCREMENTO Y RAZÓN
DE CAMBIO

7. Recordando:
Ejemplos de ello son:
1) La velocidad es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo.
2) La aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
3) La densidad es la razón de cambio de la masa con respecto al volumen.
4) La pendiente es la razón de cambio entre la altura con respecto a la distancia
horizontal.
5) La corriente es la razón de cambio de la cantidad de carga eléctrica con respecto
al tiempo.
La razón de cambio se entiende como:
la medida del cambio de una variable con respecto a otra.

8. Razón de cambio instantáneo
La razón de cambio de 𝒇(𝒙) en 𝒙𝟎, 𝒙𝟎 + 𝒉 , es:
La razón de cambio instantánea de 𝒇(𝒙) en
𝒙𝟎, 𝒙𝟎 + 𝒉 es el:
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇 𝒙𝟎
𝒉
= 𝑹𝑪𝑰
𝐒𝐞 𝐥𝐞𝐞 𝐜𝐨𝐦𝐨 la razón de cambio instantánea de f en 𝐱𝟎
𝚫𝒚
𝚫𝒙
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇 𝒙𝟎
(𝒙𝟎 + 𝒉) − 𝒙𝟎
𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟎 + 𝒉)
𝒙𝟎 𝒙𝟎 + 𝒉
∆𝒚
∆𝒙
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝒀
𝑿
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝚫𝒚
𝚫𝒙
∆𝒙 = 𝒉

9. Interpretación geométrica
x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

10. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

11. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

12. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

13. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

14. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

15. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

16. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

17. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

18. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

19. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

20. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

21. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

22. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

23. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

24. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

25. x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

26. x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

27. x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

28. x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta secante
(𝓛𝑺) que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
▪ Si, 𝑸 → 𝑷

29. x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Recta Tangente
𝓛𝑻
𝒎𝓛𝑻
es la pendiente de 𝓛𝑻 en el punto 𝐏(𝒙𝟎, 𝒇 𝒙𝟎 ),
𝒎𝓛𝑻
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒎𝓛𝑺 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
Interpretación geométrica
▪ La pendiente de la Recta Tangente
(𝓛𝑻) que pasa por 𝑷, es:
▪ Si, 𝑸 → 𝑷
▪ 𝒎ℒ𝑺
→ 𝒎ℒ𝑻
▪ Recta secante → Recta Tangente 𝑷
𝐡 → 𝟎

30. Razón de cambio instantáneo
Halle la pendiente de la recta
tangente y normal a la gráfica de la
función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
en el punto (1,1)
− − − −    
−
−




x
y
(1,1)
m = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(1+ℎ)2−12
ℎ
m = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
2ℎ+ℎ2
ℎ
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
ℎ(2 + ℎ)
ℎ
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)
ℎ
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
12
+ 2ℎ + ℎ2
− 12
ℎ
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥2
en el punto 1,1 es 2
EJEMPLO 1:
SOLUCIÓN:

31. Razón de cambio instantáneo
DE LO ANTERIOR:
La pendiente de la recta normal a la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥2
en el punto 1,1 es - 1/2
Como ambas rectas se cortan perpendicularmente, entonces, el producto de sus
pendientes es igual a (- 1):
𝑚𝑡. 𝑚𝑛 = −1
Entonces:
De la parte anterior: 𝑚𝑡 = 2 Despejando: 2. 𝑚𝑛 = −1
𝑚𝑛 = −1/2

32. Razón de cambio instantáneo
EJEMPLO 2: Halle la pendiente de la recta tangente y normal a la gráfica de la función
𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 12𝑥 − 5 en el punto (−2,11)
SOLUCIÓN:

33. Razón de cambio instantáneo
EJEMPLO 3: La temperatura 𝑇 estimada para un punto de experimentación agrícola está
dada por: 𝑇 𝑡 = 20 − 2𝑡 + 0,01𝑡2
grados centígrados a las 𝑡 horas.
Determine la razón de cambio instantánea de la temperatura a las 4 a.m.
SOLUCIÓN:

34. Razón de cambio instantáneo
EJEMPLO 4: El espacio recorrido, en metros, de una partícula se expresa con:
S 𝑡 = 𝑡2 − 6𝑡 + 10, donde t se mide en segundos.
¿Cuál es la rapidez instantánea a los 5 segundos?
SOLUCIÓN:

35. Razón de cambio instantáneo
EJEMPLO 5: Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña 𝑡 años a partir de
ahora es:
𝑁(𝑡) =
50000 𝑡+3000
𝑡+1
Determine la tasa de cambio del número de habitantes dentro de 10 años.
SOLUCIÓN:

36. TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Ingrese a la sala de grupos
reducidos asignada.
2. Desarrolle las actividades
asignadas
3. Presente su desarrollo en
el Padlet del curso.

37. METACOGNICIÓN
¿Qué hemos aprendido en
esta sesión?
¿Qué dificultades se
presentaron? ¿Cómo se absolvieron las
dificultades encontradas?
¿Qué tipos de problemas
se pueden resolver
mediante esta teoría?

38. REFERENCIAS
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1
515.33
PURC
PURCELL,
EDWIN J.
Cálculo Diferencial E
Integral
Pearson
Educación
2
515
STEW/P
2007
STEWART,
JAMES
Cálculo De Una
Variable:
Transcendentes
Tempranas
Thomson
Learning
3
515.15/
LARS
LARSON,
RON
Cálculo Mcgraw-Hill

39. GRACIAS