Trabajo de grado desarrollo del pensamiento variacional en la construccion de secuencias geometricas y numéricas

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
Facultad de Ciencias de la Educación
Programa de Licenciatura en Matemáticas Extendida
UNIATLANTICO
Desarrollo del Pensamiento Variacional a través de la Construcción de Secuencias
Geométricas y Numéricas en las estudiantes del tercer grado
Presentado por:
Sugheidys María Velandia Pacheco
María de los Ángeles Redondo Higgins
Barranquilla, Colombia
2015

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
Facultad de Ciencias de la Educación
Programa de Licenciatura en Matemáticas Extendida
Desarrollo del Pensamiento Variacional a través de la Construcción de Secuencias
Geométricas y Numéricas en las Estudiantes del tercer Grado
Presentado por:
Sugheidys María Velandia Pacheco
María de los Ángeles Redondo Higgins
Asesor:
Luis Alberto Amín Rojas
Barranquilla, Colombia
2015

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Nota de Aceptación
_____________________________________
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_____________________________________
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_____________________________________
Firma del presidente del jurado
______________________________________
Firma del jurado
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Firma del jurado
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Barranquilla, (día, mes, año)

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DEDICATORIA
La vida es una cadena eslabonada de grandes experiencias y recuerdos, que a veces hacen
brotar de nuestro ser, lágrimas de alegría al ver nuestros sueños realizados en la claridad de la
luz.
Este trabajo que emprendimos llenas de esperanza fue un camino compartido con seres
especiales que nos alentaron a alcanzar el éxito sin dejar dormir los grandes ideales que nos
permitieron despertar cada mañana con muchas fuerzas para no claudicar.
Dirigimos nuestra gratitud ante Dios, acompañante fiel, ser supremo dueño de nuestra mente y
corazón, que nos inspiró en sabiduría y entendimiento para lograr el anhelo de convertirnos en
profesionales.
A nuestros queridos padres por enseñarnos que nuestras manos deben ser impulsadoras de
nuevos porvenires, que lo importante no es brillar como las estrellas sino hacer las cosas bien
hechas sin esperar ser recompensado o alabado.
También a nuestros hermanos, hermanas, hijos, amistades y profesores por su apoyo y entrega
absoluta, por sus oídos siempre atentos, por sus vidas que hacen parte de nuestras vidas y por
moldearnos en este proceso que nos llevará al éxito absoluto, pues supieron pulirnos como un
diamante, hasta convertirnos en una gran joya, lista para servir a nuestra sociedad.

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AGRADECIMIENTOS
A Dios por el don de la sabiduría y entendimiento, necesarios para alcanzar la meta
propuesta.
A nuestras familias en especial a nuestros hermanos, esposo e hijos, por ser nuestra fortaleza
y deseo de superación constante.
A nuestros padres, pues sin su colaboración y apoyo incondicional, no hubiese sido posible
recibir este triunfo que con anhelo, recibo y disfruto.
A todos nuestros profesores que a lo largo de esta carrera, fortalecieron nuestros
conocimientos en forma significativa, los cuales aplicaremos en la labor educativa, dejando en
alto el nombre de esta reconocida institución.
A nuestros amigos y amigas, en especial a la comunidad Hermanas Virginia Rossi, por toda
su ayuda, comprensión y apoyo, la cual fue valiosa para la preparación profesional.

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CONTENIDO
INTRODUCCION.......................................................................................................................................16
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................................................17
1.1 Descripción del problema.................................................................................................................17
1.2 Formulación del problema ...............................................................................................................21
1.3 Definición del problema ...................................................................................................................22
1.4 Justificación......................................................................................................................................25
1.5. Objetivos..........................................................................................................................................29
1.5Objetivo General.............................................................................................................................29
1.5.2 Objetivos Específicos..................................................................................................................29
2. MARCO REFERENCIAL...................................................................................................................30
2.1 Antecedentes ......................................................................................................................................30
2.2 Marco teórico.....................................................................................................................................33
2.3 Marco conceptual ..............................................................................................................................38
3 MARCO METODOLOGICO...................................................................................................................54
3.1 Paradigma de la investigación ..........................................................................................................54
3.2 Tipo de investigación.........................................................................................................................54
3.3 Etapas de la investigación ................................................................................................................59
3.4 Universo Población y muestra..........................................................................................................60
3.5 Instrumentos y técnicas de recolección de la información...............................................................61
3.6 Análisis diagnóstico...........................................................................................................................61
4. PROPUESTA PEDAGÓGICA................................................................................................................72
4.1 Titulo de la propuesta........................................................................................................................72

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4.2 Presentación .....................................................................................................................................72
4.3 Justificación.......................................................................................................................................72
4.4 Objetivos...........................................................................................................................................74
4.4.1 Objetivo General.........................................................................................................................74
4.4.2 Objetivos específicos...................................................................................................................74
4.5 Fundamentación teórica....................................................................................................................74
4.6 Plan operativo de acciones................................................................................................................77
4.7 Actos pedagógicos .............................................................................................................................79
4.8 Análisis de los resultados de la propuesta.........................................................................................82
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .....................................................................................84
5.1 Conclusiones......................................................................................................................................84
5.2 Recomendaciones...............................................................................................................................85
BIBLIOGRAFIA .........................................................................................................................................87

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Índice de tablas
Tabla 1 Estándares de Matemática (pensamiento variacional de pre-escolar - tercero)............................27
Tabla 2 Factores que impiden un aprendizaje.............................................................................................71
Tabla 3 Plan Operativo.................................................................................................................................77
Tabla 4 Resultados de datos de padres de familia ......................................................................................96

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Índice de Gráficas
Gráfica 1 El número que va en el ? es........................................................................................................63
Gráfica 2 La imagen que va en el ? es.........................................................................................................64
Gráfica 3 Escribe la figura que continúa .....................................................................................................64
Gráfica 4 Construye una secuencia a partir del patrón dado en cada caso................................................65
Gráfica 5 Coloca en orden cada listado de objetos. Escribe 1, 2, 3 y 4 para indicar el orden correcto: ....66
Gráfica 6 Pregunta del fortalecimiento del pensamiento variacional........................................................69
Gráfica 7 Ideas previas de los estudiantes..................................................................................................70
Gráfica 8 Utilización de los juegos en el proceso de enseñanza.................................................................70

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Tabla de Ilustraciones
Ilustración 1 Patrón Geométrico..................................................................................................................40
Ilustración 2 Patrón Numérico.....................................................................................................................40
Ilustración 3 Secuencias...............................................................................................................................40
Ilustración 4 Variación .................................................................................................................................44
Ilustración 5. Evidencia 1 .............................................................................................................................98

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Indice de Anexos
Anexos 1 Matriz DOFA.................................................................................................................................90
Anexos 2 Prueba Diagnóstica.......................................................................................................................92
Anexos 3 Resultados SABER.......................................................................................................................100

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UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION
PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMATICA
COLOMBIA UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO R:A:E
Desarrollo del pensamiento variacional a través de la construcción de secuencias
geométricas y numéricas en las estudiantes del tercer grado
El presente proyecto de investigación pretende mejorar el desarrollo de las habilidades del
pensamiento variacional a través de construcción de secuencias geométricas y numéricas en las
estudiantes del grado tercero del colegio Hermana Virgina Rossi.
El tipo de estudio de este proyecto se inserta en el paradigma histórico hermenéutico,
correspondiéndole una investigación de tipo cualitativo, haciendo uso sistemático de la etnografía
y de la investigación acción educativa con las cuales fue posible implementar una estrategia
innovadora que favorece el desarrollo del pensamiento variacional en las estudiantes de tercer
grado.
Esta investigación se fundamentó en las teorías de Raymond Duval, quién considera el éxito
de la realización de movimientos entre registros como un indicador del logro del aprendizaje y
que “las transformaciones semióticas y la coordinación de los registros son imprescindibles en la
actividad matemática” y la teoría de Alberto Merani, que a su vez considera necesario el
desarrollo de programas de mejoramiento de la calidad pedagógica, identificación y desarrollo
del talento e innovación de la enseñanza-aprendizaje con la vinculación de las TIC ( tecnología
de la informática y la comunicación).

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La metodología implementada permitió la participación activa de los estudiantes y su interés
en la realización de las actividades propuestas. En este la estudiante se situó como centro del
proceso y el docente un mediador entre el objeto de conocimiento propio del pensamiento
variacional y el sujeto de aprendizaje (Vigostky).
Palabras Claves: Pensamiento variacional, variación, secuencia, patrón numérico y
geométrico, cambio, enseñanza, metodología, análisis, habilidad de pensamiento, contexto,
obstáculos epistemológicos, educación de calidad, juego, construir, interpretar.

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COLLEGE OF THE ATLANTIC
FACULTY OF EDUCATION
DEGREE PROGRAM IN MATHEMATICS
COLOMBIA COLLEGE OF THE ATLANTIC R:A:E
Thinking Development Variational through Geometric Construction and Numerical
Sequences in Third Grade Students
The following investigation Project was made with the purpose to improve the development of
the abilities of the variational tought by the construction of geometric and numeric sequences on
students from 3rd
grade of the sister Virginia Rossi school.
The study tipe that dynamices the project is included in the historic hermeneutic paradigm,
corresponding to it a qualitative type investigation, making systematic use of the ethnography and
the educative-action investigation, from which was possible to implement an innovative strategy
that sides the development of the variational thought on the 3rd
grade students.
This investigation was based on the theories from Raymond Duval, who considerate the
success of the realization of movements between registers as an indicator of the achievement of
learning and the “semiotic transformations and the coordination of the registers are essential in
the mathematic activity” and the theory of Alberto Merani, who considers necessary the
development of programs to improve the pedagogical quality, identifying and development of
talent and innovation of the teaching-learning with the link of the ICT (informatics and
communication technology).
The methodology implemented, allowed the active participation of the students and their
interest in the making of the proposed activities. In which, the student was placed as the center of

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the process and the professor as a middleman between the object of own variational knowledge
and the learning subject (Vigostky).
Key words: Variational thought, variation, sequence, geometric and numeric order, change,
teaching, methodology, analysis, thought ability, context, epistemological obstacles, education
quality, games, construction, interpretation.

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INTRODUCCION
La actividad matemática del ser humano ha tenido siempre componentes, que han permitido el
desarrollo de acertijos, juegos de ingenio y una amplia gama de actividades matemáticas, por esto
en cualquier actividad matemática se presentan tres tipos de conocimiento: el declarativo, que
hace referencia al conocimiento, el procedimental, que hace referencia a los procesos operativos,
y el actitudinal o disposición para el trabajo.
Desde finales de 1996 inició un proceso de construcción participativa y de formulación de Lineamientos
curriculares para orientar la Educación matemática en el país. Estos lineamientos plantean unos antecedentes, que
de alguna manera son un punto de partida para el trabajo en nuestro contexto actual, unos referentes curriculares
que propician reflexiones acerca de la naturaleza de las matemáticas escolares, sobre la enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas y el desarrollo de los pensamientos que esta involucra (numérico, variacional, aleatorio,
métrico y espacial) para que los ciudadanos tengan un mejor desenvolvimiento en la sociedad. (Lineamientos
curriculares, nuevas tecnologías y currículo de matemática (MEN, 1999, pág. 13)
El presente trabajo pretende dar a conocer el problema de investigación desarrollado en el
colegio Hermana Virginia Rossi: DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL A
TRAVES DE LA CONSTRUCCION DE SECUENCIAS GEOMETRICAS Y NUMERICAS EN
LOS ESTUDIANTES DE TERCER GRADO.
La metodología utilizada fue activa – participativa, partió de la realización de observaciones
directas, encuestas y charlas con los estudiantes y docentes de matemática de esta institución, y
luego tomando como punto de partida la teoría recibida en la cátedra de investigación educativa
se analizaron dichas observaciones y se compararon con los estándares de educación para
identificar el problema que se quiere solucionar a través de este proyecto.

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1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Descripción del problema
La educación es un proceso situado, en el cual el contexto influye en el proceso de enseñanza
aprendizaje, por esto el medio o espacio en que se desarrolla el estudiante le da sentido y
significado a la matemática que aprende.
Los procesos matemáticos no son ajenos a las diferentes variables socio-económica, culturales,
políticas y de otro orden. Es por esto que surge el interés de investigar las causas que impiden el
desarrollo del pensamiento variacional en la construcción se secuencias geométricas y numéricas
en las estudiantes de tercer grado, para realizar una propuesta innovadora que permita la
consecución de este.
Para este trabajo de investigación se tomó como referencia el Colegio Hermana Virginia
Rossi, ubicado en la carrera 19 No. 36B – 24 Barrio San José de la ciudad de Barranquilla, es
una Institución educativa de carácter privado femenino y calendario A, que ofrece el servicio
educativo a niñas y jóvenes del sur de la ciudad, en los niveles de educación pre-escolar, Básica
Primaria, Básica Secundaria y Media Académica; en la modalidad de Bachillerato académico con
jornada única de 6:40 am – 2:00 pm.
Teniendo como marco este contexto el Colegio Hermana Virginia Rossi de Barranquilla, tiene
una "Propuesta Curricular" que intenta orientar su marco curricular en el contexto de las
circunstancias actuales, de la legislación educativa vigente: Ley 115 y Decreto 1860 del año
1994, entre otras.

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Es un colegio Salesiano con formación católica, enmarcado por un pensamiento propio de esta
religión en la que, niñas y jóvenes se les educa en forma constante, teniendo en cuenta la
integralidad de la persona, fortaleciendo sus capacidades y competencias cognitivas: educa en la
línea de la excelencia a niñas y jóvenes, capaces de discernir ética y moralmente con un
pensamiento crítico, creativo y reflexivo; desarrollado a través del modelo enseñanza para la
comprensión. El Enfoque Pedagógico de su propuesta parte de reconocer que el sujeto que
aprende (estudiante) posee capacidades y habilidades que se perfeccionan y mejoran con el
ejercicio educativo, por lo tanto, la propuesta se inscribe dentro de la pedagogía contemporánea,
específicamente teniendo en cuenta el enfoque estructural, en el cual se considera al estudiante
como el responsable de su proceso de aprendizaje.
El docente ejerce un proceso de mediación que posibilita el desarrollo cognitivo mientras que
el estudiante construye conocimientos y participa activamente. Por esto se le conoce como un
método inter-estructural. El docente tiene como propósito desarrollar Competencias; para ello la
secuencia de los conocimientos es planeada detalladamente a la luz del nivel evolutivo mental del
estudiante y del direccionamiento estratégico institucional.
La Institución cuenta con múltiples recursos didácticos como textos guías, tableros de
acrílico, tangram, fichas geométricas, video beam, entre otros.
De acuerdo a los registros de los tres últimos años de las pruebas saber el nivel educativo del
colegio es alto (ver anexos pág 100).
Para la elaboración de este trabajo de grado se aplicó una actividad diagnóstica a las 38
estudiantes del grado tercero cuyas edades oscilan entre los 7 y 8 años de edad y cuyas familias
están conformadas en su mayoría por padres casados, 10 familias viven unión libre y 7 hogares

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son separados, los dos padres se dedican a trabajar, es muy mínimo el número de madres amas de
casa. Las estudiantes pasan el tiempo de la tarde con abuelos, tíos o la empleada del servicio
doméstico.
El estrato socioeconómico que manejan las estudiantes es medio- bajo (entre estratos 2 y 3), el
36% de padres de familia son técnicos y profesionales, el 40% son bachilleres, no hay casos de
padres desescolarizados (anexos pág 96-97)
Los padres de familia demuestran ser comprometidos con la educación de sus hijas, abiertos y
receptivos a las sugerencias dadas; un 85% de padres asiste a las actividades que el colegio le
notifica, como a las escuelas de padres y reuniones, sin embargo se evidencia la falta de
asistencia a citaciones específicas que se le hacen para tratar asuntos relacionados con
desempeños académicos o convivenciales de sus acudidas.
Ahora bien, ¿Qué es el pensamiento variacional?
El pensamiento variacional según Vasco (citado por Sánchez Arturo, 2013) puede describirse
aproximadamente como una manera de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente
sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que varíen conjuntamente en forma
semejante a los patrones de cantidades de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos
recortados de la realidad.
Luego de la aplicación de una prueba diagnóstica, de la observación del desarrollo de las
explicaciones por parte del docente y del análisis de los resultados obtenidos se evidenció el
obstáculo epistemológico que presentan las niñas en la realización de las secuencias numéricas y
geométricas. Se evidenció que las niñas comprenden y desarrollan la construcción de las
secuencias con dibujos como completar detalles, identificar diferencias y semejanzas; sin

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embargo, se les dificulta comprender la realización de las secuencias numéricas y geométricas,
implicando errores al identificar los múltiplos , completar con los múltiplos de siete, identificar
la figura que sigue de acuerdo al patrón presentado, ordenar objetos de acuerdo al tamaño de
mayor a menor y viceversa, sin embargo es de anotar que el colegio cuenta con recursos
manipulables (cubos de soma, figuras de madera, etc) , sala de informática, video beam que son
escasamente utilizados para los procesos matemáticos. Es así como se ha detectado que el 45% de
las estudiantes de tercer grado del colegio Hermana Virginia Rossi presentan dificultad
operacional y gráfica para solucionar y construir secuencias geométricas y numéricas, debido a
la falta de dominio para utilizar las propiedades de los números y de las figuras geométricas.

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1.2 Formulación del problema
Los interrogantes que encaminan o iluminan la investigación son:
Pregunta Principal:
¿Qué procesos de enseñanza y aprendizaje permiten la construcción de secuencias numéricas y
geométricas para desarrollar el pensamiento variacional en las estudiantes de tercer grado del
Colegio Hermana Virginia Rossi?
Preguntas Secundarias:
 ¿Qué habilidades de pensamiento variacional median adecuadamente la construcción de
secuencias numéricas y geométricas?
 ¿Cuál sería el desarrollo y el aporte de las TIC como estrategia metodológica para la
enseñanza de las secuencias numéricas y geométricas en las niñas de tercer grado?
 ¿Cuáles son las características adecuadas que deben tener e implementar los docentes
para lograr el desarrollo del pensamiento variacional a través del aprendizaje de las secuencias
geométricas y numéricas?
 ¿Qué aporte brinda el contexto y la institución para fortalecer el desarrollo de las
competencias y el pensamiento variacional?

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1.3 Definición del problema
Desde el punto de vista del desarrollo del pensamiento cabe destacar que este no es solo
propio de la disciplina que tradicionalmente se reconoce como psicología, sino que además está
ligado a otras áreas del conocimiento que puedan explicar los procesos del lenguaje involucrados
en la construcción de ese concepto. Hoy en día, gran parte de las investigaciones que se realizan
se centran en entender los procesos mentales que están desarrollando los niños y jóvenes para que
tengan más oportunidades en su desempeño.
Desde esta perspectiva la columna vertebral de la educación matemática debe ser el desarrollo
del pensamiento, razón por la cual es necesario cuestionarnos sobre ¿Por qué enseñar a construir
secuencias geométricas y numéricas? ¿Cómo surgen las representaciones mentales, especialmente
en matemáticas? ¿Cuál es el rol de los procesos de pensamiento variacional, básicamente en el
niño? ¿Cómo se entiende y se produce el conocimiento matemático desde los enfoques cognitivos
para lograr el desarrollo del pensamiento variacional en los niños del grado tercero de básica
primaria?
Los lineamientos curriculares para el área de matemáticas publicados por el Ministerio de
Educación Nacional en julio de 1998 propenden por el desarrollo del pensamiento matemático y
de competencias en resolución y planteamiento de problemas, razonamiento, comunicación,
modelación y elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
Teniendo en cuenta lo anterior se pudo observar que las niñas de tercer grado del Colegio
Hermana Virginia Rossi presentan una gran debilidad en la construcción y descripción de
secuencias numéricas y geométricas, esto debido a que se les dificulta aplicar adecuadamente las
características de los números y figuras geométricas aprendidas en años anteriores.

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Así mismo observamos la facilidad con que se distraen durante el desarrollo de las
explicaciones impidiendo así la comprensión total y aplicación de los saberes en la construcción
de secuencias geométricas y numéricas. La docente utiliza una metodología participativa y
creativa, sin embargo algunas niñas se muestran inseguras de sus conocimientos y hacen que la
clase se convierta en una experiencia magistral en la que las estudiantes adoptan el papel de
receptores; de allí que algunas pierdan el interés y la motivación por los nuevos saberes.
La Institución cuenta con recursos tecnológicos como video beam y sala de informática,
materiales manipulables como tangrams, cubos de soma, fichas de figuras, etc. Estos permiten
despertar el interés de las estudiantes si son utilizados adecuadamente por la docente; sin
embargo en las observaciones realizadas solo eran utilizados en pequeños lapsos de tiempo.
De lo expresado, surge un gran interés por investigar las causas y consecuencias de este
problema, por lo que apoyamos nuestra investigación en tres ejes temáticos especiales: lúdica,
formulación y solución de problemas y estrategias de la informática, teniendo en cuenta que el
desarrollo del pensamiento variacional tiene como una de sus destrezas básicas, sobre todo en los
primeros niveles de escolarización, la utilización de la lúdica.
Mason (Citado por Velásquez Naranjo, 2012) afirma:
El estudio de patrones y regularidades desde la primaria se realiza a través de la movilización
de habilidades tales como: ver, decir y registrar; ya que estas habilidades no son propias de
una edad en particular y pueden incentivarse desde edades tempranas [...]. (p.16)
De esto se puede considerar que la dificultad detectada no deriva entonces de una etapa de
desarrollo en el pensamiento del niño como lo diría Piaget, sino que puede atribuirse quizá a las
estrategias metodológicas implementadas en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que para
que este proceso sea exitoso no solo debe existir dominio conceptual y fundamentación teórica

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por parte del docente, sino también, que él sea un agente motivador e innovador en cuanto a esta
interacción se refiere.

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1.4 Justificación
El presente proyecto tiene como propósito derivar de la experiencia y la investigación rigurosa
y sistemática sobre la enseñanza de las secuencias numéricas y geométricas en las estudiantes de
tercer grado del Colegio Hermana Virginia Rossi, una propuesta didáctica alternativa,
suficientemente fundamentada, tanto en el campo conceptual como en el metodológico, capaz de
promover un aprendizaje significativo en forma lúdica ( Actividades, dinámicas, aplicación de las
TIC, etc) contribuyendo a la solución de problemas concretos en la sociedad.
De esta forma, este proyecto surge como respuesta a la posibilidad de profundizar el trabajo
que permite el mejoramiento pedagógico y conceptual de los docentes, y al fortalecimiento del
desarrollo del pensamiento variacional de los estudiantes. Esto quiere decir, que se pretende
transformar el proceso que se viene desarrollando.
Desde el quehacer educativo se persigue la puesta en marcha de acciones pedagógicas globales
e interdisciplinarias que afecten la totalidad del pensamiento. Los juguetes y los juegos por su
versatilidad pueden ser utilizados en la construcción del conocimiento, siempre que se tenga en
cuenta el objetivo que se quiere alcanzar. Por esto, es satisfactorio evaluar a un estudiante por
medio de propuestas que le faciliten encontrarse con los elementos ofrecidos por sus docentes, sin
tensiones y de manera agradable.
De otra parte, hoy se considera que el pensamiento constituye la actividad mental más
importante del hombre. Por esta razón es capaz de utilizar símbolos y conceptos y emplearlos en
situaciones nuevas o diferentes. De acuerdo con lo anterior existen dos tipos principales de
pensamiento que se desarrollan mediante la matemática y son los siguientes:
 Pensamiento relacional, que enfatiza en el vínculo entre cantidades o variables.

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 El pensamiento instrumental, que abarca los cálculos, al trabajo algorítmico y la
resolución de problemas.
Los lineamientos curriculares según la resolución número 2343 de junio 5 de 1996 afirman
que: “la conceptualización por parte de los estudiantes, la comprensión de sus posibilidades y el
desarrollo de competencias les permite afrontar los retos actuales como son la complejidad de la
vida y del trabajo, el tratamiento de conflictos, el manejo de la incertidumbre y el tratamiento de
la cultura para conseguir una vida sana, por lo que consideran que otra herramienta necesaria para
iniciar el estudio de la variación desde la primaria la constituye el estudio de los patrones. Éstos
incluyen escenarios en la vida práctica como fotografías y representaciones pictóricas e icónicas.
En las matemáticas los escenarios geométricos o numéricos también deben ser utilizados para
reconocer y describir regularidades o patrones presentes en las transformaciones. Estas
exploraciones permiten, en una primera instancia, hacer una descripción verbal de la relación que
existe entre las cantidades (el argumento y el producto terminado que se lee primero) que
intervienen en la transformación. Los contextos de variación deben incluir patrones aditivos y
multiplicativos”
Los estándares básicos de competencias matemáticas seleccionan algunos de los niveles de
avance en el desarrollo de las competencias asociadas a los tipos de pensamiento matemático.

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A continuación se describen los estándares matemáticos que van del grado preescolar a
tercero:
Tabla 1 Estándares de Matemática (pensamiento variacional de pre-escolar - tercero)
ESTANDARES DE MATEMATICAS
PENSAMIENTO VARIACIONAL
PRE-ESCOLAR
 Representa gráficamente colecciones de objetos, además de nombrarlas, describirlas, contarlas y compararlas.
 Determina diferentes formas de expresar la unidad.
 Determina las condiciones para que la igualdad se cumpla.
PRIMERO – TERCERO
 Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, musical, entre otros).
 Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas.
 Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y de las figuras geométricas
Apoyándonos en la taxonomía de dominios del aprendizaje, conocida como taxonomía de
Bloom que puede entenderse como los “objetivos del proceso aprendizaje” y hace referencia a
las habilidades del pensamiento que el estudiante debe haber adquirido. En este se identifican tres
dominios de actividades educativas: el cognitivo, el afectivo y el psicomotor.
Según la taxonomía de Bloom se tienen en cuenta las siguientes categorías:
 Conocimiento: tiene en cuenta la forma como se recoge la información.
 Compresión: es la confirmación de la aplicación, entender la información, captar el
significado y trasladar los conocimientos a nuevos contextos.
 Aplicación: es hacer uso del conocimiento, de la información, utilizar métodos,
conceptos, en situaciones nuevas; solucionar problemas usando habilidades o
conocimientos.

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 Análisis: (orden superior) es dividir, desglosar, encontrar patrones, organizar las partes,
reconocer significados ocultos.
 Sintetizar: (orden superior) es reunir, incorporar, utilizar ideas viejas para crear otras
nuevas, generalizar a partir de datos suministrados, predecir conclusiones derivadas.
 Evaluar: (orden superior) es juzgar el resultado, comparar y discriminar entre ideas,
dar valor a la presentación de teorías, verificar el valor de la evidencia, reconocer la
subjetividad.

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1.5. Objetivos
1.5Objetivo General
Determinar procesos de enseñanza y aprendizaje que permitan la construcción de secuencias
numéricas y geométricas para desarrollar el pensamiento variacional en las estudiantes de tercer
grado del Colegio Hermana Virginia Rossi
1.5.2 Objetivos Específicos
 Diseñar actividades: interactivas en la sala de informática y con objetos manipulables que
permitan a las estudiantes de tercer grado desarrollar las competencias del área y el
pensamiento variacional a través de la construcción de secuencias numéricas y geométricas.
 Analizar los obstáculos de aprendizaje que generan dificultades en la construcción de
secuencias geométricas y numéricas.
 Caracterizar las mediaciones que utiliza el docente, en el aula de clases, para contribuir
con los procesos de enseñanza y aprendizaje en la construcción de secuencias geométricas y
numéricas.
 Potenciar las habilidades propias del pensamiento variacional a través de la construcción
de secuencias geométricas y numéricas para resolver situaciones prácticas planteadas en
evaluaciones periódicas y finales que permitan evidenciar el desarrollo de las competencias
matemática.

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2. MARCO REFERENCIAL
2.1 Antecedentes
Después de llevar a cabo una revisión bibliografía de los estudios realizados referentes a los
procesos de enseñanza aprendizaje, acerca del pensamiento variacional y su desarrollo en los
estudiantes del grado tercero y los conceptos relacionados con nuestra propuesta de
investigación, se destacan:
 Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006), Lineamientos Curriculares (MEN,
1998), y diferentes investigadores como Mason (1985), que conlleva al desarrollo del
pensamiento variacional y que nos induce a implementar situaciones que relacionen diferentes
procesos en la básica primaria, como un camino alterno de tener acceso al razonamiento
algebraico.
 Trabajo de investigación de la comunidad hermanos maristas en Colombia, titulado
“Juega y construye la matemática” en 1.985- 2002, esta comunidad realiza un proceso
investigativo en el cual presenta una propuesta de investigación en el campo de la didáctica de
la matemática. Tiene como propósito desarrollar el pensamiento lógico matemático y
fortalecer los valores cristianos a partir de ambientes lúdicos y computarizado, permitiendo a
los estudiantes crecer integralmente, ser competentes para reflexionar y actuar tomando como
referentes teóricos y prácticos las experiencias de los investigadores, docentes, directivos,
padres de familias y estudiantes.

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 Investigación: Pensamiento variacional: seres humanos en la visualización de
nociones variacionales realizada por JHONY ALEXANDER VILLA OCHOA &
MAURICIO RUIZ VAHOS en el que resaltan la importancia de los aspectos dinámicos de la
matemática y el papel de software en la reproducción de efectos visuales del cálculo. También
señalan que el cálculo está compuesto fundamentalmente por conceptos dinámicos, por
ejemplo: el deseo de cuantificar las cosas que cambian (el concepto de función), la razón en la
cual ellas cambian (derivada), la manera en la cual ellas se acumulan (la integral) y las
relaciones entre ellas (Teorema fundamental del cálculo y la solución de ecuaciones
diferenciales).Resaltan la importancia de los aspectos dinámicos de la matemática y el papel
de las TIC en la reproducción de efectos visuales del cálculo.
 Raymond Duval : Teoría de las representaciones. Las actividades matemáticas, según
Duval, ocurren cuando realizamos trasformaciones sobre los registros de representación, estas
representaciones externas, como enunciados en lenguaje natural, fórmulas algebraicas,
gráficos, entre otros, permiten a los individuos exteriorizar sus representaciones mentales y
lograr que los objetos matemáticos se tornen accesibles. El éxito de la realización de este
“movimiento” entre registros, es un indicador del logro del aprendizaje sobre objetos
matemáticos en estudio.
Las transformaciones semióticas y la coordinación entre los registros de representación,
también son imprescindibles en la actividad matemática, según Duval (2009). Las
transformaciones pueden ser clasificadas en dos tipos: tratamientos y conversiones. La
distinción entre esos dos tipos de registro posibilita analizar el funcionamiento del sistema
cognitivo de comprensión del sujeto.

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Duval (2009) destaca que es a través de la coordinación entre los registros lo que permite la
adquisición de conocimientos. Nos afirma que, “la comprensión de un contenido conceptual
reposa sobre la coordinación de al menos dos registros de representación, y esa coordinación
se manifiesta por la rapidez y espontaneidad de las actividades de conversión”
 Alberto Merani: Es una entidad sin ánimo de lucro creada desde hace 26 años por el Dr.
Miguel de Zubiría con el firme propósito de apoyar la investigación del aprendizaje, el
desarrollo de programas de mejoramiento de la calidad pedagógica, identificación y desarrollo
del talento e innovación en la enseñanza – aprendizaje con la vinculación de tecnologías de
información y comunicación.
Este propósito se ha cumplido durante años a través de la investigación, la innovación y el
desarrollo mediados por nuestro modelo pedagógico Pedagogía Conceptual que potencia el
desarrollo de competencias intelectuales y afectivas

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2.2 Marco teórico
El presente proyecto titulado: “Desarrollo del Pensamiento Variacional a través de la
Construcción de Secuencias Geométricas y Numéricas en las estudiantes de Tercer Grado” por
su naturaleza de ser, se sustenta en los postulados del modelo pedagógico enseñanza para la
comprensión, con influencia de otros modelos como el constructivista.
Además, se considera que debe estar orientado por los principios de globalidad (se requiere de
una acción pedagógica global capaz de afectar la totalidad de su pensamiento), integralidad (es
necesario considerar no solo el aspecto cognitivo del estudiante, sino también las diferentes
facetas de su subjetividad), lo lúdico (el acercamiento al conocimiento matemático debe
resultar placentero), reconocimiento de la diferencia (el acceso al conocimiento se debe dar desde
el nivel de sus propias elaboraciones), construcción social del conocimiento (el conocimiento se
construye en comunidades); y lo tecnológico (la construcción de conocimiento se da a través de
mediaciones tecnológicas)
Por lo anterior, se hace necesario diseñar este proyecto desde esta perspectiva sustentada en la
normatividad nacional curricular para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (MEN,
1998, 2006) que pretende fortalecer el desarrollo de las competencias y pensamientos
matemáticos a través de actividades y talleres programados con anterioridad para orientar las
acciones docentes y discentes en las aulas de clase. En los lineamientos curriculares se propone
organizar el currículo como un todo armonioso e integrado alrededor de tres grandes ejes: los
procesos de aprendizaje, estos deben estar articulados con el proceso de enseñanza, con docentes
de calidad con recursos y espacios adecuados para logra el razonamiento, la resolución y la
construcción de secuencias geométricas y numéricas.

34
El grado tercero es el último del ciclo que según el MEN va de primero a tercero, por tal
motivo las estudiantes deben evidenciar un buen desarrollo de las competencias y estándares
estipulados para dicho ciclo, para aplicarlos con acierto y seguridad en las diversas situaciones
que se le presenten.
Por ello, se considera que nuestro tema de investigación es trascendental en la formación
matemática, permitiendo el desarrollo de las habilidades cognitivas en las estudiantes de tercer
grado para resolver situaciones de la vida diaria que involucren el uso del pensamiento
variacional; este a su vez es relevante para la educación porque a través de él buscamos crear
estrategias pedagógicas metodológicas que permitan transformar el pensamiento actual de las
estudiantes sobre las matemáticas, que motiven al discente y que le permita relacionarlas con su
cotidianidad y entorno.
La fundamentación de la problemática y el desarrollo de la propuesta, se organiza en las
siguientes perspectivas de análisis: El pensamiento variacional, conceptualización y desarrollo, y
el pensamiento variacional como un asunto de juego y actividad matemática en la escuela.
¿QUÉ ES EL PENSAMIENTO VARIACIONAL Y CÓMO SE DESARROLLA?
Desde hace mucho tiempo las matemáticas son consideradas como una de las ciencias en que
el hombre aprende a pensar y buscar solución a situaciones que se le presenten para que en su
vida futura sea capaz de enfrentarse al mundo que lo rodea. Pensar es una acción mental que todo
ser humano realiza y desarrollar el pensamiento es desarrollar la capacidad de obtener, evaluar,
analizar y emplear la información de forma útil y práctica, es construir conocimiento y
comprender lo que hace.

35
A partir de lo propuesto por varios autores conocedores del tema como Vasco, (2002), Posada y
otros autores, (2006) Posada & Villa, (2006), se describe en que consiste el pensamiento
variacional:
Vasco (citado por Sánchez Arturo, 2003) afirma que el pensamiento variacional puede
describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámica, que intenta producir
mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que varíen
conjuntamente en forma semejante a los patrones de cantidades de la misma o distintas
magnitudes en los subprocesos recortados de la realidad.
Compartimos esta idea sobre el pensamiento variacional, debido a que el análisis de situaciones y
ejercicios geométricos y numéricos permite identificar el cambio que se presenta en cada caso
para reconocer el patrón dado.
Es importante identificar y saber si hay un vínculo de las condiciones de contexto en donde las
situaciones de cambio sean lo primordial en la actividad matemática, en la cual el conocimiento
se da a través de la modelación y se utilizan estrategias que involucran la creatividad, elección de
entre varias rutas o proponer otras para responder a una situación que implique el dominio de los
conceptos.
Posada et al. (Citado por Sánchez Arturo, 2013) piensa que el pensamiento variacional pone su
acento en el estudio sistemático de la noción de variación y cambio en diferentes contextos: en las
ciencias naturales y experimentales, en la vida cotidiana y en las matemáticas mismas. Se
considera que desde el punto de vista matemático existe una relación directa con los otros
pensamientos, pues la variación se encarga fundamentalmente de la modelación matemática, que
consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por su imagen matemática, la cual implementada en

36
algoritmos lógico numérico permiten estudiar las cualidades del proceso original. Este modelo de
cognición conjuga las ventajas de la teoría y del experimento.
Es por esto, que para lograr el análisis de situaciones es necesario la observación y
sistematización de patrones y regularidades, tanto numéricas como geométricas, permitiendo
alcanzar un mayor sentido cuando se estructuran desde el pensamiento variacional.
Por tal razón según el MEN, el pensamiento variacional es un eje curricular transversal a los
grados escolares y su estudio debe iniciar muy temprano en esta escolaridad, a lo que propone:
“… situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y
variación de la vida practica… [o]… el estudio de los patrones” ( MEN, 1998, P.50) como una
manera de acceder a las relaciones funcionales en donde “… emerge la función como
herramienta de conocimiento necesaria para enlazar patrones de variación entre variables y para
predecir y controlar el cambio” (P.51). Desde este punto de vista la metodología que debe aplicar
el docente debe estar vinculada con el contexto en el que se desarrolla el estudiante permitiéndole
analizar, organizar y modelar situaciones y problemas tanto de su vida practica como de la
matemática especialmente en el desarrollo del pensamiento variacional.
EL JUEGO Y LA ACTIVIDAD MATEMATICA EN LA ESCUELA PERMITEN EL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL
Por otra parte, para cualificar las actividades propuestas en este proyecto, se considera
necesario integrar al currículo desde edades temprana, actividades que relacionadas con la lúdica
y el juego permitan potencializar el razonamiento algebraico desde lo aritmético y geométrico.
Por consiguiente, se propone que mediante una secuencia didáctica basada en la realización de
talleres y juegos se permita a los estudiantes adquirir herramientas conceptuales y
procedimentales para la búsqueda de regularidades, generalizaciones, reconocimientos de

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patrones y formalización de secuencias, porque el desarrollo de este pensamiento inicia con la
observación y el análisis de regularidades, para reconocer el patrón que se repite periódicamente.
De esta manera, reconocen en que se parecen y en qué se diferencia los términos y/o figuras de
secuencias dadas, desarrollando la capacidad de establecer en qué consiste la aplicación de un
patrón y la capacidad para reproducirlo por medio de un cierto procedimiento o fórmula. Así, la
lúdica y el juego se constituyen en herramientas necesarias para iniciar el estudio de la variación
desde la primaria, pues permiten de manera creativa y agradable los estudios de las propiedades
de los números y sus operaciones y la manera como varían sus resultados a partir de un patrón
dado.
Teniendo en cuenta lo anterior, para el desarrollo del pensamiento variacional desde los
primeros niveles escolares, es apropiado la realización de actividades que permita a las niñas
analizar de qué manera cambia, aumenta o disminuye la forma o el valor en una sucesión de
figuras, números o letras, a partir del juego que es lo que más les gusta hacer a los niños de esta
edad.

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2.3 Marco conceptual
La vida de hoy se lleva a cabo en un mundo multicultural e interconectado, por esto los
sistemas educativos deben orientar la educación para el desarrollo de las capacidades,
competencias, actitudes, valores y habilidades comunicativas que cada persona posee y le permita
su desenvolvimiento en ambientes abiertos apropiándose de los grandes avances de las
tecnologías de la comunicación y la información.
Por esta razón se toma el desarrollo de este proyecto de investigación los siguientes
conceptos:
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Para una mejor comprensión de la temática en la que se centró la investigación se tuvieron en
cuenta diversos conceptos que están relacionados con las teorías mencionadas y sobre todo con
los objetivos planteados para esta propuesta de investigación. Se inició con el concepto de:
PENSAMIENTO VARIACIONAL
“El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de pensamiento
matemático (numérico, espacial, métrico, aleatorio y probabilístico) en especial a través del
proceso de modelación de procesos y situaciones naturales y sociales por medio de modelos
matemáticos
Desde la perspectiva curricular y la perspectiva didáctica, respectivamente, se presenta la
GENERALIZACIÓN DE PATRONES: como una alternativa planteada desde los Estándares
Básicos de Competencias (MEN, 2006), Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), y diferentes
investigadores, que conlleva al desarrollo del pensamiento variacional y que nos induce a
implementar situaciones que relacionen diferentes procesos en la básica primaria, como un
camino alterno de tener acceso al razonamiento algebraico el cual se define posteriormente.

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PATRON: Cosas que están ordenadas siguiendo una o varias reglas.
Como: hay un patrón en estos números: 2, 7, 12, 17, 22,... La regla es "empieza en 2 y suma 5
cada vez"
Desde la perspectiva matemática, el contenido matemático corresponde a patrones, variaciones
numéricas y producto de naturales. Con relación a los patrones y variaciones numéricas, es
importante resaltar que el reconocimiento de patrones se encuentra asociado a los procesos de
generalización y abstracción y son la base para la enseñanza de los conceptos de relación y
función, además se utiliza la multiplicación como función. Con base en esto, el uso de patrones
numéricos y geométricos se toma como punto central para la realización de este proyecto, y se
concreta en la generalización, a lo largo de un proceso que se nutre de las relaciones y funciones,
que potencializa el desarrollo del razonamiento algebraico.
“Un patrón es una propiedad, una regularidad, una cualidad invariante que expresa una
relación estructural entre los elementos de una determinada configuración, disposición,
composición. Es una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, geométricos, numéricos, etc.)
que se construye siguiendo una regla o algoritmo, ya sea de repetición o de recurrencia”
(Secretaría Técnica de Gestión Curricular, 1996).
PATRONES GEOMETRICOS: Las secuencias que utilizan figuras geométricas y
movimientos, permiten adentrarse en el reconocimiento de patrones de comportamiento o en las
regularidades que presenta la construcción de la secuencia.
http://soda.ustadistancia.edu.co/enlinea/ivanflorezFunciones/geomtrico.html

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Ilustración 1 Patrón Geométrico
PATRON NUMERICO: una lista de números que siguen una cierta secuencia o patrón.
Ejemplo: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,… Empieza con 1 y salta 3 cada vez.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/patron-numerico.html
Ilustración 2 Patrón Numérico
SECUENCIA: una lista números u objetos que están en un orden especial.
Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... Es una secuencia geométrica (cada número es 2 veces el
número anterior).
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/secuencia.html
Ilustración 3 Secuencias
Termina las secuencias. Observa las formas y colores

41
OBSTACULOS EPISTEMOLOGICOS: son las limitaciones o impedimentos que afectan la
capacidad de los individuos para construir el conocimiento real o empírico.
El individuo se confunde por el efecto que ejercen sobre algunos factores, lo que hace que los
conocimientos científicos no se adquieran de una manera correcta, lo que obviamente afecta su
aprendizaje.
http://es.slideshare.net/luciagonzalez1989/obstculos-epistemolgicos-9954408
De acuerdo a Bachelard se dan cinco obstáculos principales a saber:
 La experiencia básica o conocimientos: los individuos antes de iniciar cualquier estudio,
tienen un conjunto de ideas muy propias acerca de cómo y el porqué de las cosas son como
son, la cual hacen que las personas coloquen por delante y por encima de la crítica su poco o
mucho saber. En relación con este aspecto, al analizar la situación de los y las estudiantes en la
escuela, se observa que al tratar de comprender un concepto y explicarlo, elaboran
construcciones personales con base en lo que han observado a su alrededor y en su interacción
cotidiana con las personas que les rodean y con los medios de comunicación, como la
televisión. Se forman así conocimientos que aunque no son correctas desde el punto de vista
científico, le sirven al estudiante para comprender los conceptos estudiados. Estos
conocimientos se evidencian a través del lenguaje cuando se le pide al alumno que exprese una
definición sobre un determinado concepto. Ejemplo: Al preguntarle: ¿Qué es un cambio de
estado? Responde:" Es cuando el hielo se derrite y se convierte en agua" Aquí el niño traslada
su experiencia de lo que observó en un trozo de hielo, pero no hace explícito el concepto. Sólo
describe lo que interiorizó al hacer sus observaciones. Este conocimiento se toma frágil,
porque el niño no generaliza, sino que particulariza el concepto a un solo hecho.

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 El obstáculo verbal: se presenta cuando mediante una sola palabra o una sola imagen se
quiere explicar un concepto. Así es como hábitos puramente verbales, se convierten en
obstáculos del pensamiento científico. Se cree que "al asociar a una palabra concreta una
palabra abstracta se hace avanzar el pensamiento, cuando en realidad lo que se ha presentado
es un movimiento puro y simplemente lingüístico. En este sentido se encuentran deficientes
explicaciones de carácter metafórico:
Metáforas que se apartan de la verdad, como en los siguientes casos:
Estómago: es como un "globo".
Asteroides: son como "pelotitas".
Sol: es como un "globo de gas caliente".
A este respecto anota Bachelard: "No es tan fácil, como se pretende desterrar a las metáforas en
el exclusivo reino de las expresiones. Quiérase o no, las metáforas seducen a la razón. Son
imágenes particulares y lejanas que insensiblemente se convierten en esquemas generales". Lo
que se requiere entonces, es explicar los fenómenos complicados con un material de fenómenos
simples, como cuando se aclara una idea compleja, descomponiéndola en ideas simples. Según
Bachelard, este obstáculo es la falsa explicación lograda mediante una palabra explicativa. Una
sola palabra o una sola imagen constituyen toda la explicación del concepto.
 Conocimiento unitario y pragmático: Exponer una teoría como perfecta y única porque es
dada por un experto limita el pensamiento, se pueden construir estructuras mentales
imposibles de romper, de modo que cuando se plantea la teoría de otro autor no es aceptada.
Idealizar una teoría o crear falsas expectativas puede rayar en la perfección y puede crear
obstáculos al adquirir otros conocimientos. Según Bachelard, todas las dificultades se
resuelven ante una visión general del mundo. Este obstáculo se presenta cuando se sobre

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valoriza un tema, “semejantes arranques de admiración, de ser eficaces no harían si no
preparar valorizaciones nocivas” todo este alardeo literario no puede si no conducir a
desilusiones”
El utilitarismo plantea una serie de problemas a la hora de definir un término, pues existe la
tendencia de reducirlo y sintetizarlo de tal manera que se pretende explicar o definir un
concepto solamente mediante la idea de utilidad o beneficio. Para Bachelard: "En todos los
fenómenos se busca la utilidad humana, no sólo por la ventaja positiva que pueda procurar
sino como principio de explicación”. En estudios realizados, se pudo comprobar que los niños
tienden a darle unidad a los conceptos, y reducen su significado tomando en cuenta sólo un
aspecto de la realidad: la relación con los beneficios que generan al medio o a las personas.
 El conocimiento general: Al explicar mediante el uso de generalizaciones un concepto, se
cae, en la mayoría de las veces, en equivocaciones, porque los conceptos se vuelven vagos, e
indefinidos, ya que se dan definiciones demasiado amplias para escribir un hecho o fenómeno
y se deja de lado aspectos esenciales, los detalles que son los que realmente permiten exponer
con claridad y exactitud los caracteres que permiten distinguirlos y conceptuarlos
correctamente.
 El obstáculo animista: Los niños tienden ciertos fenómenos haciendo analogías con
naturaleza animada. "Los fenómenos biológicos son los que sirven de medios de explicación
de los fenómenos físicos. Esta característica de valorizar el carácter biológico en la
descripción de hechos, fenómenos u objetos, representan claramente el carácter del obstáculo
animista"
http://repository.unimilitar.edu.co/bitstream/10654/5008/2/CastroForeroLia2010.pdf
http://www.cientec.or.cr/exploraciones/ponenciaspdf/ArabelaMora2.pdf

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Por consiguiente, es importante que los docentes identifiquen los obstáculos epistemológicos
para que a partir de éstos se planeen los actos pedagógicos que permitan el verdadero aprendizaje.
MEDIACION:
Para Vigostky la mediación es “una operación que inicialmente representa una actividad
externa se reconstruye y comienza a suceder internamente, un proceso interpersonal queda
transformado en otro intrapersonal. En el desarrollo cultural del niño toda función aparece dos
veces: primero a nivel social y, más tarde, a nivel individual; primero entre personas –
interpsicológica – y después en el interior del propio niño – intrapsicológica -. Esto puede
aplicarse igualmente a la atención voluntaria, a la memoria lógica y a la formación de conceptos.
Todas las funciones superiores se originan como relaciones entre seres humanos”.
VARIACION:
Las variaciones se le conocen también como; arreglos, disposiciones, ordenaciones,
distribuciones.
Ilustración 4 Variación
Según los Lineamientos Curriculares: El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en
el currículo de matemáticas. El significado y sentido acerca de la variación puede establecerse a

45
partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de
cambio y variación de la vida práctica. La organización de la variación en tablas, puede usarse
para iniciar en los estudiantes el desarrollo del pensamiento variacional por cuanto la solución de
tareas que involucren procesos aritméticos, inicia también la comprensión de la variable y de las
fórmulas. Igualmente, la 25 aproximación numérica y la estimación deben ser argumentos usados
en la solución de los problemas. La calculadora numérica se convierte en una herramienta
necesaria en la iniciación del estudio de la variación.
CAMBIO: Se denomina cambio al proceso mediante el que un determinado estado de las
cosas se sucede a otro estado. A partir de esta noción básica, cada campo del saber humano
adopta un concepto de cambio que le es propia. Así, puede hablarse del uso del término en
cambio en economía, biología, filosofía, etc. Cada una de estas variantes tiene particularidades
que solo se explican en el contexto de este.
http://www.definicionabc.com/general/cambio.php
ANALISIS: Un análisis es el acto de separar las partes de un elemento para estudiar su
naturaleza, su función y/o su significado.
Un análisis es un efecto que comprende diversos tipos de acciones con distintas características
y en diferentes ámbitos, pero en suma es todo acto que se realiza con el propósito de estudiar,
ponderar, valorar y concluir respecto de un objeto, persona o condición.
Existen análisis de todo tipo y cuando se habla de esta actividad puede hacerse referencia tanto
a una práctica científica como a una social, a una que tiene un marco formal como a aquella que
ocurre en la cotidianeidad de manera informal.
http://www.definicionabc.com/ciencia/analisis.php

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El JUEGO: Piaget (1982) concibe el juego como “una actividad a través de la cual el niño
realiza un proceso de adaptación a la realidad”. Según este autor, “en la actividad de juego se
produce un desequilibrio entre procesos de asimilación (interiorización de3 la realidad en función
de esquemas mentales y de acción propios) y procesos de acomodación (modificación de
contenidos y esquemas mentales y de acción de acuerdo con la realidad), de manera que la
asimilación adquiere más importancia que la acomodación. De ahí que el juego sea interpretado
como una actividad enormemente formativa”.
LUDICA: la lúdica como experiencia cultural es una actitud, una predisposición del ser frente
a la cotidianidad, es una forma de estar en la vida, de relacionarse con ella, en “espacios” y
“ambientes” en lo que se produce interacción, entretenimiento, disfrute, goce y felicidad,
acompañados de la distención que producen actividades simbólicos e imaginarias como el juego,
la chanza, el sentido del humor, la escritura, el arte, el descanso, […], son también lúdicos.
La lúdica no es un estado, sino que es toda la existencia humana, ya que a través de los
comportamientos lúdicos el ser humano encuentra sentido a la vida, construyendo cultura y
conocimiento. La lúdica es tanto como el juego, con una finalidad, sentido, propósito enmarcado
en una lógica.
RAZONAMIENTO: El razonamiento Dentro del contexto de planteamiento y resolución de
problemas, el razonamiento matemático tiene que ver estrechamente con las matemáticas como
comunicación, como modelación y como procedimiento. De manera general, entendemos por
razonar la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una conclusión. En el razonamiento
matemático es necesario tener en cuenta, de una parte, la edad de los estudiantes y su nivel de
desarrollo, y de otra, que cada logro alcanzado en un conjunto de grados se retoma y amplía en

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los conjuntos de grados siguientes. Así mismo, se debe partir de los niveles informales del
razonamiento en los conjuntos de grados inferiores, hasta llegar a niveles más elaborados del
razonamiento, en los conjuntos de grados superiores. Además, conviene enfatizar que el
razonamiento matemático debe estar presente en todo el trabajo matemático de los estudiantes y,
por consiguiente, este eje se debe articular con todas sus actividades matemáticas. Razonar en
matemáticas tiene que ver con:
• Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones.
• Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de
problemas.
• Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos
conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos.
• Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente.
• Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más
que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/micrositios/1752/articles-322085_Pdf_6.pdf
EL RAZONAMIENTO ALGEBRAICO implica representar, generalizar y formalizar
patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este
razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y
comunicar el pensamiento algebraico, especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones.
Este tipo de razonamiento está en el corazón de las matemáticas concebida como la ciencia de los
patrones y el orden, ya que es difícil encontrar un área de las matemáticas en la que formalizar y
generalizar no sea central.

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http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/7_Algebra.pdf
METODOLOGÍA: Hace referencia al conjunto de procedimientos basados en principios
lógicos, utilizados para alcanzar una gama de objetivos que rigen en una investigación científica
o en una exposición doctrinal.
http://prontus.uv.cl/pubacademica/pubprofesores/g/pubgarciajorge/site/artic/20100317/asocfile/taller_meto
dologia_y_ciencia.ppt.
DIDÁCTICA:
 Etimológica e históricamente la didáctica lleva la idea de enseñar. El término griego que
deriva, el verbo “didaskein”, significa enseñar, instruir, explicar.
 La Didáctica no es sólo ciencia normativa sino que, además, es un sistema decisional,
como lo afirma Fernández Huerta (citado por Bernardo carrasco, 2004) puesto que las normas
didácticas, para que sean válidas, han de tener en cuenta las decisiones del propio alumno:
nadie aprende sino quiere, aunque disponga de los mejores profesores para hacerlo. En este
sentido cabría definir la didáctica como la “ciencia que estudia teorías práctico-normativo-
decisionales sobre la enseñanza”.
EDUCACION MATEMATICA: La educación matemática es un término que se refiere
tanto al aprendizaje, como a la práctica y enseñanza de las matemáticas, así como a un campo de
la investigación académica sobre esta práctica. Los investigadores en educación matemática en
primera instancia cuestionan las herramientas, métodos y enfoques que faciliten la práctica y/o el
estudio de la práctica.
http://es.wikipedia.org/wiki/Educaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

49
CUMPLIMIENTO DE TOPICOS: Es el cumplimiento de los contenidos programados por
una asignatura en la matriz de tópicos de los planes de área/ dimensiones curriculares.
Fundamentación Pedagógica
Presentamos algunos referentes teóricos, teniendo en cuenta los aportes de grandes pensadores
e investigadores, que permitieron la construcción de este proyecto:
Modelo enseñanza para la comprensión.
El modelo pedagógico Enseñanza para la comprensión (Teaching for Understanding Project) ,
es un proyecto pedagógico que nació en el marco del proyecto ZERO en la Harvard Graduate
School of Education, parte de la reflexión crítica al papel de la labor de transmisión de
conocimiento, que ubica el foco del proceso educativo en la enseñanza, esta perspectiva
tradicional, construye una visión de lo monológico desde la perspectiva de (Bajtín, 1961),
poniendo al profesor en un papel dictatorial, provisto de conocimiento, de autoridad y poder en el
escenario educativo.
Desde esta óptica, este modelo mira hacia el estudiante, lo reconoce como un sujeto con voz,
conciencia y sobre todo con inteligencia, en este viraje el sentido de la formación tiene que ver
con el desarrollo de habilidades y competencias en el estudiante, estamos hablando del concepto
de Comprensión el cual se entiende, desde Perkins (Citado por Stone, 1999). Como: “poder
realizar una gama de actividades que requieren pensamiento respecto a un tema; por ejemplo,
explicarlo, encontrar evidencia y ejemplos, generalizarlo, aplicarlo, presentar analogías y
representarlo de una manera nueva”, integrando , fundamentalmente cuatro elementos: Metas,
tópicos generativos, desempeños y valoración continua

50
En este sentido, el concepto de modelo pedagógico se configura como un reconocimiento y
reconstrucción de las voces de los sujetos que habían sido silenciados desde su propio contexto
educativo y social, con el propósito de reconocerles como sujetos dotados de conocimiento,
capaces de aportar en su propia formación y desarrollo, a partir del auto reconocimiento, también,
como una apuesta de reconstrucción de lo humano en el marco de la complejidad de lo social.
Desde esta perspectiva, se asume a la persona dotada de la acción que, a la luz de (Ferrada y
Flecha, 2008) es agente-actuante, constructora y transformadora del medio en el cual se
desarrolla y vive.
Esta reflexión, en definitiva, ha permitido entender la construcción y apropiación de un
modelo pertinente con unas condiciones sociales donde fue necesario pensar en las personas con
voz, ubicadas en un núcleo Intersubjetivo, desde la perspectiva de (Bajtín, 1961), lo que ha
permitido la formación de personas que se auto reconocen en la interacción y también reconocen
la voz del otro y de su propio colectivo, y el papel que juegan en el agenciamiento de sus propias
intenciones educativas y sociales.
El constructivismo y las matemáticas
La palabra constructivismo hace referencia al conjunto de ideas relacionadas con la
construcción del conocimiento. Según Mario Carretero “el conocimiento humano no es una copia
de la realidad, sino una construcción del ser humano”. Que la hace a partir de los conocimientos y
esquemas mentales que posee y pone actuar para ello; un esquema es una representación mental
de una situación concreta, imaginada o de un concepto, que le permite al sujeto resolver
situaciones iguales o similares. Es conveniente aclarar que “no existe una teoría constructivista
para la matemática, sino una serie de apreciaciones de orden epistemológico, psicológico y
sociocultural sobre el aprendizaje, que tiene sus raíces en las investigaciones de muchos autores y

51
escuelas de pensamiento, tales como los seguidores de la corriente Gestalt, Piaget, Wallon,
Vygotsky, Bruner, Dewey, Gagné, Ausbel y Novak, entre otros” . De este modo no podemos
hablar de la teoría constructivista en las matemáticas, pero si de un constructivismo moderado
(blando) utilizado en el desarrollo de los procesos pedagógicos realizados al interior del aula.
Pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos: El pensamiento variacional
como su nombre lo indica tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y
la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como su descripción,
modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos; ya sean verbales,
icónicos, gráficos o algebraicos. Hace relación con el reconocimiento de regularidades y
patrones, la identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia;
conceptos y procedimientos asociados a la variación directa, a la proporcionalidad, a la variación
lineal en contextos aritméticos y geométricos, a la variación inversa y al concepto de función.
También atiende el estudio de las actividades matemáticas propias de los procesos infinitos, pues
son estos los que caracterizan el campo conceptual del análisis matemático.
http://activamente.webnode.es/news/pensamiento-variacional-y-sistemas-algebraicos-y-
analiticos/
El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de
pensamiento matemático (el numérico, el espacial, el de medida o métrico y el aleatorio o
probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias, involucra
conceptos y procedimientos ínter estructurados y vinculados que permiten analizar, organizar y
modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre,
como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como

52
sustrato de ellas.
Principios que orientan la enseñabilidad de la matemática
La enseñanza de la matemática debe partir de un principio general según el cual debe estar
orientada a propiciar el desarrollo del pensamiento para que el estudiante llegue a la comprensión
de los conceptos que se le enseñan como consecuencia de su capacidad para establecer las
relaciones lógicas implicadas en ellos. De este principio general se derivan otros:
Principio de globalidad
Este principio indica que la tarea de ayudar a un estudiante en la construcción conceptual se
requiere de una acción pedagógica global, capaz de afectar la totalidad de su pensamiento. Esta
acción debe estar conectada con aspectos del pensamiento estrechamente ligados al concepto
particular que se desea ayudar a construir, y extenderse a otros que se relacionan.
Principio de integralidad
De acuerdo con este principio es necesario que el estudiante sea considerado no solo como un
ser pensante, sino que sea reconocido también como:
 Hacedor, puesto que hace uso de su cuerpo y utiliza instrumentos para obtener fines.
 Comunicador, ya que recurre al lenguaje para comunicarse: comunica ideas y también su
concepción del mundo.
 Un ser con historia, es decir, con intereses, afectos, sentimientos, con capacidad de hacer
valoraciones. En conjunto estos factores determinan sus formas de relacionarse con ese objeto
de conocimiento que es la matemática y con los otros que lo acompañan en el proceso de
conocer.
Principio de reconocimiento de la diferencia
Enseña que es necesario que el estudiante acceda al conocimiento desde el nivel de sus propias

53
elaboraciones y desde lo que él es como persona.
Juega y construye la matemática. Página 94-95. Ediciones Maristas 2013

54
3 MARCO METODOLOGICO
3.1 Paradigma de la investigación
Este proyecto de investigación fue realizado desde la utilización de un paradigma Histórico
Hermenéutico, puesto que, este nos permite realizar un análisis comprensivo e interpretativo del
contexto para determinar dificultades que presentan las estudiantes de tercer grado, del Colegio
Hermana Virginia Rossi sobre la construcción de secuencias geométricas y numéricas y las
estrategias que los docentes emplean para abordar los diferentes tipos de pensamiento, en especial
el variacional, esto a partir de encuestas y entrevistas a un grupo de estudiantes y docentes, para
luego sugerir un tratamiento novedoso que permita brindar un aporte al problema en estudio
permitiendo el mejoramiento del desempeño de los estudiantes en la resolución de problemas que
impliquen variación y cambio, referidos a deducciones de patrones de cambio, interpretación de
los cambios a través de gráficas, identificación de los patrones, cálculo de la magnitud
desconocida, y la elaboración de modelos.
Además, este paradigma de investigación permitirá analizar el pasado y el presente para dar
las posibles soluciones a problemas en un futuro, esto a través de la descripción, interpretación y
análisis del contexto en mención.
3.2 Tipo de investigación
La forma en que se desarrolla esta investigación es cualitativa con el propósito de analizar los
diferentes obstáculos de aprendizaje y determinar las dificultades que presentan las estudiantes
de tercer grado del Colegio Hermana Virginia Rossi en cuanto a la construcción de secuencias

55
geométricas y numéricas para lograr el desarrollo del pensamiento variacional, esto con el
paradigma histórico hermenéutico, que permite un análisis interpretativo de los resultados
arrojados en esta investigación, puesto que esto “es un método de estudio y acción de
tipo cualitativo que busca obtener resultados fiables y útiles para mejorar situaciones colectivas,
basando la investigación en la participación de los propios colectivos a investigar. Así, se trata de
que los grupos de población o colectivos a investigar pasen de ser “objeto” de estudio a “sujeto”
protagonista de la investigación, controlando e interactuando a lo largo del proceso investigador
(diseño, fases, evolución, acciones, propuestas,...), y necesitando una implicación y convivencia
del personal técnico investigador en la comunidad a estudiar”, en este caso el objeto de estudio
son los estudiantes y su desarrollo del pensamiento variacional.
Este proyecto de investigación se llevará a cabo mediante la aplicación del modelo
pedagógico implementado en el Colegio Hermana Virginia Rossi que es la Enseñanza para la
Comprensión (Epc), que se caracteriza por basarse en el desarrollo de competencias y
desempeños, asociados con las teorías constructivistas e implementado desde la década de los
noventa en el proyecto zero de la universidad de Harvard.
Para referirnos a enseñanza para la comprensión, es necesario tener claro qué se entiende por
“comprender”. Perkins afirma que “comprender es la habilidad de pensar y actuar con
flexibilidad a partir de lo que uno sabe”; al igual que Stone, define la comprensión como la
capacidad de usar el propio conocimiento de maneras novedosas”; en palabras de Perkins, “la
capacidad de desempeño flexible”
En el ámbito escolar podemos reconocer la comprensión cuando los estudiantes son capaces
de ir más allá de la memorización y son capaces de utilizar los conocimientos en la resolución de
situaciones problemas tanto escolares como de la vida diaria.

56
En este tipo de enseñanza no se trata de desmeritar el apoyo de la memorización y la rutina, así
como el aprendizaje de hechos por sí mismos, ya que constituyen un factor importante en el
aprendizaje para la comprensión; pero comprender exige algo más.
Según Perkins, los principios generales de la “enseñanza para la comprensión” son:
 El aprendizaje se produce por medio de un compromiso reflexivo en el que los
desempeños de comprensión se presentan como un desafío.
 Los nuevos desempeños de comprensión se construyen a partir de los saberes previos de
los estudiantes y la nueva información ofrecida por el entorno institucional.
 Aprender un conjunto de conocimientos y habilidades para la comprensión exige una
cadena de desempeños de comprensión de variedad y complejidad creciente.
“Una enseñanza de calidad se organiza en torno de Tópicos Generativos, es decir, temas
centrales de la disciplina que apasionan al docente y que son motivadores o interesantes para la
formación del estudiante. En nuestro caso los ejes temáticos y núcleos problemáticos y núcleos
problemáticos cumples esa función.
La formulación de los tópicos generativos parte del hecho de que los docentes deben
seleccionar la materia y ajustar la forma del currículo, para responder a las necesidades de un
grupo de alumnos específico. Estos varían según la edad, los contextos sociales y culturales,
intereses personales y la formación intelectual de los estudiantes.
Hilos de Conductores: Son elementos que abarcan las etapas de un curso, atravesando los
saberes y permitiendo dar respuesta al tópico generador de manera interdisciplinaria. Ellos
especifican las comprensiones más importantes que deberían desarrollar los estudiantes. Los hilos

57
conductores son aquellos cuestionamientos que plantea cada uno de los saberes en las distintas
fases de trabajo (indagación e interpretación, argumentación y proposición).
Ellos son ideas centrales para una o más disciplina, resultan atractivos para los alumnos,
despiertan el interés del docente, son accesibles por la gran cantidad de recursos que permiten al
estudiante investigar los tópicos.
La enseñanza para la Comprensión se organiza alrededor de metas de comprensión. Las
metas expresan experiencias basadas en actividades que el estudiante debe hacer públicas o
comunicables a los otros (docentes y compañeros), es lo que el docente pretende que los alumnos
lleguen a comprender. Las metas de comprensión son planteadas con oraciones que empiezan con
las expresiones “los alumnos valoraran…” o “los alumnos comprenderán…”, que ayudan a
definir de forma específica las ideas, los procesos, las relaciones o preguntas que los alumnos
comprenderán por medio de su indagación.
Las metas de comprensión son más útiles si se las exhibe públicamente y se definen en forma
explícita, cuando están centradas en conceptos claves y modalidades de indagación importantes
en la materia.
La enseñanza para la comprensión se organiza en torno a desempeños de comprensión, es
decir actividades que suponen pensar y actuar con el conocimiento, y dan muestra de los
aprendizajes o comprensiones del estudiante.
En los desempeños de comprensión los estudiantes reconfiguran, expanden, extrapolan y
aplican lo que ya saben
La evaluación de los procesos debe ser continua, referirse a las metas y desempeños de
comprensión que son explícitos par el docente y los estudiantes. Cuando el propósito de la
instrucción es la comprensión, el proceso de valoración es más que una evaluación: es una parte

58
importante del proceso de aprendizaje y debe contribuir significativamente al mismo. Las
valoraciones que promueven la comprensión (más que simplemente evaluarla) tienen que ser algo
más que un examen al final de una unidad. Estas valoraciones permiten que docente y alumno
conozcan que se ha comprendido y, a partir de ello orienta los pasos siguientes de la enseñanza y
del aprendizaje”
Las fases en que se desarrollan las clases en el modelo enseñanza para la comprensión son:
Desempeño Inicial
En esta fase de la clase se realiza una actividad motivadora que permita evidenciar los saberes
previos de los estudiantes y que al mismo tiempo sirva de enganche para recibir los nuevos
conocimientos. Esta es la parte más importante de la clase ya que de la motivación que el niño
tenga depende el interés que este demuestre por aprender.
Investigación Guiada
En esta parte de la clase se desarrolla el tópico o tema que se va a enseñar, aquí partiendo de
una lectura o de una consulta se inicia el proceso de enseñanza, donde a partir de preguntas y
actividades los estudiantes construyen el concepto. El papel del docente es de guía, orientador y
motivador del proceso.
Desempeño final
Este es el último momento de la clase y en él se evidencia y verifica a través de actividades
lúdicas, talleres, ejercicios y producciones orales y/o creativas el nivel de comprensión del tópico
desarrollado. Es característica importante de esta fase hacer siempre la retroalimentación de las
actividades realizadas para aclarar las dudas y afianzar los conocimientos adquiridos.

59
3.3 Etapas de la investigación
En la presente investigación se llevaron a cabo los siguientes procesos:
 Diseño de técnicas e instrumentos de recolección de la información: en esta fase se
elaboró un taller diagnóstico para los estudiantes (anexos pág 91-93), se diseñó una entrevista
para los docentes (pág 94) y se tuvieron en cuenta ciertas situaciones observadas y descritas en
el diario de campo.
 Aplicación de las técnicas e instrumentos: se le aplicó el taller a todos las estudiantes de
tercer grado del colegio Hermana Virginia Rossi para indagar las dificultades que presentan,
en cuanto al desarrollo del pensamiento variacional en lo que se refiere a la construcción de
secuencias geométricas y numéricas (anexos pág 92-94). De igual forma se le aplicó a los
docentes de matemática de la institución la entrevista (anexos pág 95) para conocer qué tipo de
actividades consideran ellos pertinentes para el desarrollo de este pensamiento. Por último, se
analizan las situaciones relevantes observadas en las clases y las descritas en el diario de
campo para dar con las posibles causas del problema.
 Análisis e interpretación de la información recolectada: en esta fase se hace el
diagnóstico y el análisis de los resultados arrojados por la aplicación de las técnicas e
instrumentos mencionados anteriormente, todo esto sintetizado en gráficas de barra, que
permite una mejor interpretación de los datos. Posteriormente se sacaron las conclusiones y
recomendaciones que darían posibles soluciones al problema en mención.
 Diseño de la propuesta: en esta fase se elaboraron las estrategias didácticas que
contribuyen a superar las dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado, del

60
Colegio Hermana Virginia Rossi, en cuanto a la construcción de secuencias geométricas y
numéricas para lograr el desarrollo del pensamiento variacional.
 Validación e Implementación de la propuesta: durante esta fase los estudiantes de
tercer grado, del Colegio Hermana Virginia Rossi, fortalecen su análisis e interpretación en
cuanto al desarrollo del pensamiento variacional a través de la construcción de secuencias
geométricas y numéricas, mediante la realización de las actividades diseñadas en la propuesta
didáctica.
 Elaboración del informe final: Esta fase se sistematiza y analiza todo el proceso
desarrollado en el proyecto de investigación.
3.4 Universo Población y muestra
Universo
En esta investigación se tomó como universo, las quinientas cincuenta estudiantes del Colegio
Hermanas Virginia Rossi, de la ciudad de Barranquilla, y el cuerpo docente en el área de
matemáticas de la institución conformado por cuatro licenciados con asistencia permanente.
Población
En esta investigación, se trabajará específicamente con las estudiantes de tercer grado, treinta
y ocho (38), las cuales servirán como objeto de estudio.
Muestra
Para poner en práctica la estrategia a utilizar, se trabajará con las estudiantes de tercer grado,
treinta y ocho (38) las cuales servirán como objeto de estudio.

61
3.5 Instrumentos y técnicas de recolección de la información
Para la realización de este proceso investigativo se implementaron técnicas como
observaciones, taller y encuesta apoyadas en instrumentos como: guía de observación,
cuestionarios y evaluaciones escritas realizadas a estudiantes y docente del área.
3.6 Análisis diagnóstico
A continuación se presenta un análisis cualitativo en el cual se incluyen técnicas estadísticas
usando el estudio de frecuencias simples propias de las investigaciones utilizadas en este trabajo,
de tal manera que se obtenga un estudio más detallados de los instrumentos aplicados.
Observaciones a estudiantes
A continuación se mencionan los aspectos más relevantes apreciados en las observaciones a
las estudiantes:
 No todas las estudiantes emplearon el tiempo asignado para desarrollar el taller por el
contrario se dedicaron a realizar otras actividades como hablar o hacer preguntas fuera de lo
común.
 Algunas estudiantes que desarrollaban el taller mostraron interés por terminar en forma
rápida sin tener en cuenta si lo habían hecho en forma acertada.
 La gran mayoría de las estudiantes se percibieron interesadas en saber el por qué de la
aplicación del taller, sin embargo, no le dieron la importancia suficiente.
 Algunas estudiantes se evidenciaron receptivas a las orientaciones para realizar el taller,
sin embargo les faltó atención y concentración en la realización de los ejercicios propuestos.

62
 Todas las estudiantes no interpretaron correctamente los enunciados de los ejercicios
propuestos, sin embargo argumentaron el empleo de algunos patrones geométricos y
numéricos y propusieron estrategias de soluciones adecuadas para dichos ejercicios.
 Las estudiantes escogidas al azar por la docente iniciaron la socialización de los ejercicios
que les indicaban en el taller.
 Una estudiante que socializó algunos ejercicios no supo interpretar la secuencia
presentada y por tal motivo no pudo completarla correctamente.
 A determinadas estudiantes se les invitó a identificar los múltiplos de algunos números a
través de la interpretación y análisis de ejercicios. Sin embargo la mayoría logró identificarlos
a simple vista y acertaban después de mencionarlo.
 Algunas estudiantes expresaron que no realizaban los ejercicios porque no entendían la
temática.
Análisis
El comportamiento evidenciado en las estudiantes fue constantemente bueno, ellas mostraron
interés por realizar el taller paso a paso tal como se les indicó, teniendo en cuenta las
orientaciones de la docente. Posteriormente ellas expresaban que los errores presentados se
debían a la falta de análisis y de observación detallada de los ejercicios para aplicar los
conocimientos que tenían sobre esos temas. El 60% de las estudiantes argumentaron lo hecho en
los ejercicios, las operaciones empleadas y propusieron estrategias como: observar y analizar las
figuras y números para identificar el patrón y poder completar y construir secuencias geométricas
y numéricas con seguridad y acierto. Sin embargo las estudiantes presentaron dificultad para
ordenar según el tamaño, identificar la figura que sigue y construir las secuencias a partir de los
patrones dados; debido a razones de tiempo por el cumplimiento de tópicos de la institución

63
estos tópicos no fueron profundizados ni mecanizados en la medida que era necesaria para que
los dominaran y no mostraran dudas en el momento de analizar los ejercicios propuestos.
Resultados de la actividad diagnóstica a los estudiantes.
Luego de aplicar la actividad diagnóstica a las 38 estudiantes se evidenciaron los siguientes
resultados:
Gráfica 1 El número que va en el ? es
44
46
48
50
52
54
EL NUMERO QUE VA EN EL ?
Correcta
Incorrecta
53%
47%
El 53% de las niñas que corresponde a 20 estudiantes, respondió en forma correcta,
identificaron los múltiplos de 3, sin embargo el otro 47% correspondiente a 18 estudiantes
evidenciaron dificultad para completar la secuencia dada. Esto se debe a la dificultad para aplicar
la propiedad de los números “ser múltiplo de”, porque el año anterior por cuestiones de tiempo
las niñas no se aprendieron correctamente las tablas de multiplicar. La docente no le destinó el
tiempo necesario para lograr el dominio de estas; de allí que los resultados se vean reflejados este
año en la aplicación de los tópicos vistos.

64
Gráfica 2 La imagen que va en el ? es
0
10
20
30
40
50
60
70
LA IMAGEN QUE VA EN EL ? ES:
Correcta
Incorreca38%
62%
El 38% de las niñas (14) respondieron en forma acertada, pues señalaron la imagen de la carita
feliz, pero no tuvieron en cuenta los detalles como la forma de la nariz y las cejas. El otro 62% lo
hizo en forma incorrecta, esto es una muestra de la falta de observación e identificación de
detalles al momento de construir una secuencia geométrica. Esto debido a que los docentes no
reconocieron el obstáculo epistemológico: peligro de la explicación por la utilidad, por lo que las
niñas no le dan la importancia necesaria y esto hace que no se interesen por aprender bien los
tópicos trabajados.
Cabe destacar que en este estilo de ejercicios juega un papel importante la concentración y la
atención para responder en forma acertada.
Gráfica 3 Escribe la figura que continúa
0
20
40
60
80
100
Ejercicio 1 Ejercicio 2
FIGURA QUE CONTINUA
Correcta
Incorrecta
83%
17%
87%
13%

65
En el primer ejercicio de los propuestos se evidenció que el 83% equivalente a 31 estudiantes
respondió en forma acertada de forma similar en el ejercicio 2 el 87% equivalente a 33
estudiantes mostraron su habilidad para completar secuencias con figuras geométricas, gracias a
que reconocen las características de estas permitiéndoles identificar con acierto la figura que
seguía. Además en esta grafica se observa que en el ejercicio1 17% y en el ejercicio 2 el 13% de
las niñas cometieron errores debido a que les falta dominio de las características de las figuras ya
que en la Institución se llevan a cabo actividades extra curriculares que gastan tiempo que puede
ser aprovechado para lograr el dominio de estas temáticas, a esto le agregamos posiblemente
porque no analizaron bien la secuencia presentada o por falta de atención y concentración al
momento de realizar la actividad.
Gráfica 4 Construye una secuencia a partir del patrón dado en cada caso
0
20
40
60
80
100
Patrón 1 Patrón 2 Patrón 3
CONSTRUYE UNA SECUENCIA
Correcta
Incorrecta
88%
12%
50% 50%
30%
70%
Con el primer patrón se evidenció que el 88% de las niñas (33) construyó en forma acertada la
secuencia propuesta, pues desde grados anteriores realizan ejercicios de este estilo y ahora lo
consideran como un juego. El otro 12% cometió errores en la colocación de las flechas, estas
niñas se mostraron inseguras cuando realizaron el ejercicio y pidieron a la docente que las
orientara para poder realizarlo evidenciándose el obstáculo epistemológico de la experiencia
básica o conocimientos.

66
En el ejercicio dos el 50% de las niñas lo hizo en forma correcta y el otro 50% cometió errores
debido a que les falta dominio del concepto “ser múltiplo de”, pues de eso se trataba el ejercicio.
Para nadie es un secreto que algunas niñas del grado tercero presentaron dificultad para
aprenderse las tablas de multiplicar en el grado segundo debido a que la docente por presentar el
formato de cumplimiento de tópicos no hizo la mecanización necesaria para que lograran el
dominio de las propiedades de los números y esto repercute en la aplicación de esos conceptos
previos para lograr resolver las situaciones que se les plantean.
El ejercicio tres fue el que por los resultados obtenidos, se puede asegurar les costó más
trabajo realizar, solamente el 30% de las niñas (11) lo hizo en forma acertada, esto es muestra de
la necesidad de fortalecer la construcción de secuencias de este tipo. Las niñas confunden las
direcciones de las flechas y terminan haciendo el ejercicio en forma equivocada.
Gráfica 5 Coloca en orden cada listado de objetos. Escribe 1, 2, 3 y 4 para indicar el orden correcto:
0
20
40
60
80
Secuencia A Secuencia B Secuencia C Secuencia D
ORDEN EN LISTADO DE OBJETOS
Correcto
Incorrecto40%
60%
37%
63%
40%
60%
30%
70%
Por los resultados evidenciados en la gráfica se puede concluir que este tipo de ejercicios es más
complejo para ellas, pues aquí deben analizar, comparar, argumentar y concluir, características
propias del pensamiento variacional, que es el centro de interés de este proyecto.

67
En los ejercicios A y B que consistía en ordenar objetos de acuerdo al tamaño se obtuvo un
40% y 37% respectivamente, es decir, 16 y 14 niñas con respuestas correctas mientras que en los
ejercicios C y D se obtuvo un 40% y 30% equivalente a 16 y 26 niñas con respuesta correcta,
evidenciándose así la gran necesidad de fortalecer el desarrollo del pensamiento variacional a
través de la construcción de secuencias geométricas y numéricas. En los ejercicios propuestos en
estas secuencias las niñas presentaron el obstáculo epistemológico del conocimiento general
porque los conceptos para ella se vuelven vagos e indefinidos y se les dificulta exponer con
claridad y exactitud los detalles que permiten distinguirlos y conceptuarlos correctamente.
Observación a docentes
Estos son los aspectos más relevantes percibidos en las observaciones a la docente:
 Se evidenció control de la disciplina por parte de la docente durante la socialización del
taller, permitiéndole motivar e invitar a todas las estudiantes a participar en la socialización de
este.
 La docente realizó una explicación personalizada a las estudiantes que estaban más
atrasadas en la realización del taller porque no tenían clara la temática.
 La docente hizo énfasis en la importancia de la interpretación de los ejercicios
propuestos.
 La docente hizo una breve explicación de cómo interpretar, argumentar y proponer
soluciones a los ejercicios propuestos.
 La docente aclaró ciertos aspectos u obstáculos de aprendizaje al presentarse una
discusión acerca de la secuencia de acuerdo al tamaño de los objetos indicados.

68
Análisis
La docente empleó estrategias que motivaron a las estudiantes para la realización del taller.
Constantemente supervisó el trabajo realizado por las niñas, aclarando las dudas de como hallar
el patrón de una secuencia, como identificar los cambios y dificultades que se iban presentando
a medida que eran dadas las indicaciones.
De esta forma se pudo detectar algunas de las causas por las que las niñas cometen errores en la
construcción de secuencias geométricas y numéricas, como la falta de dominio de conceptos
básicos de las propiedades de los números y características de las figuras, la falta de
concentración y análisis en la interpretación y realización de las actividades propuestas,
Resultados de la Encuesta a los docentes.
El 100% de la comunidad educativa manifestó un gran interés en el desarrollo de este
proyecto de investigación, mostrando una actitud de mediadores para el buen manejo de las
actividades a gestionar en proyecto y el éxito del mismo.
Pese a los años de experiencias pedagógica de los docentes, estos solo implementan estrategias
encaminadas a las temáticas desarrolladas y no al fortalecimiento del pensamiento variacional,
esta realidad que se describe nos permite decir que la enseñanza para la compresión es mínima,
no presentan actividades lúdicas tales como: juego de cartas, domino y actividades que despiertan
la motivación sobre las temáticas etc.
En cuanto al fortalecimiento del pensamiento variacional los docentes manifestaron conocer
de la existencia de estas actividades, sin embargo argumentan no implementarlas debido al
tiempo disponible para el desarrollo de los contenidos programados para llevar a cabo el plan de
área que requiere la institución, pues ello deben responder a un formato de cumplimiento de
tópicos en cada periodo.

69
 ¿Considera usted que es necesario fortalecer el pensamiento variacional de los educandos?
Justifique su respuesta.
El 100% de los educadores manifiestan que si es necesario potenciar el pensamiento
variacional de los educandos; ya que, este les permite razonar mejor, tener una visión más crítica
y analítica de diversas situaciones propias de su entorno permitiendo que los niños y jóvenes en
su proceso de aprendizaje hagan uso de la lógica deductiva, inductiva y abductiva.
Gráfica 6 Pregunta del fortalecimiento del pensamiento variacional
0
20
40
60
80
100
FORTALECIMIENTO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL.
De acuerdo
Desacuerdo
100%
 ¿Tiene en cuenta las ideas previas de sus estudiantes al momento de iniciar la clase?
Justifique su respuesta.
Para los cuatro docentes de matemáticas de la Institución es importante que en el desarrollo
de los eventos pedagógicos se tenga en cuenta las ideas previas de los dicentes, sobre todo por el
modelo pedagógico que se emplea en la Institución; sin embargo expresaron que en algunas
ocasiones el tiempo destinado a las clases no alcanza y algunas temáticas no permiten que los
estudiantes expresen sus conocimientos previos, limitando el proceso de construcción del
conocimiento; lo cual hace que el proceso educativo se aleje de la enseñanza para la
comprensión.

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