bueno

3. Índice
Aritmética Pág.
Razones ........................................................................................................................ 7
Proporciones .............................................................................................................. 13
Magnitudes proporcionales ................................................................................. 18
Regla de tres .............................................................................................................. 24
Álgebra
Leyes de exponentes ............................................................................................... 33
Radicación en R ........................................................................................................ 38
Polinomios ................................................................................................................... 43
Productos notables .................................................................................................. 49
Geometría
Triángulos ..................................................................................................................... 57
Líneas notables y puntos notables .................................................................... 63
Congruencia de triángulos .................................................................................... 68
Aplicación de la congruencia de triángulos ................................................... 74
Trigonometría
Razones trigonométricas de ángulos agudos I ............................................. 83
Razones trigonométricas de ángulos agudos Ii ........................................... 89
Razones trigonométricas de ángulos agudos III ......................................... 96
Razones trigonométricas de ángulos agudos IV ......................................... 102
Física
Vectores .......................................................................................................................... 111
Movimiento rectilíneo uniforme .......................................................................... 117
Movimiento rectilíneo uniformemente variado ............................................ 123
Movimiento vertical de caída libre ...................................................................... 129
Química
Materia ........................................................................................................................... 137
Estructura atómica .................................................................................................... 144
Configuración electrónica ....................................................................................... 151
Tabla periódica actual ............................................................................................... 158
Índice

4. Razonamiento Matemático Pág.
Orden de Información .............................................................................................. 167
Verdades y Mentiras .................................................................................................. 172
Psicotecnico - Arreglos numérico ........................................................................ 177
Psicotécnico .................................................................................................................. 181
Razonamiento Verbal
La referencia o deixis ................................................................................................. 189
La anáfora ....................................................................................................................... 193
La elipsis y la catáfora ............................................................................................... 200
Casuística de la referencia o deixis ...................................................................... 205
Índice

5. ARITMÉTICA
Razones
Proporciones
Magnitudes proporcionales
Regla de tres

7. 1.
2.
3.
7
Sesión
1
Razones
RAZÓN
Se denomina razón a la comparación que se
hace a dos cantidades. Si se compara me-
diante la operación de la sustracción se lla-
ma razón aritmética; si se compara median-
te la operación de la división se llama razón
geométrica.
En general: Sean las cantidades a y b.
Razón
Aritmética
Razón
geométrica
a–b=r
a
b
k
=
donde
a: antecedente
b: consecuente
r: valor de la razón aritmética
k: valor de la razón geométrica
Nota
ass
1. Las edades de José y María son 42 y
14 años respectivamente, comparan-
do por sustracción: 42–14=28
Se afirma:
• La edad de José excede a la edad de
María en 28 años.
• José tiene 28 años más que María.
2. En una aula estudian 24 hombres y
36 mujeres; comparando por división:
Sea:
# de hombres: H
# de mujeres : M
entonces
H
M
H
M
= → =
24
36
2
3
se lee:
• La relación entre el número de
hombres y mujeres es de 2 a 3.
• El número de hombres y mujeres
son entre sí como 2 es a 3.
• El número de hombres es al núme-
ro de mujeres como 2 es a 3.
• Por cada 2 hombres hay 3 mujeres.
Notas

8. Aritmética IAU01-20
8
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVA-
LENTES (S.R.G.E.)
Es llamado así al conjunto de razones geomé-
tricas, que en común van a tener un mismo
valor.
Ejemplo
Sean las razones geométricas:
18
6
3
12
4
3
21
7
3
= = =
; ;
entonces
18
6
12
4
21
7
3
= = = (S.R.G.E.)
donde:
• 18; 12 y 21 son los antecedentes
• 6; 4 y 7 son los consecuentes
• 3: constante de proporcionalidad
En general, sea la S.R.G.E.:
a
b
a
b
a
b
a
b
k
n
n
1
1
2
2
3
3
= = = = =
...
Se cumplen las siguientes propiedades:
I.
a a a a
b b b b
k
n
n
1 2 3
1 2 3
+ + + +
+ + + +
=
...
...
II.
a a a a
b b b b
k
n
n
n
1 2 3
1 2 3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
...
...

9. Aritmética
IAU01-20
9
BLOQUE I
1. La razón geométrica de un par de números
se encuentran en la misma relación que 12
y 20. A uno de los términos se le agregó
160 y al otro 280 y se obtienen cantidades
iguales. El mayor de los números, es:
Rpta.: .........................................................................
2. En una reunión los números de varones y
mujeres al inicio están en relación de 6 a
11 respectivamente. Luego se retiran 10
parejas y ahora la razón aritmética es 45.
¿Cuántos varones hay al final?
Rpta.: .........................................................................
3. En una granja el número de gallinas es al
número de conejos como 2 es a 5 y el nú-
mero de pavos es al de gallinas como 7 es
a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja si el
número total de animales es 700?
Rpta.: .........................................................................
4. Si
a b c
5 8 15
= =
y además 3a–5b+2c=245. Halle el valor de
a+b+c.
Rpta.: 1372
5. Si
8
27 63
p
p
q
q x
= = = ,
halle la suma de las cifras de x.
Rpta.: .........................................................................
BLOQUE II
6. Las edades de Ángel y Romina son entre sí
como 12 es a 5 y hace 5 años la razón arit-
mética de sus edades era 28 años. ¿Cuán-
tos años tendrá Romina dentro de 5 años?
A) 53 B) 18 C) 40
D) 20 E) 25
7. Dosmóvilespartenenelmismoinstante,uno
de A y otro de B y marchan al encuentro uno
delotro;silavelocidaddelprimeroexcedeen
20km/halsegundo.Determinardichasvelo-
cidades, si la razón de los espacios recorridos
por ambos móviles hasta su encuentro es de
9/4. Dé la mayor de ellas en km/h.
A) 34 B) 36 C) 38
D) 40 E) 42
8. Se mezcla 24 litros de un líquido A, con 60 li-
trosdeotrolíquidoB.Siseextrae28 litrosde
dicha mezcla y son reemplazados por el lí-
quido A. Halle la relación final de los líquidos
A y B que se encuentran en la mezcla.
A) 10 a 9 B) 12 a 9
C) 11 a 10
D) 12 a 11 E) 13 a12
9. La suma, diferencia y el producto de dos
números está en la misma relación que los
números 5; 1 y 36. Halle el menor.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
10. Si se tiene
p q r s
2 2 2 2
12 27 48 147
= = =
y (p+s)–(q+r)=36. Halle (p+q+r+s).
A) 152 B) 175 C) 216
D) 288 E) 300

10. Aritmética IAU01-20
10
BLOQUE III
11. Las edades actuales de Renato y Alicia son
entre sí como 5 es a 9; hace 15 años se en-
contraban en la relación de 1 a 3.¿ Dentro
de cuántos años se encontrarán en la rela-
ción de 3 a 4 ?
A) 35 B) 36 C) 37
D) 38 E) 40
12. Dos móviles parten en el mismo instante,
uno de A y otro de B y marchan al encuen-
tro uno del otro; si la velocidad del prime-
ro excede en 4 km/h al segundo. Determi-
nar dichas velocidades, si la razón de los
espacios recorridos por ambos móviles
hasta su encuentro es de 6/5. Dé la menor
de ellas.
A) 32 km/h
B) 48 km/h
C) 36 km/h
D) 24 km/h
E) 20 km/h
13. Se agregó a 400 cc de leche; 100 cc de
agua. ¿Cuántos cc de leche hay en un bi-
berón de 100 cc de capacidad, totalmente
lleno con dicha mezcla?.
A) 72 B) 75 C) 80
D) 82 E) 85
14. La suma, la diferencia y el producto de dos
números están en la misma relación que
los números 13; 5 y 144. ¿Cuál es el mayor
de los números?
A) 30 B) 32 C) 35
D) 36 E) 38
15. Si
a b c d
2 2 2 2
18 50 98 242
= = =
y (c+d)–(a+b)=120
halle a+b+c+d.
A) 295 B) 300 C) 305
D) 310 E) 312

11. PUNTAJE
PUNTAJE
Aritmética
IAU01-20
11
1. Se tienen 200 bolas de las cuales 60 son ne-
gras y las restantes son blancas. ¿Cuántas
blancas se deben añadir para que por cada
20 bolas blancas, haya 3 bolas negras?
A) 260 B) 262 C) 265
D) 268 E) 270
2. Antes que empiece una asamblea había
690 personas ý por cada 8 varones había
15 damas. Iniciada la asamblea llegaron
30 damas. Hallar la nueva relación de los
varones con respecto a las damas.
A) 2/3 B) 1/2 C) 1/4
D) 3/4 E) 4/5
3. La razón geométrica entre dos números
cuya suma es 65 se invierte si se añade 17
al menor y se quita 17 al mayor. Halle el
menor número.
A) 23 B) 24 C) 41
D) 42 E) 14
4. De la serie
a b c d
3 3 3 3
80 82 84 86
= = =
se conoce a+b+c+d=3280. Halle b.
A) 33 B) 36 C) 45
D) 39 E) 42
5. Tres números son entre sí como 3; 5 y 9.
Si se quita 2 unidades a cada uno, se obtie-
nen 3 números que son entre sí como 4; 7
y x. Halle el valor de x.
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17

12. Aritmética IAU01-20
12
1. Los números M y N son entre sí como 13 es
a 7 y se observa que al sumarle a uno 360 y
al otro 960 se obtienen cantidades iguales.
¿Cuál es la suma de dichos números?
A) 2000 B) 2020 C) 2040
D) 2060 E) 2080
2. Se tienen 100 bolas de las cuales 80 son
negras y las restantes son blancas. ¿Cuán-
tas blancas se deben añadir para que por
cada 3 bolas blancas, haya 4 bolas negras?
A) 36 B) 40 C) 42
D) 45 E) 48
3. En una reunión se observó que por cada 5
varones hay 3 mujeres. Si llegan 10 varo-
nes y 8 mujeres la nueva relación será de 3
varones por cada 2 mujeres. ¿Cuántas per-
sonas habían inicialmente en la reunión?
A) 24 B) 28 C) 32
D) 36 E) 40
4. Si
w x y z
10 4 6 2
= = =
y (w+z)–(x+y)=143
Halle x+z.
A) 55 B) 80 C) 65
D) 20 E) 40
5. Si se tiene
a b c d
4 8 10 15
= = =
Además, a · b+c · d=1638
Halle (a+b+c+d).
A) 148 B) 111 C) 110
D) 74 E) 37

13. 13
1. Definir una proporción aritmética y una proporción geométrica.
2. Estudiar las propiedades de una proporción.
Proporciones
Sesión
2
Proporción
Es la igualdad de dos razones de la misma clase.
Proporción aritmética
Es la igualdad de dos razones aritméticas.
Discreta
a–b=c–d
Continua
a–b=b–c
d: cuarta diferencial
b: media diferencial
c: tercera diferencial
Proporción geométrica
Es la igualdad de dos razones geométrica.
Discreta
a
b
c
d
=
Continua
a
b
b
c
=
d: cuarta proporcional
b: media proporcional
c: tercera proporcional
Propiedades de la proporción
geométrica
Si
a
b
c
d
k
= =
•
a b
b
c d
d
k
+
=
+
= +1.
•
a
a b
c
c d
k
k
−
=
−
=
−1.
•
a b
a b
c d
c d
k
k
+
−
=
+
−
=
+
−
1
1
.
.

14. Aritmética IAU01-20
14
BLOQUE I
1. En una proporción aritmética continua, la
suma de sus términos es 80. Halle la media
proporcional.
Rpta.: .........................................................................
2. Sea M la tercera diferencial de 24 y 16. L
es la media diferencial de 9×1. Halle M+L.
Rpta.: .........................................................................
3. Sea P la cuarta proporcional de 7; 2 y 21. Q
es la tercera proporcional de 16 y 8. Halle
P–Q.
Rpta.: .........................................................................
4. Si
A B
k
1 2
= = además A+B=12, halle AB.
Rpta.: .........................................................................
5. Si
a
b
b
c
k
= = además b2
+ac=32, halle b.
Rpta.: .........................................................................
BLOQUE II
6. En una proporción geométrica se sabe que
el producto de extremos es 600. Si los tér-
minos medios son consecutivos, ¿cuál es la
suma de los términos medios?
A) 94 B) 49 C) 24
D) 25 E) 78
7. Si
• 3a es la media diferencial de 57 y 39.
• 32 es la tercera proporcional de 2b y a.
• c es la media proporcional de a y b.
Calcule a+b+c.
A) 24 B) 48 C) 32
D) 28 E) 30
8. En una proporción geométrica continua de
constante entera, la suma de términos es
150. Calcule la diferencia de los extremos.
A) 72 B) 80 C) 90
D) 86 E) 96
9. En una proporción, de constante entera,
continua. La suma de antecedentes es 24 y
la suma de extremos es 20. Calcule la me-
dia proporcional.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 15
10. Si
a
b
+
−
=
5
5
2
3
además a+b=50, calcule 3a–b.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11

15. Aritmética
IAU01-20
15
BLOQUE III
11. En una proporción geométrica se sabe que
el producto de extremos es 156. Si los tér-
minos medios son consecutivos. ¿Cuál es
la resta de los términos medios?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
12. Si
• a es la tercera proporcional de 4 y 8.
• b es la media diferencial de 6 y 2.
Calcule a×b.
A) 62 B) 64 C) 54
D) 25 E) 32
13. En una proporción geométrica continua,
de constante entera, la suma de términos
es 108. Halle la diferencia de los extremos.
A) 62 B) 82 C) 72
D) 92 E) 14
14. En una proporción continua de constante
entera, la suma de los consecuentes es 4 y
la suma de los antecedentes es 8. Halle k.
A) 3 B) 4 C) 2
D) 1 E) 5
15. Si
a
b
b
c
=
a2
+b2
=360 a+c=20
calcule el valor de b.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9

16. PUNTAJE
PUNTAJE
Aritmética IAU01-20
16
1. La suma de los extremos de una propor-
ción geométrica continua es 104. Halle la
media proporcional si la razón es 2/3.
A) 42 B) 45 C) 48
D) 52 E) 56
2. 15 es la media proporcional de a y 25; 2a
es la tercera proporcional de 8 y b. ¿Cuál es
la cuarta proporcional de a, b y 15?
A) 20 B) 15 C) 30
D) 60 E) 25
3. El producto de los extremos de una pro-
porción geométrica es 216, y si uno de elos
medios es 2/3 de otro. Halle la semisuma
de los medios.
A) 17 B) 18 C) 19
D) 15 E) 10
4. Halle la suma de las media diferencial de 6
y 2 con la tercera diferencial de 7 y 4.
A) 6 B) 7 C) 10
D) 4 E) 5
5. Si
a
a
b
b
c
c
2
2
2
2
2
2
4
4
9
9
25
25
+
−
=
+
−
=
+
−
además a×b×c=240
Determine (a+b+c).
A) 16 B) 18 C) 20
D) 22 E) 24

17. Aritmética
IAU01-20
17
1. En una proporción aritmética, los térmi-
nos extremos son entre sí como 4 es a 3
y los términos medios son como 5 es a 9.
Calcule la suma de antecedentes, si se di-
ferencian en 18.
A) 306 B) 326 C) 126
D) 186 E) 94
2. Si la media proporcional entre a y b es 12,
además la tercera proporcional entre a y b
es 96. Determine (a2
+b).
A) 60 B) 40 C) 80
D) 25 E) 90
3. En una proporción aritmética continua los
extremos son como 3 es a 5. Si la suma de
los cuadrados de los términos diferentes
es 200. Halle la media diferencial.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
4. Si
a
b
b
c
k
= = ∈
además a+b+c=93. Halle b+c.
A) 18 B) 20 C) 16
D) 10 E) 19
5. Si
64 8
+
=
+
=
+
x
x
x y
y
z
z
halle la suma de las cifras del producto
x·y·z.
A) 6 B) 14 C) 16
D) 4 E) 1

18. 1.
2.
3.
18
Magnitudes proporcionales
Sesión
3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Magnitud
Es todo aquello que experimenta cambios el
cual puede ser medido o cuantificado.
Cantidad
Es el valor que toma una magnitud en un mo-
mento dado. Se le representa mediante un nú-
mero y una unidad o característica referente a
la magnitud.
Ejemplos
Magnitud Cantidad
Temperatura 16 °C
Peso 70 kg
Velocidad 85 km/h
Relación entre dos Magnitudes
Dos magnitudes son proporcionales cuando al
variar una de ellas, entonces la otra también
varía en la misma proporción. Se pueden rela-
cionar de dos maneras:
Magnitudes directamente proporcionales
(D.P.)
Dos magnitudes son D.P. si al aumentar o dis-
minuir el valor de una de ellas, el valor de la
otra magnitud también aumenta o disminu-
ye en la misma proporción respectivamente;
cumpliéndose que el cociente de sus valores
correspondientes permanece constante.
Ejemplo
A: Costo (S/) 2 8 4 6 ...
B: # de huevos 8 32 16 24 ...
→ (Costo) D.P.(# de huevos)
Se cumple que
2
8
8
32
4
16
6
24
1
4
= = = = → ( )
constante
Representando los valores gráficamente
(# huevos)
(costo S/)
32
24
16
8
B
A
2 4 6 8
recta
Luego
8
2
32
8
16
4
24
6
= = = = cte.
Se observa que
I. La gráfica de dos magnitudes D.P. son pun-
tos que pertenecen a una recta que pasa
por el origen de coordenadas.
II. En cualquier punto de la gráfica (excepto
el origen de coordenadas) el cociente de
cada par de valores correspondientes re-
sulta constante.

19. Aritmética
IAU01-20
19
En general; si las magnitudes A y B son directa-
mente proporcionales; se denotar como
A B
A
B
DP
valor de
valor de
cte
↔
( )
( )
=
Magnitudes inversamente proporcionales
(IP)
Dos magnitudes son IP si al aumentar o dis-
minuir el valor de una de ellas, el valor de la
otra magnitud también disminuye o aumen-
ta en la misma proporción respectivamente;
cumpliéndose que el producto de sus valores
correspondientes permanece constante.
Ejemplo
Para hacer una obra se tiene.
A: # de obreros 12 6 18 9 ...
B: # de días 6 12 4 8 ...
→ (# de obreros) I.P. (# de días)
Se cumple que
12 · 6=6 · 12=18 · 4=9 · 8=72
→ (constante)
Representando los valores gráficamente
(# días)
(# obreros)
12
8
6
4
B
A
6 9 12 18
hipérbola
equilátera
Luego
12 · 6=8 · 9=6 · 2=4 · 18=cte.
Se observa que
I. La gráfica de dos magnitudes I.P. son pun-
tos que pertenecen a una rama de una hi-
pérbola equilátera.
II. En cualquier punto de la gráfica (excepto
el origen de coordenadas) el producto de
cada par de valores correspondientes re-
sulta constante.
En general; si las magnitudes A y B son inver-
samente proporcionales; se denotar como:
A IP B ↔ (valor de A)·(valor de B)=cte.
PROPIEDADES
Sean las magnitudes A; B y C.
1. A DP B ↔ B DP A
A IP B ↔ B IP A
2. A DP B ↔ A IP
1
B
.
A IP B ↔ A DP
1
B
.
3. Si n ∈ Q
A DP B ↔ An
DP Bn
A IP B ↔ An
IP Bn
A DP B ↔ DP A B
n n
A IP B ↔ IP A B
n n
4. Si
A DP B (cuando C es constante)
A IP C (cuando B es constante)
Se cumple
valor de valor de
valor de
A C
B
( )( )
( )

20. Aritmética IAU01-20
20
BLOQUE I
1. ¿Cuándo se dice quedos magnitudes son
directamente proporcionales?
2. ¿Qué condición se debe cumplir para que
dos magnitudes sean inversamente pro-
porcionales?
3. El lado de un cuadrado y su área respec-
tiva, ¿son directamente proporcionales?
Justifica.
4. Si la magnitud A aumenta y como conse-
cuencia la magnitud B disminuye, ¿son
inversamente proporcionales?, ¿por qué?
5. Si A es DP a B (cuando C es constante) y A
es IP a C (cuando B es constante), ¿cuál es
la relación entre B y C?
BLOQUE II
6. El cuadrado de A es directamente propor-
cional a B. Cuando A es 6, B es 4. Halla el
valor de A cuando B sea 25.
A) 12 B) 15 C) 14
D) 18 E) 24
7. La magnitud A es directamente propor-
cional al cuadrado de B, proporcional a C
e inversamente proporcional a D. Cuando
A es 3, B es 6, C es 12 y D es 8. Determine
el valor de C cuando A sea 16, B sea 12 y
D sea 5.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 15
8. Las magnitudes A y B son proporcionales.
Halla el valor inicial de A sabiendo que si
aumenta en 6 unidades, el valor de B varía
en su mitad.
A) 16 B) 10 C) 8
D) 20 E) 12
9. El precio de una joya es proporcional al
cuadrado de su peso. Una joya cuyo valor
es S/ 9800 se parte en dos pedazos cuyos
pesos son entre sí como 4 a 3. ¿Cuánto se
recibe por la venta de los dos pedazos?
A) S/4800
B) S/6000
C) S/5200
D) S/5000
E) S/6400
10. Una rueda A de 80 dientes, se engrana
con otra B de 50 dientes; fija al eje de B
hay otra rueda C de 15 dientes que engra-
na con otra cuarta rueda D de 40 dientes.
Dando la rueda A 120 revoluciones por mi-
nuto, ¿cuánto tiempo tardará la rueda D en
dar 18000 vueltas?
A) 4 h 10 min
B) 4 h
C) 4 h 15 min
D) 4 h 18 min
E) 5 h

21. Aritmética
IAU01-20
21
BLOQUE III
11. A es inversamente proporcional a la raíz
cuadrada de B. Cuando A es 12, B es 16.
¿Cuál será el valor de B cuando A sea 6?
A) 36 B) 49 C) 64
D) 60 E) 81
12. A es directamente proporcional a B (cuan-
do C es constante), e inversamente pro-
porcional al cuadrado de C (cuando B es
constante). Cuando A es 5, B es 20 y C es
6. Halle el valor de A cuando B sea 28 y C
sea 3.
A) 24 B) 30 C) 36
D) 28 E) 40
13. Según la Ley de Boyle, la presión es inver-
samente proporcional al volumen que con-
tiene determinada cantidad de gas. ¿A qué
presión (en atmósferas) está sometido un
gas, si al aumentar esta presión en 2 atmós-
feras, el volumen varía en 2/5 de su valor?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
14. El precio de los diamantes varía propor-
cionalmente con el cuadrado del peso. Un
diamante que cuesta S/36 000 se rompe
en dos pedazos, de los cuales uno es los
2/3 del otro. ¿Cuál es la pérdida sufrida al
romperse el diamante?
A) S/16 000
B) S/5760
C) S/17 280
D) S/12 960
E) S/18 720
15. Las ruedas A, B, C y D tienen 50; 60; 48 y
72 dientes respectivamente. A y B están
engranadas, B y C unidas al mismo eje, C y
D engranadas. Si A da 45 vueltas, ¿cuántas
vueltas da la rueda D?
A) 25 B) 40 C) 36
D) 48 E) 32

22. PUNTAJE
PUNTAJE
Aritmética IAU01-20
22
1. En un edificio el volumen de agua que se
lleva a un cierto piso es IP a Tn
, donde T
es el tiempo que demora en llegar el agua
al piso n. Si cuando se lleva 80 litros al se-
gundo piso la demora es de 4 segundos,
¿qué tiempo demorará en llevar 5 litros al
cuarto piso?
A) 4 s B) 4,5 s C) 5 s
D) 6 s E) 8 s
2. A es directamente proporcional al cuadra-
do de B, inversamente proporcional a C e
inversamente proporcional a la raíz cua-
drada de D. Cuando A es 360, B es 4, C es 6
y D es 25. Halle el valor de A cuando B sea
12, C sea 10 y D sea 16.
A) 1675 B) 1440 C) 2430
D) 3240 E) 1800
3. En una empresa la eficiencia de un traba-
jador es directamente proporcional a sus
años de experiencia e inversamente pro-
porcional a la raíz cuadrada de su edad.
Carlos, de 25 años de edad, tiene 1 año de
experiencia y 2 puntos de eficiencia. ¿Cuál
será la eficiencia de Carlos a los 36 años?
A) 15 B) 20 C) 24
D) 30 E) 36
4. El sueldo de un trabajador en un empleo
es directamente proporcional al cuadrado
de su edad. ¿Dentro de cuántos años un
empleado que hoy tiene 17 años tendrá un
sueldo que sea 16 veces el sueldo actual?
A) 52 B) 55 C) 60
D) 51 E) 59
5. A y B son magnitudes proporcionales.
Cuando A es 32, B es 24. Calcule B cuando
A sea 48.
A) 34 B) 35 C) 36
D) 37 E) 38

23. Aritmética
IAU01-20
23
1. Un taxista acostumbra cobrar en forma
proporcional al número de pasajeros así
como también a la distancia recorrida. A
3 pasajeros les cobró S/30 por recorrer
45 km. ¿Cuánto les cobrará a 6 pasajeros
por recorrer 48 km?
A) S/30 B) S/64 C) S/48
D) S/100 E) S/75
2. Sean las magnitudes A y B donde A es IP
al cuadrado de B. Cuando A es 200, B es 6.
Halle el valor de B cuando A sea 18.
A) 18 B) 19 C) 21
D) 20 E) 22
3. Una rueda A de 24 dientes engrana con
una rueda B de 60 dientes. La rueda B a su
vez está unida al eje de una rueda C de 48
dientes. Si la rueda A da 90 dientes, ¿cuán-
tas vueltas dará la rueda C?
A) 30 B) 40 C) 45
D) 36 E) 60
4. El valor de una joya varía en forma directa-
mente proporcional al cuadrado de su peso.
¿Cuánto se perderá al partir una joya que
costó $2997 en tres parte cuyos pesos son
entre sí como 4; 3 y 2 respectivamente?
A) $1924 B) $1073 C) $ 1075
D) $1076 E) $1849
5. La deformación producida por un resorte
al aplicarse una fuerza es directamente
proporcional a dicha fuerza. Si a un resorte
de 30 cm de longitud se le aplica una fuer-
za de 3N, su nueva longitud es 36 cm. ¿Cuál
será la nueva longitud del resorte si se le
aplica una fuerza de 4N?
A) 48 cm B) 38 cm C) 40 cm
D) 36,5 cm E) 34cm

24. 1.
2.
3.
24
Regla de tres
Sesión
4
Es una aplicación de las magnitudes propor-
cionales que consiste en calcular un valor des-
conocido de una magnitud, comparando dos o
más magnitudes proporcionales.
Hay dos clases de reglas de tres
Regla de tres simple
Una regla de tres es simple cuando intervienen
solamente dos magnitudes. Puede ser:
Directa
La regla de tres simple es directa cuando las
magnitudes que intervienen son directamente
proporcionales.
Sean A y B dos magnitudes directamente pro-
porcionales, con sus respectivos valores co-
rrespondientes.
A
a1
a2
B
b1
x
DP
Como A DP B, se cumple
a
b
a
x
1
1
2
=
Ejemplo
Un poste de 6 m de altura da una sombra de
1,20 m. ¿Cuánto medirá la sombra de una per-
sona de 1,70 m de altura?
Resolución
La altura y la sombra son DP (más altura pro-
duce mayor sombra).
altura
6
1,70
sombra
1,20
x
DP
Se cumple
6
1 20
1 70
,
,
=
x
x=0,34 m
Inversa
La regla de tres simple es inversa cuando las
magnitudes que intervienen son inversamente
proporcionales.
Sean A y B dos magnitudes inversamente pro-
porcionales, con sus respectivos valores co-
rrespondientes.
A
a1
a2
B
b1
x
IP
Como A IP B, se cumple
a1b1=a2x
Ejemplo
Un grupo de obreros pueden hacer una obra
en 20 días, pero debido a que tres de ellos fal-
taron; los restantes tuvieron que trabajar 4
días más. ¿Cuántos obreros trabajaron?

25. Aritmética
IAU01-20
25
Resolución
Obreros y días son IP (si trabajasen más obre-
ros, entonces la obra la harían en menos días).
obreros
n
n–3
días
20
24
IP
Se cumple
n · 20=(n–3)24
→ n=18
Regla de tres compuestas
Una regla de tres es compuesta cuando inter-
vienen más de dos magnitudes.
En general
(obreros) IP (rendimiento)
(obreros) IP (días)
(obreros) IP (h/d)
(obreros) DP (obra)
(obreros) DP (dificultad)
En consecuencia
obreros rendimiento días h/d
obra dificultad
cte
( )( )( )( )
( )( )
=k k:
Ejemplo
10 obreros pueden cavar una zanja en 8 días
a razón de 5 h/d. Calcule en cuántos días
otros 24 obreros de doble rendimiento a
razón de 10 h/d podrán cavar otra zanja de
doble longitud que la anterior pero 2 veces
más difícil.
Resolución
obreros días h/d rendimiento obra dificultad
10
24
8
n
5
10
1
2
L
2L
1
3
Se cumple
obreros días h/d rendimiento
obra dificultad
( )( )( )( )
( )( )
= k
Reemplazando
10 8 5 1
1
24 10 2
2 3
⋅ ⋅ ⋅
( )⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
( )⋅
L
n
L
∴ n=5 días

26. Aritmética IAU01-20
26
BLOQUE I
1. Un coche ha dado 60 vueltas a un circui-
to en 105 minutos. Calcule el tiempo que
tardará en dar 40 vueltas en el mismo cir-
cuito.
Rpta.: .........................................................................
2. Un barco lleva víveres para aumentar du-
rante 45 días a su tripulación formada por
60 personas. Si antes de partir acogen a 30
personas más, ¿cuántos días durarán los
víveres?
Rpta.: .........................................................................
3. Indique si las magnitudes se relacionan de
forma directamente proporcional (DP) o
inversamente proporcional (IP).
• velocidad tiempo
• # obreros obra realizada
• # libros costodeloslibros
• eficiencia del # de días que
obrero tardaenterminar
una obra
4. Para asfaltar una calle 5 operarios han tar-
dado 10 días. ¿Cuántos operarios se ten-
drán que contratar si se quiere acabar la
obra en 2 días?
Rpta.: .........................................................................
5. Para tejer una frazada cuadrada de 3 m de
lado es necesario 36 kg de lana. ¿Cuántos
kilogramos se necesitarán para tejer otra
frazada cuadrada de 4 m de lado?
Rpta.: .........................................................................
BLOQUE II
6. Manuel es el triple de rápido que Juan y
juntos realizan una obra en doce días. si la
obra la hiciera solamente Manuel. ¿Cuán-
tos días demoraría?
A) 20 B) 16 C) 18
D) 14 E) 48
7. Si n personas tienen víveres para cierta
cantidad de días, pero si fueran el doble de
personas entonces los víveres le durarían
6 días menos. ¿Para cuántos días le dura-
rían sus víveres si la cantidad de personas
fueron la mitad de la inicial?
A) 12 B) 18 C) 20
D) 24 E) 30
8. Por transportar 24 toneladas de merca-
dería una dist de 840 km, una empresa
de transporte de carga cobra S/4200.
¿Cuánto cobrará la misma empresa para
transportar 35 toneladas una distancia de
480 km?
A) S/3500 B) S/4000
C) S/3880
D) S/5200 E) S/5000
9. Si 8 campesinos pueden sembrar un te-
rreno cuadrado de 10 metros de lado en 4
horas. ¿En cuántas horas podrán sembrar
12 campesinos otro terreno cuadrado de
15 metros de lado?
A) 8 B) 6 C) 9
D) 10 E) 15

27. Aritmética
IAU01-20
27
10. Sesenta obreros se comprometieron a rea-
lizar ua obra en 12 días trabajando 8 horas
diarias. Cuando habían trabajado 4 días se
les comunica que la obra debe culminarse
2 días antes del plazo estipulado, por lo
que en ese momento se contratan n obre-
ros de doble eficiencia que los anteriores,
y a partir de ese momento, todos trabajan
a 10 horas diarias. Halle n.
A) 4 B) 2 C) 6
D) 8 E) 10
BLOQUE III
11. Manuel es el cuádruple de rápido que Juan
y juntos realizan una obra en 16 días. Si la
obra hiciera solamente Manuel. ¿Cuántos
días demoraría?
A) 16 B) 12 C) 18
D) 20 E) 24
12. Si n personas tienen víveres para cierta
cantidad de días, pero si fueran el triple de
personas entonces los víveres le durarían
4 días menos. ¿Para cuántos días le dura-
rían sus víveres si la cantidad de personas
fueran la cuarta parte de la inicial?
A) 18 B) 20 C) 24
D) 30 E) 36
13. Por transportar 36 toneladas de mercade-
ría una distancia de 1560 km, una empre-
sa de transporte de carga cobra S/3900.
¿Cuánto cobrará la misma empresa para
transportar 65 toneladas una distancia de
720 km?
A) S/4000 B) S/3600
C) S/3500
D) S/3250 E) S/3000
14. Si 9 campesinos pueden sembrar un te-
rreno cuadrado de 12 metros de lado en
8 horas. ¿En cuántas podrán sembrar 27
campesinos otro terreno cuadrado de 18
metros de lado?
A) 3 B) 4 C) 6
D) 9 E) 10
15. Ochenta obreros se comprometieron a
realizar una obra en 16 días trabajando 8
horas diarias. Cuando habían trabajado 5
horas se les comunica quela obra debe cul-
minarse 3 días antes del plazo estipulado,
por lo que en ese momento se contratan
n obreros de cuádruple de eficiencia que
los anteriores, y a partir de ese momento,
todos trabajan a 10 horas diarias. Halle n.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

28. PUNTAJE
PUNTAJE
Aritmética IAU01-20
28
1. Si con 2 máquinas del tipo A o con 5 má-
quiinas del tipo B se puede realizar un
trabajo en 6 horas. ¿En cuántas horas se
podrá realizar el mismo trabajo si traba-
jan juntos 2 máquinas de tipo A y una de
tipo B?
A) 8 B) 4 C) 5
D) 3 E) 2
2. Un albañil puede construir una casa en 20
días, pero con la ayuda de su hijo pueden
construirla en 15 días. si el hijo trabajara
solo, ¿en cuántos días construiría la misma
casa?
A) 45 B) 50 C) 40
D) 60 E) 75
3. Se sabe que 12 obreros pueden realizar la
tercera parte de una obra en n días. Cuan-
do avanzan la cuarta parte de la obra, nue-
ve de ellos aumentan su rendimiento en
un tercio. Calcule n si la obra se concluye
en 54 días de trabajo.
A) 20 B) 24 C) 27
D) 18 E) 30
4. Una obra es iniciada por una cuadrilla
de 37 obreros, pero al cabo de 5 días son
despedidos 3 obreros y 4 días después
son despedidos 7 más. Luego de 10 días
se contratan 17 obreros para culminar la
obra en el plazo fijado. Calcule dicho plazo.
A) 49 B) 40 C) 36
D) 35 E) 28
5. La hierba en el prado crece con igual a
espesor y rapidez. Si 60 vacas la pueden
consumir en 25 días y 40 vacas lo harían
en 45 días, ¿cuántas vacas comerán toda la
hierba en 75 días?
A) 20 B) 40 C) 60
D) 50 E) 30

29. Aritmética
IAU01-20
29
1. Una obra puede ser hecha por 12 varo-
nes en 8 días o por 20 mujeres en 18 días.
Haklle la relación de las eficiencias de un
varón y de una mujer.
A) 11 a 4 B) 3 a 2 C) 15 a 4
D) 5 a 3 E) 7 a 3
2. En un establo, se tiene alimentos para 20
vacas durante 18 días, dándoles 4 racio-
nes diarias. ¿Para cuántos días le durarían
estos alimentos si fueran 30 vacas y se les
diera 3 raciones diarias?
A) 12 B) 14 C) 16
D) 15 E) 10
3. Quince albañiles hacen 6 casas en 3 meses
y 10 días. ¿Cuánto tardarán en hacer 10
albañiles de doble de rendimiento que los
anteriores 4 casas del mismo tipo?
A) 40 días B) 60 días C) 100 días
D) 50 días E) 80 días
4. Un trabajo está previsto para ser realizado
por 120 obreros en 56 días. Si al final se
requiere que el trabajo sea terminado en
30 días, ¿cuántos obreros deberán aumen-
tarse?
A) 132 B) 160 C) 102
D) 94 E) 104
5. Una obra puede ser realizada por 120
obreros durante 80 días a 6 h/d, pero
cuando habían transcurrido 10 días, 40
obreros son despedidos, por lo que, desde
ese momento, los que se quedan trabajan
a 8 h/d. Si luego de 20 días se contratan
cierta cantidad de obreros para terminar
la obra en el plazo estipulado y todos si-
guen trabajando 8 h/d, ¿cuántos obreros
se contrató?
A) 12 B) 7 C) 18
D) 20 E) 14

31. ÁLGEBRA
Leyes de Exponentes
Radicación en R
Polinomios
Productos Notables

33. 1.
2.
3.
33
Sesión
1
Leyes de exponentes
Potenciación en R
Definiciones
1. Exponente natural
b b
b b b b b b
n
n
1
1
=
= ⋅ ⋅ ∈ ∧∈ { }
±
... ;
veces
R Z
Ejemplos
24
=2 · 2 · 2 · 2=16 35
=3 · 3 · 3 · 3 · 3=243
2. Exponente nulo
b b
0
1 0
= ∀ ≠
Ejemplos
30
=1 (–2)0
=1 –20
=–1
3. Exponente negativo
b
b
b n
n
n
−
−
+
= ≠ ∧ ∈
1
0
; Z
Ejemplos
4
1
4
1
64
2
1
2
1
4
3
3
2
2
− −
= = −
( ) =
−
( )
=
;
Nota
ass
1. Si: bn
=p
b=base
n= exponente
p=potencia
2. b b b b nb
+ + + =
...
nveces
3.
a
b
b
a
n n





 =






−
Nota
Teoremas
1. Multiplicacióndecasesiguales
bm
bn
=bm+n
2. División de bases iguales
b
b
b
m
n
m n
= −
3. Potencia de una multiplicación
(ab)n
=an
bn
4. Potencia de una división
a
b
a
b
b
n n
n





 = ≠
; 0
5. Potencia de una potencia
(bm
)n
=bmn
Nota
ass
bm+n
=(bn
)m
Nota

34. Álgebra IAU01-20
34
bloque i
1. Calcule el valor de A con
A= + −
( ) +





 + −





 +





 − −






2 2
1
3
1
5
3
2
3
2
4 4
3 3 10 10
2. Indique el valor de verdad (V) o false-
dad (F) en las proposiciones:
I.
123
256
1
0





 =
II.
1
2
1
3
1
4
1
5
4
0
+ + +





 =
III. 15 15 1
15 15 0
+ −
( )
( ) =
3. De la igualdad
x y Z x y Z
m n p
3
2
5
4
1
3
1 2
( )




{ } =
− + − −
halle m + n + p
4. Si mn
=2 y nm
=3, calcule
S m n
n m
m n
= +
+ +
1 1
5. Si xx
=3, calcule
E xxx
=
+1
bloque ii
6. Calcule E , si
E =





 + ( ) +












−
−
−
1
3
2 0 2
5
8
1
2
2
2
3
1
3
,
A) 64 B) 16 C) 8
D) 4 E) 2
7. Respecto al número
S = ( ) ⋅ ⋅ ⋅( )
− − −
−
2 8 2 4
2
3
2 3 3
2
2
Indique lo correcto.
A) Es un cuadrado perfecto
B) Es un cubo perfecto
C) Es un número primo
D) Es un número impar
E) Es fraccionario
8. Si 3x
=7, calcule el valor de M
M x
x x
= −
( ) +






7 6 2
2
A) 49 B) 27 C) 9
D) 7 E) 81
9. Realizar: K n
n n
n n
=
− ( )
− ( )
≥
+
+ −
5 5 5
5 25 5
2019
2
1 2
;
A) 1 B) 5 C) 25
D) 1/5 E) 5n
10. Sean los números
A
B
=
⋅ ⋅
=





 +





 − ⋅
−
( ) − −
( )
−
−
−
2 4 3
3
2
3
1
4
3 2
2 2 1
2
2 2
2 3
2 3
2
Calcule el valor de B
A 3
A) 1/3 B) 1 C) 2
D) 4 E) 8
bloque iii
11. Calcule A
4
; si
A =





 +












÷( )








− −
− −
4
7
2
5
2
1 2
1
2
3
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2
4
E) 3
4

35. Álgebra
IAU01-20
35
12. Respecto al número
M =





 ⋅











 +
2
3
9
4
8
27
1
6 9 4
Indique lo correcto.
A) Es un número impar
B) Es un cuadrado perfecto
C) Es un cubo perfecto
D) Es un número par
E) Es múltiplo de 5
13. Si 2n
=3; calcule el valor de J en
J
n
m m
= − +
( )
2 4 4
2
1
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 3
14. Realice
S n
n n
n n
=
− ( )
− ( )
≥
+
+ −
7 7 7
7 49 7
2019
2
1 2
;
A) 1 B) 7 C) 3
D) 6 E) 49
15. Si
N
M
= + + +





 +





 +






= × + −
( )
− − −
− − −
2 3 6
2
3
2
7
2
5
5 6 2
1 1 1
3 2 1
2 2
−
−1
Calcule
N
M






−1
A) 153/8 B) 1/8 C) 1
D) 8 E) 153

36. PUNTAJE
PUNTAJE
Álgebra IAU01-20
36
1. Sean los números
A
B
= + + +
= −
( )
5 3 7 4
3
2 4 0 2
2
19 07 23 50
40
.
Calcule AB
A) 9 B) 6 C) 3
D) 1 E) 5
2. Si xx
=2
calcule S x x
x x
x
= +
+1
3 2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
3. Realice
P =
+
( ) −
[ ] −
−
( ) − ×
[ ] ⋅
2 2 2 2 2 2
3 2 2 5 2 2 3
2 3 3 4 7
2 4 4 4
Calcule el valor de 3P.
A)
1
3
B) 1 C) 2
D)
2
3
E)
5
3
4. Si A
B
C
D
= + +






= −
=












= −
( ) +
−
−
− −
−
1
2
1
3
1
6
2 5
7
3
9
14
2
5
1
1
1 1
1
3
3
1






−
Calcule AB CD
( )−1
3
.
A) 5 B) 3 C) 1
D) –1 D) 2
5. Efectúe si x ≠ 0 en
S
x x
x x x
=
( ) −
( )
− −
( ) ( )
2 5
10
2 3 4
3 2 7 56
A) x B) 1 C)
1
5
D)
1
x
E) 5

37. Álgebra
IAU01-20
37
1. Al reducir la expresión
3 3
3 3
4 4
3 3
x y
y
y x
x
y
x
x
y
− −
−
−
( ) + ( )
( ) + ( )
Determine el exponente final de 9 si se
sabe que: x
y
=
1
A) 4 B) 2 C) 1
D) 3 E) 0
2. Efectúe
S
x x x
x x x
=
+ +
+ +
− − −
5 5 5
5 5 5
3 2
2 3
; si x=209
A) 5 B) 5x
C) 52x
D) 53x
E) 54x
3. Calcule el valor de x–1
en
x =
⋅ ⋅( )
⋅ ⋅ ⋅






−
15 14 1024
21 10 2 7
3 5
3 3 11 2
40
A)
1
2
B)
1
4
C) 1
D) 2 E) 4
4. Realizar:S
b b b b b
b b
n
n
=
( )
( ) ⋅
( )
( ) ( )
( )
−
−
−
−
−
5
7
2 2 2 2
5
8
5
4
3
...
... .
nveces
.
..
( )
S
; n∈N
e indique el exponente final de b
A) 2n B) 3n C) 5n
D) 6n E) 7n
5. Si 3x=2y ∧ xy ≠ 0, halle S en
S
x y
y x
=
+ ⋅
−
+ +
+
3 3 2
4 9
2 2 2 2
1
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 7

38. 1.
2.
3.
38
Sesión
2 Radicación en R
Definición: b r r b
n n
= ↔ =
donde
n= Indica (n ∈ N ∧ n ≥ 2)
b= Radicando o cantidad subradical
r= raíz enésima de b
Exponente Fraccionario
Si b b b
m
n m
n n
m
= =
Ejemplo
2 2 8
3
5 3
5 5
= =
3 3 9
2
3 2
3 3
= =
teoremas
1. Raíz de una multiplicación
ab a b
n n n
=
2. Raíz de una división
a
b
a
b
b
n
n
n
= ≠
; 0
3. Raíz de una raíz
m
n mn
b
=
Teoremas adicionales
1. a a
m
n mx
nx
=
2. a b a b
n n
n
=
3. a a a a
p
n
m n p
mnp
α β θ α β θ
= +
( ) +
Nota
ass
b
n
se lee raíz enésima de b y en
los números reales está reaíz
es única.
Nota
Nota
ass
b se lee raíz cuadrada de b.
4 2
=
25 5
=
− ∉
4 R
Nota
Nota
ass
a a
n n
1
= se lee raíz enésima de a.
Ejemplo
3 3
1
5 5
=
2 2
1
3 3
=
Nota

39. Álgebra
IAU01-20
39
BLOQUE I
1. Determine el valor de
T n n
n
n n
n
n
n
=
( )
∈ ∧ ≥
− +
−
+
2 2
2
2020
4 2 4
3
; Z
2. Efectúe si x 0
M
x x x x
x x x x
=
3
2
3
2
3
2
3
2
3 3 3 3
...
...
30 factores
20 factore
s
s
3. Realice
T =
×
− −
3
3 3
3 3
4 3
3
0
3
4. Al reducir la expresión
x x
x
n n
n
−
−
1 4
5 4
6
3
el exponente de x es la unidad.
Halle el valor de n.
5. Calcule el valor de
S
x x
x x
x
=
4
5 3
4
20
0
;
BLOQUE II
6. Sean
M = + +
−
16 8 4
1
4
2
3
1
2
N = +
−
2 25
27 8
1
3
1
3
Calcule el valor de MN.
A) 1/2 B) 1 C) 2
D) 13 E) 13/2
7. Efectúe
T
x x x
x x x
x
=
3 5
0
;
A) x B) x C) x
4
D) x
8
E) 1
x
8. Al efectuar
E
x
x
x
=
+
−
+
22
2
2 2 1
3
1
se obtiene 4a
. Halle a.
A) 2 B) 4 C) 2a
D) 8 E) 4x
9. Sabiendo que
x y y x x y
= ∧ = ∧
8 4 0 0
;
calculeT x x y y
= 5 5
.
A) 2 B) 14 C) 36
D) 150 E) 252
10. Si x =
4 8 2
2
3
4
halle E=x3
+x2
.
A) 12 B) 14 C) 36
D) 150 E) 252
BLOQUE III
11. Sean A =
−
89
1
2
B =
− −
98 3 1
calcule el valor 3648
3
.
A) 3 B) 6 C) 2 3
3
D) 3 2
3
E) 5

40. Álgebra IAU01-20
40
12. Efectúe
K
x x
x x x
=










−1
4
3
2
3
3
36
A) x B) x–13
C) x–1
D) x9
E) x3
13. Realice
M
x
x
x
=
+
−
+
33
3
3 2 1
3
1
se obtiene 9a
. Halle a.
A) 13,5 B) 14,5 C) 15,5
D) 16,5 E) 17,5
14. Sabiendo que
a b b a
= =
9 3
y
calcule E a a b b
= 3 3
.
A) 2 B) 3 C) 9
D) 6 E) 36
15. Si x =
9 27 3
3
3
4
calcule el valor de x2
+x3
.
A) 9 B) 18 C) 27
D) 36 E) 54

41. PUNTAJE
PUNTAJE
Álgebra
IAU01-20
41
1. Si a=81b; a; b ∈R+
; determine el valor sim-
plificado
T
b a a
a b b
=
A) a B) 3 2 C) 2 2
D) 2 E) 3
2. Determine el exponente final de x en
K x x x x x x x
= ( ) ( )
−
4 3
1
4
5 4
5 4
5 4
5
...
40 factores
A) 4 B) –2 C) 2
D) –1 E) –3
3. Realice
E
n n n
n
=
⋅ +
( )
+ − + − +
−
3 9 2727
81 3
3 2 1 2
3
si n ∈N ∧ n ≥ 2019
A) 3 B) 9 C) 12
D) 27 E) 15
4. Sean
A = + + +
3 3 3 ...
B = + − − −
2 6 6 6
3
...
calcule el valor aproximado de
B
A A
3
2
2
+
−
A)
1
2
B) 2 C) 2
D) 1 E)
2
2
5. Calcule el valor de
G =
⋅
32 27
4 81
5
6
3
4
5 2
A) 1 B)
1
2
C) 2
D) 4 E) 6

42. Álgebra IAU01-20
42
1. Respecto al número x
x =
⋅
( )
− −
3
3 3
3 3
4 3
3
0
3
indique lo correcto.
A) x=3
B) x=33
C) x=1
D) x2
=3
E) x = 3 3
2. Si n ∈Z+
∧ n ≥ 2019, realice
M
n n
n
n n
n
=
⋅
⋅
+ −
+
+ −
256 4
64 2
1 1
1
1 2
6
2
A) 1 B) 2 C) 4
D) 2n
E) 4n
3. Determine el exponente de a, luego de re-
ducir la expresión
T
y
y
x
x
=
−
43
3
2
32 2
A) 3
B) 3/4
C) –1/2
D) 7
E) 3/5
4. Calcule A en
n n n
n n n
n
n n n
n
n
n
A
2 3
5 3
=
A) –2 B) –3 C) 2
D) 3 E) –4
5. Calcule E en
E = ( )
+
−
55 5
5
5
5
5
55
A) 1 B) 2 C) 5
D) 1/5 E) 25

43. 1.
2.
3.
43
Sesión
3
Polinomios
Definición
Un polinomio es una expresión algebraica
donde los exponentes de las variables.
Son números enteros no negativos tiene un
número finito de términos.
Notación
P x y x y xy
x y
;
( ) ≡ + −
variables

3 5 8
4 3 2 2
coeficientes
Ejemplos
P x b xy
x y
;
( ) = + −
2 2
4 2
Q x y x
x y
;
,
( ) = − +
2
3
0 3 8
2 4
Valor numérico (VN)
Es el valor que adquiere un polinomio o ex-
presión algebraico, cuando sus variables se le
asigna un valor dado.
Ejemplo
Sea P(x) ≡ x2
+x+3
Si
x=–3 → P(–2)=(–2)2
+(23+3)
P(–2)=5 (VN)
Polinomios de una variable (entero en x)
Son de la forma
P(x) ≡ a0xn
+a1xn–1
+a2xn–2
+...+an
a0 ≠ 0; n ∈ Z+
Casos
1. Polinomio constante
P(x) ≡ a
2. Polinomio lineal (1.º grado)
P(x) ≡ ax+b; a ≠ 0
3. Polinomio cuadrático (2.º grado)
P(x) ≡ ax2
+bx+c; a ≠ 0
4. Polinomio cúbico (3.º grado)
P(x) ≡ ax3
+bx2
+cx+4d; a ≠ 0
Valores numéricos notables
Sea P(x) un polinomio entero en x, entonces
1. Suma de coeficientes
P(1)=SCoef.
2. Término independiente
P(0)=TI
Teoría de grados
Grado
Es una característica de los polinomios rela-
cionado con los exponentes de la variable.
Clases
Grado absoluto (GA)
Grado relativo (GR)

44. Álgebra IAU01-20
44
En el caso del polinomio se presentan dos tipos
1. Grado de un monomio (Pol. de un término)
Para hallar el GA se suman los exponentes
de las variables, para los grados relativos
se ubica su exponente respectivo.
Ejemplo
M(x; y) ≡ 32
x4
y5
z6
GA(M)=4+5=9
GR(x)=4 ∧ GR(y)=5
2. Grado de un polinomio
Para hallar el GA se calcula el grado abso-
luto de cada término luego se elige el ma-
yor, para el grado relativo de una variable
se debe uciar el mayor exponente de la va-
riable.
Ejemplo
P x y x y x y
x y
T T T
;
( ) = − −
3 5 7
4 3 2 6 2 7
1 2 3
  
GA(T1)=7
GA(T2)=8 → GA(P)=9
GA(T3)=9 (mayor)
GR(x)=4 GR(y)=7

45. Álgebra
IAU01-20
45
1. Indique cuál o cuáles son polinomios.
P x x x
x
( ) ≡ + + −
5 2 2
2 3 4
g x x x x
x
( )
−
≡ − + +
6 2 9
2 6 1
h x y
x
( )
−
≡ + +
3 2 5 1
3
2. Calcule la suma de valores de n para los
cuales
P x x x
x
n
n
n
( )
− −
≡ + +
3 6 2
3 2 9
es un polinomio.
3. Dado el polinomio
P(x; y)=3x4
y3
z2
–8x5
y4
z3
–9x2
y8
Indique el valor de GA(P)+GR(x)
4. Indique la suma de coeficientes del si-
guiente polinomio
P(x) ≡ 3(x+1)4
–2(x–1)3
+6(x+3)2
+4
5. Si F(x+1) ≡ F(x)=+2x
halle F(5)–F(2).
BLOQUE II
6. Sea P
x
x
x
( ) ≡
+
−
1
1
además P(2)P(4)P(6)...P(2n)=123
calcule el valor de n.
A) 61 B) 62 C) 60
D) 59 E) 58
7. Halle el grado absoluto del siguiente poli-
nomio mónico
P n x nx
x
n n n
( )
+ +
( ) +
( )
≡ −
( ) +
3 1 3 2 1
26
2
A) 10 B) 20 C) 42
D) 18 E) 27
8. Si la diferencia entre el término indepen-
diente y la suma de coeficientes es –14 en
el siguiente polinomio.
P(x) ≡ (2x–1)9
+nx+9n
entonces el valor de n es
A) 2 B) 4 C) 6
D) 3 E) 7
9. En el polinomio
P(x; y)=4xn+3
ym–2
+9xn+2
ym–3
GA(P)=11; GR(x)–GR(y)=5
Calcule el valor de mn.
A) 21 B) 15 C) 24
D) 12 E) 25
10. Si T1=3a2
xa+4
yb–4
T2=(b–5)xb–7
y13–2a
son términos semejantes halle el coefi-
ciente de T1 · T2.
A) 72 B) 96 C) 42
D) 48 E) 26
BLOQUE II
11. Si P x x x
x
x
+
−






≡ − + +
1
2
300 99
2 1
halle P(3)+P(–1).
A) 2 B) 3 C) 4
D) 1024 E) 512
12. Halle el grado absoluto del siguiente poli-
nomio mónico
P n x x
x
n n n
( )
+ +
( ) −
( )
≡ +
( ) +
3 1 2 1 2 1
28 9
2
A) 10 B) 15 C) 50
D) 22 E) 35

46. Álgebra IAU01-20
46
13. En el siguiente polinomio
P(x) ≡ (1+2x)n
+(1+3x)n
la suma de coeficientes excede en 23 al
término independiente. Halle n2
+1.
A) 3 B) 5 C) 10
D) 17 E) 26
14. Halle el GR(y) en
P(x; y) ≡ ax5
y5–n
+nxa+1
yn
+2xa–7
sabiendo que
GA(P)–GR(x)=2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
15. Los monomios
M(x; y) ≡ 2a3
xa+2
yb+8
N(x; y) ≡ abx2b+a
y15–3a
son semejantes. Halle el coeficiente de
M(x; y)+N(x; y)
A) 48 B) 42 C) 36
D) 20 E) 50

47. PUNTAJE
PUNTAJE
Álgebra
IAU01-20
47
1. Si F(x) ≡ x23
+2x22
+3x21
+...+23x+24
halle el valor de F(1).
A) 100 B) 200 C) 300
D) 600 E) 400
2. Calcule a y b para que el monomio
M(x; y) ≡ x4a+4b
y3a–2b
tenga GA(M)=100; GR(y)=40
Indique el valor de a2
+b2
.
A) 196 B) 147 C) 26
D) 197 E) 251
3. Calcule n si en el siguiente polinomio
P(2x–1) ≡ (4x–1)n
–(4x–1)8
se cumple que la suma de coeficientes es
igual al término independiente.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 8 E) 12
4. Sabiendo que el trinomio
F n x n x n
x
n
( )
+
≡ +
( ) + +
( ) + −
3 2 5
2
1 2 3
es de quinto grado, halle F(1)+F(0).
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
5. Halle mn si en el polinomio
P(x; y) ≡ 3xm+n+7
yn–1
+4xm+n+5
–4yn+4
–3x
el GA (P)=19; GR(x)–GR(y)=8
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25

48. Álgebra IAU01-20
48
1. Halle el grado absoluto del polinomio
P(x; y) ≡ nx2n+1
yn–1
+4nxn+5
yn+1
+5x3n–1
yn+2
si el GR(y)=5
A) 15 B) 13 C) 12
D) 10 E) 9
2. Si la suma de coeficientes del polinomio
P(x) ≡ (3n+1)xn+3
+(n–1)xn
+2n+1
es 31 entonces el término independiente
es
A) 13 B) 8 C) 11
D) 14 E) 10
3. Si P x
x
x
2 1
2 1
2
+
−






≡
halle P(2)P(3)...P(50)
A) 0 B) 1 C) 50
D) 49 E) 51
4. Si el GA del monomio
M(x; y; z) ≡ abcxa+b
ya+c
zb+c
es 12 y los grados relativos de x, y, z son
enteros consecutivos, halle el coeficiente
del monomio.
A) 5 B) 12 C) 18
D) 6 E) 10
5. Dado el polinomio
P(2x–1) ≡ x20
–9x18
+3x2
–1
Halle P(5).
A) 8 B) 26 C) 24
D) 11 E) 81

49. 1.
2.
3.
49
Sesión
4
Productos notables
Son aquellas multiplicaciones indicadas cuyo
desarrollo se obtiene en forma directa tam-
bién a estas se les conoce como identidades
algebraicas, entre las que tenemos
1. Binomio al cuadrado
(a+b)2
=a2
+2ab+b2
(a–b)2
=a2
–2ab+b2
2. Identidades de AM Legendre
a b a b a b
+
( ) + −
( ) = +
( )
2 2 2 2
2
(a+b)2–(a–b)2=4ab
3. Binomio suma - diferencia al cubo
(a+b)3
=a3
+3a2
b+3ab2
+b3
(a–b)3
=a3
–3a2
b+3ab2
–b3
Fórmulas semidesarrolladas
(a+b)3
=a3
+b3
+3ab(a+b)
(a–b)3
=a3
–b3
–3ab(a–b)
4. Diferencia de cuadrados
(a+b)(a–b)=a2
–b2
5. Suma - diferencia de cubos
a b a ab b a b
+
( ) + +
( ) = +
2 2 3 3
a b a ab b a b
+
( ) − +
( ) = −
2 2 3 3
Multiplicación de dos binomios con un tér-
mino común
(x+a)(x+b)=x2
+(a+b)x+ab

50. Álgebra IAU01-20
50
1. Si a+b=3 ∧ ab=1
calcule a2
+b2
.
2. Reduzca
E
a b
a b
a b
a b
a b
a b
=
+
−
+
−
+






−
+






2 2
2 2
3. Si la suma de dos números positivos es 6 y
su producto es 4, cuando vale la diferencia
de dichos números.
4. Si x2
–3x+1=0, halle el valor de
E x
x
= +
4
4
1
5. Si a+b=4 ∧ ab=2
¿cuál es el valor de (a–b)6
?
BLOQUE II
6. Si x2
+4x–1=0
halle el valor de
E=(x+5)(x–2)(x–1)(x+6)
A) 8 B) 22 C) 44
D) 17 E) 26
7. Si a+b=1 ∧ ab=1/2
calcule E
a b
a b
=
+
+
4 4
3 3
.
A) 0 B) –1 C) 1
D) –9 E) 10
8. Reduzca
E x x x x x x x x
= + +
( ) + +
( )− + +
( ) + +
( )
2 2 2 2
4 5 6 3
A) 1 B) 2 C) 0
D) 3 E) 4
9. Si se cumple
x
y
y
x
+ = 66; x y 0
halle el valor de E
xy
x y
=
−
.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 12
10. Si
1 1 4
a b a b
+ =
+
halle E
a b
a b
a
b
=
+
+
+
2 3
4
5
.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 1
11. Reduzca
E=(x–5)(x–1)(x–2)(x–6)
sabiendo que x2
=7x+3.
A) 117 B) 100 C) 221
D) 145 E) 82
12. Si a–b=4 ∧ ab=2
calcule el valor de a3
–b3
.
A) 66 B) 99 C) 55
D) 88 E) 44

51. Álgebra
IAU01-20
51
13. Reduzca
E n n n n n n
= +
( ) +
( ) +
( ) +
( )− + +
( )
1 2 3 4 5 5
2 2
A) 1 B) –1 C) 2
D) –2 E) 3
14. Si
a
b
b
a
+ = 79
calcule el valor de E
ab
a b
=
+
.
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 1
15. Si (a+b)2
+(a–b)2
=4ab
halle el valor de
E
a b
a b
a b
a b
=
+
+
+
+
+
3 5
4 2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

52. PUNTAJE
PUNTAJE
Álgebra IAU01-20
52
16. Si (x–2)2
=5. Entonces, calcule
E x
x
= + −
3
3
4
1
A) 5 2 B) 2 5 C) 4 5
D) 5 3 E) 3 2
17. Sabiendo que
a3
–b2
=40 además
a–b=4, halle el valor de a2
+b2
.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
18. Calcule el valor de x
x
6
6
1
+
sabiendo que x
x
+ =
1
3.
A) 27 B) 63 C) 322
D) 241 E) 243
19. Si a+b+c=0, entonces, calcule
E
a b c b c a a c b
a b c
=
+ −
( ) + + −
( ) + + −
( )
+ +
2 2 2
2 2 2
A) 2 B) 4 C) 6
D) –8 E) 10
20. Sabiendo que x x
+
( ) = +
( )
1 5 2
2
calcule el valor de E
x
x
=
+
( )
+
2 2
4
1
1
.
A) 1/7 B) 9/7 C) 8
D) 9 E) 12

53. Álgebra
IAU01-20
53
1. Si x
x
− =
1
6; entonces, halle el valor de
E x
x
= − −
2
2
1
8 10
A) 3 10
B) −2 10
C) 6 10
D) 4 10
E) 0
2. Si x x
+ =
1 2 2 , determine el valor de
x
x
x
x
x
x
+ + + + +
1 1 1
2
2
3
3
A) 221
B) 230
C) 232
D) 238
E) 240
3. Simplifique K
a b
c
b c
a
a c
b
=
+
+
+
+
+
sabiendo que
1 1 1
0
a b c
+ + = .
A) 1 B) 0 C) 2
D) 4 E) –3
4. Si x
x
+





 =
1
8
2
, entonces halle el valor de
x
x
2
2
1
−
A) 4 2 B) 7 3 C) 3 2
D) 3 3 E) 2 2
5. Si a+b+c=0, reduzca
E
a b c b c a c a b
a b c
=
+ +
( ) + + +
( ) + + +
( )
+ +
5 5 5
2 2 2
2 2 2
A) 16 B) –16 C) 12
D) –12 E) –32

55. GEOMETRÍA
Triángulos
Líneas notables y puntos notables
Congruencia de triángulos
Aplicación de la congruencia de triángulos

57. 57
Triángulos
1. 1
Triángulos
Sean los puntos A, B y C, los cuales no pertene-
cen a una recta, se define triángulo a la figura
mostrada por los segmentos de recta AB, BC
y AC.
B
x°
y°
A
b
c
z°
C
a θ°
α°
β°
Teoremas fundamentales
I. a+b+q=180
II. x+y+z=360
III. y=b+a
IV. a–bca+b; b ≤ a
V. b a ↔ b a
Clasificación de los triángulos
Según la congruencia de sus lados
1. Escaleno
Es aquel que posee tres lados desiguales,
también sus tres ángulos son desiguales.
A
B
C
θ°
α°
β°
Si:
AB ≠ BC a ≠ b
AB ≠ AC → b ≠ q
BC ≠ AC a ≠ q
2. Isósceles
Es aquel que posee dos lados congruentes,
también los ángulos que se le oponen a di-
chos lados son congruentes.
α° α°
A C
B
Si: AB = BC
→ m∠ A=m∠ C=a
a = 90
3. Equilátero
Es aquel que posee sus tres lados congruen-
tes, también tienen sus tres ángulos con-
gruentes, cada uno de los cuáles mide 60.
A C
B
60°
60° 60°
Si: AB=BC=AC
→ m∠A = m∠B = m∠C=60
Sesión
1

58. Geometría IAU01-20
58
Según la medida de sus ángulos
1. Rectángulo
Es aquel que posee un ángulos interior
recto, los lados que lo forman se le deno-
minan catetos y el que se le opone se le
denomina hipotenusa.
α°
β°
b
A
C
B
c
a
Si m∠ C=90
→ AB y AC: son catetos
AB: Hipotenusa
a+b=90
c2
=b2
+a2
2. Oblicuángulo
Es aquel que no posee ángulo interior rec-
to. Puede ser:
• Acutángulo
Es aquel que posee sus tres ángulos inte-
riores agudos.
A
B
C
θ°
α°
β°
c
b a
Si 0 a 90
0 b 90
0 q 90
a b c a b
2 2 2 2
− +
b ≤ a
• Obtusángulo
Es aquel que posee un ángulo interior ob-
tuso.
A B
c
C
a
b
θ°
Si 90 q 180
→ + +
a b c a b
2 2
Nota
ass
A B
c
C
a
b α°
Si 0 a 90
→ − +
a b c a b
2 2
b ≤ a
Nota

59. Geometría
IAU01-20
59
1. Calcular S, siendo
S=a+b+c+d+e
a°
b°
c°
d°
e°
A) 360 B) 180 C) 270
D) 540 E) 90
2. En la figura, calcular x
2x°
2x°+30°
2x°+30°
A) 60 B) 50 C) 70
D) 40 E) 36
3. En la figura AB=BC; PB=BQ
Calcular x.
A
P
C
Q
x°
α°
B
A) a B) 2a C)
a
2
D)
a
3
E)
2
3
a
4. Si AP=3; PC=5 y AB+BC=16, calcular el ma-
yor valor entero de BP.
B
P
A C
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
5. En el triángulo ABC isósceles AB=BC=5, en
AB se ubica el punto D, tal que AD=2. Cal-
cular el valor de BD.
A) 4 B) 3 C) 5
D) 6 E) 2
6. En el triángulo ABC se traza BH AC
⊥ tal
que m∠C=2 m∠abh. ah=2, HC=3. Calcular
BH.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 2,5 E) 3,5
7. En la figura, calcular S.
S=a+b+c+d+f
a°
b° c°
d°
e°
f°
A) 180 B) 360 C) 540
D) 720 E) 450

60. Geometría IAU01-20
60
8. En la figura: AM=MP; PN=NC. Calcular x
70°
B
C
P
M
N
x°
A
A) 55 B) 70 C) 65
D) 75 E) 85
9. Los lados de un triángulo miden 6; 8 y 2x.
Calcular el número de valores impares que
puede tomar x.
A) B) C)
D) E)
10. En un triángulo ABC. AB=8 – x; BC=2x –10,
además: m∠C m∠A.
Calcular x (entero)
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
11. Se tiene un triángulo ABC en AC se ubica
el punto D tal que:BC=BD; AD=3 DC=2, y
m∠A= m∠DBC. Calcular AB.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 4,5 E) 7
12. En la figura, calcular S
S=a+b+c+d+e+f
a°
b° c°
d°
e°
f°
A) 180 B) 360 C) 540
D) 720 E) 450
13. En un triángulo ABC, tal (AB=BC) se ubi-
ca E en AC y F en BC tal que: BE=BF. Si
m∠ABE=42. Calcular m∠FEC.
A) 21 B) 19 C) 42
D) 40 E) 39
14. Los lados de un triángulo escaleno miden
9; 15 y 3x. ¿Cuántos valores enteros puede
tomar x?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 2
15. En un triángulo ABC, AB=2x–18; BC=15 – x;
además m∠C m∠A. Calcular el valor en-
tero de x.
A) 9 B) 10 C) 14
D) 12 E) 13

61. PUNTAJE
PUNTAJE
Geometría
IAU01-20
61
1. 1.

62. Geometría IAU01-20
62
1. En la figura mostrada, calcular x
α
α
θ
θ
100°
3x
x
A
B
C
A) 50 B) 75 C) 25
D) 20 E) 30
2. En la figura AB=BC. m∠ABC=80.
Calcular x
80°
x
A
B
C
θ
θ
A) 25 B) 30 C) 40
D) 35 E) 20
3. Calcular x, si m+n=24.
BE=ED; m∠ABC=90
x°
m°
n°
E A D
B
C
A) 34 B) 33 C) 36
D) 32 E) 28
4. En un triángulo ABC, AB=2x–1; BC=6 – x;
AC=3x–1. Si x es un número entero, el
triángulo es:
A) rectángulo
B) isósceles
C) equilátero
D) acutángulo
E) obtusángulo
5. En la figura AB=BC y AC=CD. Si
m∠ABC=2(m∠ADC). Calcular x.
A C
D
B
x°
A) 45 B) 60 C) 70
D) 90 E) 75

63. 1.
2.
3.
63
Líneas notables y puntos notables
Mediana
Mediana es un triángulo es el segmento de rec-
tas cuyos extremos son un vértice del triángu-
lo y el punto medio del lado opuesto.
A C
M
B
En la figura si M es el punto medio de AC, en-
tonces BM es la mediana relativa al lado AC.
Altura
Altura de un triángulo es el segmento perpen-
dicular trazado desde cualquiera de sus vérti-
ces a la recta que contiene al lado opuesto
A H
B
C
B
H A C
En la figura BH ⊥ AC, entonces BH, es la altura
relativa al lado AC.
Mediatriz
En un plano dado, la mediatriz de un segmen-
to es la recta perpendicular al segmento en su
punto medio
L
A B
M
Si M es el punto medio de AB y L
AB, enton-
ces L
es mediatriz de AB. En la figura adjunta
la mediatriz de AC interseca a BC en el punto
medio P.
A
B
P
C
L
L
es mediatriz de AC
Bisectriz
Es el rayo que biseca a un ángulo interno o ex-
terno del triángulo.
α°α°
ω°
ω°
A D C
B
E
BD
: bisectriz interior
6. BE
: bisectriz exterior
Sesión
2

64. Geometría IAU01-20
64
Bloque I
1. En un triángulo ABC se traza la mediana
BM, tal que: AB=4; BM=3 y AC=10. Calcular
m∠ABM.
A) 75 B) 90 C) 120
D) 80 E) 105
2. En un triángulo ABC , se traza la bisectriz
interior BD
(D en AC), tal que: AB=BD=DA.
Calcular m∠C.
A) 54 B) 40 C) 30
D) 45 E) 36
3. Se traza el triángulo ABC (m∠B =90). La
mediatriz de AC con la bisectriz del menor
ángulo agudo determina un ángulo de 80°.
Calcular la medida del ángulo que forma la
bisectriz interior del m∠B con dicha me-
diatriz.
A) 20 B) 25 C) 25
D) 15 E) 10
4. Calcular la medida del ángulo formado por
la bisectriz interior y la altura que parten
de un mismo vértice de un triángulo, si los
otros dos ángulos interiores se diferencian
en 24°
A) 24 B) 12 C) 6
D) 18 E) 16
5. En un triángulo ABC se traza la altura BH .
Si AB+BC=15. Calcular el mayor valor en-
tero de BH.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 5
Bloque II
6. En un triángulo ABC se traza la mediana
BM y la altura BH. Si AH=2; HM=7. Calcular
AC.
A) 17 B) 19 C) 1
D) 15 E) 13
7. En un triángulo ABC. m∠ A=2m∠ C. La
bisectriz interior del m∠ B y la bisec-
triz exterior del m∠ C se intersecan en E.
BE AC
∩
{ }={ }
0 . , si DC=4 y DE=6, calcular
el perímetro del triángulo DCE.
A) 14 B) 15 C) 16
D) 17 E) 18
8. Calcular la medida del ángulo determina-
do por la bisectriz exterior y la altura que
parten de un mismo vértice de un trián-
gulo, si los otros dos ángulos interiores se
diferencian en 36°.
A) 72 B) 76 C) 74
D) 68 E) 66
9. Se tiene el triángulo ABC (m∠B=70), la
mediatriz de AC con la bisectriz del ma-
yor ángulo de 65°. Calcular la medida del
ángulo que forma la bisectriz interior del
m∠B con dicha mediatriz.
A) 10 B) 5 C) 15
D) 20 E) 7,5
10. Se tiene el triángulo ABC (m∠B=90), se
traza la altura BH y bisectriz interior AP,
que interseca a BH en Q (p ∈BC ). Si BP=10.
Calcular el mayor valor entero de PQ.
A) 19 B) 15 C) 14
D) 13 E) 10

65. Geometría
IAU01-20
65
Bloque III
11. Se tiene el triángulo ABC, se traza la al-
tura BH y la mediana BH, tal que AH=5;
HM=1,5. Calcular AC
A) 7 B) 12 C) 14
D) 10 E) 8
12. En un triángulo ABC, Calcular la medida
del menor ángulo formado por la bisectriz
exterior del m∠B y la mediatriz de AC si:
m∠A–m∠C=20.
A) 50 B) 65 C) 75
D) 70 E) 80
13. Se tiene el triángulo ABC (m∠B =90). Se
traza la altura BH y la bisectriz BF
del
∠HBC (F en HC). Si: AH=3; HF=2. Calcular
BH.
A) 3,5 B) 2,5 C) 4
D) 5 E) 4,5
14. Se tiene el triángulo ABC, AB=3; BC=4;
AC=5, se traza BH ⊥ AC, luego se traza BE
,
bisectriz del ∠ABH (E ∈ AH) y BF
bisec-
triz del ∠HBC (F ∈ HC). Calcular EF.
A) 1,5 B) 2,5 C) 2
D) 2,25 E) 2,75
15. En un triángulo ABC (m∠B=90) se traza
BH ⊥ AC, luego se traza la bisectriz interior
del ∠A, la cual interseca a BH y BC en M
y P respectivamente. También se traza la
bisectriz interior del ∠C, la cual interseca
a BH y AB en N y Q respectivamente. Calcu-
lar MN, si BP=BQ=12.
A) 8 B) 4 C) 6
D) 12 E) 10

66. PUNTAJE
PUNTAJE
Geometría IAU01-20
66
1.

67. Geometría
IAU01-20
67
1. En el triángulo ABC, se traza la mediana
BM y la altura BH, si HM=2; HC=7. Calcular
AC.
A) 9 B) 18 C) 8
D) 11 E) 12
2. Se tiene el triángulo ABC (m∠B=90);
AB=8; BC=15 se traza la altura BH y se
traza BE
bisectriz del ∠ABH (E en AH).
Luego se traza BF
bisectriz del ∠HBC (F
en HC). Calcular EF.
A) 5 B) 7 C) 6
D) 7,5 E) 9
3. Se tiene el triángulo ABC tal que m∠ A=
m∠ C, se traza las bisectrices interiores AP
y BQ, (P y Q en BC y AC respectivamente)
tal que: AP BQ I
∩
{ }={ } AC=8; QC=5. Cal-
cular AI.
A) 2,5 B) 3 C) 3,5
D) 4 E) 2
4. En el triángulo ABC se traza la bisectriz ex-
terior BD
, (D en la prolongación de AC).
Tal que AB = BD = CD, calcular m∠A.
A) 30 B) 36 C) 40
D) 22,5 E) 50
5. En un triángulo ABC, AB = c; BC = a; CA = b,
además a+b+c=2p. Entonces la suma de
las medidas de las tres alturas. (Sh) es:
A) Sh 2p
B) Sh 3p
C) Sh 3p/2
D) S p
E) Sh 2p/3

68. 1.
2.
3.
68
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes si sus lados
y ángulos son respectivamente congruentes.
Para indicar que el “triángulo ABC es con-
gruente al triángulo DEF”, se escribe:
TABC ≅ TPQR
A
c a
b
B
C
θ°
α°
β°
D
c a
b
E
F
θ°
α°
β°
En dos triángulos congruentes, a lados con-
gruentes se le oponen ángulos congruentes y
recíprocamente, a ángulos congruentes se le
oponen lados congruentes.
Para que dos triángulos sean congruentes, no
necesariamente los seis pares de elementos
correspondientes deben de ser congruentes,
sino simplemente tres pares de ellos, entre los
que por lo menos debe figurar un par de lados
correspondientes, esto implica la congruencia
de los restantes.
CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
De acuerdo con la naturaleza de los elementos
congruentes, resultan los siguientes casos de
congruencia de triángulos:
• Primer caso
Dos triángulos serán congruentes si tienen
dos lados y el ángulo comprendido respec-
tivamente congruentes (Caso LAL).
b
c
α°
b
c
α°
Segundo caso.
Dos triángulos serán congruentes si tienen un
lado y los ángulos adyacentes respectivamente
congruentes (Caso ALA).
b
α° β°
b
α° β°
Tercer caso
Dos triángulos serán congruentes si tienen sus
tres lados respectivamente congruentes (Caso
LLL).
b
c a
b
c a
Cuarto caso
Dos triángulos serán congruentes si tienen dos
lados y el ángulo opuesto al mayor de dichos
lados respectivamente congruentes (Caso
LLA).
a c
α°
c
a
b
α°
c
a
b
Sesión
3

69. Geometría
IAU01-20
69
Nota
ass
No existe caso (A-A-A) para la con-
gruencia de triángulos. Para que dos
triángulos sean congruentes, los casos
nos muestran que necesitamos tres
elementos congruentes, en donde, al
menos, uno de ellos debe ser un lado.
Importante
Nota
ass
Si dos triángulos rectángulos tienen
congruentes un cateto y la hipote-
nusa, entonces serán congruentes
(Caso H-C).
≅
b
b
a
a
Nota
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
Son un grupo de triángulos en los cuales es co-
nocida la razón que existe entre los lados (ca-
tetos e hipotenusa) y además se sabe cuanto
miden sus ángulos.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 45 Y 45
En este triángulo se cumple que los catetos
son congruentes, además la hipotenusa tiene
una medida igual a la del cateto multiplicada
por 2.
2
a
a
a
45°
45°
TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 30 Y 60
En este triángulo el lado menor (cateto opues-
to a 30°) es igual a la mitad del lado mayor
(hipotenusa). Además la medida del cateto
opuesto a 60° es igual al lado menor multipli-
cado por 3.
a
60°
30°
2a
3
a
TRIÁNGULO RECTÁNGULO APROXIMADO DE
37 Y 53
Si las medidas de los lados de un triángulo son
proporcionales a los números 3; 4 y 5 enton-
ces se cumple que el triángulo es rectángulo
y sus ángulo agudos miden aproximadamente
37° y 53°.
53°
37°
5a
3a
4a
TRIÁNGULO RECTÁNGULO APROXIMADO DE
3712 Y 143/2
Si la razón entre las medidas de los catetos de
un triángulo rectángulo es de 1 a 2, entonces
se cumple que el menor de los ángulos medirá
53/2.
53°/2
2a
a
TRIÁNGULO RECTÁNGULO APROXIMADO DE
53/2 Y 127/2
Si la razón entre las medidas de los catetos de
un triángulo rectángulo es de 1 a 3, entonces se
cumplequeelmenordelosángulosmedirá37/2.
53°/2
2a
a

70. Geometría IAU01-20
70
Bloque I
1. En la figura los triángulos mostrados son
congruentes, calcular el valor de x.
θ°
α°
x+y x–y
4
6
α°
β°
A) 4 B) 5 C) 6
D) 3 E) 4,5
2. En la figura se cumple AB = CQ y PA = BC,
Calcular el valor de x.
θ° θ°
A
P
B C
Q
x–6
18–2x
3. En el gráfico AB = QC, AP=PQ, BP = PC,
m∠ACB=20 y m∠ABC=100. Calcular el va-
lor de x.
P
B
A C
x°
Q
A) 30 B) 50 C) 40
D) 45 E) 60
4. Calcular AC, si BD=3.
30°
45°
A C
D
B
A) 3 6 B) 4 C) 4 3
D) 6 2 E) 6
5. En el gráfico BC=10,
calcular AC.
45° 37°
A C
B
A) 13 B) 14 C) 7 2
D) 15 E) 18
Bloque II
6. Si ABC es un triángulo isósceles con
AB=BC, en BC, BC y BC se ubican los
puntos M, N y L respectivamente de
modo que AM=LC y AL=NC. Si m∠B=100,
calcular m∠MLN.
A) 20 B) 25 C) 40
D) 50 E) 70

71. Geometría
IAU01-20
71
7. Exteriormente al triángulo rectángulo
ABC, recto en B, se constituye el triángu-
lo rectángulo isósceles ACA (AC=CD). Si
m∠BAC=18,5, calcular m∠DBC.
A) 30 B) 37 C) 45
D) 53 E) 26,5
8. P es punto del lado AC del triángulo ABC
y Q es un punto de prolongación de CB, si
BP=PC, AP=PQ, AB=QC, y m∠C=50; calcu-
lar PQC.
A) 20 B) 25 C) 30
D) 35 E) 40
9. En el triángulo ABC m∠C=60 y AC=12;
exteriormente se constituye el triángulo
equilátero BEC. Calcular la distancia de E
a la recta AC.
A) 4 B) 6 C) 4 3
D) 6 3 E) 8
10. En un triángulo ABC: AB= 1,
3− AC= +1.
3
Calcular m∠C.
A) 30 B) 45 C) 22,5
D) 15 E) 60
Bloque III
11. En el gráfico, AB=DE y AE=DC. Calcular el
valor de x.
x°
80°
A
B
E D
C
80°
A) 80 B) 60 C) 50
D) 40 E) 70
12. Exteriormente al triángulo rectángulo
ABC, recto en B, se construye el triángulo
rectángulo ACD. Si AC=CD, AB = −
3 1 y
BC=1, calcular m∠DBC.
A) 15
B) 18,5
C) 22,5
D) 26,5
E) 30
13. En un triángulo ABC se traza la ceviana CD
y en CD se ubica el punto E de modo que:
BE=AC, DB=DC y AD=DE, si m∠ABE=20,
calcular m∠EBC.
A) 20 B) 25 C) 30
D) 40 E) 45
14. En el triángulo ABC: m∠A=53 y AC=20, sea
D un punto exterior al triángulo ABC y re-
lativo a BC, tal que BC=CD y m∠BCD=53.
Calcular la distancia del punto D hacia la
recta AC.
A) 30 B) 12 C) 15
D) 16 E) 20
15. El ángulo B del triángulo ABC mide 45 y los
lados AB y BC miden 6 1
y 3 − . Calcu-
lar m∠A.
A) 15
B) 22,5
C) 30
D) 18,5
E) 26,5

72. PUNTAJE
PUNTAJE
Geometría IAU01-20
72

73. Geometría
IAU01-20
73
1. El triángulo ABC es equilátero, P es un
punto anterior de modo que m∠APC=100.
Sea Q un punto exterior al triángulo relati-
vo a BC tal que el triángulo PQC es equilá-
tero. Calcular m∠BQP.
A) 20 B) 30 C) 40
D) 50 E) 60
2. Del grafico, calcular ML, si AB=BC, AM=7,
BN=3 y CL=9.
M
A
N L
B
C
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
3. Se traza la mediana BM del triángulo
ABC y en BM se ubica el punto H tal que
m∠AHB=90 y 3(BC)=5(AH). Calcular
m∠MBC.
A) 18 B) 37 C) 30
D) 53 E) 26.5
4. El triángulo ABC es escaleno, exteriormen-
te se construyen los triángulo equiláteros
ABP y BQC, AQ ∩ PC={D}. Si PD=12, AD=5 y
DC=8, Calcular DQ.
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 12
5. Sea AD una ceviana interior del triángu-
lo ABC tal que DC=2(AD), m∠DAB=15 y
m∠ABD=45. Calcular m∠DAC.
A) 30 B) 37 C) 45
D) 60 E) 75

74. 1.
2.
3.
74
Aplicación de la CONGRUENCIA
DE TRIÁNGULOS
TEoREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Todo punto de la bisectriz de un ángulo equi-
dista de los lados del ángulo.
θ°
θ°
O N B
m
m
d
d
F
P
M
A
Si OF
es bisectriz del ángulo AOB, P ∈OF
, PM ⊥
OA y PN ⊥ OB, entonces:
PM=PN
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Todo punto de la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos de dicho segmento.
L
A M
P
d d
B
Si L
es mediatriz de AB y P ∈L
, entonces.
PA=PB
Recomendación:
α°
α°
P R
Q
H
Prolongar OH para formar el triángulo isósce-
les PQR, luego:
PQ = PR y QH = HR
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
Si por el punto medio de uno de los lados de
triángulo se traza la paralela a un segundo
lado, entonces dicha paralela cortará al tercer
lado en su punto medio, además el segmento
paralelo determinado será igual a la mitad del
segundo lado.
A C
B
N
m
2m
M
Si M es punto medio de AB y MN //AC:
BN NC MN
AC
= = =
2
Sesión
4

75. Geometría
IAU01-20
75
Nota
ass
Si se unen los puntos medios de dos
lados de un triángulo, entonces el
segmento resultante será paralelo al
tercer lado y su medida será igual a
la mitad de la medida del dicho lado.
Este segmento se conoce como BASE
MEDIA.
Nota
TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN EL
TRiÁNGULO RECTáNGULO
En todo triángulo rectángulo la mediana rela-
tiva a la hipotenusa mide igual que la mitad de
dicha hipotenusa.
2α
A M
B
C
a
a
a
α
α
α
α
Si BM es mediana
AM MC BM
AC
= = =
2
Nota
ass
Observe que los triángulos AMB y
BMC son isósceles.
Nota

76. Geometría IAU01-20
76
BLOQUE I
1. Del gráfico mostrado calcular el valor de y
x2–10
x2–10
b+12
b+12
3x+b
3x+b
α°
α°
A D
y
C
B
A) 5 B) 6 C) 12
D) 15 E) 26
2. En la figura AM=MB, calcular el valor de a
2b+3
2b+3 3b–1
3b–1
a–b
a–b
A
M
B
b2
b2
A) 12 B) 16 C) 2
D) 20 E) 30
3. En la figura M y N son puntos medios de
los lados, calcular el valor de x.
x – 4
x – 4
x – 2
x – 2
A C
B
N
M
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
4. La figura muestra un triángulo rectángu-
lo ABC, en donde M es punto medio de AC.
Calcular el valor de x.
A M C
B
6x
x +4
x +4
A) 2 B) 4 C) 3
D) 5 E) 8
5. En la figura AB=7, AC=15 y M es punto me-
dio de BC. Calcular PM.
α°
α°
A C
B
M
P
BLOQUE II
6. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B.
la bisectriz del ángulo A interseca a BC en
el punto P, tal que BP=9 y PC=15. Calcular
AB.
A) 12 B) 16 C) 18
D) 24 E) 32
7. En un triángulo ABC la medida del ángulo
exterior en A es el triple de la medida del
ángulo C. La mediatriz de AC interseca a BC
en Q tal que QC = 3 2, calcular AB.
A) 3 B) 6 2 C) 6
D) 3 2 E) 4

77. Geometría
IAU01-20
77
8. En el triángulo rectángulo ABC, recto en
C. se traza la bisectriz interior CF y en su
prolongación se ubica el punto D. Sea E
el punto medio de AF tal que DE=4 y m∠
EDF=45. Calcular AC.
A) 4 B) 6 C) 8
D) 8 2 E) 12
9. En un triángulo rectángulo ABC: m∠B=90
y m∠C=36, en AC se ubica el punto Q tal
que m∠ABQ=18. Calcular BQ, si AC=2.
A)
1
2
B) 1 C)
3
2
D) 2 E)
5
2
10. Se tiene un triángulo cuyo perímetro es
36. Se trazan dos bisectrices exteriores y
desde el tercer vértice se trazan perpendi-
culares a estas bisectrices Calcular la me-
dida del segmento que une los pies de las
perpendiculares.
A) 8 B) 12 C) 8
D) 18 E) 24
BLOQUE III
11. En el triángulo rectángulo ABC, recto en
C. la bisectriz del ángulo A interseca a BC
en el punto P, tal que BP=2(PC). Calcular
m∠B.
A) 26,5 B) 30 C) 37
D) 35 E) 45
12. En un triángulo ABC: m∠A=2(m∠C), la
mediatriz de BC interseca a AC en Q tal que
QC=6. Calcular AB.
A) 3 B) 6 2 C) 9
D) 8 2 E) 12
13. En el triángulo ABC: m∠C=60; en la pro-
longación de CB se ubica el punto D y se
ubica E punto medio de AB, tal que DE=6 y
m∠EDC=30, calcular AC.
A) 12 B) 6 3 C) 9
D) 4 3 E) 2 3
14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B;
en la hipotenusa AC se ubica un punto D tal
que m∠ABD=24 y m∠C=38. Calcular AC, si
además BD=5
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
15. En el triángulo ABC: AB+BC=14 y M es
punto medio de AC. Calcular la distancia de
M al pie de la perpendicular trazada desde
C a la bisectriz del ángulo exterior en A.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10

78. PUNTAJE
PUNTAJE
Geometría IAU01-20
78
1.
2.
3.
4.
5

79. Geometría
IAU01-20
79
1. En un triángulo rectángulo ABC: m∠B=90,
AB=4 y AC=10. Si la bisectriz interior del
ángulo A y la mediatriz de AC se intersecan
en el punto P, calcular la distancia de P a
BC.
A) 4 B) 3 C) 2
D) 2 2 E) 1
2. En el triángulo ABC se traza la bisectriz
interior BD, la mediatriz de BD interseca
a la prolongación de AC en E. Si m∠A=40,
calcular m∠EBC.
A) 20 B) 25 C) 40
D) 45 E) 50
3. En un triángulo ABD se traza la mediana
AN y la ceviana DP que se intersecan en
M, luego por B se traza BC//PD (C en la
prolongación de AD). Si AM=MN y PM=2,
calcular BC.
A) 12 B) 16 C) 24
D) 32 E) 18
4. En el triángulo rectángulo ABC, recto en
B. se traza CD perpendicular a la bisectriz
exterior del ángulo A. Si CD=8, calcular BD.
A) 8 B) 12 C) 16
D) 8 2 E) 4
5. Del gráfico calcular AH. si BC=16
θ°
θ° θ°
A C
B
H
A) 4 B) 6 C) 8
D) 4 2 E) 6 3

81. TRIGONOMETRÍA
Razones trigonométricas de ángulos agudos I
Razones trigonométricas de ángulos agudos II
Razones trigonométricas de ángulos agudos III
Razones trigonométricas de ángulos agudos IV

83. 83
Sesión
1
Razones trigonométricas
de ángulos agudos I
1. Definir la razón trigonométrica de un ángulo agudo
2. Aplicar la definición en situaciones problemáticas
3. Aplicar el teorema de Pitágoras para calcular las razones trigonométricas
Triángulo rectángulo
Se llama triángulo rectángulo al triángulo
donde uno de sus ángulos es recto (90°), ade-
más recuerde que el lado opuesto al ángulo
recto se llama hipotenusa y los dos lados res-
tantes catetos
En la figura mostrada:
c
θ
α
b
a
c: Hipotenusa
a  b: Catetos
q  a: Son ángulos agudos
Además en el triángulo rectángulo se cum-
ple:
• Los ángulos agudos suma 90°
a + q = 90°
• Teorema de Pitágoras
a2
+ b2
= c2
• La hipotenusa siempre es mayor a los ca-
tetos
c
a ∧ c b
Razón trigonométrica
La razón trigonométrica de un ángulo agudo
en un triángulo rectángulo se define como el
cociente que se obtiene al dividir las medidas
de las longitudes de dos de los lados del trián-
gulo rectángulo con respecto a uno de los án-
gulos agudos.
c
θ
α
b
a
Si en el triángulo anterior nos referimos a las
longitudes de los lados del triángulo con los
nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) y ca-
teto adyacente (a). Podemos definir las razones
trigonométricas de q del modo siguiente:
• senθ
θ
= =
cateto opuesto al ángulo
hipotenusa
b
c
• cosθ
θ
= =
cateto adyacente al ángulo
hipotenusa
a
c
• tanθ
θ
=
cateto opuesto al ángulo
cateto adyacente al ángulo θ
θ
=
b
a
• cot θ
θ
=
cateto adyacente al ángulo
cateto opuesto al ángulo θ
θ
=
c
a
• secθ
θ
= =
hipotenusa
cateto opuesto al ángulo
c
b
• cscθ
θ
= =
hipotenusa
cateto opuesto al ángulo
c
b

84. Geometría IAU01-20
84
BLOQUE I
1. Usando el teorema de Pitágoras, halle el valor de x en cada caso:
a.
6
8
x+1 b.
x
9
x+1
c.
15
x
8
33
2. En los siguientes triángulos rectángulos indicar el cateto opuesto, cateto adyacente y la hipo-
tenusa respecto al ángulo de referencia
a.
θ
1
10
CO: ...............
CA: ...............
H: ...............
b.
2
φ
3
CO: ...............
CA: ...............
H: ...............
c. CO: ...............
CA: ...............
H: ...............
13
α α
5
3. Hallar las seis razones trigonométricas respecto del ángulo q.
a.
2
θ
1
senq = .................... cscq = ....................
cosq = .................... secq = ....................
tanq = .................... cotq = ....................
b.
a
θ
7a
senq = .................... cscq = ....................
cosq = .................... secq = ....................
tanq = .................... cotq = ....................

85. Geometría
IAU01-20
85
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en
B), halle el valor de cot
A
2





 en función de
a, b y c.
5. Halle el perímetro del triángulo ABC en
cada caso
a. Se tiene
α
A C
12 cm
B
además sen .
α =
3
5
b. Se tiene
θ
A C
B
15 m
además tanq=2,4
BLOQUE II
6. Si ABCD es un cuadrado, calcule
M = +
29 34
sen cos
α β
3
2
A D
B C
β
α
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
7. En un triángulo ABC, con ángulo recto
en B, se cumple que cscA – cosC = 2, halle
tanCsenC.
A)
1
2
B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
8. Calcule: E=secq + cot(90° – q)
5 x+1
x
θ
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3
9. Si: tanβ =
2
3
y cosφ =
1
4
(b y f agudos),
Calcular: N = +
2 13 15
cos tan
β φ
A) 18 B) 19 C) 20
D) 21 E) 22
10. Calcule tana + cota con ayuda de la fi-
gura mostrada si ABCD es un cuadrado y
AQ = 3QP.
Q
A B
D C P
A)
3
10
B)
3
8
C)
3
4
D)
7
12
E)
25
12

86. Geometría IAU01
86
BLOQUE III
11. Si ABCD es un cuadrado, calcule:
M = +
5 17
cos sen
α β
1
3
A D
B C
β
α
A) 5 B) 7 C) 9
D) 10 E) 11
12. En un triángulo ABC, con ángulo recto en
A, se cumple que secB – senC = 5, halle
cotCsenB.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
13. Calcule: E = cscq + tan(90°– q)
7 2x+1
2x
θ
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
14. Si cosβ =
3
5
y senφ =
1
3
(b y q agudos), cal-
cular: N = +
5 2
sen cot
β φ
A) 11 B) 12 C) 8
D) 14 E) 15
15. Calcule tana - cota con ayuda de la figu-
ra mostrada si ABCD es un cuadrado y
AQ = 5QP.
Q
A B
D C P
α
A) −
3
30
B) −
11
30
C) −
4
15
D) −
10
11
E) −
15
13

87. PUNTAJE
PUNTAJE
Geometría
IAU01
87
1. Dado: senφ =
4
5
y 0 f
π
2
,
calcular: 3(tanf+2)
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E11
2. Si: sec ;
x = 7 ; 0 x 90°
Calcular: E x x
= +
tan sen .
2
42
A) 10 B) 12 C) 14
D) 18 E) 20
3. En un triángulo ABC recto en A se cumple
tan ;
B =
8
15
además: b+c=69 m
Hallar la longitud de la hipotenusa.
A) 51 m B) 34 m C) 53 m
D) 68 m E) 85 m
4. En un triángulo rectángulo, recto en C, se
cumple que:
2a b
c
A B
−
= +
sen sen
Calcular: E=sec2
A+cotB
A) 3 B) 5 C) 7
D) 9 E) 1
5. De la figura, hallar:
E=secq – tanq
20
x+10
θ
x
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3
D) 0,4 E) 0,5

88. Geometría IAU01
88
6. Si; tan ; ;
2
5
12
0
4
x x
= ∈
π
Calcular el valor de:
F=cotx+tanx
A)
5
4
B)
26
5
C)
27
5
D)
28
5
E)
29
5
7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C,
se cumple que tan(A)=2sec(B).
Calcule: M=csc2
B–2secA
A) 2 B) 0 C) 3
D) 4 E) 1
8. En un triángulo ABC recto en A se cumple
tanB=0,75; además: a–b=6 m. Hallar su se-
miperímetro.
A) 6 m B) 12 m C) 18 m
D) 21 m E) 44 m
9. Del gráfico, calcular: sena
3a
a
α
α
A)
5
5
B)
5
6
C)
5
7
D)
3
5
E)
3
4
10. En un triángulo isósceles ABC(AB=BC)
se tiene que cosB=0,6. Luego el valor de
W=cotA+cotC, es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

89. 89
Razones trigonométricas
de ángulos agudos II
1. Describir la relación de los lados de los triángulos rectángulos de ángulos notables
y aproximados
2. Calcular las razones trigonométricas de los ángulos notables y aproximados
3. Aplicar las razones trigonométricas de los ángulos notables y aproximados en si-
tuaciones problemáticas
Sesión
2
Triángulo rectángulo de ángulos notables de 45° y 45°
45°
45°
a a
a
a
5
a
45°
45°
a
a
Triángulo rectángulo de ángulos notables de 30° y 60°
60°
a
2a 2a
a a
60° 60°
30°
30°
3
a
2a
30°
60°
Triángulo rectángulo de ángulos aproximados de 37° y 53°
37°
53°
5a
3a
4a

90. Geometría IAU01
90
Razones trigonométricos de ángulos
notables y aproximados
Ángulo
R.T.
30° 37° 45° 53° 60°
sen
1
2
3
5
2
2
4
5
3
2
cos
3
2
4
5
2
2
3
5
1
2
tan
3
3
3
4
1
4
3
3
cot 3
4
3
1
3
4
3
3
sec
2 3
3
5
4
2
5
3
2
csc 2
5
3
2
5
4
2 3
3
Nota
s
α/2
α/2
C
B
a c
A
b
10
37°/2
3
1
5
53°/2
2
1
Importante
Nota
ass
Los valores de las seis razones trigono-
métricas dependen únicamente de la
medida del ángulo y no de las longitudes
de los lados del triángulo rectángulo.
Observación
Lo anterior lo podemos describir a continua-
ción, en la siguiente figura.
θ
A C
B
C'
B'
Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que:
sen .
θ =
BC
AB
Por otra parte, del triángulo rectángulo AC’B’
tenemos que:
Luego:
BC
AB
B C
AB
=
' '
'
Así encontramos el mismo valor para senq sin
importar cual sea el triángulo rectángulo que
utilicemos para calcularlo, una idea similar
podría servir para las otras razones trigono-
métricas.

91. Geometría
IAU01-20
91
BLOQUE I
01.
Coloque el signo de relación (; ; =) en cada cuadro
a. 5sen37°+tan4
60° 4cos60°+ 2 3 30
cot °
b. sen30°+tan53° 2tan45°–cos37°
c. 6cos45° sen60° 4tan37°cos60°
02. Halle el valor de x e y en cada caso
a.
y
x
3
5
30°
b.
53° 45°
x
y
2
5
c.
37°
60°
5
y
x
03. - Del gráfico halle tanq en cada caso.
a.
30°
θ
b.
53°
a 2a
θ
04. - Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda
a.
tan
37
2
1
3
°





 = ( ) c. tan
45
2
1
2
°





 = ( )
b.
tan
53
2
1
2
°





 = ( )

92. Geometría IAU01
92
5. Ordene en forma creciente los siguientes
valores
I.
3
5
37
tan °
II.
1
2
30
3
sen °
III.
1
3
45
tan °
IV.
1
4
37
2
cot
°






V.
1
6
53
2
tan
°






0
BLOQUE II
6. Determine el valor de tanq
x+1
3x–2
x–1
30° θ
A)
34
10
B)
34
34
C)
5 34
34
D)
5 34
17
E) 2
7. Determinar el valor de x:
xsec60°cos53°–5sen37°=tan45°–
A)
10
11
B)
11
10
C)
20
11
D)
11
20
E) 11
8. Halle el valor de x si:
x x
2 2
45 4 37 60 0
tan tan sec
°− °− ° =
A) –1 y 2 B) 2 y 3 C) 3 y 4
D) 4 y –1 E) 2 y 4
9. Si: tan sen tan
α θ
= ° ∧ = °
30 53
sec
tal que 0 a 90° ∧ 0 q 90°
Calcular:
E = ⋅ +
35
2
3
sen tan
α θ
A) 2 B) 3 C)
5
3
D)
11
3
E)
13
3
10. En la figura. Calcula 3Cotf.
135°
φ
6
2
4
A) 3 B) 5 C) 7
D) 9 E) 10
BLOQUE III
11. Determine el valor de senq.
2x+1
5x–2
x–1
30° θ
A)
10
10
B)
10
3
C)
3 10
10
D)
10
54
E) 3

93. Geometría
IAU01
93
12. Resolver:
x(tan45°+csc30°)+tan53°=tan45°
A) 2–1
B) 3–2
C) 3–1
D) –3–2
E) 1
13. Halle el valor de x si:
x x
3 2
60 3 37 45 0
⋅ °+ °+ ° =
sec csc sec
A) − −
1
2
y 2
B) −2 y
3
2
C)
1
2
2
y −
D) 2 y
3
2
E) –2 y –4
14. Si: cot cos cos
α θ
= ° ∧ = °
30 53
sen
tal que 0 90
° ∧
α θ
0 90°
Calcular: E = ⋅ ⋅ +
7
2
5
senα θ
A) 1 B) 2 C) 3
D)
12
5
E)
7
3
15. En la figura. Calcula 8cotf.
φ 10
5 127°
A) 11 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10

94. PUNTAJE
PUNTAJE
Geometría IAU01
94
1. De la figura, hallar tanq
B
2csc37°+1
2sen53°+1
θ
A)
1
3
B)
2
3
C)
4
3
D)
5
3
E) 1
2. De la figura, hallar tanq.
37°
45°
30°
θ
A)
1
4
B)
3
8
C)
2
4
D)
3
4
E)
1
8
3. Calcular
A =
° °− °
° ° ° °
3 60 30 4 45
45 45 37 53
4 2
3 3
tan csc sec
sen csc cot cot
A) −
5
8
B) −
1
40
C)
1
40
D) 40 E) –40
4. De la figura halle tanq.
37°
x+1
2x
3x–1
θ
A) 1 B) 2 C) 3
D)
1
2
E)
1
3
5. Según el gráfico, calcule cotq.
120°
θ
4
10
14
A) 3 3 B) 4 C) 6 3
D) 2 3 E) 6

95. Geometría
IAU01
95
1. Si: n =
+
sen cos
tan
.
π π
π
6 3
2
4
rad rad
Halle el valor
de: M n n
= rad rad
tan sen
π π
2 3





 +






A) 1 B) 2 C)
3
2
D)
2
3
E)
4
3
2. Reducir
F=
rad
10 37 3
6
6
37
2
8
53
2
sen( ) sec tan
tan
°+





 −






°






°
+
π
2
2
4
cot
π
rad






A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Si el área de la región sombreada es 54 u2
y AB=15. Calcule cscq.
A B
37°
37° θ
θ
A)
10
2
B)
10
3
C)
10
4
D)
2 10
3
E)
10
5
19. Si AB=4 y BC = 2,
calcule S = ⋅
sen csc
2 2
θ α
135°
120°
θ
α
D
C
B
A
A) 12 B) 10 C) 4
D) 6 E) 3
4. En un triángulo ABC se cumple que la me-
dida del ángulo BAC es 53º y el coseno del
ángulo BCA es 5/13. Calcule AC si el perí-
metro de la región ABC es 84.
A) 26 B) 28 C) 30
D) 32 E) 34

96. 96
1. Identificar las razones trigonométricas recíprocas
2. Aplicar las razones trigonométricas reciprocas en situaciones problemáticas
3. Identificar las razones trigonométricas de ángulos complementarios (Co-razones)
4. Aplicar las razones de ángulos complementarios en situaciones problemáticas
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS III
Sesión
3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Siendo q un ángulo agudo se cumple:
sen csc csc
sen
θ θ θ
θ
⋅ = → =
1
1
cos sec sec
cos
θ θ θ
θ
⋅ = → =
1
1
tan cot cot
tan
θ θ θ
θ
⋅ = → =
1
1
Ejemplo:
• Si sen csc
θ θ
= → =
3
4
4
3
• Si sen csc
10 10 1
°⋅ ° =
• Si cos sec
θ θ
= → =
1
5
5 • cos sec
50 50 1
°⋅ ° =
• Si tan cot
θ θ
= → =
2
3
3
2
• tan cot
18 18 1
°⋅ ° =
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.
a
b
c
θ
α
En la figura se muestra:
q y a: Son ángulos complementarios (q + a = 90°)

97. Geometría
IAU01
97
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como q y al ángulo opuesto al cateto a como a en
consecuencia:
• sen cos
θ α
= =
b
c
; cos sen
θ α
= =
b
a
• tan cot
θ α
= =
c
b
; cot tan
θ α
= =
b
c
• sec csc
θ α
= =
a
b
; csc sec
θ α
= =
a
c
Debido a estas relaciones las razones:
• seno y coseno
• tangente y cotangente
• secante y cosecante
Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra
Ejemplos:
• sen40° = cos50° • sec20° = csc70°
• tan80° = cot10° • cot3° = tan87°
• cos62° = sen28° • csc24° = sec66°
Nota
ass
Si:
• tana . tanq=1
• cosa . cscq=1 a + q = 90°
• sena . secq=1
Observación

98. Geometría IAU01-20
98
BLOQUE I
1. Halle la medida del ángulo agudo q en
cada caso:
a. cos(q +10°) sec(2q – 30°)=1
b. tan4q cot(50°– q)=1
c. sen48°csc(12°+ q)=1
2. Halle la medida del ángulo agudo x en cada
caso
a. sen3x=cos6x
b. tan(5x+10°)=cot3x
c. sec(48°–3x)=csc(12°+8x)
3. Indique V o F según corresponda
a. sen3qcsc38°=1 ( )
b. cos(40°+x)=sen(50°–x) ( )
c.
sen sen sen ... sen
cos cos cos ... cos
10 2 30 80
10 20 30
°+ + °+ + °
°+ °+ °+ +
θ
8
80
1
°
= ( )
4. Indique V o F según corresponda
a.
2 °
°
+ °+ °=
sen
cos
tan tan
10
80
40 50 3 ( )
b.
3 30 60 2
tan( )tan( )
°+ °− =
x x ( )
c. Si x+y=30°; entonces: sen3y=cos3x ( )
5. Hala el valor de x (agudo) en cada caso
a. tan4xtan(70°+x)=1
b. sen(x+18°)sec(2x+12°)=1
c. cos3xcsc(2x+40°)=1
BLOQUE II
6. Halle: x+y si:
sen(3x+40º) . sec(2x)=1
tan(7y –10º) . cot(6y+30º)=1
x, y: agudos
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40° E) 50º
7. Se tiene la medida de dos ángulos agudos
a y b, tal que:
tan(a) . tan(b) –1=0,
sen( )
α β
− =
3
2
Calcule el valor de:
M=sen(a–15°) – sen(3b).
A)
1
2
B)
2
2
C)
3
2
D)
3 2
2
−
E)
6 2
4
−
8. En la figura mostrada si AD=50 u y además
se cumple que
tan(10º+q)tan(20°+q)=1
Halle la longitud de BC (en u).
A C
B
D
θ θ
A) 22 3 B) 24 3 C) 25 3
D) 26 3 E) 27 3

99. Geometría
IAU01
99
9. Si sen(2a) csc(q+30º)=1; además sen(q–
f) sec(f+a)=1; calcule el valor numérico
de F=8 sen(a+5º) . cos(q+10º).
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 8
10. Si:
cos( )sen sen( )cos
30 3 3 60 3 2
°+ = °−
x x x x
Halle el valor de:
M x x
=5 2 1 2 3 9
4
sen tan
+ °
( )− − °
( )
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
BLOQUE III
11. Halle: 2x-y si:
sen(2x+30º) . sec(8x)=1
tan(4y – 10º)cot(6y–30º)=1
x, y: agudos
A) 1º B) 2º C) 3º
D) 4º E) 5°
12. Se tiene la medida de dos ángulos agudos
a y b, tal que:
tan(a+10°) . tan(b+20°) –1=0,
sen α β
−
( )=
1
2
Calcule el valor de:
M=sen(a+8°) + sen(2b).
A)
15
8
B)
13
8
C)
13
10
D) 3 E)
11
8
13. En la figura mostrada si AD=10 u y además
se cumple que
tan(10º+q)cot(70°–q)=1
Halle la longitud de BC (en u).
A C
B
D
θ θ
A) 3 3 B) 4 3 C) 5 3
D) 6 3 E) 7 3
14. Si sen(3a) csc(q+10º)=1; además cos(q–f)
csc(f+a)=1; calcule el valor numérico de
F = 24 2 sen(a+20º) . cos(q–5º).
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
15. Si :
cos( )sen sen( )cos
30 3 3 60 3 2
°+ °−
x x x x
=
Halle el valor de:
M=5sen(6x–1)
M=–3tan3
(5x)
A)
1
2
B) 1 C)
3
2
D) 2 E)
5
2

100. PUNTAJE
PUNTAJE
Geometría IAU01
100
1. Calcular: cos(x+y)
si: sen(x –10º) csc(36º – x) = 1
sen(y + 10º) = cos(y + 20º)
A) 3 B)
3
5
C)
1
2
D)
2
5
E)
4
7
2. Si tan(senx) . cot(cos40º) = 1,
entonces M=2sen(x – 20º) es igual a:
A)
1
2
B)
3
5
C)
3
5
D)
4
5
E) 1
3. Si q es un ángulo agudo, tal que
tan(30º–q)tan(30° + q) = cot(60º + q),
halle: sec (2q).
A) 2 B)
5
4
C)
5
3
D) 2 E)
2 3
3
4. Reducir la siguiente expresión:
M =
°+ °
( ) °
°− °+ °
7 35 11 55 35
20 70 4 60
sen cos csc
tan cot cos
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. Si 2 2 5 2 90
cos º tan tan º ,
x x x
+
( )= ⋅ −
( )
calcule tan cos
3
3
2
x
x
−
A) 3 B) 1 C) 2 3
D) 3
2
E) 4

101. Geometría
IAU01
101
1. Calcular:
H =
⋅ + ⋅
( )⋅
⋅
9 18 16 72 18
36 54
sen º cos º csc º
tan º tan º
A) 7 B) 5 C) 49
D) 25 E) 5
2. Resolver el siguiente sistema de ecuacio-
nes, si “a”, “b” y “q” son ángulos agudos:
sen(a – b) = cos70º
sec(q – b) = csc50º
tan(a +q) = cot10º
Luego uno de ellos será:
A) 20° B) 30° C) 40°
D) 60° E) 80°
3. Si:
sen( º) cos( º) tan º csc º
x x
+ − − = −
30 2 15 2 45 30
Halle: 2 2 10 4 12
cos( º) tan( º)
x x
+ + +
A) 0,5 B) 1 C) 2
E) 2,5 D) 4
4. En la figura mostrada si AD=20 u y además
se cumple que
tan(10º + q)tan(20°+ q) = 1
Halle la longitud de (en u).
A C
B
D
θ θ
A) 8 3 B) 10 3 C) 12 3
D) 13 3 E) 15 3
5. Si: x ∈〈0; 90°〉
3
10 20 30 80
10 20 30
sen
sen sen sen ... sen
cos cos cos
x =
°+ °+ °+ + °
°+ °+ °+.
... cos
+ °
80
Halle el valor de:
M x x
= +
3 2 2
cos cot
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15

102. 102
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS IV
1. Relacionar los lados de un triángulo rectángulo mediante las razones trigonométricas
2. Resolveruntriángulorectánguloconociendounodesus ladosyunodesus ángulosagudos.
3. Calcular el área de una región triangular conociendo dos lados de un triángulo y el
ángulo que forman dichos lados.
Sesión
4
Las aplicaciones de la trigonometría en cam-
pos como topografía y navegación requieren
resolver triángulos rectángulos. La expresión
“Resolver un triángulo” significa encontrar la
longitud de cada lado y la medida de cada án-
gulo del triángulo.
En esta sección veremos que podemos resol-
ver cualquier triángulo rectángulo si se nos da:
I. Las longitudes de dos lados.
II. La longitud de un lado y la medida de un
ángulo agudo.
Conociendo las longitudes de los
lados:
Ejemplo:
Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo
que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.
Resolución
Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitá-
goras:
(1)2
+ (2)2
= x2
→ x2
= 5
∴ x = 5
x
2
1
θ
α
Para determinar la medida del ángulo q, calcu-
lemos una razón trigonométrica con los cate-
tos de longitudes 1 y 2.
Por decir:
tanq =
1
2
→ q = 26º30’ (aproximadamente)
como:
q + a = 90º → a = 63º30’
Con la cual el triángulo rectángulo queda re-
suelto.
Conociendo la longitud de la hipote-
nusa y un ángulo agudo
Incógnitas x, y
x
a
y
θ
Cálculo de x:
x
a
x acos
= → =
cosθ θ
Cálculo de y:
y
a
a
= → =
sen sen
θ θ
y
En el triángulo rectángulo la medida del
otro ángulo agudo es: 90º – q.

103. Geometría
IAU01
103
Conclusión:
a
asenθ
acosθ
θ
Conociendo un ángulo agudo y la
longitud del cateto opuesto a dicho
ángulo
Incógnitas x, y
x
a y
θ
• Cálculo de x:
x
a
a
= → =
cot cot
θ θ
x
• Cálculo de y:
y
a
a
= → =
csc csc
θ θ
y
• En el triángulo rectángulo la medida del
otro ángulo agudo es: 90º – q.
Conociendo un ángulo agudo y la lon-
gitud del cateto adyacente a dicho án-
gulo
Análogamente a los triángulos rectángulos an-
teriores
θ
atanθ
a
asecθ
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S)
El área de cualquier región triangular está
dado por el semi producto de dos de sus lados
multiplicado por el seno del ángulo que for-
man dichos lados.
Así tenemos:
Del gráfico:
S
S
a
b
A
B
θ
θ
S =
1
2
absenθ
Demostración:
S
S
b
h a
θ
θ
Por geometría S, se calcula así
S =
⋅
b h
2
(h: altura relativa del lado b
En el triángulo rectángulo sombreado se tiene
por resolución de triángulo que:
h=asenq
Luego:
S =
⋅
=
b a
ba ab
sen
;( )
θ
2
∴ S =
1
2
absenθ

104. Geometría IAU01-20
104
BLOQUE I
01. Aplicando la resolución de triángulos rectángulos, halle el valor de x e y en cada caso:
a.
8
α
y
x
b.
6a
θ
y x
c.
x
y
8senα
α
02. Aplicando la resolución de triángulos rectángulos, halle el valor de x e y en cada caso:
a.
y
5
α
x
b.
β
y
x 8a3
c.
y
17cotα
x
θ
03. Aplicando la resolución de triángulos, halle el valor de x e y en cada caso:
a.
40
x
y
α
b.
β
y
x 8a3
c. y
17cotα
x
θ

105. Geometría
IAU01
105
04. Halle el valor del área de la región triangu-
lar en cada caso:
a.
30°
5 cm
2 cm
b.
53°
10 cm
3 cm
c.
53°/2
4 cm
10 cm
2
05. Halle el valor de x en cada caso
a.
α
θ
8
x
b. θ
α
12
x
c. θ
α
12
x
BLOQUE II
6. Del gráfico hallar el valor de x en función
de m, a y b
β
α
m
x
A) m sena senb
B) m senb cosa
C) m cosa cosb
D) m tana tanb
E) m sena cosb
7. Del gráfico hallar CD en función de m y q
45°
m
D
θ
C
C
A
A) m(cosq + senq)
B) m(cosq – senq)
C) m(senq - cosq)
D) m(cosq + 2senq)
E) msenq cosq)
8. Hallar el valor de “x” en el gráfico:
θ
n
x
m
A) msenq – ncosq
B) mcosq – nsenq
C) (m+n) senq . cosq
D) nsenq – mcosq
E) nsecq – ntanq

106. Geometría IAU01
106
9. Hallar el valor de “x”:
R
x
θ
A) R(cscq + cotq + 1)
B) R(cscq + 1) cosq
C) R(cscq + 1) secq
D) R(cscq + 1) cscq
E) R(cscq + 1) cotq
10. Del gráfico
Calcular: 130senα
6
4
α
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
BLOQUE III
11. Del gráfico hallar a en función de m, a y b.
β
α
m
x
A) m tana senb
B) m senb cosa
C) m cosa cosb
D) m tana cotb
E) m sena cosb
12. Del gráfico hallar CD en función de m y q
A) m(cosq + 1)
45°
D
θ
B
m
C
A
B) m(cscq – 1)
C) m(cotq – 1)
D) m(cosq + 1)
E) mcotq cosq
13. Hallar el valor de “x” en el gráfico:
θ
n
x
m
A) msenq + ncosq
B) mcosq + nsenq
C) (m + n)senq . cosq
D) mtanq + nsecq
E) msecq + ntanq
14. Hallar el valor de “x” :
R
x
θ
A) R(csc q+tan q+1)
B) R(cscq+1) cosq
C) R(cscq+1) tanq
D) R(cscq+1) senq
E) R(cscq+1) secq
15. Del gráfico, calcular: 1105senα
A) 1 6
2
α
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

107. PUNTAJE
PUNTAJE
Geometría
IAU01
107
1. Hallar el perímetro de un triángulo rectán-
gulo sabiendo que uno de sus ángulos agu-
dos mide “a” y su cateto opuesto mide “a”.
A) a(1 + sena + cosa)
B) a(1 + csca + cota)
C) a(1 + seca + tana)
D) a(csca + cota)
E) a(sena + tana)
2. Del gráfico, calcular “x” en términos de “a”,
“b” y “d”
B
C
D
d
A
x
α
A) d(ctga+cotb) B) dcota . cotb
C)
d
cot cot
α β
−
D)
d
cot cot
α β
+
E) (cota–cotb) . d
3. Del gráfico mostrado. Hallar BD en térmi-
nos de “a”, “b” y “d”
B
A
C
D
d
β
α
A) d sena senb
B) d cosa cosb
C) d tga tgb
D) d sena cosb
E) d cosa senb
4. Del gráfico hallar el valor de “x”
m
x
2x
θ
A) msena
B) mcosa
C) 2msena
D) 2mcosa
E) (m+1)sena
5. Halle el área de la región cuadrangular
DCBE si la medida del ángulo q es 30°.
5m
1m
2m
θ
6m
C
B
E
A
D
A) 7,5 u2
B) 8,5 u2
C) 9,5u2
D) 10,5 u2
E) 11,5 u2