Matematicas para ingenieria ss14

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1. Vas en un camión de carretera y volteas a ver afuera y ves que va en el Km 147, después de 30min vuelve a voltear y ves que va en el Km 183. a. ¿Cuántos Km se recorrieron en esos 30 min? b. Esos Km que se recorrieron, ¿los avanzaron o los retrocedieron? (Explica). c. ¿Qué operación hicieron para obtener ese resultado? (Explica). 2. Vas en el mismo camión que la vez pasada. Ahora volteas a ver afuera y ves que van en el Km 83 y 30 minutos después van en el Km 51. a. ¿Cuántos Km se recorrieron en esos 30 min? b. Esos Km que se recorrieron, ¿los avanzaron o los retrocedieron? (Explica). c. ¿Qué operación hiciste para obtener ese resultado? (Explica). 3. Supón que estás en una ciudad con un grupo de amigos. La ciudad tiene las calles numeradas, de forma que hay la calle 1este, 2este, 3este, 1norte, 2norte, 3norte, y así en todas las direcciones. Todos se están quedando en el mismo hotel que está en la calle 1norte y 2este. Alguien del grupo sale a caminar por la ciudad y después de varias vueltas está perdido. Él les llama por teléfono al hotel y les pide que vayan a recogerlo. Él no sabe en qué calles está pero tiene anotados todos los movimientos que hizo en la ciudad de esta forma: oy en el hotel en la calle 1norte y 2este. cuadras hacia el norte a. Realiza un dibujo en donde muestres claramente todos los movimientos hechos por esta persona. Indica en donde está el hotel y el nombre de las calles. b. ¿Cuantas cuadras caminó en total? c. ¿Entre qué calles terminó su recorrido? d. Si sales del hotel a recogerlo, ¿cuál es el camino más corto para llegar a dónde está? e. ¿Cuántas cuadras se tienen que caminar para recogerlo?

f. Si la policía está entre las calles 6este y 1sur, ¿cómo te tendrías que mover para ir a recogerlo? g. Si hubiera hecho los mismos trayectos pero en distinto orden, ¿hubiera llegado al mismo lugar o a uno diferente? (Explica). h. ¿Los movimientos norte-sur afectan de alguna forma en donde termina su recorrido en el sentido este-oeste? 4. En un parque estás a 10 metros al este y 20 metros al norte de la fuente central y tu perro está a 40 metros al este y 60 metros al norte de la fuente central. a. Si le quieres lanzar una pelota a tu perro, ¿a qué distancia necesitas enviarla? b. Si estás viendo directamente hacia el este, ¿cuántos grados debes de rotar y hacia dónde para apuntar directamente a tu perro? 5. Estás en el centro de una plaza y caminas 5 metros a la derecha, luego 8 metros a la izquierda y finalmente 6 metros a la derecha. a. ¿Cuánta distancia recorriste? b. ¿A qué distancia estás del centro? (Explica). 1. Supón que tienes una puerta entreabierta y perfectamente aceitada. a. Si se aplica una fuerza paralela a la puerta, ¿qué sucede con ella? (Explica). b. Si se aplica una fuerza perpendicular a la puerta, ¿qué sucede con ella? (Explica). 2. Supón que tienes un carro de tren colocado sobre unas vías que van en línea recta sin fricción. a. Si se aplica una fuerza paralela al tren, ¿qué sucede con él? (Explica). b. Si se aplica una fuerza perpendicular al tren, ¿qué sucede con él? (Explica). 3. En base a las dos preguntas anteriores, responde lo siguiente: a. ¿Hay diferencia entre lo que sucede en la puerta y lo que sucede en el tren? ¿Cuál? (Explica). b. ¿Por qué se da esta diferencia? (Explica). 4. Supón que se tiene un sistema como el que se muestra en la siguiente figura: a. En donde se tiene un lápiz de 10 (cm) colocado en un cierto ángulo contra una mesa plana. Sobre la mesa hay luz cayendo verticalmente como indican las flechas. i. Si el ángulo es de 20°, ¿de qué tamaño es la sombra del lápiz en la mesa? ii. ¿Si el ángulo aumenta la sombra se hace más grande o más chica?

iii. ¿A qué ángulo se obtendrá la sombra más grande? iv. ¿A qué ángulo se obtendrá la sombra más chica? b. Si ahora se deja el lápiz quieto y se inclina la mesa como se muestra: Θi. ¿Si el ángulo aumenta la sombra se hace más grande o más chica? ii. ¿A qué ángulo se obtendrá la sombra más grande? iii. ¿A qué ángulo se obtendrá la sombra más chica? . Piensa en un río recto y sereno sin turbulencia en el que el agua se mueve a la misma velocidad siempre y que se está moviendo de izquierda a derecha. a. Si se pone un barco de papel al inicio del rio, en el centro del canal, ¿hacia dónde siente fuerza el barco? b. Si se pone el barco en medio del río y en el centro del canal, ¿hacia dónde siente fuerza el barco? y ¿es mayor o menor que la fuerza del inciso a? c. Si se pone el barco en medio del río y a la derecha del canal, ¿hacia dónde siente fuerza el barco? y ¿es mayor o menor que la fuerza del inciso a y b? d. ¿En dónde se tiene que poner el barco para que sienta la máxima fuerza? e. Dibuja un diagrama del río con la fuerza que se sentirá en distintos puntos, usa flechas chicas para fuerzas pequeñas, flechas grandes para grandes fuerzas y flechas del mismo tamaño si las fuerzas son iguales. 2. Piensa ahora en una cascada alta y en línea recta hacia abajo. a. Si pones la mano al inicio de la cascada, ¿hacia dónde sientes la fuerza? b. Si pones la mano a media altura, ¿hacia dónde sientes la fuerza? y ¿es mayor o menor que la fuerza del inciso a? c. Si ponen la mano en la parte de debajo de la cascada, ¿hacia dónde sientes la fuerza? y ¿es mayor o menor que la fuerza del inciso a y b? 3. El salón en el que estás ahora: a. ¿Tiene la misma temperatura en todos sus puntos? b. ¿En dónde está el punto de mayor temperatura del salón? c. ¿En dónde está el punto de menor temperatura del salón? d. El punto de mayor temperatura del salón, ¿apunta hacia alguna parte la temperatura? e. ¿El aire tiene velocidad en todos los puntos del salón? f. ¿En dónde el aire tiene mayor velocidad?

g. ¿En dónde el aire tiene menor velocidad? h. El punto de mayor velocidad del aire del salón ¿apunta hacia alguna parte la velocidad? 1. Supón que existe un abanico que apunta hacia la derecha y arroja el aire a una velocidad de 3[m/s]. a. ¿Cómo se expresaría la velocidad del aire de forma vectorial? b. Si el abanico aumenta la velocidad 1[m/s] cada minuto, ¿cuál será la velocidad después de 5 minutos? (Exprésala en forma vectorial). c. ¿Cuál será una ecuación que muestre la velocidad del viento en cualquier tiempo “t”? d. Si la velocidad del viento es: = 10푖 [푚/푠] 2. La ecuación para calcular la fuerza de un resorte dado es: 퐹 = −4푥 [푁] Si el resorte esta verticalmente: a. ¿Cuál será la ecuación que muestre la fuerza expresada en notación vectorial? b. ¿Cuál será la fuerza del resorte si x = 3[m]? Si la fuerza es: 퐹 = 8푗 [푁] c. ¿Cuál es el valor de x? 3. Supón que tienes una presa de 8 metros de altura que tiene 1 agujero cada metro de forma que el agua sale horizontalmente. a. Dibuja un esquema de la situación, mostrando la dirección a la que sale el agua. b. ¿Cuál chorro de agua saldrá con mayor velocidad y cual con menor? c. Supón que la velocidad del chorro más lento es de 1[m/s]. ¿Cómo se definiría esa velocidad en notación vectorial? d. Supón que la velocidad del agua aumenta el doble cada metro más arriba (1[m/s], 2[m/s], 4[m/s], 8[m/s], etc.). ¿Cuál sería una ecuación que modele la velocidad en función de la altura “y”? (exprésala en notación vectorial). e. A la altura de 5 metros, ¿cuál será el vector de velocidad? f. Si la velocidad es de v=32[m/s], ¿cuál es la altura? 4. Supón que se tiene la función vectorial: 퐴 = 2푥 푖 +푧푗 + 2푥푦푘

Si sabes que para un punto dado la función tiene un valor de: 퐴 = 10 푖 + 3푗 + 20푘 a. ¿Cuál es el valor de x? b. ¿Cuál es el valor de z? c. ¿Se puede obtener el valor de y? ¿Cuál es? (Explica). 1. Se tiene una partícula que se mueve en el espacio de acuerdo a la función vectorial: = (2푡 푖 + 푡 2 푗 + 100 푡 푘 )[푚] a. ¿Cuál es la posición cuando t = 2? b. ¿Cuál es la posición cuando t = 4? c. Si la posición en “i” es 10, ¿cuál será el valor de t? d. Si la posición en “i” es 10, ¿cuál será el valor de la componente en “j”? e. Si la posición en “i” es 10, ¿será posible que el valor del componente “j” sea un valor distinto del obtenido en el inciso anterior? (Explica). f. Si se sabe el valor de la componente “i”, ¿siempre es posible saber el valor de las otras componentes? (Explica). 2. Se tiene una partícula cuya posición está dada por la función: = ((푡 +5) 푖 + (2푡 2 −8)푗 − 3푡푘 )[푚] a. ¿Cuál es la posición de la partícula en t = 0? b. ¿Cuál es la posición de la partícula en t = 3? c. ¿Cuál fue el desplazamiento total de la partícula de t=0 a t=3? d. ¿Cuál fue la velocidad promedio de la partícula de t=0 a t=3? e. ¿Cuál fue la velocidad promedio de la partícula de t=1 a t=2? f. ¿Existe un tiempo positivo en el que la posición en i sea 0? g. ¿Existe un tiempo positivo en el que la posición en j sea 0? h. ¿Existe un tiempo positivo en el que la posición en k sea 0? 1. Considera una función vectorial de la forma:

퐴 = 3푦푖 +(푥 + 푧)푗 + 푥푦푘 a. ¿Qué valor tiene la función en el punto (1, 1, 1)? b. ¿Qué valor tiene la función en el punto (2, 3, -1)? c. ¿Qué valor tiene la función en el punto (1, -2, 3)? Si la función tiene el valor: 퐴 = −6푖 + 5푗 + 10푘 d. ¿Cuál es el valor de “x”, “y” y “z”? Solución de problemas donde se diferencie entre posición, velocidad y aceleración. Instrucciones para realizar evidencia:80% Parte 1 1. Lee detenidamente la siguiente situación. Se tiene un terreno en un campo plano de la siguiente forma: un campesino clavó una estaca en un punto, luego caminó 100 en línea recta hacia el este y clavó otra estaca. Después, desde la segunda estaca caminó 20 metros hacia el oeste y 70 metros hacia el norte y clavó una tercera estaca. Desde la tercera estaca caminó 40 metros hacia el oeste y 10 metros hacia el sur y clavó la cuarta estaca. 2. Contesta las siguientes preguntas, justifica tus respuestas con los procedimientos matemáticos adecuados e interpreta los resultados. Utiliza las operaciones vectoriales como herramienta principal y realiza un dibujo a escala de la situación. Si se pone una barda que una las estacas de forma tal que quede un cuadrilátero irregular: a. ¿Cuánto tendrá de perímetro dicho terreno? b. ¿Cuál será el área del terreno? c. ¿Cuáles son los ángulos interiores en cada esquina del cuadrilátero? Parte 2 3. Asume que el campo vectorial de la velocidad de un tiempo fijo es: 4. Contesta las siguientes preguntas, justifica tus respuestas con los procedimientos matemáticos adecuados e interpreta los resultados. Utiliza las operaciones vectoriales como herramienta principal y realiza un diagrama de la situación. Si una partícula de polvo está en la posición:

a. ¿Cuál es su velocidad? b. ¿Cuál es el producto cruz entre la posición la velocidad? ¿Qué significa el resultado? c. ¿Cuál es el producto punto entre la posición la velocidad? ¿Qué significa el resultado? d. ¿Cómo se representa el vector de posición en coordenadas cilíndricas? e. ¿Cómo se representa el vector de velocidad en coordenadas cilíndricas? 1. Con sus propias palabras expliquen brevemente lo siguiente: a. El concepto de derivada b. Si la derivada de una función es positiva, ¿qué significado tiene? c. Si la derivada de una función es cero, ¿qué significado tiene? 2. Piensen en tres funciones que dependan de dos o más variables distintas. Ejemplos: la temperatura en una ciudad depende de dónde está el termómetro y de la hora del día. El peso de una persona depende de qué tantas calorías come y cuánto ejercicio hace. a. Mencionen las tres funciones que pensaron. b. ¿Cuáles son las variables independientes en cada una de estas funciones? c. ¿Cuál es la variable dependiente de cada una de las funciones? d. Escriban una ecuación matemática de al menos una de las funciones matemáticas. 3. La intensidad del sonido de una bocina depende del cubo de cuántos watts utilice la bocina y del cuadrado de la distancia a la que esté la bocina, quedando la ecuación así: a. Si obtengo el cambio de la intensidad dependiendo de los watts (derivada en de la intensidad en watts) a una distancia constante, ¿cómo quedaría la función? b. ¿Cuál es el significado de la función que acaban de obtener? c. Si obtengo el cambio de la intensidad, dependiendo de la distancia (derivada en de la intensidad en distancia) a una cantidad de watts constante, ¿cómo quedaría la función? d. ¿Cuál es el significado de la función que acaban de obtener? 5. A partir de la función que se presenta a continuación, contesten las preguntas: a. ¿Cuál es la derivada de la función en x?

b. ¿Cuál es la derivada de la función en y? c. Si se deriva la función en x y el resultado se deriva en y, ¿cuál sería el resultado? d. Si se deriva la función en x y el resultado se deriva en y, ¿cuál sería el resultado? e. ¿Los resultados del inciso c) y d) son iguales o distintos? f. Piensa en la temperatura de un cuarto y responde a las siguientes preguntas: a. Explica si es una función escalar o vectorial. b. Si obtengo el cambio de temperatura en un punto del espacio, ¿qué datos debo saber? c. Si conozco la temperatura exacta en el centro del cuarto y sé cuál es la temperatura a la derecha e izquierda de ese punto, pero desconozco la temperatura de arriba y debajo de ese punto, ¿puedo obtener el cambio de temperatura del centro del cuarto? Explica. g. Supón que estás en una colonia que se encuentra ubicada en un cerro, algunas calles bajan y otras suben al cerro. Estás en un cruce entre una calle que corre norte-sur y otra que va este-oeste. Con base en esta situación, contesta las siguientes preguntas: a. ¿Es posible que si te mueves al norte la calle vaya para abajo y si te mueves al sur la calle también vaya hacia abajo? ¿Qué significa eso? b. ¿Es posible que si te mueves al este la calle vaya para arriba y si te mueves al oeste la calle también vaya hacia arriba? ¿Qué significa eso? c. Explica si es posible tener la situación del inciso a) y b) al mismo tiempo. d. ¿Sería posible que estuvieras en un punto del cerro de tal forma que la calle en las cuatro direcciones fuera hacia abajo? ¿Qué significaría esto? 1. A partir de la función que se presenta contesten las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es la derivada de la función en x? ¿Qué significa este resultado? b. ¿Cuál es la derivada de la función en y? ¿Qué significa este resultado? 3. A partir de la función vectorial, contesten las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la derivada de la función en x? ¿Qué significa este resultado? b. ¿Cuál es la derivada de la función en y? ¿Qué significa este resultado? c. ¿La derivada cambia la dirección del vector? 4. Contesten las siguientes preguntas a partir de la función vectorial: a. Calcula b. Calcula el vector gradiente c. Calcula la derivada direccional 1. A partir de la siguiente función respondan las preguntas: a. ¿Cuál es la derivada de la función? b. ¿En dónde están sus puntos críticos (máximos y mínimos)? c. ¿En dónde estará el máximo y en dónde el mínimo de la función? 2. A partir de la siguiente función respondan a las preguntas: a. ¿Cuál es la derivada de la función en “x”? b. ¿Cuál es la derivada de la función en “y”? c. Expliquen qué valores debe tener la “x” para que la derivada en “i” sea 0. ¿Importa el valor de la “y”? d. Expliquen qué valores debe tener la “y” para que la derivada en “i” sea 0. ¿Importa el valor de la x? e. Expliquen qué valores debe tener la “x” para que la derivada en “j” sea 0? ¿Importa el valor de la y? f. Expliquen qué valores debe tener la “y” para que la derivada en “j” sea 0? ¿Importa el valor de la x? g. ¿Existe alguna forma de encontrar el valor de “x” y “y”, que haga que las derivadas en “i” y “j” sean 0?

4. A partir de la siguiente función respondan a las preguntas: a. Obtengan la antiderivada de la función en x: b. Ahora, obtengan la derivada parcial del resultado. ¿Les dio la función original? c. Si al resultado de la antiderivada le suman el término y obtienen su derivada parcial con respecto a “x”, ¿obtienen el mismo resultado?, ¿por qué? d. Si al resultado de la antiderivada le sumas el término “sen (y)” y obtienes su derivada parcial con respecto a “x”, ¿obtienen el mismo resultado?, ¿por qué? e. Expliquen lo siguiente. Analizando los resultados del inciso c) y d), ¿se le puede agregar cualquier función de “y” al resultado?, y al hacer la derivada parcial con respecto a “x”, ¿se obtendría el mismo resultado?, ¿por qué? f. Compara los resultados del inciso c) y d) ¿Son iguales o distintos? ¿Cuáles son sus diferencias? 4. Trabajemos con la misma función: a. Obtengan la integral definida de la función en “x” de 1 a 3: b. Obtengan la integral definida de la función en “x” de 2 a 4: c. Ahora el resultado del inciso a) intégralo en “y” de 2 a 4: d. Ahora el resultado del inciso b) intégralo en “x” de 1 a 3:

e. Compara los resultados del inciso c) y d) ¿Son iguales o distintos? ¿Cuáles son sus diferencias? 5. Trabajemos con la misma función: a. Obtengan la integral definida de la función en “x” de “a” hasta “b”: b. Obtengan la integral definida de la función en “x” de “c” hasta “d”: c. Ahora el resultado del inciso a) intégrenlo en “y” de “c” hasta “d”: d. Ahora el resultado del inciso b) intégrenlo en “x” de “a” hasta “b”: e. Comparen los resultados del inciso c) y d) ¿Son iguales o distintos? ¿Cuáles son sus diferencias? 1. Trabajarán con la función: a. Obtengan la integral definida de la función en “x” de 1 a

b. Integren el resultado del inciso a) en “y” de 0 a 1: 3. Trabajarán con la función: a. Obtengan la integral definida de la función en “x” de 1 a b. Integren el resultado del inciso a) en “y” de 0 a 1: 1. Respondan las siguientes preguntas con lo visto en el tema 1 respecto a la conversión de vectores: a. ¿Cuál es el valor de “x” en coordenadas cilíndricas? b. ¿Cuál sería la derivada de “x” en coordenadas cilíndricas? c. ¿Cuál es el valor de “y” en coordenadas cilíndricas? d. ¿Cuál sería la derivada de “y” en coordenadas cilíndricas? e. ¿Cuál es el valor de “z” en coordenadas cilíndricas? f. ¿Cuál sería la derivada de “z” en coordenadas cilíndricas? g. Si multiplicas “dx”, “dy” y “dz”, ¿cuál sería el resultado? Solución de problemas de aplicación de operadores vectoriales e interpretación de resultados. Instrucciones para realizar evidencia:80% Parte 1 1. Investiga cuál es la ecuación que modela el campo vectorial de un huracán y contesta lo siguiente: a. ¿Cuál es la ecuación que modela al huracán en coordenadas cartesianas?

b. ¿En dónde está centrada la ecuación con respecto al ojo del huracán? c. ¿En qué punto se encuentra el vector con mayor magnitud? Parte 2 2. Realiza las operaciones solicitadas y contesta las preguntas correspondientes. a. ¿Cuál es el rotacional del huracán? b. ¿Cuál es la divergencia del huracán? c. ¿Cuál sería la ecuación del campo vectorial en coordenadas polares? d. Realiza una gráfica que muestre el campo vectorial del huracán Parte 3 3. Contesta las preguntas de análisis que se presentan a continuación: a. ¿Qué significa este resultado del rotacional? b. ¿Qué significa este resultado de la divergencia? c. ¿Cuál es la forma más fácil de representar la ecuación de un campo vectorial que modele a un huracán? (coordenadas cartesianas o polares) Parte 1 1. De manera individual obtén los valores de las siguientes integrales: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. Parte 2 2. Forma parejas y resuelve con tu compañero las siguientes integrales: a. b. c. d.

e. Parte 3 3. Con el mismo compañero de trabajo, analicen y den solución a los siguientes problemas. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. Nota: Considera que tu actividad debe estar documentada (proceso) y fundamentada. Parte 1 1. De manera individual planea el sistema de ecuaciones lineales de los siguientes problemas propuestos Quiero pesar a un bebé pero la báscula que tengo solo registra pesos mayores a 50 kg. Si me peso yo cargando al bebé se registran 87 kg. Si mi esposa se pesa cargando al bebé se registran 55kg. Si nos pesamos los tres al mismo tiempo se registran 136kg. ¿Cuál es la ecuación que modela el sistema?
Voy a un restaurante con toda mi familia una vez al mes en donde comemos 10 personas. El primer mes se pidieron 3 pescados, 2 pollos y 5 cortes de res y la cuenta fue de 1290. El segundo mes se pidieron 2 pescados, 4 pollos y 4 cortes de res y la cuenta total fue de 1200 y el tercer mes se pidieron 4 pescados, 3 pollos y 3 cortes de res siendo la cuenta total de 1200. Plantea las ecuaciones lineales que modelan el sistema.

2. De manera individual acomoda las siguientes ecuaciones de forma tal que las columnas queden alineadas las mismas variables y resuélvelas por el método de eliminación. a. b. c. Parte 2 3. Reúnete en parejas y acomoden las siguientes ecuaciones de forma tal que las columnas queden alineadas las mismas variables y resuélvelas por el método de la sustitución. a. b. c. d. e. Parte 3

4. Con el mismo compañero de trabajo, analicen y den solución a los siguientes ejercicios utilizando el método de eliminación. a. b. c. 5. Resuelve las siguientes ecuaciones a través de los pasos indicados. a. Elimina las "x" de la segunda ecuación utilizando la primera ecuación. b. Elimina las "x" de la tercera ecuación utilizando la primera ecuación. c. Elimina la "y" de la ecuación obtenida en el inciso B con la ecuación obtenida en el inciso A. d. Con la ecuación obtenida en el inciso C, obtén el valor de "z". e. Sustituye los valores de C en todas las ecuaciones. f. Con la ecuación obtenida en A elimina la "y" de la primera ecuación. g. Con la respuesta del inciso F obtén el valor de "x". h. Sustituye el valor de "x" en las ecuaciones restantes i. Obtén el valor de "y". Nota: Considera que tu actividad debe estar documentada (proceso) y fundamentada. Diagrama de flujo para resolver una matriz utilizando el método de Gauss. Instrucciones para realizar evidencia:80% Lee detenidamente el problema y responde lo que se plantea. Parte 1 Supón el siguiente escenario: Un amigo tuyo te comenta por teléfono una problemática que tiene y te das cuenta que la puede resolver con una matriz usando el método de Gauss. Tu amigo no sabe resolver matrices, pero sabe sumar, restar, multiplicar y dividir. También sabe lo que son renglones y columnas. Para ayudarlo decides explicarle el concepto utilizando un diagrama de flujo.

Realiza lo siguiente: 1. Investiga los símbolos utilizados en un diagrama de flujo (inicio, operación, decisión, fin, etc.) 2. Identifica paso por paso qué hacer para resolver esta matriz de tamaño arbitrario. 3. Diseña un diagrama de flujo que muestre cómo resolver la matriz de cualquier tamaño por el método de Gauss. Parte 2 4. Ahora resuelve el siguiente problema planteado por el método de Gauss. Se desea saber el precio unitario de tres artículos en una ferretería. Los artículos son una caja de clavos, un martillo y un taladro. Se sabe que si alguien compra 3 cajas de clavos y 2 martillos se gastará 130 pesos. Si alguien compra un martillo y dos taladros, gastará 650 pesos y si alguien compra 10 cajas de clavos y un taladro gastará 400 pesos. 5. Haz la matriz correspondiente. 6. Diseña un diagrama de flujo que muestre cómo resolver la matriz.  Utiliza los símbolos utilizados en un diagrama de flujo.  Debe de verse paso por paso, en qué parte del ciclo se está y cuáles operaciones se hacen en la matriz.

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