El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos. Se pide encontrar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo dado, determinar si es conexo, regular o completo, encontrar cadenas y ciclos, construir un árbol generador y aplicar el algoritmo de Dijkstra para calcular distancias.

1. Universidad "Fermín Toro"
Vice-rectorado Académico
Escuela de Computación
Ejercicios Propuestos
Estudiante:
Yoselin D. Rojas L.
C.I: 21.727.009
Asignatura:
Estructuras Discretas II
Cabudare, Junio 2012

2. Ejercicios Propuestos
Dado el siguiente grafo, encontrar:
V4 V5
V6
V8
V7
a.- Matriz de Adyacencia:
0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0
ma (G): 0 1 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 1 0

3. b.- Matriz de Incidencia:
A1 1 1 0 0 0 0 0 0
A2 1 0 1 0 0 0 0 0
A3 0 1 1 0 0 0 0 0
A4 1 0 0 1 0 0 0 0
A5 1 0 0 0 0 0 1 0
A6 1 0 0 0 0 0 0 1
A7 0 0 1 0 1 0 0 0
A8 0 1 0 0 0 1 0 0
A9 0 1 0 0 0 0 0 1
mi (G): A10 0 1 0 0 1 0 0 0
A11 0 0 1 1 0 0 0 0
A12 0 0 1 0 0 0 1 0
A13 0 0 1 0 0 1 0 0
A14 0 0 0 1 0 1 0 0
A15 0 0 0 1 0 0 1 0
A16 0 0 0 0 1 1 0 0
A17 0 0 0 0 0 1 1 0
A18 0 0 0 0 0 0 1 1
A19 0 1 0 0 0 0 0 1
A20 0 0 0 0 1 0 0 1
c.- Es conexo? Explique:
Si, porque todos los vértices se conectan por las aristas.
d.- Es simple? Explique:
Si, porque no posee ni lazos ni aristas paralelas.
e.- Es regular? Explique:
No es regular. Porque poseen grados diferentes:
Gr (v3), (v6)=6
Gr (v1) , (v2), (v7), (v8)=5
Gr (v4), (v5)=4
f.- Es completo? Explique:
No, porque todos los vértices no se conectan entre si.

4. g.- Una cadena simple no elemental de grado 6:
V1,a1,V3,a13,V6,a19,V8,a18,V7,a15,V4,a11,V3.
h.- Un ciclo no simple de grado 5:
V8,a18,V7,a17,V6,a14,V4,a15,V7,a18,V8.
i.- Árbol generador aplicando el algoritmo constructor:
Paso 1: V7; H1= V7
V7
Paso 2: selección a18; H2= {V7, V8}
a18
V7 V8
Paso 3: selección a15; H3= {V7, V8, V4}
a18
V7 V8
a15
V4
Paso 4: selección a20; H4= {V7, V8, V4, V5}
a18
V7 V8
a15
V4
V5 a20
Paso 5: selección a4; H5= {V7, V8, V4, V5, V1}
a18
V7 V8
a15
V4
a20
a4
V5
V1

5. Paso 6: selección a2; H6= {V7, V8, V4, V5, V1, V3}
a18
V7 V8
a15
V4
a20
a4 a2
V5
V1 V3
Paso 7: selección a13; H7= {V7, V8, V4, V5, V1, V3, V6}
a18
V7 V8
a15
V4
a20
a4 a2
V5
V1 V3
a13
V6
Paso 8: selección a8; H8= {V7, V8, V4, V5, V1, V3, V6, V2}
a18
V7 V8
a15
V4
a20
a4 a2
V3
a13
V2 a8
V6
j.- Subgrafo parcial:
subgrafo
V1= {V3, V4, V6, V7}
A1= {a11, a12, a13, a14, a15, a17}

6. subgrafo parcial
V2= {V3, V4, V6, V7}
A2= {a13, a14, a15, a17}
k.- Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury:
No existe una trayectoria euleriana, porque el grafo tiene más de dos vértices de orden
impar, por lo tanto “no es euleriano”.
l.- Demostrar si es hamiltoriano:
si es hamiltoriano
porque el ciclo pasa por
todos sus vértices.

7. Dado el siguiente dígrafo, encontrar:
a.- Encontrar matriz de conexión:
0 1 1 0 1 0
mc= 0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0
b.- Es simple? Explique:
Si, ya que no tiene lazos ni aristas paralelas.
c.- Encontrar una cadena no simple de no elemental de grado 5:
V2, a2, V3, a7, V5, a10, V2, a2, V3, a8, V4, a12, v6.
d.- Encontrar un ciclo simple:
V1, a5, V3, a7, V5, a10, V2, a2, V3, a8, V4, a9, V1.

8. e.- Demostrar si es Fuertemente Conexo utilizando la matriz de accesibilidad
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1
Mc=
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 1
Mc2=
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
Mc3=
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
In= 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
Acc(D)= Mc + In + Mc2 + Mc3= 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
“Es fuertemente conexo”

9. f.- Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra.
Datos para el
Calculo de Selección
pasos vértices paso a
di+I v*i+I
desarrollar
Vo*=v2
D1(v1)=+oo
Do [vo*]=o
D1(v3)=3
Do [v1]=oo
D1(v4)=4
0 V0= [v2] Do [v2]=oo VI*=V3
D1(v5)=+oo
Do [v3]=oo
D1(v6)=3
Do [v4]=oo
Do [v5]=oo
VI*=v3 D2(v1]=oo
D1[vI*]=3 D2[v4]=4
*
1 V1= [v2,v1 ] D1[v4]=4 D2[v5]=7 V2*=v4
D1[v5]=oo D2[v6]=oo
D1[v6]=3
V2*=v4
D2[v1]oo D3 [v1]=7
2 V4=[v2,v3,v2*] D2[v4]=oo D3[v5]=oo V*3=v6
D2[v6]=oo D3[v6]=6
D2[v2*]=4
V3*=v6
D3[v3*]=6 D3[v1]=oo V*5=v1
3 V3=[v2,v3,v4,v3*]
D3[v1]=7 D3[v5]=10
D3[v5]=oo
V*4=v5
4 V4=[v2,v3,v4,v6,vI] D3[V4*]=10 D4[v1]=13 V*5=v1
D3[v1]=oo
5 V5=[v2,v3,v4,v6,v5]
Las distancias son:
Dist (v2, v3)=3
Dist (v2, v4) =4
Dist (v2, v6) =6
Dist (v2, v5) =10
Dist (v2, v1) =13