Pensamiento matemático 2

Lada sin costo: 01800 8417005
contacto@ekeditores.com
www.ekeditores.com
Pensamientomatemático2/SecundariaOmarViguerasHerrera
Pensamiento
matemático 2Secundaria
Omar Vigueras Herrera
Pensamiento
matemático 2
Secundaria
Este material fue elaborado para el Programa de Fortalecimiento de la Calidad en Educación
Básica, en específico para el Proyecto Local “La escuela secundaria, un lugar donde todos y todas
concluimos nuestros estudios”; por lo que no podrá comercializarse por ninguna vía, ya que es
para uso exclusivo de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.
Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines
distintos a los establecidos en el programa.

Pensamiento matemático 2
Fue elaborado por Ek Editores S. A. de C. V. para la Coordinación Sectorial de Educación
Secundaria, perteneciente a la Dirección General de Operación de Servicios Educativos,
de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.
Autor
Edición y revisión técnica
M. Héctor Cano Pineda
Coordinación de arte y diseño
Marcela Novelo
Diseño de interiores y formación
Lylyán del Carmen Ramírez Ramírez
Diseño de portada
Mauro Machuca
Imágenes
Shutterstock Inc.
Primera edición: febrero de 2015
D. R. © 2015, Ek Editores, S. A. de C. V.
Avenida Pío X núm. 1210, Col. Pío X
Monterrey, Nuevo León, C. P. 64710
Tel.: (81) 83 56 75 05 y 83 35 17 04
México, D. F.
Calle Sur 26 núm. 16, Col. Agrícola Oriental
Delegación Iztacalco, México, D. F., C. P. 08500
Tel.: (55) 51 15 15 40 y 22 35 71 12
Lada sin costo: 01800 841 7005
www.ekeditores.com
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial Mexicana
Reg. Núm. 3728
ISBN edición digital: 978-607-8248-51-3
DERECHOS DE USO
Queda prohibido copiar, reproducir, distribuir, publicar, transmitir, difundir, en
cualquier modo o medio cualquier parte del material contenido en el archivo
(texto e imágenes) con fines distintos a los personales o educacionales
para los que fue creado, sin la autorización previa por escrito del editor. Sólo
se podrá bajar el material a una computadora personal por licencia para uso
exclusivamente personal y no comercial, limitado a una copia. Se prohíbe
remover o alterar de la copia u original toda aquella leyenda de derechos de
propiedad intelectual o la que manifieste la autoría del material.
Hecho en México / Made in Mexico

3
Bloque 1 8
Desafío 1. Población 10
Prácticas
1. Multiplicaciones y divisiones
de números enteros 12
2. Potencias 14
3. Ángulos 16
4. Construcción de triángulos 18
5. Áreas 20
6. Porcentajes 22
7. Interés y crecimiento poblacional 24
8. Probabilidad 26
9. Medidas de tendencia central 28
Matemáticas curiosas 30
Bloque 2 32
Desafío 2. Ventas 34
Prácticas
10. Sumas y restas de monomios 36
11. Sumas y restas de polinomios 38
12. Equivalencia de expresiones algebraicas 40
13. Volumen 42
14. Volúmenes de cubos, prismas
y pirámides rectos 44
15. Proporcionalidad inversa 46
16. Probabilidad 48
Bloque 3 52
Desafío 3. Buscando un buen promedio 54
Prácticas
17. Jerarquía de operaciones 56
18. Multiplicación de expresiones
algebraicas 58
19. Ángulos interiores de polígonos 60
20. Figuras que cubren el plano 62
21. Unidades de capacidad y volumen 64
22. Relaciones de proporcionalidad 66
23. Histogramas y gráficas poligonales 68
24. Propiedades de la media y la mediana 70
Índice
Bloque 4 74
Desafío 4. Calificaciones 76
Prácticas
25. Sucesiones 78
26. Ecuaciones de primer grado 80
27. Ángulos de un círculo 82
28. Gráficas de proporcionalidad 84
29. Problemas de variación lineal 86
30. Media ponderada 88
Bloque 5 92
Desafío 5. La presión del agua 94
Prácticas
31. Sistemas de ecuaciones 96
32. Representación gráfica de un sistema 98
de ecuaciones
33. Figuras simétricas 100
34. Ángulos centrales e inscritos 102
35. Funciones lineales y sus gráficas 104
36. Problemas de funciones de la
forma y = mx + b 106
37. Probabilidad frecuencial
y probabilidad teórica 108
Presentación 4
Metodología 6

4
Actualmente los requerimientos de la sociedad a la es-
cuela son muy diferentes de los de hace veinte años,
debido al gran avance tecnológico en las comunicacio-
nes y la electrónica, áreas que han cambiado la forma
de vida de casi todos los habitantes del planeta. El gran
avance tecnológico ha hecho que la sociedad de todo
el mundo sufra cambios, creándose nuevas sociedades
en el ámbito de las Tecnologías de la Información y las
Comunicaciones (TIC), y dando origen a la Sociedad de
la Información y a las Sociedades del Conocimiento.
Entiéndase por Sociedad de la Información aquella en
la cual la creación, distribución y manipulación de la in-
formación forman parte importante de las actividades
culturales y económicas, basándose en los progresos
tecnológicos como la red de Internet, la cual juega un
papel fundamental para el acceso e intercambio de in-
formación.
Las Sociedades del Conocimiento, concepto más com-
plejo, se refieren a los cambios en las áreas tecnológi-
cas y económicas, basadas en la educación, formación
de los nuevos ciudadanos y nuevas formas de trabajo.
Estos cambios en nuestra sociedad son las causas de
los actuales requerimientos a la educación actual, y por
tanto a la escuela y a los maestros, ya que se necesita
un nuevo tipo de ciudadano más acorde con la era tecno-
lógica que se está viviendo y que posea competencias
que le permitan desarrollarse en este tipo de socie-
dades.
Los nuevos ciudadanos, hoy nuestros alumnos, necesi-
tan adquirir competencias personales, sociales y profe-
sionales, diferentes de las nuestras, y que hoy resultan
imprescindibles.Esta presencia de la tecnología en mu-
chas de las actividades que realizamos actualmente
exige a su vez que los programas de estudio contem-
plen nuevas temáticas y que el profesorado tenga de-
terminados conocimientos, competencias y actitudes
relacionados con las TIC, y que se comprometa con la
búsqueda de estrategias adecuadas a los nuevos re-
querimientos sociales.
De acuerdo con lo anterior, se requiere el cambio de rol
del profesor para hacer frente a estos requerimientos,
centrándose la labor docente en el aprendizaje del
alumno y tomando el papel de facilitador del conoci-
miento y guía del alumno en el aprendizaje.
La forma de trabajar la asignatura de Matemáticas en el
salóndeclasestambiénexigeuncambio,yaquesenece-
sita que el alumno desarrolle determinadas habilidades y
destrezas para que sea competente en los aprendizajes
esperados del Plan y de los Programas de Estudio.
La estrategia que se propone para el trabajo de la
asignatura de Matemáticas, de acuerdo con los re-
querimientos sociales de la actualidad, se basa en los
principios pedagógicos que marca el Acuerdo 592, el
cual establece utilizar secuencias de situaciones pro-
blemáticas, contextualizadas lo más cercano al entor-
no de los alumnos, que despierten el interés de éstos
y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes for-
mas de resolver los problemas, a formular argumentos
que validen los resultados y que permitan llevar a cabo
una evaluación continua e integral de la asignatura. Al
mismo tiempo, las situaciones problémicas planteadas
deberán aplicar justamente los conocimientos y las ha-
bilidades que se requieren desarrollar.
Porotra parte, la solución de las situaciones planteadas
deben construirse en el entendido de que existen diver-
sas estrategias posibles de las cuales hay que usar al
menos una, en la cual el alumno debe usar sus conoci-
mientos previos para comprender dicha situación.
El reto para el alumno consiste en reestructurar algo
que ya sabe, ya sea para modificarlo, ampliarlo, recha-
zarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación.
Este tipo de reto implica que la actividad intelectual
fundamental en estos procesos de estudio se apoya
más en el razonamiento que en la memorización, origi-
nando que el conocimiento de reglas, algoritmos, fór-
mulas y definiciones solo sea importante en la medida
en que los alumnos lo puedan usar para solucionar pro-
blemas y reconstruir en caso de olvido. Esta estrategia
didáctica implica enfrentar a los alumnos y a los docen-
tes a nuevos retos que requieren:
• Actitudes distintas del alumno frente al conoci-
miento matemático.
Presentación

5
• Ideas diferentes del maestro sobre lo que signi-
fica enseñar y aprender.
Se trata entonces de que el docente proponga proble-
mas interesantes, debidamente articulados, para que
los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en
el uso de técnicas y razonamientos cada vez más efica-
ces. Lo que se pretende con esta estrategia didáctica
es lo siguiente:
• Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar
por su cuenta cómo resolver los problemas que
se les plantean, mientras el docente observa y
cuestiona a los equipos de trabajo, tanto para
conocer los procedimientos y argumentos que
se ponen en práctica, como para aclarar dudas,
destrabar procesos y lograr que los alumnos
avancen.
• Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados
de los problemas.
• Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de
manera colaborativa.
Esta estrategia didáctica ayuda a la correcta implemen-
tación del currículo en Matemáticas, la transformación
de la práctica docente, el logro de los aprendizajes y
una mejora en la calidad educativa, ya que permite:
• Centrar la atención en los estudiantes y en sus
procesos de aprendizaje.
• Planificar para potenciar el aprendizaje.
• Generar nuevos ambientes de aprendizaje.
• Trabajar en colaboración para construir el apren-
dizaje.
• Generar materiales para favorecer el aprendizaje.
• Incorporar temas de relevancia social.
• Reorientar el liderazgo.
• Incorporar la tutoría y la asesoría académica en
el aula.
• La evaluación continua y, por tanto, a los docen-
tes les permite evaluar para aprender.

6
Metodología
Para la implementación en el aula de la estrategia didác-
ticadescrita,sedebenconsiderarlossiguientespuntos.
• El rol del docente cambia al dejar de ser la fuente
de información única de los alumnos y convertir-
se en un facilitador del aprendizaje y guía.
• El maestro no explica procedimientos, ayuda a
los alumnos a reconstruirlos por medio de situa-
ciones problemáticas contextualizadas, en lo
posible, al entorno del alumno.
• Ésta es una estrategia para trabajar en el salón
de clases el programa de estudios, no un libro de
tareas.
• Los alumnos son responsables de sus respues-
tas.
• Es labor del profesor fortalecer la comunicación y
propiciar que alumnos con mayores dificultades
de aprendizaje sean incluidos en las discusiones.
• Las dudas de los alumnos no reciben respuestas
como tales, sino que se induce a que encuentren
la respuesta por medio de preguntas.
• Hacer que los alumnos aprendan de sus propios
errores, motivándolos para que exploren sobre
nuevas soluciones.
• Respetar las opiniones de cada uno de los inte-
grantes y permitirles que expresen tanto sus
preguntas como sus aportaciones.
A continuación se describe un procedimiento general
para la aplicación de la estrategia en el aula.
1. Indicaciones sobre la forma de trabajo. El do-
cente proporciona las indicaciones para llevar a
cabo los trabajos de esa sesión, como los mate-
riales que se utilizarán, da las indicaciones con
respecto a la comunicación entre ellos, los espa-
cios en los cuales pueden llevar a cabo las acti-
vidades, su rol como docente durante el tiempo
que dure la actividad, y algunas otras recomen-
daciones acordes con el aula.
2. Acondicionamiento del aula. En función del
tamaño del aula y el tipo de muebles, las indi-
caciones del desafío a trabajar y el número de
alumnos, el docente toma la decisión sobre la
organización y acondicionamiento del aula para
llevar a cabo las actividades correspondientes
a la sesión. Se recomienda acomodar en forma
circular a los alumnos de cada equipo o frente a
frente cuando se trabaja en parejas..
3. Integración de los equipos de trabajo. Se reco-
mienda que los equipos se conformen de manera
heterogénea y al azar, ya que uno de los objeti-
vos en el trabajo colaborativo por equipos es la
interacción y unión entre todos los alumnos del
grupo, y no la división entre ellos, es decir, que
los más adelantados en la asignatura formen su
equipo y los más atrasados formen otro, ya que
también se pretende el aprendizaje entre ellos.
Se recomienda mínimo dos y máximo cinco alum-
nos por equipo.
4. Presentación de la situación problemática
(Actividad). Una vez formados los equipos de
trabajo, el docente presenta la actividad al grupo
de acuerdo con el contexto de la situación pro-
blemática planteada. Esta acción se debe llevar
a cabo en un tiempo máximo de cinco minutos.
5. Distribución de las actividades. Aunque cada
alumno debe tener su material, en el momento
de trabajar en el aula por equipos, el docente
sólo debe permitir un material por equipo de tra-
bajo, esto con el fin de que se fomente el trabajo
colaborativo, ya que si se entrega uno por alum-
no, la tendencia es trabajar de forma individual.

7
6. Inicio de los trabajos. El docente indica a los
alumnos en cuanto tiempo deben solucionar la
actividad. Por lo general, las actividades están
diseñadas para que las resuelvan en un tiempo
máximo de 20 minutos, pero queda a criterio del
docente en función de los avances de su grupo.
Es posible que algunas actividades se tengan
que desarrollar en más de una sesión de clases,
pero cuando no sea este el caso, el docente
debe distribuir el tiempo de tal forma que pueda
llevar a cabo las actividades posteriores.
7. Monitoreo de los equipos de trabajo. El moni-
toreo consiste en supervisar el desarrollo de los
trabajos de los equipos, asesorando y guiando a
los alumnos en la resolución de la actividad, pero
sin darles la respuesta, sólo ofreciendo suge-
rencias sobre la información que necesitan para
llegar a su objetivo. Una forma de hacer esto
es formulando preguntas a los integrantes del
equipo, pero sin dar las respuestas. En esta fase
es cuando el docente registra las observacio-
nes grupales e individuales con el propósito de
evaluar las acciones y reacciones de los alum-
nos, así como ajustar la estrategia de acuerdo
con el grupo.
8. Puesta en común. La puesta en común es la
discusión y análisis, entre los integrantes de los
equipos, de la situación problemática plantea-
da, en la cual presentan y explican sus procedi-
mientos y estrategias de solución, y tiene como
objetivo la socialización de los aprendizajes ad-
quiridos en los equipos de trabajo con los demás
integrantes de los otros equipos.
Cada equipo de trabajo pasa al frente a presen-
tar la forma en la cual solucionaron el desafío. El
docente debe propiciar, por medio de cuestiona-
mientos, el análisis de las respuestas dadas, de
tal forma que induzca a los alumnos a comprobar
cuál es la respuesta correcta.
El maestro no debe dar la respuesta, ésta la de-
ben obtener los alumnos. Esto es con el fin de
que adquieran confianza en las soluciones que
dan y que las verifiquen, y de esta forma hacer-
los independientes del maestro en este aspecto
para que, en forma gradual, el alumno se haga
responsable de sus decisiones.
9. Cierre de la sesión. Se refiere a las conclusiones
del maestro con respecto a las observaciones
de los trabajos que se llevaron a cabo; también
tiene que ver con dejar actividades complemen-
tarias, con respecto al tema tratado, o trabajos
de investigación si así se requieren.

8
Bloque1 Problemas que implican el uso de las
leyes de los exponentes y notación
científica.
Problemas que impliquen calcular
el área y el perímetro del círculo.
Problemas que implican el cálculo
de porcentajes.
Probabilidad de eventos simples.
En este bloque estudiarás:

9
Contenido
Desafío 1
Población
Prácticas
1. Multiplicaciones y divisiones
de números enteros
2. Potencias
3. Ángulos
4. Construcción de triángulos
5. Áreas
6. Porcentajes
7. Interés y crecimiento poblacional
8. Probabilidad
9. Medidas de tendencia central
Matemáticas curiosas

10
Desafío 1
Consigna
En parejas, resuelvan el siguiente problema con ayuda de una calculadora.
La población de una ciudad es de 3459850 habitantes y se compone de la si-
guiente manera: mujeres 54%, hombres 46%. En estas tablas se muestran datos
educativos, de tal forma que en cada casilla aparece el porcentaje que cumple
con los rubros escritos en la columna y renglón, considerando el porcentaje de
la población de cada género.
Mujeres (54%)
Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura Total
Institución
particular
16.60% 12.20% 6.70% 6.50% 42.00%
Institución
pública
20.40% 19.80% 14.30% 3.50% 58.00%
Total 37.00% 32.00% 21.00% 10.00%
Hombres (46%)
Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura Total
Institución
particular
16.80% 11.30% 8.70% 1.20% 38.00%
Institución
pública
22.20% 16.70% 16.30% 6.80% 62.00%
Total 39.00% 28.00% 25.00% 8.00%
1. Calculen la cantidad de habitantes por género de acuerdo con los porcentajes.
Que los alumnos
calculen porcentajes,
incluyendo procesos
recursivos.
Intención didáctica
Población

11
2. A partir de las cantidades que obtuvieron en la pregunta anterior, calculen
las cantidades de cada casilla de las tablas. Pueden redondear hacia abajo
si la: parte decimal es menor o igual a 0.5, y hacia arriba si la parte decimal
es mayor a 0.5. Las cantidades totales pueden variar por 1 habitante.
a) ¿Qué porcentaje del total representan las cantidades que obtuvieron en
la pregunta anterior?
b) ¿A qué tipo de escuela asiste la mayor parte de la población?

c) ¿A qué tipo de escuela asiste la mayor parte de las mujeres que estudian
la licenciatura?
d) ¿Qué género da mayor prioridad a las escuelas públicas para estudiar el
bachillerato?

e) ¿Qué género elige con menor frecuencia las escuelas particulares a nivel
secundaria?

3. Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Comenten lo siguiente.
a) ¿Variaron los resultados respecto a los de sus compañeros?
b) ¿Qué creen que fue la causa de la variación?
c) Discutecontuscompañeroslosmétodosqueutilizaronparaobtenersus
resultados.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas

12
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuál es el doble
de 75?
2. ¿Cuál es el triple
de 25?
3. ¿Cuál es el quíntuple
de 10?
4. ¿Cuál es la tercera
parte de 75?
5. ¿Cuál es el resultado
de multiplicar la
mitad de 6 con el
triple de 2?
de dividir la tercera
parte de 60 entre la
mitad de 40?
Recuerda que los números enteros son todos los números naturales; es-
tos pueden ser positivos o negativos. Distinguimos a los negativos porque
llevan un guión llamado signo negativo.
Para efectuar multiplicaciones y divisiones de números enteros, se deben
aplicar las siguientes reglas:
Ejemplos:
Multiplicaciones y divisiones
de números enteros
Práctica 1
Multiplicación División
Positivo × Positivo = Positivo Positivo ÷ Positivo = Positivo
Positivo × Negativo = Negativo Positivo ÷ Negativo = Negativo
Negativo × Positivo = Negativo Negativo ÷ Positivo = Negativo
Negativo × Negativo = Positivo Negativo ÷ Negativo = Positivo
Multiplicación División
5 × 14 = 70 9 ÷ 3 = 3
7 × (–3) = –21 18 ÷ (–6) = –3
(–4) × 5 = –20 (–34) ÷ 17 = –2
(–8) × (–20) = 160 (–55) ÷ (–5) = 11

13
¿Existe alguna
relación entre la
multiplicación y la
división de números
enteros?
Pregunta de reflexión
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 10 × (−3) =
b) (−4) × (−4) =

c) (−7) × 12 =

d) (−12) × (−13) =

e) (−45) × 20 =
2. Realiza las siguientes operaciones:

a) [3 × 5] × 2 =

b) [(−6) × (−6)] × (−6)=

c) [(−4) × 6] ÷ [(−3) × 2]=

d) (−24) ÷ [(−3) × 4]=

e) [36 ÷ (−9)] × (−3)=
3. Completa las operaciones de manera que el resultado sea correcto:

a) ÷ 8 = 5

b) (−24) ÷ = −4

c) (−84) ÷ = 14

d) 70 ÷ = −7

e) (−35) × = 140

4. Responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la sexta parte de 30?

b) ¿Cuál es el quíntuple de 5?

c) ¿Cuánto es la tercera parte del doble de −15?

d) Si el doble de la quinta parte de un número es 4, ¿de qué número se trata?

14
Una potencia entera positiva de un número es el producto de ese número por
sí mismo cierta cantidad de veces. La expresión que denota este hecho es la
siguiente:
xn
= (x∙x∙x∙∙∙x)
(n veces)
Donde el número x se llama base, al número n se le llama exponente y al pro-
ducto o resultado se le llama potencia.
Ejemplos:
a) 35
= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
b) (−2)3
= (−2) × (−2) × (−2) = −8
c)
(4
3)
4
=
(4
3)×
(4
3)×
(4
3)×
(4
3)= 256
81
Leyes de los exponentes
1. Todo número es la primera potencia de sí mismo. Por ejemplo.
(−5)1
= −5;
(5
2)
1
= 5
2
; x1
= x
2. La potencia cero de cualquier número es 1. Por ejemplo.
(−437)0
= 1;
(7
5)
0
= 1; x0
= 1
3. El producto de potencias con la misma base es igual a la potencia dada por
la suma de los exponentes. Por ejemplo.
22
× 23
= (2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 25
xn
∙ xm
= x m+n
4. La división de dos potencias con la misma base es igual a la potencia dada
por la resta de los exponentes. Por ejemplo.
35
32
= 3 × 3 × 3 × 3 ×3
3 × 3
= 33 xn
xm
= xn−m
5. La potencia de una potencia es igual a la potencia dada por el producto de
los exponentes. Por ejemplo.
(44
)2
= (4 × 4 × 4 × 4)2
= (4 × 4 × 4 × 4) × (4 × 4 × 4 × 4)= 48
(xn
)m
= x nm
Potencias
Práctica 2
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuál es el área de
un cuadrado que
mide 5 metros por
lado?
2. ¿Cuál es el volumen
de un cubo que mide
5 centímetros por
lado?
3. Si el volumen
de un cubo es
27 centímetros
cúbicos, ¿cuánto
mide su lado?

15
¿Qué relación
tienen el producto
de dos números
que son inversos
multiplicativos y la
potencia 0?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Encuentra las siguientes potencias:
a) 43
= b) (−2.5)−2
=
c) 70
= d) (−5)3
=
e) (−2)−3
= f)
(−4
3 )
−3
=
2. Usando las leyes de los exponentes, encuentra las siguientes potencias:

a) (3−2
)0
= b) ((0.25)−2
)3
=

c) ((−2)2
)−3
= d)
((1
4 )
−2
)
−2
=

e)
((5
2 )
−2
)
−1
= f) ((0.3)2
)2
=
3. Efectúa las siguientes operaciones:

a) (4 × 4)2
= b) 34
× (−4)
33
=

c) (−2)2
(−2)3
= d)
43
52 ×
52
4
=

e) 1
53
× 54
= f) 6−2
× 62
43
× 42
5
=
6. El inverso multiplicativo de un número se indica por el exponente –1.
Por ejemplo.
5−1
= 1
5
;
(4
5)
−1
= 5
4
; x −1
=
(1
x)
7. La potencia entera negativa indica la potencia del inverso multiplica-
tivo. Por ejemplo.
5−2
=
(1
5)
2
= 1
25
;
(4
3)
−3
=
(3
4)
3
= 27
64
; x −n
=
(
1
xn)

16
Cuando dos líneas rectas se cortan, el punto de intersección forma el vértice
de cuatro ángulos.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales; en este caso tenemos que
d = b y a = g. Observa que:
a + b = a + d = 180° y b + g = g + d = 180°.
Decimos que dos ángulos son suplementarios si la suma de los valores de sus
medidas es igual a 180.
Si un par de rectas paralelas son cortadas por una recta secante, tendremos
ocho ángulos que tienen las siguientes propiedades y nombres:
Ángulos alternos:
Internos Externos
g = «; d = u a = z; b = h
Ángulos
Práctica 3
Matemáticas
rápidas
1. En una hoja de papel,
traza un segmento
de línea recta.
Si doblas la hoja
de tal forma que
los extremos del
segmento que
trazaste se toquen,
¿qué medida tienen
los ángulos que se
forman con el doblez
y el segmento?
b g
d
a
b
«
h
z
u
g
d
a
Ángulos correspondientes:
a = u; d = z b = «; h = g

17
Actividades
Si la suma de las
medidas de los
ángulos de un triángulo
y un cuadrilátero
suman 180° y 360°,
respectivamente…
a) ¿Cuánto sumarán
las medidas de
los ángulos de un
pentágono?
b) ¿Y de un hexágono?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. En cada caso, encuentra el valor de la medida del ángulo marcado como x.
a) b)
x 15
o
5x x
2 3
14
c) d)
a
b c
2x
3x 4x
a
b
x
2x + 75
a
g
b
b
a
gd
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
Donde a + b + g = 180°.
La suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360°:
Donde a + b + g + d = 360°.

18
Construcción de triángulos
Recuerdaqueuntriánguloestáformadoportresladosytresángulos.Cadatrián-
gulo es único sin importar la posición en la que se encuentre. Para construir uno,
tienes tres opciones:
1. Si tienes tres segmentos de recta y representamos las medidas de dichos seg-
mentos por a, b y c, puedes construir un triángulo si se cumple alguna de las
siguientes condiciones:
a + b > c; o bien,a + c > b; o bien, b + c > a
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuántos triángulos
aparecen en la figura
siguiente?
Práctica 4
3. Si tienes dos ángulos, con medidas a y b, y un segmento de recta con medida
a, puedes construir un triángulo usando el segmento como lado común de los
ángulos dados.
2. Si tienes dos segmentos de recta, cuyas medidas están representadas por a y
b, y un ángulo, cuya medida es a, puedes construir un triángulo con los dos
lados formando el ángulo dado.
a
b
c
b
a
a
a
a b

19
Actividades
Si tenemos las
medidas de tres
ángulos, cuya suma
sea 180°, ¿se puede
construir un triángulo
que sea único?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Completa los siguientes dibujos, para obtener triángulos.
En los dibujos anteriores, ¿qué elementos del triángulo ya estaban determi-
nados?

2. Usa tu juego de geometría y construye los triángulos con las medidas que se
indican:
a) Lados: 5 y 7 cm.
Ángulo entre los lados: 35°.
b) Lado: 8 cm.
Ángulos: 30° y 50°.
c) Lados: 3, 4 y 5 cm.

20
Triángulo A= b × h
2
Rectángulo A= l × a
Círculo A= p × r2
Áreas
Los griegos definieron el área como la superficie acotada por una línea, no ne-
cesariamente recta, cuyos extremos coinciden. A continuación se presentan las
fórmulas para obtener el área de tres figuras regulares elementales:
Matemáticas
rápidas
1. Si la altura de una
lata cilíndrica es de
11 cm y el perímetro
de la base es de 12
cm, ¿cuáles son las
dimensiones de la
hoja de lámina para
hacer la lata?
Práctica 5
Ejemplo:
Si analizamos la siguiente figura, podemos considerar el área total como la
suma de dos áreas: un triángulo rectángulo y un rectángulo.
Por tanto, el área total es:
Área del triángulo Área del rectángulo Área total
1.5 × 3
2
= 2.25 3.5 × 3 = 10.5 2.25 + 10.5 = 12.75
3.5 cm
5 cm
3 cm
h
b
a
l
r

21
Observa la siguiente
figura:
¿Qué punto debe ser
M para que el área del
triángulo se divida en
dos partes iguales?
Explica por qué.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Encuentra el área de las siguientes figuras:
2. Calcula el área sombreada de esta figura:
3. La siguiente figura es un pentágono regular. Si a = 4 y l = 5, calcula el área del
pentágono, dividiéndolo en triángulos.
4. Calcula el área lateral y total de esta pirámide:
Actividades
M
h
1.5 cm
4 cm
2.5cm
2cm
6.4 cm
1.3cm
12 cm
5cm
4 cm
4cm
4 cm
7.5cm
a
l

22
Porcentajes
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuál es el 50% del
50% de 1000?
2. ¿Qué porcentaje de
1000 es el 50% del
50% de 1000?
3. ¿Cuál es el 50% de
150?
4. ¿Cuál es la suma del
50% de 100 con el
50% de 50?
Práctica 6
Un porcentaje es una fracción de cien partes posibles; es decir, dividimos en
cien partes un todo y tomamos algunas de esas partes. Se usa la siguiente no-
tación: si tenemos n partes de 100, escribimos n %. Por ejemplo:
35 de 100, es el 35 por ciento de 100 y escribimos 35%.
El proceso para obtener el n % de una cantidad x, es el siguiente:
Ejemplo:
n
100
× x
Encontrar el 16% de 753. Entonces n = 16 y x = 753, por tanto
16
100
× 753 = 0.16 × 753 = 120.48
Si ahora sabemos que z es el n % de una cantidad x, podemos encontrar la
cantidad original x por medio del siguiente procedimiento:
x = z × 100
n
Ejemplo:
Si 74 es el 64% de una cantidad x, entonces z = 74, n = 64, por tanto
x = 74 × 100
64
= 74 × 1.5625 = 115.625
Si tenemos dos cantidades, x y z, y queremos saber qué porcentaje de x es z
entonces el procedimiento es el siguiente:
n = z
x
× 100
Ejemplo:
¿Qué porcentaje de 900 es 765? Tenemos que z = 765, x = 900, por tanto
n = 765
900
× 100 = 0.85 × 100 = 85
Actividades
1. Calcula los porcentajes de estas cantidades.
10% de 400 15% de 1
15% de 90 145% de 10.45
26% de 70 2% de 0.5

23
Compara el 25%
de 100 y la cuarta
parte de 100, ¿cuál es
mayor, o son iguales?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
2. De las siguientes parejas, una es el porcentaje de otra cantidad, encuéntrala:
15, 45% 58, 14.5%
100, 180% 750, 80.4%
15, 17% 20.4, 26.3%
150, 26% 750, 150%
0.5, 3% 45.5, 105.5%
3. De las siguientes parejas de cantidades, la primera es algún porcentaje de la
segunda, encuéntralo:
30, 120 0.6, 0.8
750, 400 11.4, 1140
160, 1100 74.2, 81.5
845, 150 106.5, 85
1.5, 6 5.05, 3.02
4. Contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué porcentaje de 90 es 45?

b) ¿Cuál es el 120% de 45?
5. Considera la siguiente situación y completa las tablas: un producto cuyo
precio es $2850.00 tiene dos descuentos; el primero es de 20% y después
de aplicar el segundo el precio final es $1140.00. ¿De qué porcentaje es el
segundo descuento?
Precio inicial Descuento 1
Operaciones
Precio parcial
Precio parcial Descuento 2
Operaciones
Precio final
120% de 116 50.5% de 85
90% de 8 43.7% de 100

24
Dentro de la matemática existen algunos modelos que nos permiten conjetu-
rar el crecimiento de una cantidad durante un periodo, siempre y cuando se
conozca el ritmo de crecimiento en ese periodo. Este modelo se sintetiza en
la siguiente fórmula:
C = C0
( l + n)t
Donde C es la cantidad aumentada después de un periodo t, C0
es la cantidad
inicial, n es el ritmo de crecimiento, se le llama tasa; y t es el periodo (o tiempo).
Cabe aclarar que la tasa se da en porcentaje, por lo que tiene que convertirse
a su valor decimal; es decir, si tenemos m %, entonces para encontrar n debe-
mos hacer la división.
n = m
100
Además, debemos tener cuidado de que la tasa y el tiempo estén dados en los
mismos términos, ya sea días, semanas, meses, años, etcétera.
Ejemplos:
1. En una inversión o en un crédito se generan intereses, lo cual hace que la
inversión o la deuda generada por el crédito, crezca. Si consideramos un cré-
dito por $2500.00 y la tasa de interés crece mensualmente 0.3%, ¿cuánto se
paga al cabo de 18 meses?
Primero convertimos la tasa de interés a expresión decimal:
n = 0.3
100
=0.003
Para responder la pregunta, empleamos la fórmula que dimos con los si-
guientes datos: C0
= 2500; n = 0.003; t = 18; entonces tenemos,
C = 2500 (1 + 0.003)18
= 2500 (1.003)18
= 2500(1.0554) = 2638.4982
Por tanto, al término de 18 meses se pagarán $2638.4982.
A este tipo de interés se le conoce como interés compuesto, ya que en cada
periodo la ganancia se suma a la cantidad inicial. En el ejemplo anterior, la
ganancia del primer mes se obtiene de la siguiente manera:
2500 × 0.003 = 7.5
Entonces, la ganancia del segundo mes se calcula de esta forma:
(2500 + 7.5) × 0.003 = 2507.5 × 0.003 = 7.5225
y así sucesivamente.
Interés y crecimiento poblacional
Matemáticas
rápidas
1. Una población de
bacterias se duplica
cada segundo. Si un
vaso con este tipo
de bacteria se llena
en un minuto, ¿en
qué momento está
medio lleno?
Práctica 7

25
Considera la siguiente
sucesión:
1
1 +
1
2
1 +
1
2
+
1
4
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
¿Terminará de crecer?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
2. Si tenemos una población de 680 insectos cuya tasa de natalidad es de 22%
al día, ¿cuántos especímenes habrá en dos semanas?
Convertimos la tasa de natalidad a expresión decimal:
n = 22
100
= 0.22
Usando la fórmula con los siguientes datos tenemos: C0
= 680; n = 0.22; t = 14.
Como la tasa está dada en días y el periodo en semanas, debemos considerar
los 14 días que hay en dos semanas.
Por tanto:
C = 680 (1 + 0.22)14
= 680 (1.22)14
= 680 (16.1822) = 11003.8976
Por lo que la población de insectos será de 11003.8976 individuos en dos
semanas.
1. Considera la siguiente situación y completa la tabla.
Si se invierten $50000.00 por 5 años, con un interés del 1.5% anual, calcula
la cantidad obtenida al cabo de cada año.
Cantidades Operaciones Cantidad del periodo
$ 50000 $ 50750
$ 51511.25

2. Aplica directamente la fórmula de interés compuesto al ejercicio anterior.
3. Si una persona invierte $75000.00 a tres años con un interés anual de 9%,
¿cuánto recibe al final del plazo? ¿Cuál fue su ganancia?
4. En el año 2000, una universidad tenía 65000 estudiantes. Si la tasa de creci-
miento es de 7% anual, ¿cuántos estudiantes habrán ingresado hasta el año
2015?
5. Actualmente, la población mundial es de 7000000000 de personas. Si toma-
mos la tasa de crecimiento como 3% anual, ¿cuál será la población mundial
dentro de 23 años?

26
Llamaremos experimento a cualquier fenómeno que pueda ser reproducido
repetidamente, por ejemplo: jugar “volados” al lanzar una moneda, lanzar un
dado, aplicar una pregunta entre varias personas. A la colección de todos los
resultados posibles de un experimento A se le llama espacio muestral y se de-
notará como S(A). Por ejemplo, el espacio muestral correspondiente al lanza-
miento de una moneda es S(A) = {águila, sol}.
Llamaremos evento a un experimento bajo ciertas condiciones, por ejemplo:
“el número que resulte al lanzar un dado sea 4”. Aquí tenemos un experimento
que es “lanzar un dado”, pero estamos poniendo la condición “que el número
que resulte sea 4”. Si llamamos E a este evento, entonces S(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En matemáticas, a la posibilidad de que un evento suceda se le llama probabi-
lidad. La probabilidad de que ocurra un evento es un número que varía entre 0
y 1. Mientras el número sea más cercano a 1, el evento tiene mayor posibilidad
de suceder; por el contrario, si el número es más cercano a 0, el evento tiene
menos posibilidades de suceder.
A la probabilidad de que un evento X pueda suceder se le denota por P(X). Por
ejemplo, si B representa el evento “cae sol” en un “volado”, la probabilidad de
que suceda B es 1 de entre dos opciones posibles, entonces expresamos este
hecho como sigue: P(B) = 0.5
Existen eventos en los que la probabilidad es cero, a estos eventos se les llama
eventos nulos. En cambio, cuando la probabilidad de un evento es 1, se le
denomina evento seguro. Por ejemplo, la probabilidad de que un objeto pueda
estar en dos lugares distintos en el mismo instante es cero; por tanto este evento
es nulo. La probabilidad de que un ser vivo esté formado por carbono, hidrógeno,
oxígeno y nitrógeno es 1; por tanto, es un evento seguro.
Por ejemplo, si el experimento C es lanzar un dado, los resultados posibles son
1, 2, 3, 4, 5, 6; por tanto, el espacio muestral de C es S(C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Si F es el evento “cae 3” al lanzar el dado, entonces la probabilidad de F es
P(F) =
1
6
. A la probabilidad de que un evento ocurra entre todos los resultados
posibles se le llama probabilidad clásica.
Ejemplo:
Consideremos las fichas de un dominó. Si tomamos el experimento E como es-
coger un ficha y al evento D como escoger una ficha doble, entonces D sólo tiene
siete posibilidades: 0−0, 1−1, 2−2, 3−3, 4−4, 5−5, y 6−6. Pero el espacio muestral,
S(E), tiene 28 elementos, entonces la probabilidad de que suceda D es:
P(D) =
7
28
=
1
4 = 0.25
Probabilidad
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuál es la
probabilidad de
que en dos volados
consecutivos salgan
dos águilas?
Práctica 8

27
¿Será posible que
un ser humano
pueda conocer a
todos los demás
seres humanos vivos
del planeta?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos:
a) Lanzar un dado:
b) Escoger una vocal:
c) Seleccionar una delegación política del D. F.
2. Si haces el experimento de lanzar un dado, escribe los elementos de los
siguientes eventos:
a) A: el número que sale es par:
b) D: el número que sale es un cuadrado perfecto:
c) E: el número que sale es primo:
3. Calcula las probabilidades de los eventos del inciso 2:
a) P(A) =
b) P(D) =
c) P(E) =
4. Considera que en un salón hay cinco niñas y cuatro niños y se realiza el expe-
rimento de seleccionar un alumno al azar. Contesta las siguientes preguntas:
a) Escribe el espacio muestral del experimento.
b) Si A es el evento“el alumno seleccionado es niña”, calcula su probabilidad.
P(A) =
c) Si B es el evento“el alumno seleccionado es niño”, calcula su probabilidad.
P(B) =
d) ¿Qué es más probable que se seleccione, un niño o una niña? Explica tu
respuesta.
e) Si se seleccionan dos alumnos y el primero es una niña, ¿qué es más
probable que se seleccione en segundo lugar: un niño o una niña? Ex-
plica tu respuesta.
Actividades

28
Práctica 9
Cuando se trabaja con una lista de datos, se requiere analizar e interpretar
dichos datos. Uno de los procesos más utilizados es obtener medidas numé-
ricas resumidas; es decir, buscar cantidades que caractericen al total de datos
y nos dejen ver las características más importantes. En particular, nos inte-
resaremos en el centro de los datos, es por ello que a estas cantidades se les
conoce como medidas de tendencia central.
La primera de estas medidas es la media aritmética y se denota por x. Si te-
nemos una lista de n datos, denotados por x1
, x2
, ..., xn
, entonces la media
aritmética de dicha lista es la suma de todos los datos, dividida por la cantidad
de datos; es decir,
x =
x1
+ x2
+ ... + xn
n
La segunda medida es la mediana, también conocida como promedio, de n
datos que se representa con ~x. Para obtenerla, se siguen los siguientes pasos:
1. Ordenar los n datos de menor a mayor (o viceversa), incluyendo datos re-
petidos.
2. En caso de que n sea par, la mediana será la media de los dos datos que apa-
recen en medio de la lista. Es decir, hacemos i = n
2
y la mediana será:
~x =
xi
+ xi + 1
2
3. En caso de que n sea impar, la mediana será el dato que aparece justo en
medio de la lista. Es decir, hacemos i = n + 1
2
entonces la mediana será:
~x = xi
Por último, tenemos la moda, que será el dato que más veces se repite dentro
de la lista de n datos.
Ejemplo:
Consideremos los siguientes datos: 31.02, 31.5, 33.03, 33.03, 33.64, 33.94,
35.98, 36.98, 37.02, 38.95.
1. La media aritmética es:
x = 31.02 + 31.5 + 33.03 + 33.64 + 33.94 + 35.98 + 36.98 + 37.02 + 38.95
10
x = 345.09
10
x = 34.509
Medidas de tendencia central
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuál es el promedio
de las siguientes
cantidades: 10, 9, 8,
7, 6, 5, 4?

29
¿En qué caso
coinciden la media,
mediana y moda?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Tres alumnos obtuvieron las siguientes calificaciones en una materia:
Alumno 1: 10, 10, 5, 9, 10, 9, 3, 10, 9.
Alumno 2: 9, 8, 7, 10, 8, 8, 9, 8, 10.
Alumno 3: 10, 10, 9, 9, 7, 8, 8, 7, 9.
a) Con los datos anteriores, completa la siguiente tabla.
Alumno Media Mediana Moda
1
2
3
b) A partir de las calificaciones de los alumnos, ¿consideras que los tres
tienen el mismo nivel de conocimientos de la materia? ¿Por qué?

c) ¿En qué caso la media refleja mejor el desempeño del alumno? ¿Por
qué?

d) ¿En qué caso, la mediana refleja mejor el desempeño del alumno? ¿Por
qué?

e) ¿Consideras que alguno de ellos necesita reforzar sus conocimientos?
¿Por qué?

f) Considerando las calificaciones y las medidas de tendencia central, ¿qué
alumno obtendrá la mejor calificación en el siguiente examen? ¿Por qué?

Actividades
2. Como la cantidad de datos ya está ordenada y es par, entonces i = 10
2
= 5, por
tanto nos fijamos en los datos 5 y 6; es decir, x5
= 33.64 y x6
= 33.94, entonces
la mediana es:
~x = 33.64 + 33.94
2
= 67.58
2
= 33.79
3. La moda es el dato que más se repite, en este caso la moda es 33.03.

30
La magia de los fractales
¿Te imaginas una figura con área 0? ¿O una figura con perímetro
sin límite? Mejor aún, ¿te imaginas una figura con las dos propie-
dades anteriores?
Construiremos una figura con estas características:
Paso3:enlostres
triángulosrestantes,
aplicamoselmismo
proceso,apartirdelos
puntosmediosde
loslados,construimos
triángulosylos
recortamos.
Paso2:apartirdelos
puntosmediosde
loslados,construimos
untriánguloylo
recortamos.
Paso 1: empezamos
con un triángulo
equilátero.
Esteprocedimientocontinuaconlostriángulosquesevangenerando;
en la siguiente figura se muestran los pasos 4, 5y 6.
Como podrás notar, al recortar triángulos, el área del triángulo
disminuye, pero con el perímetro pasa los contrario, como se van
generando más triángulos dentro del original, los lados de éstos
contribuyen con sus lados al perímetro de la figura, por lo que al
generarse más triángulos el perímetro aumenta.
Este objeto fue descubierto por el matemático polaco Waclaw
Sierpinski (1882–1969.)

Matemáticas
curiosas

32
Bloque2 Problemas aditivos con
monomios y polinomios.
Problemas de volumen de cubos,
prismas y pirámides rectos.

33
Contenido
Desafío 2
Ventas
Prácticas
10. Sumas y restas de monomios
11. Sumas y restas de polinomios
12. Equivalencia de expresiones
algebraicas
13. Volumen
14. Volúmenes de cubos, prismas
y pirámides rectos
15. Proporcionalidad inversa
16. Probabilidad

34
Consigna
En equipos de tres integrantes resuelvan el siguiente problema.
Una tienda ofrece tres productos en tres paquetes. Los precios de los tres pro-
ductos se representan con las letras a, b, c, y los precios de los paquetes son
los siguientes:
2a + 3b = 180; a + b + c = 120; b + 2c = 80
1. Para encontrar el precio de cada producto, efectúen las actividades.
a) ¿Cuántos productos tiene cada paquete?

b) ¿Qué representan cada uno de los monomios que aparecen en los pre-
cios anteriores?

c) Despejen b en la igualdad b + 2c = 80
Desafío
Que los alumnos
resuelvan problemas
aditivos con monomios
y polinomios.
Ventas
2

35
d) Despejen a en la igualdad a + b + c = 120
e) Sustituyan b en la igualdad que resulta en el inciso (d).
f) Sustituyan los valores que encontraron para b y a en la igualdad
2a + 3b = 180 para encontrar el valor de c.
g) Encuentren los valores de a y b.

2. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
a) ¿Encontraron las mismas expresiones al despejar?
b) Expliquen las operaciones y pasos que realizaron.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas

36
Sumas y restas de monomios
Práctica 10
Recuerda que un monomio es una expresión algebraica que consta del pro-
ducto de un número, llamado coeficiente, y una literal. Las siguientes expre-
siones son ejemplos de monomios:
3m, − 4r, 7x, p,
2
3
l,
Se pueden realizar sumas y restas de monomios, siempre y cuando las literales
sean las mismas, y la operación se efectúa con los coeficientes, por ejemplo:
a) 5t + 3t = 8t
b) 4m − 7m = − 3m
c) −b + 5b − 2b = 3b
d) 3x + 3y − 5x + y − 2y = − 2x +2y
Actividades
1. Escribe la expresión que representa el perímetro de cada una de las siguien-
tes figuras.
a)
c)
b)
d)
y y
y y
y
B
G
a
a
c
b
E
3x + 4
2x + 1D
4n
5n − 4
4 + 3n
Matemáticas
rápidas
1. El rectángulo rojo
se trazó usando
puntos medios.
Si los lados del
rectángulo grande
miden lo que se
indica, ¿cuánto
mide el perímetro
del rectángulo rojo?
x
y

37
Las literales pueden
tener un gran
número de aplicaciones,
inclusive y aunque no
lo creas, en algunos
juegos:
“Piensa un número;
súmale 2 y el resultado
multiplícalo por 3; al
resultado réstale 9;
el resultado divídelo
entre 3; ¿qué número
te dio?; el número que
pensaste es ... ”.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
2. Mariana compró doce cuadernos a n pesos cada uno y al pagar le desconta-
ron el precio de tres cuadernos. Encuentra una expresión que represente la
transacción.

3. Considera la siguiente situación: Juan Pablo y Renata compraron peras y
manzanas en oferta. Las peras a m pesos el kilogramo y las manzanas a t pe-
sos el kilogramo. Juan Pablo compró 3 kilogramos de pera y 2 kilogramos de
manzanas; Renata compró 5 kilogramos de pera y 1 kilogramo de manzana.
a) ¿Cuántos kilogramos de pera compraron entre los dos?

b) Encuentra una expresión para el costo de los kilogramos de pera.

c) ¿Cuántos kilogramos de manzana compraron entre los dos?

d) Encuentra una expresión para el costo de los kilogramos de manzana.

e) Si pagan con un billete de $200.00, encuentra una expresión para el cam-
bio que les dieron por su compra.

4. Resuelve lo siguiente:
a) Si al quíntuple de un número le descontamos el doble del mismo número
nos da 105, ¿de qué número se trata?
b) Al comprar 15 calculadoras a b pesos cada una, se hace un descuento de
$525.00altotaldelacompraysepagan$2925.00.¿Cuáleselpreciodecada
calculadora?
5. Completa el cuadro para que la suma de los renglones, columnas y diagonales
sea 0.
3
4
p
1
2
p
p
−3
4
p

38
Sumas y restas de polinomios
Práctica 11
Matemáticas
rápidas
1. Encuentra el área del
cuadrado interior:
t
1
Al sumar dos o más monomios con distintas literales obtenemos un polinomio.
Por ejemplo: – 3 a + b; 5m – 2 n + 1; 2x – 3 y – t. Los polinomios también pue-
den sumarse y restarse, para ello tenemos que usar las propiedades conmuta-
tiva y asociativa para agrupar los monomios que tengan las mismas literales y
entonces se realiza la operación de monomios correspondiente.
Ejemplos:
1. (2a – 3b)+(a + 4b) = 2a – 3b + a + 4b = (2a + a) + (–3b + 4b) = 3a + b.
2. (4n + m) – (3n – 3m) = 4n + m – 3n + 3m = (4n – 3n) + (m + 3m) = n + 4m.
3. (3j – 4k + 5r) + (–2j + k – 6r) = 3j – 4k + 5r – 2j + k – 6r = (3j – 2j) + (–4k + k) +
(5r – 6r) = j – 3k – r.
Por otro lado, existen expresiones que representan lo mismo, a estas expresio-
nes se les llama equivalentes.
Por ejemplo, el área de la siguiente figura se puede expresar de dos formas:
1. Área = a(a + 2)
2. Área = a2
+ a + a = a2
+ 2a
En la primera expresión, se considera el rectángulo completo, cuya base y al-
tura miden a + 2 y a, respectivamente. En la segunda expresión, el área del
rectángulo se divide en tres partes: un cuadrado de lado a y dos rectángulos
de base 1 y altura a.
Entonces, las expresiones a(a + 2) y a2
+ 2a son equivalentes. Esto lo escribi-
mos así:
a(a + 2) = a2
+ 2a.
a
a 1 1

39
¿Existen
dos números,
a y b, tales que
a + b = 1 y –a –b = 0?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Efectúa las siguientes sumas y restas de polinomios:

a) (3a – 7b) – (4a – b) b) 2x +
3
2
y –
5
3
x – 2y
c) (6t – 3r + 2w) – (–3t – r + 4w) d) (
1
2
m + 3n) + (m –
1
3
n)
2. Completa el cuadro de manera que la suma de renglones, columnas y dia-
gonales sea –6x + 9y.
–0.5x + 4.5y –1.5x + 3.5y
–3x + 2y –2x + 3y
–3.5x + 1.5y
3. Escribe dos expresiones equivalentes para las áreas totales de las siguien-
tes figuras:
c
c
c c bc
b
a
a
1 1
1 1
a)
b)

40
Algunas expresiones algebraicas se pueden obtener de otras haciendo algu-
nas operaciones, cuando esto sucede decimos que las expresiones son equi-
valentes.
Ejemplo:
[(t − 2) − 3] [w − (w + t)] es equivalente a t2
− 5t, ya que
[t −2 − 3] [w −w − t]
= [t −5][t]
= t2
−5 t
En geometría, las expresiones algebraicas nos pueden ayudar a resolver pro-
blemas de cálculo de áreas en los que una expresión complicada pude sim-
plificarse; por ejemplo, tenemos dos formas de representar el área sombreada
de la siguiente figura:
1. Para encontrar el área de los rectángulos sombreados, del área total tene-
mos que restar el área de los rectángulos blancos, por tanto:
(a + d) (b + c) − ac − bd = ab + ac + bd + cd − ac − bd = ab + cd
2. Como la figura sombreada son dos rectángulos, entonces su área es la
suma de las áreas de dichos rectángulos: ab + cd.
Por supuesto que la segunda expresión es más fácil de manejar, pero am-
bas expresiones son equivalentes:
(a + d) (b + c) − ac − bd = ab + cd
Práctica 12
Equivalencia de expresiones
algebraicas
Matemáticas
rápidas
1. En la siguiente
tabla, los renglones,
columnas y
diagonales deben
sumar lo que se
indica en el título,
complétala:
6n − 12
2n − 8 2n + 2
2n +4 2n − 4
2n − 2
da
ccc
da
bbb
da

41
¿Podrán ser
equivalentes
las expresiones
algebraicas a + b = 1 y
u + v = 1 ? ¿Por qué?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Considera la figura anterior. Encuentra dos expresiones algebraicas equi-
valentes para el área del rectángulo con lados b y d.
2. Relaciona las siguientes columnas de expresiones algebraicas equivalentes:
2a − 5b − ( 7a − b) a)
3
4
m

3
4
m −
1
2
m + m b)
1
2
m
7a + 3b − (− 2b + a) c) 5a + 4b
2m −
3
2
m d) − 5a − 4b

1
4
m + m −
1
2
m e)
5
4
m
− 5a −b −(−10a − 5b) f) 6a + 5b
3. Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes para cada una de las si-
guientes figuras:
b b
b
c
b
b
ccc
a
1
3
a 1
5
a )
c )
b )
d )

42
El volumen es el espacio delimitado por superficies, no necesariamente pla-
nas. El volumen del cubo es el más sencillo para calcular:
V = l × l × l = l3
Las fórmulas para calcular los volúmenes de prismas y pirámides son:
Prismas: V = A × h Pirámides: V = A × h
3
Donde A es el área de la base y h es la altura. Recuerda que si la base de un
prisma o pirámide es un polígono regular, su área se calcula por medio de la
fórmula: A = P × a
2
donde P es el perímetro del polígono y a es el apotema.
Ejemplo: Calcular el volumen del siguiente prisma, si L = 5, a = 1.68 cm y h =11 cm.
Perímetro del pentágono:
P = 5 × 5 = 25
Área del pentágono:
A = 25 × 1.68
2
= 42
2
= 21
Volumen del prisma:
V = 21 × 11 = 231
Práctica 13
Volumen
l l
l
Apotema
h
L
a
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuál es el volumen
de una pirámide
construida dentro de
un cubo de lado 12?

43
1. En una caja caben 10 cubos a lo largo, 6 a lo ancho y 5 a lo alto.
a) ¿Cuántos cubos caben en la base de la caja?
b) ¿Cuántos cubos caben en total?
c) Si los cubos miden un centímetro de lado, ¿cuál es el volumen de la caja?

2. Calcula el volumen de un prisma
cuya base es un cuadrado de lado 3
y la altura del prisma es 7.

3. ¿Cuál es el volumen de una pirámi-
de con base cuadrada de lado 5 y
una altura de 12?
4. Calcula el volumen de una pirámide
cuya base es un triángulo equilátero
de lado 5, su altura mide 8.33 y la al-
tura del prisma es de 8.

5. Calcula el volumen de un prisma
cuya base es un triángulo rectángu-
lo isósceles. Los lados que forman el
ángulo recto miden 5 cada uno y la
altura del prisma es 12.5.
Construye cuatro
triángulos
equiláteros iguales
con seis segmentos
del mismo tamaño, de
maneraqueelsegmento
sea el tamaño de los
lados de los triángulos.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
5cm
5 cm
12.5cm

44
Matemáticas
rápidas
1. ¿Qué es un mililitro?
2. ¿A cuántos
centímetros cúbicos
equivale un litro?
Práctica 14
Recuerda que las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pi-
rámides son:
Cubo
V = l3
Donde l es el lado
del cubo.
Prisma
V = A × h
Donde A es el área del
polígono regular que
tiene como base y h es
la altura del prisma.
Pirámide
V =
A × h
3
Donde A es el área del
polígono regular que
tiene como base y h
es la altura del prisma.
Aunque las fórmulas son para encontrar el volumen, a partir de ellas pode-
mos encontrar los otros elementos involucrados, por ejemplo: un envase de
720 mililitros de capacidad tiene forma de prisma cuadrangular, si la altura
del empaque es de 20 cm, ¿cuánto miden los lados del cuadrado de la base?
De la fórmula de volumen para prismas sabemos que: 720 = A × 20. De aquí
podemos saber cuánto mide el área de la base cuadrada aplicando la opera-
ción contraria a multiplicar por 20, que en este caso es dividir entre 20, enton-
ces 720
20
= A y de esto obtenemos que 36 = A.
Ahora, como sabemos que la base es un cuadrado, la fórmula para encontrar
su área es A = l2
, por tanto, aplicamos la operación contraria a “elevar al cua-
drado”, que en este caso es encontrar la raíz cuadrada, y si hacemos la opera-
ción √36 = √ 6 2
obtenemos que 6 = l.
Actividades
1. Completa la siguiente tabla para encontrar el volumen de una alberca rec-
tangular, cuyos lados miden 8 y 12 metros respectivamente y la profundi-
dad es de 1.2 metros.
Fórmula Resultado
Área de la base
Volumen
Volúmenes de cubos,
prismas y pirámides rectos

45
Si dos recipientes
tienen la misma
forma pero las medidas
de uno son la mitad de
las medidas del otro,
¿cuál será la relación
entre sus volúmenes?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
2. Lee el siguiente problema y completa la tabla para encontrar su solución:
Se requiere construir una cisterna con una capacidad de 4 m3
de agua en
una superficie rectangular. Si la base es un rectángulo de 2 m de largo por
1.3 m de ancho. ¿Cuál debe ser la profundidad de la cisterna?
Área de la base Volumen
Datos
Fórmula
Operación contraria
Resultado

3. Resuelve los siguientes problemas:
a) Se necesitan tapas de plástico para un juego de seis vasos que son pris-
mas octagonales. El apotema mide 3 cm y el área de las tapas debe ser
de 300 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la tapa?
b) La Gran pirámide de Egipto ocupaba un volumen total de aproximada-
mente 2.6 millones de metros cúbicos y su base cuadrada mide 230.3 m
por lado. Se piensa que estaba coronada por una pequeña pirámide de oro
sólido que desapareció. Si la altura actual de la Gran pirámide es de 137 m,
¿cuál habría sido la altura máxima de la pequeña pirámide de oro?

46
Proporcionalidad inversa
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuántas parejas
de números
enteros dan 10 al
multiplicarse?
Práctica 15
Decimos que dos números son inversamente proporcionales si su producto
es constante; es decir, x, y son inversamente proporcionales si
xy = k,
donde k es un número fijo. Para este tipo de proporcionalidad, su gráfica es
una curva que no cruza ninguno de los ejes, por ejemplo:
Para encontrar algunos puntos de la gráfica que corresponde a la proporción
inversa xy = 2, podemos hacer una tabla como la siguiente dando valores a
una de las variables, por ejemplo a x:
y =
2
x
x
2
0.5
= 40.5
2
1
= 21
2
1.25
= 1.61.25
2
2.5
= 0.82.5
0 1 2 3 4
x
A
B
C
4
3
2
1
y
A: xy = 1 y =
1
x
B: xy = 2 y = 2
x
C: xy =
1
2
y =
1
2x

47
1. Considera la relación “el producto de dos números es 24”. Completa la ta-
bla y la gráfica que modela esa relación.

x y
1 24
2
3 8
4
6
8
12
24

2. En un salón de clase se planea comprar un proyector. Si el costo es de
$6400.00, completa la siguiente tabla para calcular cuánto pagaría cada
alumno. Por medio de la gráfica calcula de cuánto sería la cooperación si
sólo participan 12 alumnos.
Cantidad
de alumnos
Cooperación
(pesos)
4
5
8
10
16
20

Observa las gráficas
de la proporción
inversa. ¿Para qué
número ambas
coordenadas deben ser
iguales?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
24222018161412108642
x
y

48
1. Matemáticas
rápidas
1. Consideremos el
experimento “lanzar
un dado tres veces
consecutivas”.
a) ¿Cuántos
elementos
tiene el espacio
muestral?
b) ¿Cuál es la
probabilidad de
que salga un
6 en todos los
lanzamientos?
c) ¿Cuál es la
probabilidad de
que se repita el
mismo número
en todos los
lanzamientos?
Práctica 16
Un diagrama de árbol es una herramienta muy útil para calcular el total de
casos posibles de un experimento aleatorio, lo que permite calcular la proba-
bilidad asociada a cada evento.
Ejemplo:
¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un dado y una mo-
neda?
Resultados
Sol Águila
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Observa que las ramas finales muestran cada una de las combinaciones posi-
bles, de modo que si las contamos sabremos el total de casos posibles.
Si se quiere calcular la probabilidad de sacar un sol en la moneda y un núme-
ro par en el dado, sólo hay 3 ramas que tienen esa combinación de un total de
12 posibles, por lo que la probabilidad de obtener sol y par es:
P (sol, par) =
3
12
=
1
4
Otra forma de contar la totalidad de casos posibles de un evento aleatorio es
hacer una tabla. La tabla del ejemplo anterior es la siguiente.
1 2 3 4 5 6
Sol (s) (s, 1) (s, 2) (s, 3) (s, 4) (s, 5) (s, 6)
Águila (a) (a, 1) (a, 2) (a, 3) (a, 4) (a, 5) (a, 6)
Probabilidad

49
Si lanzo una moneda
y cae “águila”, ¿cuál
es la probabilidad de
que en el siguiente
lanzamiento también
caiga “águila”?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Considera el experimento de tirar dos dados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos números sean iguales?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 10?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?
d) ¿Cuál es la probabilidad de ambos números sean pares?
2. Considera el experimento de lanzar tres monedas.
a) ¿De cuántas formas pueden caer las caras?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos águilas y un sol?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que obtener al menos un sol?
Actividades

50
¿2 × 2 = 0?
¿Te imaginas qué pasaría si 2 × 2 = 0? O si 2 × 2 = 1. Aunque no lo
creas, se pude definir un objeto donde las operaciones no dan los
resultados que conocemos.
Por ejemplo, consideramos los números {0, 1, 2}, queremos defi-
nir la multiplicación de manera que el resultado sea uno de esos
números, por lo que construimos la siguiente tabla:
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
Esta multiplicación es asociativa, conmutativa y tiene elemento
neutro, pero observamos que 2 × 2 = 1. De hecho, observamos
algo más: 12
= 1 y 22
= 1.
Otro ejemplo lo trabajaremos con los números {0, 1, 2, 3} y aná-
logamente al caso anterior, construimos la tabla de la multipli-
cación:
× 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
En este caso, la multiplicación también es asociativa, conmuta-
tiva y tiene elemento neutro. Además observamos que 2 × 2 = 0,
3 × 3 = 1 o que 3 × 2 = 2.
Estas colecciones de números con operaciones curiosas son un
ejemplo de un tipo de estructuras algebraicas que son estudia-
das por los matemáticos y suelen aparecer en todo momento. Así
como se definió la multiplicación, se puede definir una suma con
resultados poco empíricos.
Lo anterior, aunque no lo creas, se usa en la vida cotidiana, por
ejemplo:
• En la computación, se utilizan los números {1, 0} que represen-
tan la presencia de corriente eléctrica.
• En las telecomunicaciones, se usan distintos códigos para la
transmisión de datos, y para ello se utilizan algunos de estos
objetos.
Matemáticas
curiosas

52
Bloque3 Problemas que implican
multiplicaciones o divisiones
con expresiones algebraicas.
Justificación de la suma de los
ángulos internos de cualquier
triángulo o polígono.
Problemas que implican la relación
entre unidades cúbicas y de
capacidad.
Lectura y comunicación de
información mediante histogramas
y gráficas poligonales.

53
Contenido
Desafío 3
Buscando un buen promedio
Prácticas
17. Jerarquía de operaciones
18. Multiplicación de expresiones
algebraicas
19. Ángulos interiores de polígonos
20. Figuras que cubren el plano
21. Unidades de capacidad y volumen
22. Relaciones de proporcionalidad
23. Histogramas y gráficas poligonales
24. Propiedades de la media y la mediana

54
Consigna
En parejas, analicen la siguiente situación y respondan los planteamientos.
1. En el tercer bimestre, Fernanda obtuvo las siguientes calificaciones: 8.5,
8.3, 9 y 8.7. Le falta una calificación para obtener su promedio final, y ne-
cesita saber si obtendrá al menos 9, ya que tiene el interés de solicitar una
beca.
a) Calculen su promedio hasta el momento (la escala de calificaciones va
de 5 a 10).
b) Encuentrenunaexpresiónalgebraicaparaplantearelpromediodelascin-
co calificaciones y representa la calificación faltante con una incógnita.
2. Completen la siguiente tabla en la que se muestran algunas de las posibles
calificaciones que Fernanda puede obtener. Utilicen la expresión que en-
contraron en la indicación anterior:
Quinta calificación Promedio
5
6
7
8
9
10
Desafío
Que el alumno
resuelva problemas
que impliquen el uso
de ecuaciones de
la forma ax + b e
Identifique, interprete
y exprese relaciones
de proporcionalidad
directa o inversa,
algebraicamente o
mediante tablas y
gráficas.
Buscando un buen promedio
3

55
a) ¿Podrá Fernanda obtener un 9 en su promedio final? Expliquen su res-
puesta.

b) ¿Podrá Fernanda obtener un 6 en su promedio final? Expliquen su res-
puesta.

3. Comparen la expresión que encontraron con otros compañeros. Argu-
menten cómo las obtuvieron.
4. Con ayuda de su profesor, expliquen algebraicamente por qué no es posi-
ble que Fernanda pueda obtener un 9 en su calificación final.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas

56
Matemáticas
rápidas
de la siguiente
suma?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
+ 7 + 8 + 9 + 10
de la siguiente
suma?
2 + 4 + 6 + 8 + 10
+ 12 + 14 + 16 + 18
+ 20
Jerarquía de operaciones
Práctica 17
Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, algunas de las cuales
están entre paréntesis, se buscan los resultados de cada operación, yendo de
los paréntesis internos hacia los externos. Los paréntesis indican, por tanto,
el orden en que deben hacerse las operaciones.
Ejemplos:
a) 4 × [3 + (10 4 2)] = 4 × [3 + 5] = 4 × 8 = 32
b) [(4 × 3) + 10] 4 2 = [12 + 10] 4 2 = 22 4 2 = 11
c) (4 × 3) + (10 4 2) = 12 + 5 = 17
Observa cómo varían los resultados según como se coloquen los paréntesis.
Si en una expresión con varias operaciones hay paréntesis, existe una serie de
reglas que permiten llevarlas a cabo de manera única. Estas reglas se conocen
como jerarquía de operaciones y son las siguientes:
1º
Se resuelven potencias y raíces de números (si las hay).
2º
Se realizan multiplicaciones y divisiones (si las hay).
3º
Se resuelven las sumas y restas (si las hay).
Algunas operaciones funcionan como paréntesis. Por ejemplo, para resolver
la siguiente operación, primero se deben resolver las multiplicaciones, des-
pués la resta y por último la división por 11:
8× 4 − 5 × 2
11
= 32 − 10
11
= 22
11
= 2
En la siguiente operación primero se hacen las multiplicaciones, seguidas de
la suma y por último la raíz cuadrada:
√5 × 20 + 23 × 3 = √100 + 69 = √169 = 13
Actividades
1. Resuelve las siguientes operaciones.
a) = 8× 5 − 25
5
b) = 3 (23
− 4 4 2)
c) = 5× √25
3
− 2(2
3
+ 12
3 )
d) = √(− 5)(3 − 7) + 2.9 × 10

57
Si el quíntuple
del cuadrado de
la mitad de la raíz
cuadrada de un número
es 245, ¿de qué
número se trata?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
2. Resuelve la siguiente operación:
2(6
5
− (7 − 3)2
5 )− √81 4 3 =
3. Enlassiguientesoperacionescolocalosparéntesisdondecorrespondan,para
que el resultado sea correcto:
a) 42
− 32
× √81 = − 65
b) 6 × 5 − 25 4 4 = − 30
c) − 20 + 4 4 3 = − 8
d) − 42
− 4 4 2 × 5 = 6
4. Resuelve el siguiente problema:
Se reparten $45285.00 entre cuatro personas de la siguiente manera: a la pri-
mera persona le tocan $3570.00 más que a la segunda persona; a la segunda
persona le tocan $700.00 menos que a la tercera persona; a la tercera persona
letocalamitaddeloqueletocaalacuartapersonamás$1680.00;yalacuarta
persona le tocan $15230.00. ¿Cuánto le toca a las demás personas?

58
Matemáticas
rápidas
1. La cantidad de euros
que tengo es la
misma que su valor
en pesos; la cantidad
de yenes es su valor
en pesos menos
uno; la cantidad
de dólares es el
doble de su costo
en pesos. ¿Cuántos
pesos tengo?
Encuentra una
expresión algebraica
para esta situación.
Práctica 18
Para multiplicar monomios, sigue estos pasos:
1º
Se multiplican los coeficientes.
2º
Si las literales son las mismas, también se multiplican usando las leyes de
los exponentes.
Ejemplo:
(3x)(− 2x) = − 6x2
3º
Si las literales son distintas, se multiplican los coeficientes y la multiplica-
ción de literales se queda indicada, es decir, las literales se escriben tal cual.
Ejemplo:
(− 2x) (−y) = 2xy
Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio
por cada uno de los términos del polinomio, por ejemplo:
3x(− 2x − y) = (3x)(− 2x) − (3x) (y) = 6x2
− 3xy
Ahora, para multiplicar polinomios se debe multiplicar cada uno de los
términos de uno de ellos, por cada uno de los términos del otro, por ejemplo:
(3a − b)(2a + 4b) = (3a)(2a) + (3a)(4b) − (b)(2a) − (b)(4b)
= 6a2
+ 12ab − 2ab − 4b2
= 6a2
+ 10ab − 4b2
Actividades
1. Realiza las siguientes multiplicaciones:
a) (− 4n) (2n) =
b) (3t)(− t + 4k) =
c) (− 2x + 3z) (x + z) =
d) (2a − 3b) (2a + 3b) =
Multiplicación de expresiones
algebraicas

59
3. Encuentra el factor para que el resultado en cada operación sea correcto.
a) (− 3w)( ) = 12wt
b) ( )(− 2n − 3m) = ( )(− 2n) − ( )(3m) = 10mm + 15m2
c) (3x + 2y)( ) = (3x)( ) + (2y)( ) = 3x2
y + 2xy2
4. Encuentra una expresión algebraica, según lo que se indica en cada caso.
a) El largo del rectángulo
b) El ancho del rectángulo
c) El perímetro y el área
del perímetro del
rectángulo rojo
Tengo n canicas
en n –9 bolsas
y en cada bolsa tengo
n
3
canicas. Escribe una
expresión algebraica
para esta situación.
¿Se puede saber la
cantidad de canicas?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
2. Encuentra una expresión algebraica que represente el área de las siguientes
figuras:
a) b)
5x
x m
m + 5
A = 8y2
+ 12y
2y + 3
A = 12x2
− 15x 3x
b + 5
6b + 4
A = 3b + 15

60
Figura
Número
de lados
Número de triángulos que se
forman al trazar diagonales
desde un solo vértice
Suma de
ángulos
interiores
Práctica 19
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuánto suman los
ángulos interiores
de un polígono
regular de 20 lados?
2. ¿Cuántos lados tiene
el polígono regular
cuyos ángulos
internos suman
4500°?
Todo cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos si trazas una dia-
gonal desde cualquiera de sus vértices:
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, la
suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es el doble; es decir, 360°.
Los polígonos regulares también se pueden descomponer en triángulos a par-
tir de uno de sus vértices, como se muestra en la figura.
En este caso, el polígono es de 7 lados y vemos que se puede descomponer en
5 triángulos, por tanto, la suma de sus ángulos internos es: 7× 180O
= 1260O
.
Actividades
1. En las siguientes figuras traza las diagonales desde un solo vértice y completa
la tabla.
Ángulos interiores de polígonos
A
B
C
D

61
Figura
Número
de lados
Número de triángulos que se
forman al trazar diagonales
desde un solo vértice
Suma de
ángulos
interiores
Polígono de n lados
Cuando hacemos
que la cantidad de
lados de un polígono
regular crezca, la suma
de sus ángulos internos
crece, pero ¿qué pasa
con los ángulos de
los triángulos que se
forman dentro de él?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
2. Sin hacer el dibujo, calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes
polígonos:
Polígono Suma de los ángulos interiores
a) Eneágono (nueve lados)
b) Decágono (diez lados)
c) Endecágono (once lados)
d) Dodecágono (doce lados)

62
Matemáticas
rápidas
1. ¿La figura clásica de
los rompecabezas
será una tesela?
¿Por qué?
Práctica 20
En matemáticas, cubrir el plano se refiere literalmente a acomodar repetida-
mente una o más figuras a modo de rompecabezas, sin que se encimen, sin
dejar huecos y cuidando que se llene.
A este proceso se le llama teselar el plano; a las figuras que lo cubren se les
llama teselas y a la figura que forman se le llama teselación.
Las siguientes figuras son una muestra de teselaciones conocidas:
Actividades
1. Completa la siguiente tabla.
Polígono
regular
Número
de ángulos
Suma de ángulos
interiores
Medida
de cada ángulo
Triángulo 3 180°
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono 128.57° aprox.
Octágono 135°
Eneágono 9
Decágono
Endecágono 11 1620° 147.27° aprox.
Dodecágono 12
Figuras que cubren el plano

63
¿A qué crees que
se debe que sólo
algunos polígonos
regulares pueden
cubrir el plano sin dejar
huecos ni encimarse?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1
2
1
2
3
1 2
1
2
3
4
5
2. Con base en la tabla anterior, responde las preguntas para cada una de las
siguientes figuras.
a) ¿Cuánto miden los ángulos
1 y 2 del hexágono regular?
b) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2?
c) ¿Cuánto mide el ángulo que
permitiría cubrir el hueco que
queda?
d) ¿Cabría otro hexágono regular
en ese hueco?
a) ¿Cuánto mide cada uno de los
ángulos 1, 2 y 3?
b) ¿Cuánto mide la suma de los
ángulos 1, 2 y 3?
permitiría cubrirel hueco que queda?
d) ¿Cabría otro pentágono en ese
hueco?
a) ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2
del octágono regular?
b) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2?
d) ¿Cabríaotrooctágonoenesehueco?
a) ¿Cuánto miden los ángulos 1, 2, 3,
4, y 5 de los triángulos equiláteros?
b) ¿Cuánto suman los cinco ángulos?
d) ¿Cabría otro triángulo en ese
hueco?

64
Matemáticas
rápidas
1. ¿Qué capacidad
tiene un envase de
base rectangular,
cuyos lados miden 5
y 10 cm y su altura
es de 20 cm?
Práctica 21
Un litro es la capacidad de una caja cúbica de un decímetro de arista; es decir,
que tiene un volumen de un decímetro cúbico.
Algunas medidas de capacidad son las siguientes:
Símbolo Unidad de capacidad Equivalencia en litros
kl kilolitro 1 000 l
hl hectolitro 100 l
dal decalitro 10 l
l litro 1 l
dl decilitro 0.1 l
cl centilitro 0.01 l
ml mililitro 0.001 l
Para expresar alguna de las unidades de capacidad en términos de otra, se
multiplica por 10 o se divide entre 10, según sean las unidades involucradas.
Algunas medidas de volumen en el Sistema Internacional de Unidades son las
siguientes:
Símbolo Unidad Equivalencia (metros cúbicos)
km3
kilómetro cúbico 1000000000 m3
hm3
hectómetro cúbico 1000000 m3
dam3
decámetro cúbico 1000 m3
m3
metro cúbico 1 m3
dm3
decímetro cúbico 0.001 m3
cm3
centímetro cúbico 0.000001 m3
mm3
milímetro cúbico 0.000000001 m3
Una relación que es muy importante es: un kilogramo es el peso de un litro
de agua.
Unidades de capacidad y volumen

65
¿Qué parte del
volumen del cubo
ocupa la pirámide
de colores?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Convierte las siguientes unidades en litros:
a) 4 kl = L b) 2.5 dal = L
c) 3.49 hl = L d) 3 ml = L
e) 28 cl = L f) 9.5 dl = L
g) 84 cl = L h) 0.5 ml = L
i) 745 ml = L j) 0.9 dal = L
2. Escribe las siguientes cantidades en metros cúbicos:
a) 8 km3
= m3
b) 5.2 dam3
= m3
c) 3.49 hm3
= m3
d) 3 mm3
= m3
e) 28 cm3
= m3
f) 5.5 dm3
= m3
g) 86 cm3
= m3
h) 0.5 km3
= m3
i) 545 mm3
= m3
j) 0.9 dam3
= m3
3. Indica si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero (V) o falso (F).
a) En un metro cúbico caben 1000000 centímetros cúbicos. ( )

b) Un metro cúbico es equivalente a 100000 centímetros cúbicos. ( )
c) El peso de medio litro es medio kilogramo. ( )
d) En un decímetro cúbico caben 1000 centímetros cúbicos. ( )
e) 5 gramos es el peso de 50 centímetros cúbicos de agua. ( )

66
Matemáticas
rápidas
1. Si tenemos dos
rectángulos cuyas
medidas de uno son
6 y 4 y las medidas
del otro son la mitad,
¿cuántas veces es
mayor el área del
rectángulo grande?
Práctica 22
Una relación de la forma y = kx describe una variación directamente propor-
cional, en la que x es una variable independiente, y es la variable dependien-
te y k es un número fijo llamado constante de proporcionalidad.
El hecho de que x sea una variable independiente quiere decir que puede to-
mar cualquier valor que se le asigne; mientras que la variable y depende del
valor que se le asigne a x para tomar algún valor.
Actividades
1. Completa la siguiente tabla:
y =
4
5 x
x
4
5 (− 5) = −
20
5 = − 4
− 5
− 3
−
3
2
−
2
5
0
1
7
5
2.3
13
5
4
4
Relaciones de proporcionalidad

67
Si tenemos un
prisma cuya base
es un polígono regular
y aumentamos sus
medidas en un factor
mayor que 1, digamos
n, ¿cómo aumenta su
volumen?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
2. Completa las siguientes tablas y escribe la expresión algebraica que relaciona
a las variables que aparecen en ella:
a)
b 2.3 4.2 5.7 8.1 9.4
a 25.3 89.1 103.4
Expresión algebraica:
b)
u 300 423 501 732 810
v 150.3 219.6
c)
t 9 12 15 18 21
w 1440 1680
a) Si para cubrir el piso de una habitación de 24 m2
se gastaron 2800 pe-
sos, ¿cuál será el costo para cubrir el piso de una habitación de 53 m2
con los mismos materiales?
• Escribe una expresión algebraica que represente esta situación.

• ¿Cuál es el valor de k?

b) Un estudiante escribe en promedio 215 palabras en 3 horas. Si tiene
que entregar un trabajo de 1400 palabras, ¿cuánto tiempo tardará en
escribirlo?
• Escribe una expresión algebraica que represente esta situación.

• ¿Cuál es el valor de k?

68
Práctica 23
Matemáticas
rápidas
1. Si lanzamos dos
dados al mismo
tiempo y sumamos
los números que
se obtengan, ¿qué
suma será la más
común?
Un histograma es una representación gráfica de la frecuencia con la que se
presenta una variable dentro de un conjunto de datos.
¿Cómo se construye un histograma?
• El eje horizontal se separa en intervalos de longitud uniforme, que corres-
ponde a alguna clase o agrupación de los datos.
• En el eje vertical se señala cuántas veces se repite cada clase, es decir, la
frecuencia.
• Sobre cada intervalo se construye un rectángulo con la altura de la frecuen-
cia correspondiente.
Es importante señalar que:
• Las clases en el eje horizontal deben ser contiguas, de manera que las barras
no están separadas.
• La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia con la que se
presenta cada clase.
Un polígono de frecuencia se forma al unir con segmentos los puntos medios
del extremo superior de cada rectángulo de un histograma.
Es importante mencionar que:
• Los polígonos de frecuencias son más útiles cuando se trata de datos que
varían con el tiempo.
• Se puede hacer un polígono de frecuencias sin trazar el histograma si se
toma solamente el punto medio de cada clase, conocido como marca de
clase, y la altura correspondiente.
Ejemplo:
Se registró la edad de los alumnos
de una escuela y se obtuvieron los
siguientes datos.
Edad (años) Alumnos
12 2
13 6
14 9
15 1
Total 18
La gráfica muestra el histograma (en
barras) y el polígono de frecuencias
(línea poligonal en rojo) correspon-
diente a los datos de la tabla.
Histogramas y gráficas poligonales
Númerodealumnos
10
8
6
4
2
0
12 13 14 15
Edad (años)

69
La gráfica indica
cómo ha aumentado
la esperanza de vida en
nuestro país desde la
década de 1930.
1. ¿Qué se puede
deducir de la gráfica?
2. ¿En qué época la
diferencia es mayor?
*Gráfica tomada del INEGI:
http://cuentame.inegi.org.mx/
poblacion/esperanza.
aspx?tema=P
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Contesta lo que se pide.
La tabla muestra la tasa de inflación en México entre los años 2000 y 2010. La
inflación es el promedio de aumento de los precios al consumidor, expresado
como porcentaje.
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
9 6.5 6.4 4.5 5.4 4 3.4 4 5.1 3.6 4.1
a) Dibuja el polígono de frecuencias correspondiente a los datos.
b) ¿En qué año se reportó la tasa más baja de inflación?
c) Entre los años 2000 y 2006, ¿cuál era la tendencia de la tasa de inflación?
d) ¿Entre qué años la tasa de inflación registró una tendencia a crecer?
e) ¿Existe alguna tendencia de la tasa de inflación a partir de 2003? Explica.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
33
45.1
58.8
68
70.9 71.5 72.1
34.7
48.7
63
75 76.4 77 77.5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010

70
Práctica 24
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuál es el promedio
de los siguientes
números?
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,
16, 18 y 20
1. Para todo conjunto de datos x1
, x2
, x3
..., xn
con una media aritmética (o pro-
medio) x sucede que:
• La suma de las desviaciones de cada dato respecto de la media es cero. Es
decir:
(x − x1
) + (x − x2
) + ...+ (x − xn
) = 0
• Si todos los datos tienen un mismo valor, la media es igual a esa misma
constante. Es decir:
x1
= x2
= x = ... = xn
= x
• Si todos los datos se multiplican por una constante k entonces la media
de los nuevos datos es igual a la constante por la media de la muestra
original. Es decir:
kx es la media de kx1
, kx2
, ..., kxn
.
• Si a todos los datos se les suma o resta una cantidad constante entonces
la media de los nuevos datos es igual a la media de la muestra original
más (o menos) la misma constante. Es decir:
x ± k es la media de (x1
+ k), (x2
+ k), ..., (xn
+ k)
,x2
, x3
, ... xn
con una mediana Md
:
• La mediana del conjunto es única.
• La mediana no cambia en presencia de valores extremos.
• La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra mitad de los
datos son mayores.
,x2
, x3
, ... xn
con una media aritmética x y me-
diana Md
:
• Se dice que el conjunto de datos es simétrico si la media aritmética es
igual a la mediana.
• Si la media aritmética es mayor que la mediana, se dice que el conjunto
de datos tiene una asimetría positiva.
• Si la media aritmética es menor que la mediana, se dice que el conjunto
de datos tiene una asimetría negativa.
Propiedades de la media
y la mediana

71
Si conocemos
el promedio de
una muestra, pero
nos falta un dato,
¿podemos conocer
el dato faltante?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Considera las propiedades de la media y la mediana para contestar las si-
guientes preguntas.
a) La media del salario en una empresa es de $6983.00. Si en marzo todos
recibieron una compensación extra de $1450.00, ¿cuál es la media del
salario en el mes de marzo?
b) Se reportó que la media de las edades de los niños de un equipo de fut-
bol es de 14 años. De los catorce niños inscritos en el equipo, tres tienen
12 años, cinco tienen 13 años, cuatro tienen 14 años y dos tienen 17
años. Utiliza la propiedad que afirma que la suma de las desviaciones
respecto de la media es cero, para verificar si el reporte es correcto.
c) La media de los precios de las bebidas en la cafetería de la escuela es de
3.50 pesos. Si el día de la kermés triplicaron el precio de cada bebida,
¿cuál fue la media del precio de las bebidas el día de la kermés?
2. En los siguientes conjuntos de números, calcula la media y la mediana. Ade-
más, determina si son simétricos o si presentan asimetría positiva o negativa.
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.
b) 10, 11, 3, 5, 7, 10, 9, 14, 16, 10, 2, 5, 7, 8, 3, 12, 18, 6, 4, 10, 15, 10, 15, 13, 8, 17.
c) 3, 5, 2,7, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
d) 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

72
Nudos matemáticos
Seguramente has escuchado sobre el ácido desoxirribonucleico
(ADN), que es una molécula que contiene la información genéti-
ca de un ser vivo; pero tal vez, algo de lo que no has escuchado es
una área de la matemática llamada teoría de nudos. Esta teoría,
como su nombre lo indica, estudia nudos, como los que se mues-
tran en las siguientes figuras:
¿Y cuál es la relación entre estas dos áreas del conocimiento? Una
molécula de ADN es un nudo:
A finales del siglo XX, se empezó a utilizar la teoría de nudos para
estudiar algunas cadenas de ADN. Uno de los actores principa-
les en el estudio de ADN es una enzima llamada topoisomerasa,
que es capaz de recombinar una cadena de ADN, produciendo
así distintas variedades biológicas. Esto quiere decir, matemáti-
camente, que se generan nudos distintos. Una de las preguntas
que surgen de estos estudios es: ¿podría predecirse qué tipo de
molécula resulta después de la intervención de la topoisomera-
sa? Aunque sólo se ha trabajado con ADN de algunas bacterias,
para alguna de ellas sí fue posible.
Matemáticas
curiosas

74
Bloque4 Sucesiones de números enteros a
partir de una regla dada y viceversa.
Problemas que impliquen el uso de
ecuaciones de la forma: ax + b =
cx + d, donde los coeficientes son
números enteros, fraccionarios o
decimales, positivos y negativos.
Relaciones de proporcionalidad
directa o inversa, algebraicamente
o mediante tablas y gráficas.
Problemas que implican la media y
la mediana.

75
Contenido
Desafío 4
Calificaciones
Prácticas
25. Sucesiones
26. Ecuaciones de primer grado
27. Ángulos de un círculo
28. Gráficas de proporcionalidad
29. Problemas de variación lineal
30. Media ponderada

76
Consigna
En equipos de tres integrantes, consideren la siguiente situación y respon-
dan lo que se pide usando una calculadora.
El director de una secundaria, planea premiar el esfuerzo de sus alumnos en
el estudio. Para ello, propuso que si en grupo obtenían en promedio 7.0 de
calificación en un examen general, les organizaría una excursión al Museo de
Arte de la ciudad.
Las calificaciones del examen del grupo B de segundo grado, integrado por 15
alumnos, fueron las siguientes: 3.2, 5.3, 5.5, 5.7, 6.2, 6.5, 6.7, 6.8, 7.5, 7.8, 7.8,
8.3, 8.5, 8.7 y 9.7.
1. Con estas calificaciones, ¿alcanzarán el promedio mínimo para ganar el
premio? Para hallar la respuesta respondan lo siguiente.
a) Calculen la media aritmética de las calificaciones.
b) Calculen la mediana de las calificaciones.
Que los alumnos
resuelvan problemas
que implican calcular,
interpretar y explici-
tar las propiedades
de la media y la
mediana.
Calificaciones
Desafío 4

77
c) Si se quitan la calificación más baja y la más alta, calculen la media arit-
mética con los 13 datos restantes.
d) Calculen la mediana con estos 13 datos.
e) ¿Son diferentes las medias aritméticas? Expliquen su respuesta.
2. Comparen sus resultados con sus compañeros y con ayuda del maestro
respondan:
a) ¿Cuál es el aprovechamiento general del grupo: no suficiente, suficien-
te, bueno, excelente?
b) ¿Cambiaría el aprovechamiento general del grupo si sólo consideramos
la media con 13 datos? Expliquen.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas

78
Matemáticas
rápidas
1. Observa las
siguientes figuras.
¿Qué sucesión
definen?
Sucesiones
Práctica 25
Una sucesión es una relación entre dos números, el que representa el lugar en
la sucesión (primero, segundo, tercero,…) y el número que forma la sucesión.
A cada número que forma la sucesión se le llama término. Podemos acomo-
dar los términos de una sucesión en una lista ordenada y llamaremos n al
lugar que ocupa un término cualquiera de la sucesión empezando por el uno.
Los valores de n son los números naturales (1, 2, 3, 4, ...).
Ejemplos:
a) La sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10,...
b) La sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9,...
c) La sucesión de los múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25,...
Cada sucesión tiene asociada una regla algebraica que permite encontrar
cualquier término de la sucesión. Para hallar la regla hay que identificar cómo
varían los términos.
Ejemplo:
En la sucesión de múltiplos de 3, los términos varían de 3 en 3, por tanto, la
regla algebraica es 3n.
Lugar 1 2 3 4 5 6 ... n ...
× 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
Término 3 6 9 12 15 18 ... 3n ...
Al primer término de la sucesión se le denomina como a1
, al segundo término
como a2
, al tercer término se le nombra a3
; y así sucesivamente hasta el enési-
mo término: El enésimo término de una sucesión de múltiplos es d × n donde
d es la diferencia entre dos términos consecutivos.
Del ejemplo anterior tenemos la siguiente sucesión.
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...
+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3
Figura 1
Figura 2
Figura 3

79
Observa la
siguiente sucesión:
1, 1
2
, 1
4
,1
8
, 1
16
, 1
32
, ... , 1
2n
,...
¿Se “detendrá” en algún
número? ¿En cuál?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Escribe los primeros cinco términos de las siguientes sucesiones y el término
indicado:
a) an
= 8n − 7
a1
a2
a3
a4
a5 ... a20

b) − 4n + 1
a1
a2
a3
a4
a5 ... a100
c) an
=
1
2
n +
1
2
a1
a2
a3
a4
a5 ... a50

2. Encuentra la regla general de las siguientes sucesiones y el término que se
pide:

a)
a1
a2
a3
a4
a5 ... a25 ... an
2 4 6 8 10

b)
a1
a2
a3
a4 a5
... a17 ... an
7 14 21 28
c)
a1
a2
a3
a4
a5 ... a35 ... an
2.5 3 3.5 4.5
d)
a0
a1
a2
a3
a4 ... a70 ... an
34 45 56 78
Actividades
Cada término se encuentra sumando tres al término anterior. Si se compara
con la sucesión de los múltiplos de 3, se ve que:
Lugar 1 2 3 4 5 6 ... n ...
× 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ... × 3 ...
Múltiplos
de 3
3 6 9 12 15 18 ... 3n ...
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ... + 1 ...
Términos 4 7 10 13 16 19 ... 3n + 1 ...

80
Matemáticas
rápidas
Práctica 26
1. Si el triple de un
número aumen-
tado en 3 es igual
al quíntuple del
mismo número
aumentado en 5,
¿de qué número se
trata?
Ecuaciones de primer grado
Las propiedades de la igualdad son básicas para resolver ecuaciones, por lo
tanto es muy importante conocerlas para aplicarlas. A continuación se expli-
can algunas de esas propiedades:
a) Si se suma el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando.
b) Si se resta el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando.
c) Si se multiplica por el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue
conservando.
d) Si se divide entre el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue con-
servando.
e) Una igualdad tiene la siguiente propiedad: si a + b = c entonces c = a + b.
Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades descono-
cidas que se llaman incógnitas.
Ejemplos:
• 6 + 3x = 9 + x La incógnita es x.
• y + 10 = 20 – y La incógnita es y.
• 2 – 5m = 10 + m La incógnita es m.
Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que satis-
face la ecuación; es decir, el valor de la incógnita que hace que la igualdad se
cumpla.
Ejemplo: 6 + 3x = 9 + x
Se resta x en cada lado de la ecuación:
6 + 3x − x = 9 + x − x
6 + 2x = 9
Se resta 6 en cada lado:
6 + 2x − 6 = 9 − 6
2x = 3
Se divide entre 2 en cada lado:
x =
3
2
= 1.5
Para comprobar la respuesta sustituimos el último resultado en la ecuación;
en este caso, 1.5 en lugar de x:
6 + 3(1.5) = 6 + 4.5 = 10.5 9 + 1.5 = 10.5
Si en ambos lados de la igualdad se obtiene el mismo resultado, significa que
x = 1.5 es la solución.

81
Existen algunas
incógnitas que no
lo parecen, porque
son números, pero no
podemos conocerlos
exactamente,
¿conoces alguno?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Comprueba que las siguientes son soluciones de la ecuación dada:
a) y – 10 = 20 – y.
Solución y = 15
b) 2x + 5 = x – 4.
Solución x = –9
c) 2 – 5m = 10 + m.
Solución m = – 4
3
d) 3(a – 20) = 9 – 3a.
Solución a = 23
2
2. Resuelve las ecuaciones y comprueba el resultado:
a) 7x + 5 = 2x + 20
b) 2(3x – 1) = 4(x – 3)
c) 1.5x – 2.3 = 0.25x + 2
d) 2
(x –
3
4)= 4
(3
2
x + 5
)
a) La suma de tres números consecutivos es 192. ¿Cuáles son los números?
b) El perímetro de un rectángulo mide 38 metros. Si su largo mide 7 metros
más que el ancho. ¿Cuánto mide de largo y cuánto mide de ancho?
c) En un triángulo isósceles cuyo perímetro es 16 cm, los lados iguales mi-
den 2 cm más que la base. ¿Cuánto mide la base y cada uno de los lados
iguales?
d) La suma de la cuarta parte y la tercera parte de un número es igual al
doble del número menos 17. ¿Cuál es el número?
Actividades

82
Práctica 27
1. Si un ángulo
central mide 180°,
¿cuánto medirá un
ángulo inscrito que
subtiende el mismo
arco?
Matemáticas
rápidas
Ángulos de un círculo
En un círculo dado, se pueden trazar los ángulos que se muestran en la figura:
El ángulo inscrito es aquel que tiene el vértice sobre la circunferencia y sus
lados son cuerdas del círculo. En la figura anterior el ángulo ABC es un ángulo
inscrito.
El ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferen-
cia y sus lados son radios del círculo. En la figura, el ángulo AOC es un ángulo
central.
Teorema: En un círculo dado, si un ángulo inscrito y un ángulo central sub-
tienden el mismo arco de circunferencia, entonces el ángulo central mide el
doble que el ángulo inscrito.
En la figura anterior, el ángulo ABC y el AOC subtienden ambos el arco de cir-
cunferencia; por tanto, AOC = 2ABC.
Teorema: Para cualquier circunferencia, la tangente en un punto de ésta for-
ma un ángulo recto con el radio en el mismo punto.
En la figura anterior, DE es la tangente y el radio es la distancia de O a C.
A
B
O
C
E
D

83
¿Cuánto mide el ángulo
A de la siguiente
figura?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Encuentra la medida de los ángulos que se indican.
Actividades
Ángulo a =
Ángulo b =
22o
b
c
a)
b)
c)
d)
39o
a
b
a
200o
70o
b
Ángulo b =
Ángulo c =
Ángulo b =
Ángulo a =
A

84
Práctica 28
Matemáticas
rápidas
1. La gráfica de la
relación y =
3
2
x
¿pasará por
el punto (10, 5)?
Gráficas de proporcionalidad
En matemáticas, una relación entre dos conjuntos de cantidades, o variables,
puede representarse gráficamente en un sistema de coordenadas. Una rela-
ción de proporcionalidad y = k x es una expresión que permite encontrar pa-
rejas ordenadas de números, (x, y) en las que cada valor de y se encuentra al
multiplicar un valor de x por el número k.
Ejemplo:
y = 2x
Podemos construir una tabla para ver la relación:
x –3 –1 0 2 3 3.5
y –6 –2 0 4 6 7
De la tabla se obtienen las parejas (– 3, – 6), (– 1, – 2), (0, 0), (2, 4), (3, 6) y (3.5, 7).
Como los valores seleccionados para x son parte de una infinidad de valores
posibles, se representa la relación uniendo estos puntos con una línea recta
continua, como se muestra en la siguiente figura.
Tomando como base lo anterior, podemos enunciar que la gráfica de una rela-
ción de proporcionalidad cumple con las siguientes propiedades:
• Es una línea recta.
• Pasa por el origen de coordenadas, es decir, que pasa por (0, 0).
• El valor de k determina la inclinación de la recta.
y
x
4

2
−2

−4
2 4−4 −2

85
Toma dos valores
de y de la tabla de la
actividad 1 y réstalos;
ahora toma los valores
de x correspondientes
y réstalos en el
mismo orden. Divide
el resultado de los
valores de y entre
el resultado de los
valores de x, ¿qué
resultado obtienes?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Considera la relación y = 1.5 x.
a) Completa la siguiente tabla:
x 0.5 1.5 2.5 3.5 4
y 3.75
b) Traza la gráfica de la relación:
2. Encuentra la relación de proporcionalidad de la siguiente gráfica:
3. Calcula el valor de k a partir de la siguiente tabla:
x – 2 – 1 0 1
y – 1 – 0.5 0 0.5
Actividades
7
6
5
4
3
2
1
x
−2 −1 0 1 2 3 4 5
y
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
y
x
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

86
Práctica 29
Matemáticas
rápidas
1. Constanza toma
clases de tenis
todos los días,
incluyendo los
domingos. Le cobran
75 pesos por media
hora de clase. Si
toma dos horas
diarias, ¿cuánto
paga por semana?
Problemas de variación lineal
En muchas situaciones de la vida real existe una relación entre dos conjuntos
de datos. Por ejemplo: el precio total que se paga en un cine depende de la
cantidad de boletos que se compren, o el tiempo que tarda un objeto en caer
depende de la altura de la que fue soltado.
Cuando las cantidades varían de manera uniforme, entonces se considera
que existe una variación lineal entre esas cantidades.
Como en el caso de los boletos de cine: cada boleto que se agrega a la compra
aumenta el costo total en la misma cantidad (el precio de un boleto).
Ejemplo:
El hermano de Felipe accedió a llevarlo al cine con sus amigos, pero quiere
que le paguen el costo del estacionamiento que cuesta 60 pesos. Cada boleto
de entrada cuesta 45 pesos.
En la siguiente tabla se muestra la variación del costo.
Número de personas 2 3 4 5 6 7
Costo 150 195 240 285 330 375
Para encontrar la expresión algebraica del problema, se representa el costo
con la letra C y el número de amigos con la letra A. Como cada asistente paga
45 pesos, se debe multiplicar 45 por A; y finalmente sumar el precio del esta-
cionamiento. La expresión queda entonces:
C = 45A + 60
En general esta expresión tiene la forma y = ax + b, donde a y b son constantes.
Actividades
1. En un experimento se utilizan gusanos que aumentan de tamaño de acuer-
do con la siguiente ecuación:
L = 1.7 T + 2.3
En donde 2.3 mm es la longitud del gusano cuando sale del huevo y T es el
tiempo en semanas. Completa la tabla y contesta las preguntas.
Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Milímetros 2.3 10.8

87
¿Existe relación
entre este tipo de
variación y la vista
en la práctica 27?
Explica por qué.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
a) ¿Cuántos milímetros crece el gusano cada semana?

b) Uno de los gusanos salió del huevo con 3 mm de longitud, escribe la
ecuación para la longitud de este gusano.

c) La tercera parte de los gusanos fueron sometidos al experimento y se
encontró que en la semana 1 los gusanos medían 4.7 mm y en la semana
2 ya medían 7.1 mm. Encuentra la ecuación para el crecimiento de estos
gusanos.

2. Para promover al equipo femenil de futbol, la escuela le regaló un libro a
cada jugadora. Además, la escuela dará un libro extra a la jugadora que
anote un gol. La escuela encontró que la ecuación que relaciona el número
de goles con el número de libros que tiene que adquirir es la siguiente:
L = G + J
En donde L es el número de libros, G es el número de goles y J es el número
de jugadoras del equipo.
a) Al comienzo del torneo había 15 jugadoras. Reescribe la ecuación para
este equipo.

b) Finalmente, el pedido fue de 37 libros. ¿Cuántos goles anotó el equipo?

c) La escuela decidió aumentar el estímulo a dos libros por cada gol anota-
do en la siguiente temporada. Escribe la ecuación tomando en cuenta
que el número de jugadoras seguirá siendo 15.

88
Práctica 30
Matemáticas
rápidas
1. La batería de un
teléfono celular
dura 8 horas,
aproximadamente,
con la siguiente
distribución de uso:
sistema operativo
54% en las 8 horas;
pantalla, 15% en 6
horas; antena de red
inalámbrica, 8% en 4
horas; música, 12%
en 2 horas; uso de
redes sociales, 6%
en 3 horas; teléfono
en espera, 5% en
2 horas. ¿Cuál es el
porcentaje de uso
promedio de la pila?
Media ponderada
La media ponderada es el procedimiento mediante el cual se calcula la media
de un conjunto de datos en los que se asigna diferente peso o grado de impor-
tancia.
Considera el conjunto de datos x1
, x2
, ..., xn
a los que se les asigna los pesos w1
,
w2
, ..., wn
La media ponderada es:
x =
x1 ,
w1
+ x2 ,
w2
+ ... + xn ,
wn
w1
+ w2
+ ... + wn
Ejemplo:
En un examen, la calificación de la sección de matemáticas equivale al 40% de
la calificación final, la sección de lengua equivale al 30%, la sección de cien-
cias naturales al 15%, la sección de ciencias sociales al 10% y la sección de
expresión artística al 5%.
Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones: matemáticas, 6.3; lengua, 7.8;
ciencias naturales, 8.1; ciencias sociales, 8.7 y expresión artística, 9.5; enton-
ces, la calificación global (Cg) del examen es:
Cg
=
(40)(6.3) + (30)(7.8) + (15)(8.1) + (10)(8.7) + (5)(9.5)
40 + 30 + 15 + 10 + 5
=
742
100
Cg
= 7.42
Actividades
1. Para la calificación bimestral de matemáticas las tareas representan el 33%,
el examen 40%, el proyecto bimestral 12% y el trabajo en clase 15%. Calcula
la calificación del 3.er
bimestre de un alumno que obtuvo 9.4 en tareas, 8.5 en
el examen, 10 en el proyecto bimestral y 8.2 en trabajo de clase.

89
El promedio es un
caso particular de
la media ponderada.
¿Por qué? Explica.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
2. En una empresa, en la nómina mensual, hay 2 empleados que ganan
34000 pesos, 5 empleados que ganan 27500 pesos, 9 empleados que ga-
nan 18900 pesos, 15 empleados que ganan 9700 pesos y 3 empleados que
ganan 4300 pesos. ¿Cuál es el salario mensual promedio en esa empresa?
3. Un terreno está dividido en cinco secciones que se venden de acuerdo con
la ubicación: en la primera sección el metro cuadrado cuesta 597 pesos, en la
segunda sección el precio es de 315 pesos, en la tercera es de 280 pesos, en
la cuarta es de 200 pesos y en la quinta es de 176 pesos. Una constructora
compró 12000 m2
en la primera sección, 30000 m2
en la segunda sección,
22000 m2
en la tercera, 19000 m2
en la cuarta y 44000 m2
en la quinta. ¿Cuál
es el precio promedio por metro cuadrado que pagó la constructora?
4. Un abogado cobra por hora: 100 pesos por la investigación de un caso, 75
pesos por consulta legal y 200 pesos por la redacción de un informe. En el
último caso, este abogado dedicó 5 horas a consulta legal, 12 horas a la in-
vestigación del caso y 9 horas a la redacción del informe. ¿De cuánto fueron
sus honorarios promedio por hora en este caso?

Pensamiento matemático 2

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (14)

Similar a Pensamiento matemático 2

Similar a Pensamiento matemático 2 (20)

Último

Último (20)

Pensamiento matemático 2