Grado 10

1. Unidad
Teoría de conjuntos • Números reales
y operaciones • Sucesiones • Probabilidad
Regresión y correlación
Puente Golden Gate HIHHHHflH
Eurotúne
Puente Pumarejo
Plataforma
petrolífera
Taipei 101 i Petronas Kuala Sears Jin Mao JFC HongiCitic Plaza Shung Hing Empire State Central
Taipei, Taiwan : Lumpur, Chicago, USA Shanghai, Kong Cantón, Shenzheng NY, USA Plaza Hong
508 m Malasia 452 ni 442,3 m China 420,5 m 413,8 m : China China 381 m Kong 374 m
391,1 m 384 m
Las megacons+rucciones son edificaciones que rebasan lími+es convencionales
o normales, pues transforman su en+orno de una manera incomparable.
£or innovadoras obras de arqui+ec+ura, an+iguas o produc+o de la ingeniería
moderna, que dejan huella en la his+oria de la humanidad. Es+as obras reciben
el nombre de maravillas arquitectónicas.

2. Una fábula....
Para levantar unas torres gemelas se contrata a dos com-
pañías especializadas en construir rascacielos: Aquiles S.A.
y Tortuga Inc. La primera es una empresa destacada a nivel
mundial por construir rápidamente edificios altos, mientras la
segunda es un poco despaciosa, pero es una compañía fuer-
te y constante que siempre cumple sus compromisos. Cada
empresa se responsabiliza de levantar una torre.
Se contrata primero a Tortuga Inc. para construir la torre norte, que toma gran ventaja.
Después comienza Aquiles S.A., que recorre en poco tiempo la distancia que los separaba
¡nicialmente, pero al llegar allí descubre que Tortuga Inc. ha levantado otra parte del edifi-
cio. Las dos compañías siguen construyendo cada una a su ritmo. De este modo, la empresa
Aquiles S.A., por más veloz que sea, no va a alcanzar a Tortuga Inc., ya que esta siempre va
a estar por delante de ellos.
Tanto las partes levantadas por Aquiles S.A. como las construidas por Tortuga Inc. conforman
conjuntos de números, conjuntos que, si observamos bien, tienen infinitos elementos a pesar
de ser, a la vez, subconjuntos de otros conjuntos numéricos más grandes.
Responde en tu cuaderno.
1, ¿Cuál crees que es el edificio más alto de Colombia?, ¿cuánto mide?
/»>) 2. De los puentes que están en la imagen hay uno ubicado en Colombia, ¿cuál es?
¿En qué ciudad queda?
S 3, Si el Eurotúnel tiene un radio de 3,2 m, ¿cuál es su perímetro?
S 4, ¿Cuál edificio tiene una altura de 45 dam?
/;.!< 5. Averigua cuáles son actualmente las torres gemelas más altas.
/•))) 6, Comenta con tus compañeros, ¿qué pasó con los edificios de la imagen?
7. ¿Crees que el razonamiento que acabas de leer es correcto?
f 8. Si comienzas a correr detrás de un amigo que va caminando y salió antes que tú,
¿lo alcanzarías?
}>») 9. ¿Conoces varias clases de conjuntos infinitos? ¿Cuáles?
10, ¿Puedes nombrar todos los números que existen entre el cero y el uno?

3. Teoría de conjuntos
Existen tres formas diferentes para representar conjuntos: extensión, diagrama de Venn y com-
prensión.
Extensión Diagrama de Venn Comprensión
A = { 2 , 4 , ó, 8 , 1 0 . . . }
Situación 2
8 = { 1 , 4 , 9 , 2 6 . . . }
E = {Taipei 1 0 1 ,
Torres Petronas,
Torre Sears,
Torre Jin Mao}
B
O O
f / J É
tfimíL
1/ •
E = {x G edificios altos /
x = cinco más altos}
Operaciones entre conjuntos
/ Unión
A U B = { X / X G A V X G B }
/ Diferencia
A - 8 = { X / X 6 A A X ^ B }
A
/ Intersección
A n 8 = { x / x G A A x e 8 }
A
/ Diferencia simétrica
A A B = { X / ( X G A A X £ ' B ) V X G B A X G ' A ) }
/ Complemento
A C
= {x / x G A , A, x G" 8}

4. O TALLGR Teoría de conjuntos O o °
1, Representa por comprensión el conjunto resultante.
A = {x / x es múltiplo de 5 } , 8 = {x / x es múltiplo de 3 }
a . A u 8 d. A c
b. A n 8 . e . 8 - A
c. A - 8 f. A A 8
Para resolver estos ejercicios debemos tener en cuenta las definiciones
de las operaciones entre conjuntos:
a . A u 8 = {x G x = 5n v x = 3 n , Vn e R }
b . A n B = {x G R ' / x = 5n A x = 3 n , Vn G R }
c. A - 8 = {x € R * / x = 5n A X í t 3 n , Vn G R }
d. A c
= (x G R»/ x * 5 n , Vn G R }
e. 8 - A = (x G R»/ x = 3n A X * 5 n , Vn G R }
f. A A 8 = {x G R»/ (x = 3n A x * 5n) v (x 3n A X = 5 n ) , Vn G
? 2 . Representa por comprensión el conjunto resultante.
A = { x / x G Z } , B = { X / X G Z " }
d . A c
e . 8 - A
f. ec
a . A u 8
b . A n B
c. A - B
/,!)> 3 . Representa por extensión.
A = { x G Z / 3 < x < 1 0 } , B
a . A u 8
b . A n 8
c. A - B
f 4, Representa por comprensión.
A = {x G R / x = 2 n , Vn G R } , B
a . A u 6
b . A n B
c. A - B
/.o; 5, Representa por extensión.
A = {x / x es v o c a l } , 8 = {x / x es consonante}
a . A u B d . A c
b . A n B e . B - A
c. A - B f. B c
{ X G Z / 6 < X < 1 2 }
d. A A 8
e . B - A
f. B c
{x G R / x = 3 n , Vn G
d. A c
e . B - A
f. B c

5. /"» 6, Representa por extensión el conjunto resultante.
A = {x G RI x2
+ 7x - 8 = 0 } , 8 = {x e RI 2x + 5 = 0}
a. A u B d. A c
b. A n B e. 8 - A
c. A - B f. Bc
Y 7. Representa por comprensión el conjunto resultante.
A = { X G R / | X + 1| < 12}, 8 = { X G R / | X - 4 | > 2}
o. A u B d. A c
b. A n B e. 8 - A
c. A - B f. Bc
*7 8, Representa por comprensión el conjunto resultante.
A = {x G R'f senx = cosx}, B = {x G R*/ tanx < 1}
a. A u B d. A c
b. A n 8 e. B - A
c. A - 8 f. Bc
T 9. Representa por comprensión el conjunto resultante.
A = { y e R ' / y = 4x, Vx G R}, B = {y G R«/ / < 100}
a. A u B d. A c
b. A n B e. B - A
c. A - 8 f. Bc
S 1 0 . Utiliza un diagrama de Venn para representar:
a. A u B c
f. ( A u B ) c
b. A n Bc
g. A u ( B u C )
c. A c
n B c
h. ( A u B ) u C
d. (A n B ) c
i. A u ( B n C )
e. A c
n Bc
¡. (AnB)nC
Con+eo de los elementos de un conjun+o
Ahora, si definimos n(A) como el número de elementos
del conjunto A, entonces tenemos:
n(A u B ) = n(A) + n(B) - n(A n B)
n ( A - B ) = n ( A ) - n ( A n B )
n(A u B u C ) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A n 8) - n(A n C)
- n ( B n C ) + n ( A n B n C )
n(A A 8) = n(A) + n(8) - 2n(A n 8)

6. Ejemplo:
A = {estudiantes de filosofía}, n(A) = 20
n(A u 8 ) = n(A) + n(B) - n(A n B)
n ( A u 6 ) = 2 0 + 12 - 8
n(A u 8) = 24
8 = {estudiantes de estadística}, n(8) = 12
n(A A 8) = n(A) + n(B) - 2n(A n 8)
n(A A 8) = 2 0 + 1 2 - 2 ( 8 )
n(A A 8) = 1 ó
A n B = {estudiantes de filosofía y estadística}, teoría de conjuntos, que es la base
n(AnB) = 8
n(A-B) = n(A) -n(AnB)
n(A - 8) = 20 - 8
n ( A - 8) = 12
Halla n(A u 8), n(A A 8) y n(A — 8) de acuerdo con lo anterior, en los siguientes ejercicios.
Rincón de ta historia
George Cantor (San
Petersburgo, 1845 a
1918) fue un mate-
mático alemán, inven-
tor con Dedekind de la
teoría de conjuntos, que es la base
de las matemáticas modernas.
11. En grado décimo se han inscrito a las
prácticas deportivas los siguientes estu-
diantes: fútbol, 28 estudiantes; bas-
quetbol, 20 estudiantes; atletismo, 22
estudiantes; fútbol y basquetbol, 12 estu-
diantes; fútbol y atletismo, 12 estudian-
tes; atletismo y basquetbol, 4 estudian-
tes; y en los tres deportes tres estudiantes.
¿Cuál es el número de estudiantes del
curso?
12. En una empresa 18 trabajadores son
únicamente diurnos y 12 únicamente
nocturnos. Si el total de trabajadores
es de 36, ¿cuántos de ellos trabajan
en ambos tumos?
r 13. S ¡ A = { x G
8 = { x G
Calcula:
a. n(A)
b. n(B)
c. n ( A n B )
x2
+ 2x - 15 = 0} y
x2
- 25 = 0}
d . n ( A - 8 )
e. n(A A 8)
f. n(A u B)
f 14. En la oficina colombiana de la multi-
nacional Brands Inc. hay 36 emplea-
dos que hablan inglés, 28 hablan
francés y 1 2 dominan ambos idiomas.
¿Cuántos hablan únicamente inglés?
¿Cuántos hablan únicamente francés?
¿Cuántos hablan un solo idioma?
15. Martín halló los divisores de 15: { 1 , 3 ,
5, 15}, Alejo los del 8: { 1 , 2 , 3, ó, 9,
1 8 } , ¿cuál es el número de elementos
de la diferencia simétrica de los dos
conjuntos?
16. Lanza un dado y a partir de los seis re-
sultados posibles define los conjuntos:
A = { 2 , 4, 6} y B = {5, ó } , que se
determinan como el número obtenido
es par y el número obtenido es ma-
yor que cuatro respectivamente. Ahora
halla:
a. n(A)
b. n(8)
c. n{AnB)
d . n(A - 8)
e. n(A A 8)
f. n ( A u 8 )
Descriptor de desempeño:
/ Identificar la notación, representación y operaciones entre conjuntos.

7. Pensamiento numérico-variacíonal
Números reales
Una de las primeras megaconstrucciones en la historia de la
humanidad fue el Partenón, situado en la Acrópolis ateniense.
Se c o m e n z ó a construir en el 447 a.C.
El partenon tiene 8 columnas en los frentes y 1 7 en los cos-
tados (en la parte llamada peristasis), de orden dórico y cla-
sificadas como exteriores, de 10,43 m de altura, 1,26 m de
d i á m e t r o en la base. La relación entre las partes, el techo y las
columnas, corresponde a - ^ , esta cantidad corresponde al famoso n ú m e r o áureo.
El conjunto de los n ú m e r o s reales se define como la unión de los conjuntos de nú
meros racionales e irracionales. IR =
pueden representarse como el cociente de dos números enteros, por ejemplo:
u I). Los números racionales son aquellos que
3 21
4 ' 2
1,26, etc. Los números irracionales son aquellos que NO pueden representarse como el
cociente de dos números enteros, como V5 = 2,236...; 7r =3,1 41 59265..., etc.
N ú m e r o s
naturales
8, 17
N ú m e r o s reales
N ú m e r o s
enteros
- 4 4 7
N ú m e r o s
racionales
10,43; 1,26
N ú m e r o s
irracionales
1 + V5
Q TALLGR Números reales, subconjuntos O o °
/»)) 1. Indica a cuál subconjunto (racional o irracional) de los números reales pertenece cada
n ú m e r o .
2
ci• —
3
b. V7 f.
C8
g-
d. N / T T + y h.
7T
3
h. ^ 1 024
i. k. 373
V3
- 2
7_
i. A
^8_
V3

8. Todos los números reales pueden ser representados
• en la recta numérica, veamos:
<—l 1 1 1 1 « i 1 — •
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
habías que... el número áureo se encuentra
presente también en muchos elementos
y fenómenos de la naturaleza, como en la relación
de la cantidad de abejas macho y hembra
en un panal, la relación entre la distancia entre
las espiras del interior de un caracol, la disposición
de los pétalos de las flores, la distancia entre
las espirales de una pina, y aparece recurrentemente
en la anatomía de los seres humanos.
? 2. Representa en la recta numérica los siguientes números reales.
2
x = —
3
H—I—I—I—I—I—I—• •—I—I—I—
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x = V32
+ 2 2
= V9 + 4 = VÍ3
a. 3
1 i i 1 i i i i 1 1
5
1
- 4
i
i
i
-2
1
-1
i
0
i
i
i
2
i
3
1
4
1
5
b.
7
b.
5
i i i 1 i i i i I i i i i i i i i
l l i 1 i i 1 i i i i 1 i 1 1 i •
¡ - i 0 1 2
c. - 7
4 i 1 1 i i 1 i i I i I i l
-8
1
- 7
1
-6
i
- 5 -4
i
- 3 2
1
-1 _!)
i
i
i
3 A
1
5
i
6
1
7
1
8
r ?
ó
V I •
7
i 1 1 i 1 1 i 1 1 1 1 1 i i i i i 1 1 i 1 I i 1
i
- 2
1 1 i 1 1 i
- i
1 1 1 1 1 i
0
i i i i 1 1 i 1 1 ! 1
r
w
2 3
8
—¿ —t—
1
—H--H--H-
- 3
—H--H-•H—
r
-H--H~HH -f—f-
-1
-H——H--H-
0
•H- —H--H-•H—
1
-H--H- —H
2
-H--H- —H
•++•HH—H-
4

9. L-
SL
— I — l — h
01
— I — h — l — h H—I—I—h
o 9 -
- + - 1 — I — I — I — I — I -
0L-
- l — l — — -
9L~
- l — l — i — >
z i - *>s
z
H h H 1 h
0
—I— H 1 h
z-
H •
e
9
L-
L 0 l -
£1
¿l
£ Z L 0 L— 3— E-
< 1 1 1 i-e—1 1 1
•
C£ 9Z OZ SL OL 9 0 S~ 0 l ~ 9 L ~ 0Z~ SZ~ C£~
< l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l I I l l l l l l l l l l l l l i i i i i i i i i i i i i >

10. La solución real de una ecuación de cualquier grado es un subconjunto de los números
reales. Veamos:
Hallemos el conjunto S = {xG R / x + 3 = 5}. Despejamos la ecuación: x + 3 - 3 = 5 - 3
x = 2. Por tanto, S = { 2 } , que es un subconjunto de losreales. S c Il.
Halla el conjunto solución de:
a. Q = - X G R / X - - = 12
4
f. A = { x G R / x 2
- - 1 6 = 0}
b. T = { X G R / X = 2 X - 1 } g. C = { X G R / X 3
- - 2x2
+ 3x - 4 = 0
c. R = {xeR/|x| = 4} h. H = {xel/e" =
d. U = {x e R / x 2
+ 8 x - 2 = 0} i. Z = { x G R / 7 x = 256}
e. P = {X G R / ( X - 4 ) ( X + 2) = 0}
Al ser subconjun+os cumplen fodas las operaciones
en+re conjuntos.
4. Halla:
a. O U T
b. P n A
c. (Z u S) n C
d. A A C
e. Z - T
f. P u A u C
g. Z n ( C u U )
h. (Z A A) - C
5. Tienes el siguiente subconjunto de los números reales S = { 2 , — 5 , 7 } , ¿de qué forma lo
puedes representar gráfica y analíticamente?
De forma gráfica tenemos:
C
-4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
Y de forma analítica podemos hacer: (x — 2) = 0 A (x — ( — 7 ) ) = 0 A (x — 5) = 0.
Por tanto; (x — 2)(x + 7)(x — 5) = 0. Con lo que obtenemos x3
— 39x + 70 = 0.
En forma de conjunto es: S = {x G IR / x3
— 39x + 70 = 0 } .
Representa de forma gráfica y analítica:
a. 8 = {12,-3, 8 , - 1 } b. C = { 0 } c. D
72 i
2 '2

11. Los subconjuntos de los números reales no son únicamente puntos dentro de la recta
numérica, también pueden ser conjuntos infinitos de puntos definidos
mediante intervalos. Veamos:
Encontremos las soluciones para el conjunto {x 6 |R / x < 5}
Las soluciones las podemos dar de dos maneras:
Gráficamente
T
Intervalo
H — I — l — l — l — l — l — l — h H — l — h >
l
(-00, 5)
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
Como se toman los x menores, la flecha va para'la izquierda.
Ten en cuenta la tabla para expresar las respuestas.
Intervalo abierto >, < o ( ) No se incluyen los extremos
Intervalo cerrado >, < • [ ] Se incluyen los extremos
6. Encuentra la solución para los siguien-
tes conjuntos, expresa la respuesta en
intervalo y gráficamente.
a . { x e R / x > 3 }
b. ( x G R / x > 25}
C. { x G | R / x < - 4 }
d . {x-e R / x < - 2 }
e. { x e R / x > 8 }
7*. Encuentra el conjunto y el intervalo so-
lución de las siguientes gráficas.
<—i—y
—i—i—m—h H — •
H 1 1 — h
H—I 1—I—I—fr-
CI. - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
•* 1 1 T I 1 1 1 1 1 1 1 1 •
b. - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
4—I 1 1 1 ^ I 1 1 — I 1—I 1 — •
C. - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
Descriptor de desempeño:
/ Identificar y representar en la recta los números reales.
d . - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
• f 8. Determina el conjunto y la solución grá-
fica de cada uno de los intervalos.
a . (—oo, —8)
b. [ - 3 , oo)
c. [7, oo)
d . (-oo, y2]
e. (-oo, -%)
f. (-oo, - 2 ) U (2, 8)
g . (-oo, - 1 ] U [1, oo)
h. (-oo, - 4 ] U (2, oo)
i. R

12. Pensamiento numérico - variacional
• Propiedades de los números reai.es
Propiedades Sumó
Clausurativa
Modulativa
Conmutativa
Asociativa
Invertiva
si a e R A b e IR,
entonces a + b £ R
si a e R,
entonces Va e R ' 3 0 / a + 0 = a
si a e R A b e R,
entonces a + b = b + a
s i o G l A b e l A c e l ,
Multiplicación
si a G R A b e R,
entonces a x b e R
si a e R,
entonces Va e R-31 / a x 1 =
si a e R A b e R,
entonces a x b = b x a
s i o e l A b e l A c e l ,
entonces a + (b + c) = (a + b) + c entonces a x (b x c) = (a x b) x c
Va e R ' 8 ( - a ) / o + (-a) = 0 : R-e| - 1
/ a x | -
Distributiva con Va, b, c 6 R
respecto a la suma a 4 - ( b + c ) = a - ^ b + a - H c
Potencia
a • a = a
cf
an
Va, b, c, e R a x ( b + c ) = a x b + a
a m
- b " = ( a - b ) ^
a° = 1
Recuerda que la resta es la suma con los inversos aditivos, y la división es la mul-
tiplicación con los inversos multiplicativos. Mientras que la radicación es la misma
potenciación, siendo los exponen-fes los inversos multiplicativos de los originales.
O TALLGR Propiedades de los números rea
•f 1. En cada uno de los ejercicios indica la propiedad usada.
o
a . (7 + x ) + 4 = 7 + (x + 4)
b. 787 + 0 = 787
c. - + 72 = 2.1642...
4
, x 75 75 x
a. — + — = — + -
3 2 2 3
e. 2> + (-2*) = 0
f. eiB
+ 274x" = 274x" + e"
g . 3 +
77 i 77
• +
v *JJ
= 3
h . 3 x ( - i r ) = ( - T V ) x 3
i, 4 x (x + 72) = 4x + 472
|, e x—^ = 1
e2
k, 7 7 x ( x + 2) = 7 7 x x + 7 7 x 2
0 + + 0
7T

13. x VÍ23 ,m , , x = 1
VÍ23 x
n. (Vó + x) + y = Vó + (x + y)
7T
r. g +
. 3 V2 _
n. - ^ = x — = 1
V2 3
( ^ X < / 5 ) X | = 7 T X ( ^ V 5 X | J
= 0
s. ^ 3 2 x 1 = ^32
t, 4 x (x x y) = (4 x y) x 3
u. ^ + 2 r ] + 34 = ^|+(2«-+34)
^ 2
^ 2
7T 7T
p. — + 0 = —
3 3
+ e j + V2 = | + (e+ V2)
v. TV x e = 8,5397
98 . 98
w. — x 1 = —
7 7
r 2. Resuelve las operaciones utilizando propiedades de los exponentes.
a. 7 x 3
( 1 5
b.
v °> )
í, 2x4A°
X I
I
X
o-b
X b-a
F. (7z)
101
99
c. 4 3
• x3
d.
(7z)y
g. y3
• 2-3
h. -3
i- / a
• y3
k. 2 7 3
3^
I. ZL
43
52
"Z' 3. Resuelve las ecuaciones mostrando explícitamente la propiedad empleada.
a. 2x2
= 8
b. 5 V x ~ - ó 5 = 12
g. 127 =
8
h. aVx+ — = b
2
m . — = 12
Tn. 4 X
= 64
c. - = 12
x
v 3
d. — + 12 = 24
3
e. xV3 — = 9
5
24
3/ 2
= 38
i.
i. 715^37 =
k. x4
=12
7^/5
V8
1. 23
x2
= 7 3 - 1 2
n. —x'
0 , X4
123
= 2 3 - V 8
q.
71
— X
3

14. Además de la radicación exis+e o+ra operación inversa a la po+encia den+ro
de los números reales, es llamada logarifmación y se define de la siguien+e manera:
logg b = c O ac
= b.Y cumple las siguien+es propiedades:
log (b X c) = log b + log c
4 . Resuelve:
a . l o g 3 81
b. log,2 1 4 4
c. l o g 5 3 125
d . log4 25ó
e. log7 2 4 3
f. l o g 1 6 4
g. l o g 1 2 8 2
h
- ^Oioo ooo 1 0
i. l o g 3 ( 2 7 x 8 1 )
j . I o g 4 ( l ó x l 0 2 4 )
k. b g 1 0 ( 1 0 0 x 1 0 0 0 )
I. l o g 6 ( l 2 9 6 x 2 1 6 )
m. l o g 6 4 ( 4 x 2)
n. b g
í l 1 )
— x —
4 16
log, > c, log b — log c
loga b
c
— c logg b
logr b
log, b •
ogr g
ñ. l o g .
r
6 2 5 )
o« log2
l 2 5 J
í 2 0 4 8 1
p. l o g 3
q . log4
r. l o g ,
s. log4
32
Í729)
9 ,
Í256)
( 64
Í 2 4 0 1
4 9 J
2 5 6 '
4 0 9 6
t. l o g 4 8
u. l o g 2 7 ( 2 4 3)
v. l o g 2 5 3 125
w . l o g 3 2 2 5 6
x. I o g 1 0 0 1 0 0 0
y, l o g l 6 1 0 2 4

15. f 5. Un rectángulo tiene 20 m2
de área y 18
m de perímetro. ¿Cuáles son sus dimen-
siones? En cada paso aclara la propie-
dad de los números reales usada.
S 6. ¿Cuáles son los tres números enteros
consecutivos cuya suma es 399?
S 7. ¿Cuál es el n ú m e r o al cual hay que
elevar el n ú m e r o ocho para obtener
512?
S 8. Encriptación es la técnica utilizada pa-
ra codificar la información de forma
que no pueda ser comprendida por
alguien no autorizado y para ello se
utilizan claves generadas con números
primos (aquellos que solo son divisi-
bles por sí mismos y por la unidad).
Dinos si el n ú m e r o 323 sirve para tal
propósito. Halla un n ú m e r o mayor que
mil que pueda ser utilizado para crear
una clave.
S 9. Un cuadrado tiene 1 024 m2
de á r e a ,
¿cuál es el lado de un cubo que tenga
esa misma área en sus seis caras?
S 10, El belio es una unidad que mide la
intensidad del sonido. Es una escala
logarítmica en base 10, lo que quiere
decir que un aumento de un belio es
un aumento de diez veces en magni-
tud. ¿Cuántas veces es m á s intenso
un sonido de doce belios que uno de
ocho belios?
síf 1 1 , Si el volumen de una esfera es volumen
de una esfera es —7rr3
y el de un cilin-
3 7
dro es nr2
h. ¿Cuál objeto tiene mayor
volumen, una esfera de 32 cm de ra-
dio o un cilindro de 1 2 cm de largo y
20 cm de radio?
20 cm
12 cm
f 12. ¿Cuál debe ser el largo del cilindro para
tener el mismo volumen de la esfera?
y 13. Si la densidad de un objeto se define
como su masa dividida entre su volu-
men, ¿cuál es la densidad promedio
de un edificio de base cuadrada de 40
m de lado, altura 200 m y 1 8 000 to-
neladas?
^ ^ 1 4 . ¿Cuál es el área total de un hexaedro,
también conocido como cubo cuyo vo-
lumen es 1 728 m3
?
V = 1 728 m=
Descriptor de desempeño:
/ Reconocer y aplicar las propiedades de los números reales.

16. Pensamiento numérico - variacional
Operaciones con números reales n a — »
La Plaza de San Pedro se encuentra en la ciudad del
Vaticano, dentro de Roma, es una de las más grandes
del mundo y el centro del catolicismo mundial.
La plaza es una gran explanada trapezoidal que se
ensancha lateralmente mediante dos pasajes, en for-
ma elíptica. Sus medidas son extraordinarias: tiene 33
dam, rodeada por 4 hileras formadas por 284 colum-
nas y 88 pilastres. Observa los números que componen
la medida y determinemos el perímetro de esta plaza.
Observa que para hallar el perímetro debemos encontrar la medida de x y y. x es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo con catetos de 1 5 dam y 3 dam, por tanto,
x = V32
+ 1 5 2
= V234 = ^ 9 - 2 6 = 3V26.
Ahora, y es la mitad de media circunferencia de radio 9 dam, por tanto,
y = (2TT • r) 2 = (2TT • 9) V 2 = 1 8TT + 2 = 9TT
Entonces, el perímetro de la Plaza de San Pedro es:
P = 22 + 3V2ó + 9-7T + 1 6 + 9-7T + 3V2ó = (reunimos términos semejantes)
(22 + 1 ó) + (3 + 3V2ó + 3V26) + (9TT + 9TT) = 38 + óV2ó 1 8TT decámetros

17. Clave matemática
Los números reales presentan todas las operaciones que conocemos: suma, resta,
multiplicación, división, potenciación, logaritmación y radicación.
Ten en cuenta que cuando queremos sumar números racionales
e irracionales muchas veces debemos echar mano del álgebra
en la reducción de términos semejantes.
O TALLGR Operaciones con números realesO o °
'f 1, Realiza las operaciones, analiza y guíate con los ejemplos.
a. — + 2V3 + 3-5V3 = ^• + 3J + ( 2 - 5 ) V 3 , agrupando términos semejantes.
21
3%/3, esta expresión no puede reducirse más, ya que no posee términos
5
semejantes.
b. V 7 x V 5 , como el índice del radical es el mismo, podemos realizar el producto V35.
c, y/V2 x^¡25, como los índices de la raíz son diferentes no podemos hacer nada.
r
m2
, 2 ,
, debemos recordar la relación que existe entre raíces y potencias.
3/49
e. , al desarrollar nos queda:
2' 4
, | + ( V 3)(75)-lvT5
9*
V3 _ ] _
2 3 +
h. (V2-v/
T3) + (5</Í3 + -</2)- +12V13

18. ¡2V8)3
•
1. ^UV3-
V3
12
Ic • 7 + V2
l 5
J V
1. % 1 2 + ^
7 7T
- 9
V5 + 1 V7
r.
r 3. Un radiotelescopio ha detectado una
señal de radio muy extraña, cada V7
segundos envía una onda con una fre-
cuencia de 10 hertzios mayor que la
anterior. Si la primera señal tenía una
intensidad de 20 hertzios, ¿cuántos
segundos han pasado si la intensidad
actual es de 420 hertzios?
m .
V2
S 4 .
3 7 2
q . —x—¡=
5 V3
( V 3 - 4 )
x
(V3 + 4)
^27 V4
</Í6 X
^/243
Los administradores del edificio Avian-
ca han organizado una maratón de
escaleras entre los empleados de las
distintas oficinas. La distancia total de
la maratón es de 30V2 kilómetros y en
cada recorrido del edificio se cubren
2V3 kilómetros. ¿Cuántas veces deben
recorrer el edificio los participantes?
^ 5 . Las dimensiones de la pirámide de
Keops son: 230,347 m de lado y una
altura de 146,61 m. ¿Cuál es su volu-
men?
$¡64 5VT2
t. —— X •
u. (VÍ3)2
+ óVT3 - 1 2
y 2. Los últimos cinco pisos del Central Pla-
za de Hong Kong tienen siete oficinas
cada uno, mientras que los 5 3 restan-
tes tienen en promedio diez oficinas
cada uno. Si en el edificio trabajan
6 200 empleados, ¿cuántos trabajan
en cada oficina?

19. /.D) 6. Representa la siguiente operación usando la recta de los números reales: (5 — 2) x 3.
En primer lugar ubicamos la primera cantidad, en este caso cinco (5).
A
Luego, a partir del punto cinco representas el siguiente valor (—2).
A
-r-
2
C
El resultado es la distancia desde el origen hasta el punto de llegada.
A w C C
Por último, esta distancia la representamos tres veces desde el origen.
A
-1
m i M M
Representa en la recta de los números reales (12 — 7) x 2.
/,))) 7. Representa.
a. 4 x 3 - 1 2
b. V 2 + V 3
c.
3 21
4 +
3
x 3
d. V 5 x 4
e.
1 31
5 +
5
]__ 31
(5 5
x 2
x 5
8. Un avión recorre 1 2 m a la izquierda,
luego 9 m a la derecha y otra vez 1 3
m a la derecha. ¿A qué distancia se
encuentra de su punto de origen? Haz
su representación analítica.
9. Un explorador camina 1 2 m a la de-
recha luego gira 180°. Y camina a la
izquierda el doble de la distancia an-
terior. ¿A qué distancia se encuentra
de su punto de partida? Represéntalo
analíticamente también.
10. Una rana salta un metro a la derecha
y luego hace un salto en la misma di-
rección tres veces más largo que el
anterior. Después se devuelve dando
1 ó pasos de 0,5 m cada uno. ¿Dónde
quedó? Represéntalo analíticamente.
Descriptor de desempeño:
/ Diferenciar y aplicar las operaciones de los números reales según el caso.

20. Pensamiento numérico-variacional
Sucesiones
Clave matemática' S S S S M M I M M M I I H M N & M N M M
Una sucesión es un subconjunto de los números reales que presenta la forma: a,, a2 , a3 ,
a....,a
4 ' n '
En la cual cada uno de los términos an tiene un consecuente a r Además, tiene por ca-
racterística que relaciona a cada elemento de los números naturales con un elemento de
los números reales: S = {R**^- IR}.
Se expresan siempre con una fórmula que representa el término general. Dicha fórmula
tiene siempre forma de función, por ejemplo: Sn = 3" — 1, en donde el valor del término
enésimo se obtiene al reemplazar n por el número natural correspondiente.
Clases de sucesiones
Aritmética Geométrica
Una sucesión aritmética es aquella en la
que cada término se obtiene sumándole
una cantidad fija llamada razón, denomi-
nada con r, al término anterior. Por ejem-
plo: S = {4, 9, 14, 19...}, en donde:
S 1 = 4 , S 2 = 9 , S 3 = 1 4 , S 4 = 1 9 . . .
En general:
Sn = S1 + (n — 1 )r, en donde, r es la ra-
zón de la sucesión.
Una sucesión geométrica es aquella en
la que cada término se obtiene multipli-
cando una cantidad fija llamada razón,
denominada q, al término anterior. Por
ejemplo: S = { 2 , ó, 18, 54...}, en don-
de: S, = 2 , S 2 = 6 , S3= 18, S 4 = 5 4 . . .
Sn = S1 (qn - 1
)r, en donde q es la razón de
la sucesión.
O TALLGR Sucesiones O o o
iT 1. Halla los cinco primeros términos de la sucesión, o la fórmula para el término enésimo,
según corresponda.
c 8n + l c ln
o. Sn = —r e. Sn = -
b- S
=
{f'Y'f'ir'-} I f
« S = { - 3 , - l , l , 3 , . . . }
c S
= {1
4'H'-} ^ 9- S = { 2 1 , 1 8 , 15, 12,...}
3 7"
d . S„ = 4 n - - h. S = - r -
5 3 2 n

21. n. S= {73,273,473,...}
k. S
VnTT
i. s = l,L,^
13 12 6 12
m . S = - 5 r
'
n
3
ñ. S = 3n -
125
>. S = { - 3 + V5,2 + V5,7 + V5,...}
p
-s
-=lfH
q. S =
3 7 11 15
5 ' 5 ' 5 ' 5 "
2. Mi padre aceptó la siguiente propues-
ta: un amigo le va a dar $ 100 000 a
mi padre por muy poco a cambio, mi
padre debe darle el primer día $ 1, el
segundo día $ 2, el tercer día $ 4, el
cuarto día $ 8 y así sucesivamente cada
día el doble de lo anterior, con la única
condición de que el trato debe durar un
mes exacto. Responde.
a. ¿Quién ha sido el mejor nego-
ciante?
b. ¿Cuánto dinero pagó mi padre el
último día?
c. ¿Y en total?
d. Expresa dicha situación como una
sucesión.
3. En una de las famosas "pirámides" de
ahorradores los promotores están re-
clutando "inversionistas", según el si-
guiente modelo: un cliente debe invertir
$ 100 000 para comprar un formu-
lario que lo compromete a conseguir
otros siete inversionistas, una vez los
haya conseguido la empresa le pagará
$ 500 000. Si sabemos que en la pri-
mera ronda se consiguieron diez inver-
sionistas, al cabo de cuatro rondas:
a. ¿Cuántos inversionistas habrá en
total?
b. ¿Cuál habrá sido la ganancia de
los promotores?
c. ¿Existe forma de representar el nú-
mero de ahorradores en una ron-
da determinada?
S 4. Las bacterias se reproducen dividién-
dose en dos. Si el tiempo de repro-
ducción de una especie determinada
de bacteria es de 30 minutos y en un
cultivo se tiene una de ellas:
a. ¿Cuántas habrá en cuatro horas?
b. ¿En seis horas?
c. ¿Cómo lo representarías en forma
de sucesión?
^ 5. Vamos a comprobar el poder del chis-
me. Dos personas inventan un chisme
sobre Natalia París y deciden propa-
garlo, así que cada uno lo cuenta a
tres personas más, y cada una de es-
tas personas lo cuenta a otras tres per-
sonas y así sucesivamente. Calcula al
cabo de cuántas "rondas de chisme"
se enteran:
a . Bogotá: ó 250 000 habitantes.
b. Colombia: 43 000 000 de habi-
tantes.
c. El mundo entero: ó 000 000 000
de habitantes.
Represéntalo en forma de sucesión.

22. y 6. Carlos Alberto acaba de abrir una cuen-
ta en Facebook, el primer día no tiene
ningún amigo, al segundo día consigue
tres amigos, y cada día después del pri-
mero cada uno de sus amigos le pre-
senta tres personas más. Responde.
a . ¿Cuántos amigos tendrá al cabo
de diez días?
b. ¿Y al cabo de 15 días?
c. ¿Y después de un mes?
S 7, Ana María es hermana de Carlos Al-
berto y ella también acaba de crear su
cuenta en Facebook, pero a diferencia
de su hermano ella solo consigue tres
nuevos amigos al día. ¿Cuántos a m i -
gos tendrá al décimo, decimoquinto y
trigésimo días?
/ " 8 . El costo de la vida en el país subió un
1% en el mes de enero, y a partir de
dicho mes ha subido un 1 % mensual.
Representa el enunciado c o m o una su-
cesión y dinos cuánto ha aumentado el
costo de vida después de un año.
y 9, Cuenta la leyenda que al inventor del
juego del ajedrez le prometieron darle
un grano de trigo por el primer cuadro,
dos por el segundo, cuatro por el terce-
ro y así sucesivamente, cada cuadro le
representa el doble de trigo del cuadro
anterior. Si el tablero de ajedrez tiene
64 cuadros, ¿cuánto le dieron por el
último cuadro? Y, ¿en total?
y 10. En la época en que los europeos llega-
ron a América la viruela no se había visto
en este continente por lo que los nativos
no habían desarrollado defensas contra
ella, por esta razón la tasa de mortali-
dad fue muy elevada. Si cada indígena
enfermo infectaba a otros dos antes de
morir al mes de infectado, ¿cuántos in-
dígenas murieron a los cinco meses?
V 1 1 . Una abeja reina sale con 2 5 obreras
a comenzar una nueva colmena. Des-
pués de construirla y adecuarla c o -
mienza a colocar huevos para poblar
la colmena. Si nacen 35 obreras nue-
vas cada día, ¿cuántas obreras habrá
al cabo de tres meses?

23. r 12.
En una campaña para la reconstruc-
ción de un hospital logran que la gente
se comprometa llevando siete ladrillos
cada persona. Si cuando la campaña
comenzó las directivas del hospital te-
nían ya 340 ladrillos, expresa dicha
situación en forma de sucesión.
f 13, Cada 35 minutos caen tres litros de
agua por un desagüe de la ciudad. Si
en el pozo había originalmente 200 li-
tros de agua, expresa dicha situación
en forma de serie y calcula la cantidad
de agua a los 1 40 minutos.
S 14. De una montaña se desprende un pe-
dazo de roca con una velocidad de 30
m/s. Si cada segundo su velocidad es
35 m/s mayor que el segundo anterior,
expresa dicha situación como sucesión
y halla la velocidad a los 25 segundos.
y 15, Cuatro amigos deciden hacer un ex-
perimento y compran cuatro conejos,
formando dos parejas. Si cada pareja
procrea ocho crías cada tres meses,
¿cuántas crías procrean al cabo de 24
meses?
y 16. En un acelerador de partículas se logra
dividir los núcleos cada 15 segundos,
si de cada núcleo original se obtienen
tres y al comienzo había 340 núcleos,
¿cuántos núcleos habrá al cabo de
diez minutos?
S 17. En una bóveda de un banco hay alma-
cenados 4 500 millones de pesos. Si
cada día se retiran $ 2 500 000, expre-
sa dicha situación como sucesión y cal-
cula el dinero existente a los 25 días.
18. Representa analíticamente la siguiente
sucesión.
3_'X
1 [ i
0
0 1 '2 '3
1 i !._„j-2
- 3
Representa analíticamente.
5ÍX
C
8
A
D
0 1
Descriptor de desempeño:
/ Determinar e identificar los términos y clases de sucesiones con números reales.

24. Pensamiento numérico-vañacional
• Sucesiones acotadas y no acotadas
Vamos a suponer que Aquiles S.A. le hubiese dado 1 0 m de ventaja a la compañía Tortuga Inc.
y construyera edificios el doble de rápido que ella.
Distancia parcial
construida por
Aquiles S.A.
Distancia total
construida por
Aquiles S.A.
Distancia parcial
construida por
Tortuga Inc.
Distancia entre el
punto de partida
de Aquiles S.A.
y Tortuga Inc.
Distancia que
los separa
0 0 0 10 10
10 10 5 15 5
5 15 2,5 17,5 2,5
2,5 17,5 1,25 18,75 1,25
1,25 18,75 0,625 19,375 0,625
0,625 19,375 0,3125 19,6875 0,3125
0,3125 19,6875 0,15625 19,84375 0,15625
0,15625 19,84375 0,078125 19,921875 0,078125
0,078125 19,921875 0,0390625 19,9609375 0,0390625
0,0390625 19,9609375 0,01953125 19,98046875 0,01953125
0,01953125 19,98046875 0,009765625 19,99034375 0,009765625
Aunque Aquiles S.A. y Tortuga Inc. se encuentran cada vez más cerca de llegar a 20 m, de la
forma que contemplamos el problema ninguno de los dos los alcanzará; por tanto, 20 es la cota
superior de los dos conjuntos numéricos, mientras que las cotas inferiores son cero y diez para
Aquiles S.A. y Tortuga Inc., respectivamente.
Clave matemática*
Sea Cs = {x e IR1
/ x < b } , entonces, decimos que b es una cota superior del conjunto C.
De forma análoga si O = {x 6 R*/x > a } , entonces, decimos que a es una cota inferior
del conjunto C. De la misma forma una sucesión puede tener cotas superior o inferior a
ambas simultáneamente o ninguna.
I
No importa qué tan cercano a b sea el valor que tome x, siempre habrá infinitos
números separando a x de b. Para que un subconjunto de los números reales
o una sucesión sean acotados deben tener cota superior e inferior.

25. O TALLGR Sucesiones acotadas y no acotadas O o
*,))) 1, Representa en la recta numérica cada conjunto.
a . $ = { 6 4 , 3 2 , 1 6 , 8 , 4 , 2 , 1 , . . . } e. S = { 8 1 , 108, 11 7, 120, 121,...}
b. S.= { 4 ; 6; 7; 7,5; 7,75,...} f. S = { 4 , 8, 1 2, 1 6, 20,...}
c. S = { 2 0 , 12, 8, 6, 5,...} g. S = { 1 ; 1,1; 1,11; 1,111; 1,1111,...}
d. S = {625, 1 2 5 , 2 5 , 5 , 1,...}
. _ . 3 7 15 31 63
1 2 4 8 1 ó 32
? 2. Representa cada uno de los conjuntos anteriores por comprensión.
a . S = { } e. S = {
b. S = { } f. S = {
c. S = { } g. S = {
d. S = { } h. S = {
1 3. Responde si los siguientes conjuntos son acotados o no y por qué.
n + 1
a . U x G R / x = — , Vn e Z
b. T = {x G R / x = Vñ, Vn G Z }
C. S = {y G R I - y/2, < y < ir}
d. M = x e
e. T = {w G IR / w == 2", Vn G Z }
f. U = {x / X = 3 X (n + 2), Vn G Z }
9- K = x e l / x =
n 2 + 1
, V n G z j
L n 2
- l J
N = {z G R 1 x == - 4 < z + 8 < 10}
r
( 4, Observa en la tabla la columna de la distancia total construida por Aquiles, dicha co-
lumna contiene la suma de todos los elementos de la sucesión, esta columna recibe el
nombre de serie.
Con base en la información anterior, calcula la suma de cada una de las siguientes series:
10 10
a. ^ n + 1 g.
n=l
n=l
1
5 _ 3
d. X^nT2
12
5 1
i. y -
t í "
íoo 2
i- 1^n=l e
5
e. Y —
n=l n!
L—t nn
n=l Z
k. £ n
n=-5
I. ¿ 3 n 2
n=0

26. Se sabe por la ley de desintegración
radiactiva que el número de núcleos
de un elemento radiactivo se reduce
una cuarta parte cada minuto que
pasa. Si al comienzo de un experi-
mento se tienen mil núcleos de uno de
dichos elementos, represente en forma
de conjunto esta situación.
S 6. Don Luis tiene cuatro hijos, el mayor
de ellos tiene 30 años, mientras el me-
nor, diez. Determina la cota superior e
inferior de dicho conjunto.
f 7. Las matrículas en el colegio "Mis ale-
gres amiguitos" se calculan de la si-
guiente manera: $ 75 000 + $ 5 000
por estrato, siendo los estratos de uno
a seis. Calcula la cota superior e infe-
rior de este conjunto.
ii
-f 8. La relación con mi novia se ha ido de-
teriorando con el tiempo, ya que duran-
te la primera semana nos llamábamos
cada media hora, durante la segunda
hablábamos cada hora, en el transcurso
de la tercera semana nos llamábamos
cada dos horas. Un día ella me dijo que
cuando dejáramos de hablarnos por lo
menos una vez al día mejor terminába-
mos. ¿Cuánto tiempo duramos de no-
vios? Representa gráficamente el con-
junto solución del problema.
f 9, Francisco estudia en el extranjero, por
esta razón su padre comenzó girándole
$1 000 000 mensuales, pero este ritmo
solo lo aguantó durante el primer año.
En el segundo año la cantidad girada
disminuyó a $ 500 000 mensuales; el
tercer año a $ 250 000 y así sucesi-
vamente. El padre de Francisco le dijo
que cuando el monto fuera inferior a
$ 50 000 dejaría de enviarle giros. ¿Des-
pués de cuánto tiempo se acabaron los
giros? ¿Cuál fue el total girado?
10. Determina a partir de la tabla compa-
rativa de los metros construidos por
Aquiles S.A. y Tortuga Inc. lo siguiente:
a . ¿Cuáles son los términos de la su-
cesión definida por la velocidad
de construcción de Aquiles?
b. Identifica si es una sucesión arit-
mética o geométrica.
c. Calcula su término enésimo.
' ?
11. Responde, con base en la tabla com-
parativa de los metros construidos por
Aquiles S.A. y Tortuga Inc., cuáles son
los términos de la sucesión definida
por la velocidad de construcción de
Tortuga. Identifica si es una sucesión
aritmética o geométrica. Calcula su
término enésimo.
S 12, Calcula el término enésimo de la su-
cesión del problema número 10.
S 13. Calcula el término enésimo de la su-
cesión del problema número 1 1.
Descriptor de desempeño:
/ Diferenciar y desarrollar las clases de sucesiones, y calcular su término general.

27. Pensamiento aleatorio
• Nociones y concepto de probabilidad
El gerente de una agencia de viajes se da cuenta del gran atractivo que tienen las megacons-
trucciones sobre sus clientes, por esto decide que la mejor forma de aprovechar esta situación es
crear un juego de cartas coleccionables donde cada una va a reseñar los datos más importantes
de un edificio.
El juego se va a componer de doce cartas para coleccionar y se va a obsequiar una por cada viaje
con la agencia, así que cuando el cliente compra su boleto sabe que le va a salir una de las doce
megaconstrucciones, pero no tiene certeza de cuál hasta no haberla recibido y destapado.
Clave matemática
Experimento aleatorio: un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
a . De antemano se conocen todos los resultados posibles del experimento.
b. Es imposible predecir cuál de dichos resultados va a ocurrir, antes de realizar el
experimento.
C. El experimento puede repetirse indefinidamente en condiciones similares.
Espacio muestral: el espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de
todos los resultados posibles del experimento. Se nombra con la letra S.
Evento: un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se nombra con las
letras A, 8, C...
Probabilidad de un evento: se denota como P(A) y consiste en el cociente entre el
número de resultados favorables y el número total de resultados.
Número de elementos de E
P(E):
Número de elementos de S
O TALLGR Nociones y concepto de probabilidadO o o
}»)) 1. Determina el espacio muestral de los
experimentos aleatorios.
a . Lanzamiento de dos monedas.
b. Saca una carta de una baraja y
anota su color.
c. Saca una carta de una baraja y
anota su palo o pinta.
d. Lanzamiento de dos dados.
e. Lanza dos dados y anota la suma
de los puntos obtenidos.
f. Escoge al azar el número de cami-
seta de un jugador de un equipo
de fútbol (numerado de 1 a 11).
g. Cuenta el número de casas aleda-
ñas a una casa escogida al azar.
h. Cuenta el número de minutos trans-
curridos entre dos llamadas conse-
cutivas a una central telefónica.

28. i. Anota el nombre del operador al
que va a llamar un cliente en un
local de venta de minutos.
j. Cuenta el número de automóviles
que pasan por una calle en un mi-
nuto.
k. Escoge al azar un piso del Empire
State.
I, Anota el sexo de una persona es-
cogida al azar.
m, Selecciona un número de dos dí-
gitos en una rifa.
n. Cuenta el número de días que llue-
ve en una semana.
ñ. Escoge al azar uno de los países
de Suramérica.
o. Escoge una de las megaconstruc-
ciones del comienzo del capítulo.
y 1. K partir de cada uno de los espacios
muéstrales del ejercicio anterior, expre-
sa los siguientes eventos en forma de
conjunto y calcula su probabilidad.
o, Se obtiene una sola cara.
b. La carta sacada es roja.
c. La carta sacada es una carta de
tréboles.
d. Uno de los dados muestra un 5.
e. La suma de los dos dados es 7.
f. El número escogido es el número 7.
S 3. En los siguientes ejercicios encontrarás
la probabilidad de un evento dado y
el número de elementos de su espa-
cio muestral relacionado, calcula el
número de maneras posibles en que
puede ocurrir dicho evento.
a . La probabilidad de obtener 5 al
momento de lanzar dos dados es
de — y el número de resultados
posibles al lanzarlos es 36. ¿De
cuántas formas puedes sacar 5?
b. La probabilidad de escoger una car-
ta roja en una baraja es de 0,5 si el
número total de cartas de la baraja
es de 52, ¿cuántas cartas rojas po-
demos sacar de dicha baraja?
c. La probabilidad de obtener dos o
más caras al momento de lanzar
tres monedas es de —. ¿De cuán-
2
tas maneras posibles puedes obte-
ner dos o más caras?
d. En una urna hay un total de doce
bolas de colores. Si la probabili-
dad de sacar al azar una bola roja
es de —, ¿cuántas bolas rojas hay
3
en dicha urna?
e. Un comité está compuesto por nue-
ve personas, al escoger al azar a
cualquiera de ellas la probabilidad
2
de que sea hombre es —, ¿cuán-
3
tos hombres forman parte de dicho
comité?
f. En las torres Petronas de Malasia
hay 1 024 oficinas, si la probabili-
dad de que en una de esas oficinas
se hable español es de 0,0625,
¿en cuántas oficinas se encuen-
tran trabajadores hispanos?

29. 4. Los siguientes equipos han clasifica-
do a los cuadrangulares semifinales:
E = {Equidad, Santa Fe, Cali, Medellín,
América, Chicó, Millonarios, Tolima},
dinos cuál es la probabilidad de que el
campeón no sea un equipo bogotano?
f 5. Si tienes el siguiente conjunto:
A = {3, 4, 7, 9, 1 0}. Y el subconjun-
to 8 = {3, 9}, dinos P(B) = ?
f 6. En el ejercicio anterior, ¿cuál es la pro-
babilidad de sacar 3, 9 ó 10?
r
'( 7, Si E = {Torres Petronas, Empire State,
torre Sears} entonces a partir de dicho
espacio muestral determina la proba-
bilidad de seleccionar las Torres Petro-
nas o el Empire State?
1 8. Veamos la localización de algunos de
los edificios más altos:
A = {USA, China, USA, USA, China}.
¿Cuál es la probabilidad de que uno
de ellos se encuentre en China?
? 9. En el experimento de lanzar cuatro mo-
nedas simultáneamente obtenemos el
siguiente espacio muestral:
A = {(c, c, c, c), (c, c, c, s), (c, c, s, c),
(c, c, s, s), (c, s, c, c), (c, s, c, s), (c, s,
s, c), (c, s, s, s), (s, c, c, c), (s, c, c, s),
(s, c, s, c), (s, c, s, s), (s, s, c, c), (s, s,
c, s), (s, s, s, c), (s, s, s, s)}.
¿Cuál es la probabilidad de obtener al
menos dos caras?
10. Los siguientes son los nombres de los
estudiantes de preescolar:
A = {María, Juan, Pedro, Martha, Lau-
ra, Vanessa, Julián, Patricia, Manuel},
¿cuál es la probabilidad de que uno
de ellos sea niña?
11. La lista de nominados al Grammy la-
tino por mejor álbum es: S = {Jagua-
res, Juanes, Juan Luis Guerra, Shaki-
ra}, ¿cuál es la probabilidad de que
lo ganen Shakira o Juanes?
12. Si tomamos los números dígitos como
espacio muestral determina un evento
que tenga una probabilidad de 0,5.
13, Una licitación para producir un do-
cumental sobre la vida de Francisco
de Paula Santander nos ofrece el si-
guiente espacio muestral: S = {TV Az-
teca (México), Televisa (México), TVE
(España), Caracol (Colombia), RCN
(Colombia)}. Determina dos eventos
diferentes que tengan probabilidad de
2
5'

30. ? 14. Si el signo de Aries va desde el 21 de
marzo hasta el 20 de abril, si sabemos
que una persona ha nacido en marzo,
¿cuál es la probabilidad de que su sig-
no zodiacal sea Aries?
f 16, Dentro de un TransMilenio Luis ha con-
tado a las personas para no aburrirse,
y vio que de 65 personas que había en
el bus 20 tenían uniforme de colegio.
¿Cuál es la probabilidad de que en di-
cho vehículo se encontraran personas
sin uniforme?
*? 15. Durante su visita a un zoológico An-
dreita vio los siguientes animales:
S = {elefante, león, oso, tigre}, men-
ciona un evento que tenga como pro-
babilidad 0,5.
17. Al levantarse Juan Pablo analiza las
opciones que tiene para ir al colegio,
si camina se demorará 30 minutos, si
va en bicicleta el tiempo será de 20
minutos y si coge buseta se demora-
rá 10 minutos. ¿Si al evento de gas-
tar 10 minutos lo denominamos E =
{10}, ¿cómo representarías el espa-
cio muestral?
Descriptor de desempeño:
/ Identificar y aplicar conceptos básicos de la probabilidad.

31. • Probabilidad y teoría de conjuntos
Los conceptos fundamentales de la probabilidad también tienen aplicación en la teoría
de conjuntos y existe una íntima relación con las técnicas de conteo de los elementos de
distintos conjuntos. Veamos:
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
P(A - B) = P(A) - P(A n B)
P(A u 8 u C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A n B) - P(A n C) - P(B n C ) + P ( A n B n C )
P(A A B) = P(A) + P(B) - 2P(A n B)
•• . . : . ' ',„.!•(•.. i ; I,Í: :
O TALLGR Probabilidad y teoría de conjuntos O o °
Llamémoslos conjuntos A, B, C y D, respectivamente:
P(A) = — = 25% P(B) = — = 30% P(C) = — = 75% P(D) = — = 70%
v
' 20 v ;
20 v ;
20 1 ;
20
Si ahora queremos conocer la probabilidad de que un edificio mida más de 400 m o tenga más
de 90 pisos tenemos:
P(AuB)^P(A) + P(B)-P(AnB)
P(AUB) = 0 , 2 5 + 0 , 3 0 - 0 , 1 5 = 0,4
/,.).> 1. ¿Cuál es la probabilidad de que uno /»» 2. ¿Cuál es la probabilidad de que uno
de los 20 edificios más altos del mun- de los 20 edificios más altos del mun-
do tenga más de 90 pisos o mida me- do tenga menos de 90 pisos o mida
nos de 400 m? menos de 400 m?
Rincón de ta historia
La probabilidad nació con los juegos de azar. A los algebristas del
Renacimiento, en el siglo XVI, como Pacioli, Cardano o Tartaglia, se
deben las primeras consideraciones matemáticas sobre los juegos de
azar y de las apuestas.

32. i/f 3. A = {estudiantes de filosofía},
n(A) = 20
8 = {estudiantes de estadística},
n(B) = 12
A n 8 = {estudiantes de filosofía y es-
tadística}, n(A n 8) = 8
Halla P(A), P(8) y P(A n 8)
Gráfica los conjuntos, teniendo en cuen-
ta la información presentada.
En grado décimo se han inscrito los
siguientes estudiantes a las prácticas
deportivas: fútbol, 28 estudiantes; bas-
quetbol, 20 estudiantes; atletismo, 22
estudiantes; fútbol y basquetbol, 12
estudiantes; fútbol y atletismo, 12 es-
tudiantes; atletismo y basquetbol, 4 es-
tudiantes; y en los tres deportes 3 es-
tudiantes. Calcula la probabilidad de
que al escoger un estudiante de grado
décimo este practique un deporte de
conjunto.
S 5. En un sindicato de trabajadores 1 8 son
únicamente diurnos y 12 solamente
nocturnos. Si el total de trabajadores es
de 36, calcula la probabilidad de que
un trabajador labore en ambos turnos.
f b. La oficina colombiana de la multina-
cional Brands Inc. tiene 36 empleados
que hablan inglés, 28 hablan francés
y 12 hablan ambos idiomas. ¿Cuál es
la probabilidad de que un empleado
únicamente hable inglés? ¿Cuál es la
probabilidad de que únicamente ha-
ble francés? ¿Cuál es la probabilidad
de que hable ambos idiomas?
f 7. Si a Martín le han encargado encon-
trar los divisores de 15 y halló los nú-
meros { 1 , 3, 5, 15} y a Alejo le enco-
mendaron encontrar los divisores de
1 8 y halló los números { 1 , 2, 3, 6, 9,
18}. Calcula si se escoge un número
al azar de los dos conjuntos, ¿cuál es
la probabilidad de que dicho número
sea divisor de 1 5 como de 1 8?
y 8. En un curso de biología avanzada 30
estudiantes son creacionistas única-
mente y 18 son evolucionistas. Si de
estos últimos 8 también son creacio-
nistas y A es el conjunto de estudiantes
creacionistas y 8 el conjunto de estu-
diantes evolucionistas, halla la proba-
bilidad de que un estudiante evolucio-
nista también sea creacionista.
43

33. S 9. Lanza un d a d o y a partir de los seis re-
sultados posibles define los siguientes
conjuntos: A = { 2 , 4, 6 } y 8 = { 5 , 6 } ,
que se determinan c o m o el número
obtenido es par y el número obtenido
es mayor que cuatro, respectivamente.
Determina:
11. Si del conjunto de edificios más altos
del mundo se escoge uno al azar, cuál
es la probabilidad de (observa el lista-
do de la página 46):
a. P(A)
b. P(8)
c. P ( A n 8 ) =
y 10. Un lote de 150 tornillos está c o m -
puesto de la siguiente forma: 70 son
de acero, 15 son de una aleación de
acero y níquel, mientras que el resto
está compuesto únicamente por ní-
quel. Si escogemos un tornillo al azar,
calcula la probabilidad de que dicho
tornillo tenga únicamente níquel.
a . Encontrarse en USA
b. Medir más de 4 0 0 m
c. Estar en Asia
el. Estar localizado en China
y 12. En un curso de 35 estudiantes se hizo
un estudio para determinar el peso de
cada uno, y estos fueron los resultados.
6 0 64 63 54 6 0 69 56 6 7
65 62 63 61 60 62 57 64
5 9 62 63 64 56 61 63 6 7
6 0 5 7 63 59 61 6 0 65 5 7
55 62 63
Si se escoge un estudiante al azar, cuál
es la probabilidad de que:
a . Pese más de 65 kg
Pese menos de 62 kg
c. Pese entre 64 y 69 kg
d. Pese entre 5 7 y 62 Kg
e . Pese exactamente 6 8 kg
t Pese 5 6 kg

34. y 13, En los grandes rascacielos hay trabaja- 6. En un campo de cultivo se siembra
dores de todo el mundo; por ejemplo,
en el Empire State el 25% de los em-
pleados hablan solo español, mientras
que el 30% habla únicamente inglés y
el 18% hablan a l e m á n . El 12% habla
español e inglés, el 9% inglés y ale-
m á n , y el 4% español y a l e m á n . ¿Cuál
es el porcentaje de trabajadores que
domina los tres idiomas?
}>»> 14. De un lote de repuestos para televisor
el 30% sirven para LCD y CRT, 40%
solo para LCD y 30% solo para CRT,
representa esta situación utilizando un
diagrama de Venn.
arroz y maíz con las siguientes proba-
bilidades 50% arroz y 60% maíz. Gra-
fícalo en un diagrama de Venn.
y 17. ¿Cuál es la probabilidad de que al es-
coger una hectárea al azar esta tenga
de los dos tipos de cultivo?
y 18. En una granja hay 65% de animales
que andan y 60% de animales que na-
dan. Si escojo un animal al azar, ¿cuál
es la probabilidad de que este sea un
pato (anda y nada)?
y 15. De acuerdo con los datos del ejercicio
anterior, ¿cuál es la probabilidad de
que al coger un repuesto al azar este
sirva para un televisor CRT?
Descriptor de desempeño:
/ Identificar y aplicar conceptos de probabilidad y teoría de conjuntos. 45

35. Pensamiento aleatorio
Regresión y correlación
La lista muestra los 20 edificios más altos del mundo en el 2008.
Edificio
Pisos Altura
Año de construcciónPuesto Edificio Ciudad
M M
Año de construcción
1 Taipei 101 Taipei 101 509 m 2004
2 Shanghai World Financial Center Shanghai 101 492 m 2008
3 Torres Petronas Kuala Lumpur 88 452 m 1998
4 Sears Tower Chicago 108 442 m 1974
5 Jin Mao Shanghai 88 421 m 1998 1
ó 2 International Finance Centre Hong Kong 88 415 m 2003
7 CITIC Plaza Guangzhou 80 391 m 1997
8 Shun Hing Square Shenzhen 69 384 m 1996
9 Empire State Building Nueva York 102 381 m 1931
10 Central Plaza
-
Hong Kong 78 374 m 1992
11 Bank of China Tower Hong Kong 72 367 m 1990
12 Bank of America Tower Nueva York 54 360 m 2008
13 Emirates Office Tower Dubai 54 355 m 2000
14 Tuntex Sky Tower Kaohsiung 85 348 m 1997
15 Aon Center Chicago 83 346 m 1973
r
~uT The Center Hong Kong 73 346 m 1998
17 John Hancock Center Chicago 100 344 m 1969
18 Rose Rotana : Dubai 72 333 m 2007
19 Shimao International Plaza Shanghai 60 333 m 2006
20 Minsheng Bank Building Wuhan 68 331 m 2007
¿Habrá alguna relación entre el número de pisos
y la altura?
Para responder la pregunta, tracemos un gráfico de relación (llamado diagrama de dispersión)
donde x será el número de pisos y y la altura. Por ejemplo, para el primer edificio, el punto co-
rrespondiente en el gráfico es (1 01, 509).

36. Observa que muchos puntos
se aglomeran; al aumentar
la longitud aumentan los pi-
sos de los edificios. La recta
roja se acerca bastante a
la mayoría de los puntos,
podríamos predecir que un
edificio de 4 5 0 m, debe te-
ner 110 pisos. Esta recta re-
cibe el nombre de recta de
regresión lineal.
5 5 0 T
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Pisos
La regresión y los análisis de correlación nos muestran cómo determinar tanto la natura-
leza c o m o la fuerza de una relación entre dos variables. La relación entre estas variables
es una ecuación lineal en este caso.
Regresión lineal
Pendiente positiva
Regresión lineal
Pendiente positiva No hay relación
La ecuación por ser lineal tiene la forma y = mx + b. Para encontrar m y b utilizamos las
fórmulas:
y ¡ ( x - x ) ( y - y ) J2y
m = , b =
E(*-*)2
m x
, x , y, es la media de x y y, n es el número
de datos.
Calculemos m y b para la recta de regresión que relaciona la altura con el número de
pisos de los 2 0 edificios más altos.
m = 10 2 5 6 , 2 = 2 Q 7 4 fa _ 7 7 2 4 - ( 2 , 0 7 4 x 1 624) _ 7 7 2 4 - 3 368,1 7 ^ 2 ] ? Q
4 9 4 5 , 2 2 0 20
Luego, la recta de regresión lineal es y = 2,074x + 21 7,8.

37. O TALL6R Regresión y correlaciono o
1» Con la recta de regresión podemos hacer algunas predicciones, por ejemplo, si desea-
mos saber qué longitud debe tener un edificio de 200 pisos, reemplazo x por 200 en la
ecuación, quedando y = 2,074(200) + 21 7,8 = 632,6 m. Determina la longitud de un
edificio que tenga el siguiente número de pisos:
a . 150 c. 198 e. 300
b. 250 d . 425 f. 264
~y
2» Con la distribución de frecuencia, construye un diagrama de dispersión y encuentra la
recta de regresión lineal.
X 12 41 93 147 204 264 373 509 773
Y 930 815 632 487 370 265 147 76 17
S 3. Los datos de la tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de 12 hombres
adultos.
X 152 155 152 155 157 152 157 165 162 178 183 178
Y 50 61 54 57 63 59 61 72 66 72 84 82
Elabora un diagrama de dispersión y encuentra la recta de regresión lineal. Según lo
anterior, ¿cuál es el peso que debe tener un hombre que mida 1 90 cm?
y 4 . La siguiente tabla relaciona el número de años de estudio y el salario mensual de diez
personas.
Años de
estudio
8 7 12 16 9 14 20 23 21
Ingreso mensual
(miles de 460 460 580 000 650 460 500 1 250 1 600 1 490 650
pesos)
Elabora un diagrama de dispersión así como la recta de regresión lineal y a partir de ella
calcula cuál será el ingreso de alguien que tenga dos doctorados (25 años de estudio).
Existe una forma de medir el grado de certeza que nos brinda la rec+a de regresión
lineal y se llama coeficiente de correlación, £e calcula de la siguiente manera:
s,2 Donde ü~2
es la varianza de la variable y, y Qe2
=
i
V(Y-Yf
n-2
r es muy
cercano a I decimos que el modelo representa fielmente la realidad, si está muy cerca
de 0 decimos que el modelo no representa la realidad y se recomienda no usarlo.

38. y 5, José es un bibliófilo (amante de los libros) y ha anotado todos los libros que ha leído con
el n ú m e r o de páginas que tiene cada uno y el tiempo que ha demorado leyéndolos.
N.° de p á g i n a s 230 320 180 237 442 105 98 189
Tiempo días 27 35 20 21 56 17 8 17
¿Existirá alguna relación significativa entre n ú m e r o de páginas y tiempo? ¿ C u á n t o de-
m o r a r á leyendo un libro de 1 400 páginas?
y 6. John Mario entra a un casino todas las noches durante una semana y relaciona el dinero
gastado y el tiempo pasado en el casino.
Dinero 25 000 12 000 35 000 18 000 5 000
Tiempo en minutos 45 30 30 25 15
¿Existe alguna relación evidente entre las dos variables? Si es así dinos cuánto tiempo
pasará en el casino si al entrar llega con $ 50 000.
y 7, En una experiencia realizada en clase de física del colegio se recogieron datos sobre
la altura desde la que se lanza un objeto y el tiempo que se demora en llegar al piso,
obteniendo los siguientes datos.
Altura m 2 5 10 15 20 50 120 150 200 1 0 0 0
Segundos 0,63 1 1,41 1,73 2 3,16 4,89 5,47 6,32 14,14
Halla la recta de regresión lineal y dinos si es representativa de los valores consignados.
y 8. Los siguientes datos se han obtenido de la historia en Colombia cada vez que se ha
realizado un censo de p o b l a c i ó n .
A ñ o 1800 1825 1843 1864 1898 1918 1964 1993
Población
miles
821,6 1221 1 6 3 4 2 327 4 172 6 120 18 338 37 422
¿Cuál es la recta de regresión lineal de esos datos? ¿Es representativa?
y '). La tabla siguiente muestra la población y tamaño de los diez países más poblados del mundo.
País
Población
millones
Tamaño
(miles km2
)
U - LS 3 "O m
n o
~o
o o
~5)
c
o
CO
147 142
O)
Z
133
9 596 3 287 9 826 1919 8 511 803 144 17 075 923 377
¿Existe una relación lineal entre el t a m a ñ o de un país y su población? ¿Cuál es el nivel
de certeza de dicha correlación?
Descriptor de desempeño:
/ Establecer el nivel de relación de dos variables diferentes utilizando la regresión lineal y el índice de correlación.

39. Aprendamos a manejar la calculadora científica
Muchas veces hemos necesitado usar la calculadora para resolver un sinnúmero de ope-
raciones y cálculos, y por no conocer bien su funcionamiento hemos tenido dificultades. A
continuación veremos cómo utilizar la calculadora para que sea de gran utilidad en lugar
de un dolor de cabeza.
Primero veamos cómo podemos realizar operaciones con números fraccionarios, para ello
utilizamos la tecla ; por ejemplo, si queremos realizar: ^ + — digitamos la siguiente
secuencia de teclas:
d/c S-VAR S-SUM d/c
•^3 ^ 2 ^1 a b / c
Como todos sabemos la secuencia de las operaciones aritméticas es la siguiente:
1. Potencias, logaritmos y raíces
2. Multiplicaciones y divisiones
3. Sumas y restas
Para poder alterar este orden podemos utilizar los signos de agrupación que son los parén-
tesis. Veamos:
Realicemos 2 + 4. Si efectuamos las operaciones sin utilizar paréntesis obtendríamos el
resultado equivocado: | | 3,333333, que obvia-
mente no es la respuesta esperada; pero si usamos los paréntesis como se indica
S-VAR
2 ) ^ 3
%
2, que es la respuesta rea
Elevemos un número al cuadrado 752
, 7 X 2
%
5 625.
Podemos calcular también otras potencias, por ejemplo: 3, 46; procedemos con el siguien-
te cálculo:
• O H %
1 544,804416.
Continuemos, ahora, calculando raíces cuadradas. Calculemos V456 digitando la siguien-
te secuencia de teclas: 1 I 21,35.

40. a — •
Pero la raíz c u a d r a d a n o es la única raíz q u e le p o d e m o s c a l c u l a r a u n n ú m e r o ; p o r e j e m -
pío, c a l c u l e m o s y/32 d i g i t e m o s : 5
SHIFT
f—• 3
S-VAR
2
%
2.2.
P r o c e d a m o s a h o r a c o n el cálculo d e l o g a r i t m o s n a t u r a l e s ; InóO,
e* e
In
....
6
Rnd
0
4 , 0 9 4 . . .
También p o d e m o s c a l c u l a r l o g a r i t m o s b a s e 1 0 ; l o g 1 0 4 5 0 , .
2 , 6 5 3 2 . . .
ResueIve Ias o p e r a c i o n e s u t i l i z a n d o tu c a l c u l a d o r a ,
4 — j - f f l — 2~j
P«l d x
b
8 3
b . 5 6 3
!
c.
4 , 6 7 í 2,62 1 0 , 5
I n 5 3
i l o g 1 0 2 7 ...^ f 1 j-..
g . 7 , 6 7 x 1 2 , 3 4
h .
111
4 0 _
!l 2!
~ j k í 4 4 I 8 4- 4- ~t -
I i
¿ 5 :
10' Rnd
log 0
_J — ~ 4 _
! • •1
'• i í~
_L—L
J i L
j :
I
— I :
:
i——r—1~
- j — — — i —

41. Matemática
Ataques terroristas
El terrorismo no es más que otra manifestación de la guerra, y
el desarrollo de algunas ramas de las matemáticas ha estado ín-
timamente ligado a las necesidades bélicas de distintos periodos
históricos. En la Antigüedad, Arquímedes desarrolló para su ami-
go y protector, el rey Hieron II, diversos ingenios mecánicos que
resultaron de gran utilidad, al menos en un primer momento, en
la defensa de Siracusa, atacada por las legiones romanas de Mar-
celo, como describe Plutarco en su obra "Vidas paralelas".
Los atentados del 11 de septiembre de 2001
fueron ataques suicidas que implicaron el
secuestro de cuatro aviones de pasajeros
por parte de 19 miembros de la red terroris-
ta Al-Qaeda. Se dividieron en cuatro grupos
de secuestradores, cada uno de ellos con un
piloto que se encargaría de dirigir el avión.
Los dos primeros aviones fueron el vuelo 11
de American Airlines y el vuelo 175 de Uni-
ted Airlines, que fueron estrellados contra
las Torres Gemelas del World Trade Center,
acción que las derrumbó en las dos horas
siguientes. El tercer avión secuestrado fue el
vuelo 77 de American Airlines, que impactó
contra la esquina del Pentágono en Virginia.
El cuarto avión, que habría sido el Vuelo
93 de United Airlines, no alcanzó ningún
objetivo, ya que los pasajeros y tripulantes
intentaron recuperar el control, por lo que se estrelló en un campo abierto, en Shanksviüe,
Pensilvania.
Aparte de los 19 secuestradores, se confirmó la muerte de 2 973 personas y unas 24 conti-
núan desaparecidas.
Este atentado se caracterizó por el empleo de aviones como armamento, lo que creó una
situación de temor mayor en el mundo occidental y originó el comienzo a la guerra contra
el terrorismo.
Competencias ciudadanas
Convivencia y paz
Analizo críticamente las decisiones, acciones y puntos de vista, que llevan a
desencadenar actos terroristas.
Participación y responsabilidad democrática
Participación y responsabilidad democrática: tomo postura y doy mi punto de
vista frente a las diferentes situaciones relacionadas con actos terroristas de gru-
pos al margen de la ley en mi país.
52

42. Matemática ciudadana
Actividades ¡
Realiza una consulta para determinar los atentados terroristas más recientes.
Comenta con tus compañeros el efecto que tuvieron estos atentados a nivel mun-
dial.
Menciona algunos atentados terroristas ocurridos en C o l o m b i a , ¿por qué crees
que pasa esto?
Una simulación del momento previo al impacto fue la siguiente:
=«iillilllll
II
111111i
mili,
su
tu
mmmmmmm
llliiiiilllimmuitilllillllllli
ninuilniiffiiiiiTtHiiiiiiiiiiii
lllllllfllllllllillflllltlllltlt
fülllifilllllllllfillltlllü
Zona de impacto
Determina el ángulo de inclinación del avión con la horizontal.
Si cada ala del avión medía aproximadamente 8 m , determina el área de la
circunferencia impactada.
Comenta y analiza el funcionamiento de la máquina de defensa de Arquímedes.
Con base en la tabla.
Atentado Ciudad Número de víctimas
Metro Madrid 192
Red del metro Londres 56
Palacio de Justicia Bogotá 100
Club El Nogal Bogotá 3 6
O k l a h o m a Center O k l a h o m a 168
Realiza un diagrama de barras y un diagrama circular. Investiga el año en q u e
ocurrió cada uno de estos atentados.

43. Prueba de unidad
Contesta a partir de la siguiente gráfica:
A _ _ _ _ 8
C
1. El área sombreada representa:
A n B n C
B. ( A u C ) n ( 8 n C ) n ( A u 8)
(A-C)n(A- 8)
(8 - A) n (8 - C) u
(C-A)n(C-B)
(AnB) n(B nC) n
( C n A ) n (A - 8)
Si A = {Edificios con acero en su estruc-
tura}, B F= {Edificios con hormigón en su
estructura} y C = {Edificios con alumi-
nio en su estructura}, la parte sombrea-
da representa:
Edificios construidos con los tres ma-
teriales.
Edificios construidos con dos de los
tres materiales.
Edificios construidos con otros mate-
riales.
5, Edificios construidos con un material.
Sobre la diferencia simétrica de conjun-
tos podemos afirmar:
Es el complemento de la intersec-
ción.
Es el complemento de la unión.
Es una operación conmutativa.
Carece de elementos.
« Si 8 = { x e l / x + 3 < 5} y
A n C = { x e I / 0 < x < 2 } , entonces:
A. A = {x G E / x > 8}
B. A = { x G E / x - 3 < 0 }
A= { x e R / x - 12 > - 1 2 }
D. A = {xeR/óx< 12}
5. Si A = {x G R / x = 2n, Vn E R} y
8 = {x e R I x = 3n, Vn e R}, entonces:
A. A n 8 = { x G l / x = 5n, Vn E R}
ArB — {xeR/x — ón, Vn £ R}
C. A n 8 = {x E R / x = n, Vn E R}
D. A n 8 = { x e R / x = n 5 , Vn e R }
Para despejar la siguiente ecuación:
4x = 1 2, usamos la:
Propiedad modulativa.
Propiedad invertiva.
Propiedad asociativa.
Popiedad distributiva.
Contesta las preguntas de la 7 a la 10
a partir de la siguiente información:
"Los lemmings son pequeños roedores que
habitan generalmente cerca del Artico. Los
lemmings del norte de Noruega tienen ci-
clos pobladonales de cuatro años, en los
cuales pasan de un estallido poblacional
a un estado cercano a la extinción, donde
únicamente sobrevive un porcentaje muy
pequeño de los individuos".
7. La palabra porcentaje hace referencia a:
El número exacto de individuos.
La proporción de individuos.
C. Cien individuos.
D. Grupos de 100 individuos.

44. Prueba de unidad
Si K = {lemmings que sobreviven} y
H = {machos que sobreviven}, pode-
mos afirmar que:
H u K = 0
B. HnK=0
( H u K ) = ( H n K)
K — H = {hembras que sobreviven}
La relación correcta entre H y K es:
K c H
H c K
HczK
10. En el momento de crecimiento de la po-
blación cada hembra en promedio tiene
cuatro hijas para la generación siguien-
te, dicha sucesión se puede representar:
S = ^ ( 4 " )
S = S,4
n 1
S = S1 + 4n
n I
S = S, x 4
n 1
Observa la siguiente sucesión:
_L _L 1
5 4 ' 1 8 ' ó " "
Es una sucesión aritmética.
Es una sucesión geométrica.
C, No se puede determinar.
No es una sucesión.
Al comienzo de una partida de ajedrez hay
20 movimientos posibles, si 1 ó de ellos
son movimientos de peón, ¿cuál es la pro-
babilidad de que la primera pieza jugada
en una partida de ajedrez sea un peón?
0,8
1,25
16
4
En la Universidad Externado de Colom-
bia hay 2 500 estudiantes de biología y
4 800 de ciencia política. Si en total se
encuentran 6 600 estudiantes en el cam-
pus, ¿cuántos toman los dos cursos?
300
800
C. 700
D. 6 600
Si tenemos A = {x € 1 / 3 < x < 12}
entonces dicho conjunto:
Tiene cota inferior.
Es acotado.
Es no acotado.
Tiene cota superior.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A O O O O O O O O O O O O O O
B C
c O O O O O O O O O O O O O O
D C