Análisis del movimiento relativo a través de ejes rotatorios

1. Análisis del movimiento relativo a través de ejes rotatorios
En los temas anteriores se analizó el movimiento relativo considerando un
sistema trasladante en algunos casos los sistemas mecánicos están
construidos para que sus partes se deslicen este análisis se puede hacer
con facilidad utilizando el análisis de ejes rotatorios.
La posición
𝑟 𝑏 = 𝑟𝑎 + 𝑟 𝑏/𝑎
Donde 𝑟𝑎, 𝑟 𝑏 son vistos desde el sistema de referencia fijo
El vector posición 𝑟 𝑏/𝑎 visto desde el sistema de referencia 𝑥′
, 𝑦′ sería
𝑟 𝑏/𝑎 = 𝑥′
𝑏𝑖 + 𝑦′𝑏𝑗
Velocidad
Si derivamos con respecto al tiempo se tiene:
𝑑(𝑟𝑏)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑟𝑎)
𝑑𝑡
+
𝑑(𝑟 𝑏/𝑎)
𝑑𝑡
El término
𝑑(𝑟 𝑏/𝑎)
𝑑𝑡
resulta interesante de analizar, si remplazamos a 𝑟 𝑏/𝑎 =
𝑥′
𝑏𝑖 + 𝑦′𝑏𝑗 y se deriva se obtiene:
𝑑(𝑟 𝑏/𝑎)
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥′
𝑏 𝑖 + 𝑦′
𝑏
𝑗) = 𝑖
𝑑𝑥′
𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑥′
𝑏
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑗
𝑑𝑦′
𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑦′
𝑏
𝑑𝑗
𝑑𝑡
𝑑(𝑟𝑏/𝑎)
𝑑𝑡
= (𝑖
𝑑𝑥′
𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑗
𝑑𝑦′
𝑏
𝑑𝑡
) + (𝑥′
𝑏
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑦′
𝑏
𝑑𝑗
𝑑𝑡
)
Donde los términos 𝑖
𝑑𝑥′
𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑖
𝑑𝑦′
𝑏
𝑑𝑡
representa la velocidad que
lleva el punto b visto desde el sistema móvil y 𝑥′
𝑏
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑦′
𝑏
𝑑𝑗
𝑑𝑡
representa el cambio instantáneo de los vectores base i, j
visto desde el sistema de referencia fijo donde 𝑖′
= 𝑖 +
𝑑𝑖
𝑑𝑡
y
𝑗′
= 𝑗 +
𝑑𝑗
𝑑𝑡
donde
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 1 ∗ 𝑑𝜃 por longitud de arco
𝑑𝑗
𝑑𝑡
= 1 ∗ 𝑑𝜃

2. Se puede observar que 𝑖′
= 𝑖 = 𝑗′
= 𝑗 = 1 se tiene: