El documento resume la historia del análisis numérico desde los babilonios en el 2000 a.C. hasta el desarrollo de las computadoras electrónicas de alta velocidad después de la Segunda Guerra Mundial. También describe los dos tipos principales de métodos numéricos, los métodos iterativos que usan aproximaciones sucesivas para acercarse a una solución, y los métodos directos que calculan una solución exacta en un número finito de pasos.

1. Datos Históricos
• La historia del análisis numérico data de los tiempos antiguos. Los
babilonios, 2000 años a. C. compusieron tablas matemáticas. El famoso
astrónomo Alejandrino Claudio Ptolomeo (aprox 150 d. C.) poseía unas
efemérides babilónicas de eclipses que databan del año 747 a. C.
Arquímedes, en el año 220 a. C., usó los polígonos regulares como
aproximaciones del círculo y dedujo las desigualdades 7 1 71 10 3 < π < 3 . El
trabajo de cálculo numérico desde entonces hasta el siglo XVII fue centrado
principalmente en la preparación de tablas astronómicas. El advenimiento
del álgebra en el siglo XVI produjo una renovada actividad en todas las
ramas de la Matemática, incluyendo el análisis numérico.

2. • En 1614, Neper publicó la primera tabla de logaritmos, y
en 1620, los logaritmos de las funciones seno y tangente
fueron tabuladas son siete cifras decimales. Hacia 1628
habían sido calculadas tablas de logaritmos con catorce
decimales de los números 1 al 100,000. El cálculo en
series empezó a florecer hacia fines del siglo XVII, con el
desarrollo del cálculo. A principios del siglo XVIII Jacob
Stirling y Brook Taylor sentaron los fundamentos del
cálculo de diferencias finitas, que ahora desempeña un
papel central en el análisis numérico. Con la predicción
de la existencia y la localización del planeta Neptuno por
Adam y Leverrier en 1845, la importancia científica del
análisis numérico quedó establecida de una vez y para
siempre. A fines del siglo XIX, el empleo de las máquinas
de cálculo automático estimuló más aún el desarrollo del
análisis numérico. Tal desarrollo ha sido explosivo desde
la terminación de la Segunda Guerra Mundial a causa del
progreso en las máquinas de cálculo electrónicas de alta
velocidad. Las nuevas máquinas han hacho posibles gran
número de importantes logros científicos que antes
parecían inaccesibles. El arte de calcular, que es distinto a
la ciencia del cálculo, se basa en cálculos numéricos
precisos y detallados por lo que también toma en cuenta
precisión y exactitud así como los errores y la
comprobación de los resultados.

3. 1.1 Definición de métodos numéricos, su importancia y
el porqué.
“Son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse
usando operaciones aritméticas”
Los métodos numéricos se utilizan para:
• Solución de sistemas de ecuaciones lineales
• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales
• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación
• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando una
curva: ajuste de curvas.
• Integración numérica de una función
• Solución numérica de ecuaciones diferenciales

4. Tipos de métodos numéricos
• Existen dos estrategias para diseñar métodos
numéricos y es importante conocer sus
características para elegirlos adecuadamente,
así como su instrumentación computacional.

5. Métodos iterativos
• Los métodos iterativos son procedimientos para
acercarse a la respuesta mediante aproximaciones
sucesivas. Estos métodos incluyen formulas que tienen
la propiedad de producir un resultado mas cercano a la
respuesta a partir de un valor estimado inicial. El
resultado obtenido se puede usar nuevamente como
valor anterior para continuar mejorando la respuesta.

6. Métodos iterativos
• Se debe considerar algunos aspectos tales como la elección
del valor inicial, la propiedad de convergencia de la formula y
el criterio para terminar las iteraciones.
• Estos métodos son auto-correctivos. La precisión de la
respuesta esta dada por la distancia entre el ultimo valor
calculado y la respuesta esperada. Esto constituye el error de
truncamiento.

7. Métodos iterativos
• El siguiente grafico describe la estructura de
un método iterativo.
Valor
anterior
Formula
iterativa
Valor
mejorado
Iteración

8. Métodos iterativos
• Cada ciclo se denomina iteración. Si la formula
converge, en cada iteración la respuesta estará
mas cerca del resultado buscado. Aunque en
general no es posible llegar a la respuesta
exacta, se puede acercar a ella tanto como lo
permita la aritmética computacional del
dispositivo de calculo.