Análisis numérico y manejo de errores

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
DECANATO DE INGENIERIA
ESCUELA DE MANTENIMIENTO
MECANICO
Introducción al calculo y manejo de Errores
José Timaure
C.I:24.161.253

2. Calculo Numérico y Manejo de
Errores
cálculo numérico es la rama de las
matemáticas encargada de diseñar
algoritmos para, a través de
números y reglas matemáticas
simples, simular procesos
matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo
real.

3. Número Máquina
Es un sistema numérico que consta
de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1)
de base 2. El término "representación
máquina" o "representación binaria"
significa que es de base 2, la más
pequeña posible; este tipo de
representación requiere de menos
dígitos, pero en lugar de un número
decimal exige de más lugares. Por lo
tanto esto se relaciona con el hecho
de que la unidad lógica primaria de
las computadoras digitales usan
componentes de apagado/prendido, o
para una conexión eléctrica
abierta/cerrada. Esto se comprenderá
mejor en ejemplos prácticos.
Número Máquina Decimal : Son
aquellos números cuya
representación viene dada de la
siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ...
dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo
antes descrito, se indica que las
maxicomputadoras IBM
(mainframes) tienen
aproximadamente k= 6 y –78 £ n
£ 76.

4. Método Numérico
e importancia
son técnicas mediante las
cuales es posible formular
problemas matemáticos de
tal forma que puedan
resolverse usando
operaciones aritméticas. Se
requiere de una secuencia
de operaciones algebraicas
y lógicas que producen la
aproximación al problema
matemático.
Los métodos numéricos nos vuelven
aptos para entender esquemas
numéricos a fin de resolver problemas
matemáticos, de ingeniería y
científicos en una computadora,
reducir esquemas numéricos básicos,
escribir programas y resolverlos en
una computadora y usar
correctamente el software existente
para dichos métodos y no solo
aumenta nuestra habilidad para el uso
de computadoras sino que también
amplia la pericia matemática y la
comprensi6n de los principios
científicos básicos.

5. Errores Absolutos y
Relativos
Error absoluto: Es la diferencia
entre el valor de la medida y el
valor tomado como exacto.
Puede ser positivo o negativo,
según si la medida es superior
al valor real o inferior (la resta
sale positiva o negativa). Tiene
unidades, las mismas que las de
la medida.
Error relativo: Es el cociente (la
división) entre el error absoluto y
el valor exacto. Si se multiplica
por 100 se obtiene el tanto por
ciento (%) de error. Al igual que
el error absoluto puede ser
positivo o negativo (según lo sea
el error absoluto) porque puede
ser por exceso o por defecto. no
tiene unidades.

6. Ejemplo
Medidas Errores absolutos Errores relativos
3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036
(- 3,6%)
3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003
(- 0,3%)
3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026
(+ 2,6%)
3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010
(+ 1,0%)
Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes
alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s
1. Valor que se considera exacto:
2. Errores absoluto y relativo de cada medida:

7. Cota de Errores Absolutos y
Relativos
Normalmente no se conoce p
y, por tanto, tampoco se
conocerá el error absoluto (ni
el relativo) de tomar p* como
una aproximación de p. Se
pretende encontrar cotas
superiores de esos errores.
Cuanta más pequeña sean
esas cotas superiores, mejor.
Sea f una función derivable en
I,[a, b] Í I, P la solución exacta
de la ecuación f(x)=0 y Pn una
aproximación a P.
Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, " x
Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b].
La cota del error al tomar una
aproximación de la solución
exacta, conociendo una cota
inferior del valor absoluto de la
derivada. Algunas veces, en la
práctica, la exactitud de una
raíz aproximada Pn se estima
en función de cómo satisfaga
f(Pn) = 0; es decir si el número
|f(Pn)| es pequeño, se
considera entonces Pn una
buena aproximación de P;
pero si |f(Pn)| es grande,
entonces Pn no se considera
como una buena aproximación
de la solución exacta P.

9. Error de tartamudeo
Esto ocurre cuando un proceso que
requiere un número infinito de pasos
se detiene en un número finito de
pasos. Generalmente se refiere al
error involucrado al usar sumas
finitas o truncadas para aproximar la
suma de una serie infinita. El error de
truncamiento, a diferencia del error
de redondeo no depende
directamente del sistema numérico
que se emplee.
Error De Truncamiento
"Cualquier número real
positivo y puede ser
normalizado a: y= 0,d1 d2 d3
..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n
.
Si y está dentro del rango
numérico de la máquina, la
forma de punto flotante de y,
que se representará por fl (y),
se obtiene terminando la
mantisa de y en k cifras
decimales. Existen dos
formas de llevar a cabo la
terminación.
Un método es simplemente
truncar los dígitos dk+1, dk+2,
. . . para obtener fl (y)= 0,d1
d2 d3 ..., dk, x 10 n.

10. Errores De Una Suma Y Una
Resta
En la práctica muchas computadoras realizarán
operaciones aritméticas en registros especiales que más
bits que los números de máquinas usuales. Estos bits
extras se llaman bits de protección y permiten que los
números existan temporalmente con una precisión
adicional. Se deben evitar situaciones en las que la
exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades
casi iguales o la división de un número muy grande entre
un número muy pequeño, lo cual trae como
consecuencias valores de errores relativos y absolutos
poco relevantes.

11. Estabilidad e Inestabilidad
Es aquella que hace referencia a la
permanencia de
las características de un elemento o
de una situación a través
del tiempo, de su condición de
estable o constante. La estabilidad
puede ser aplicada
como característica a determinados
fenómenos físicos así también como
fenómenos sociales, históricos,
políticos, económicos, culturales o
individuales siempre que se
mantenga la idea de constancia y
permanencia de los elementos que
componen a tal fenómeno.
Se aplica al cuerpo que es
incapaz de mantener o
recuperar su equilibrio. Se
aplica al fenómeno que sufre
continuas o frecuentes
alteraciones de sus condiciones
y características.