Matematicas para ingenieria

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Actividad 1: Vectores en la vida diaria Instrucciones: 1. De manera individual realiza los dos problemas que se presentan. Problema 1 Lee la información que se presenta y responde las preguntas. Vas en un camión de carretera y volteas a ver afuera y ves que vas en el Km. 147; después de 30 minutos vuelves a voltear y ves que vas en el Km. 183. a. ¿Cuántos kilómetros se recorrieron en esos 30 minutos? b. Esos kilómetros recorridos ¿se avanzaron o retrocedieron? (Explica). c. ¿Qué operación hiciste para obtener ese resultado? (Explica). Problema 2 Contesta las siguientes preguntas, dejando claro los procedimientos utilizados: Supón que tienes una puerta entreabierta y perfectamente aceitada. a. Si se aplica una fuerza paralela a la puerta, ¿qué sucede con ella? (Explica). b. Si se aplica una fuerza perpendicular a la puerta, ¿qué sucede con ella? (Explica). 3. Reúnete con tu equipo y resuelvan los dos problemas que se presentan: Problema 1 Lean la información que se presenta y respondan las preguntas. Supongan que están en una ciudad con un grupo de amigos. La ciudad tiene las calles numeradas, de forma que hay la calle 1 este, 2 este, 3 este, 1 norte, 2 norte, 3 norte, y así en todas las direcciones. Todos se están quedando en el mismo hotel que está en la calle 1 norte y 2 este. Alguien del grupo sale a caminar por la ciudad y después de varias vueltas está perdido. Él les llama por teléfono al hotel y les pide que vayan a recogerlo. Él no sabe en qué calles está pero tiene anotados todos los movimientos que hizo en la ciudad de esta forma:  Estoy en el hotel en la calle 1 norte y 2 este.  Caminé 3 cuadras hacia el oeste  Caminé 1 cuadra hacia el sur  Caminé 5 cuadras hacia el este  Caminé 2 cuadras hacia el norte

 Caminé 3 cuadras hacia el sur  Caminé 6 cuadras hacia el este  Caminé 7 cuadras hacia el norte a. Realicen un dibujo en donde muestren claramente todos los movimientos hechos por esta persona. Indiquen dónde está el hotel y el nombre de las calles. b. ¿Cuántas cuadras caminó en total? c. ¿Entre qué calles terminó su recorrido? d. Si salen del hotel a recogerlo ¿cuál es el camino más corto para llegar a dónde está? e. ¿Cuántas cuadras se tiene que caminar para recogerlo? f. Si la policía está entre las calles 6 este y 1 sur, ¿cómo se tendrían que mover para ir a recogerlo? g. Si hubiera hecho los mismos trayectos pero en distinto orden ¿hubiera llegado al mismo lugar o a uno diferente? (Explica). h. ¿Los movimientos norte-sur, afectan de alguna forma en donde termina su recorrido en el sentido este-oeste? Problema 2 Contesten las siguientes preguntas, dejando claro los procedimientos utilizados: Supongan que se tiene un sistema como el que se muestra en la figura En donde se tiene un lápiz de 10 (cm) colocado en un cierto ángulo contra una mesa plana. Sobre la mesa hay luz cayendo verticalmente como indican las flechas. a. Si el ángulo es de 20°, ¿de qué tamaño es la sombra del lápiz en la mesa? b. ¿Si el ángulo aumenta la sombra se hace más grande o más chica? c. ¿A qué ángulo se obtendrá la sombra más grande?
Como preparación para el tema, contesta de manera individual los siguientes ejercicios.

1. Se tiene el vector: a. ¿Cuál es el valor del vector en el punto (3, 6, -1)? b. ¿Cuál es el valor del vector en el punto (-2, 0, 2)? c. Si el vector tiene el valor: ¿En qué coordenada está? 2. Se tiene el vector: a. ¿Cuál es el valor del vector en el punto (3, 6, -1)? b. ¿Cuál es el valor del vector en el punto (-2, 0, 2)? c. Si el vector tiene el valor: ¿En qué coordenada está? 3. Utilizando los vectores "A" y "B" de los problemas 1 y 2 contesta las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el producto cruz entre "A" y "B"? b. ¿Cuál es el producto punto entre "A" y "B"? c. Tomando los valores de los incisos a) de los problemas anteriores, di, cuál será el producto cruz de los vectores "A" y "B" en el punto (3, 6, -1). d. Tomando el valor obtenido en el inciso a) de este problema indica cuál es el valor del producto cruz de los vectores "A" y "B" en el punto (3, 6, -1). e. Tomando los valores de los incisos b) de los problemas anteriores, di, cuál será el producto punto de los vectores "A" y "B" en el punto (-2, 0, -2). f. Tomando el valor obtenido en el inciso b) de este problema indica cuál es el valor del producto punto de los vectores "A" y "B" en el punto (-2, 0, -2). 4. Se tiene una partícula que viaja en el espacio según la función: Y cuya velocidad es:

a. En el t = 2 ¿cuál es la posición de la partícula? b. En el t = 2 ¿cuál es la velocidad de la partícula? c. En el t = 2 ¿Cuál es el producto cruz entre la velocidad y la posición? d. En el t = 2 ¿cuál es el producto punto entre la velocidad y la posición? Actividad 2: Funciones vectoriales Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas, dejando claro los procedimientos utilizados: 1. Supón que existe un abanico que apunta hacia la derecha y arroja el aire a una velocidad de 3[m/s]. a. ¿Cómo se expresaría la velocidad del aire de forma vectorial? b. Si el abanico aumenta la velocidad 1[m/s] cada minuto ¿Cuál será la velocidad después de 5 minutos? (Exprésala en forma vectorial). c. ¿Cuál será una ecuación que muestre la velocidad del viento en cualquier tiempo "t"? d. ¿En qué posición la velocidad del viento es?: 2. La ecuación para calcular la fuerza de un resorte dado es: Si el resorte está verticalmente: a. ¿Cuál será la ecuación que muestre la fuerza expresada en notación vectorial? b. ¿Cuál será la fuerza del resorte si x = 3[m]? c. Si la fuerza es: ¿Cuál es el valor de x? 3. Supón que se tiene la función vectorial: Si sabes que para un punto dado la función tiene un valor de:

a. ¿Cuál es el valor de x? b. ¿Cuál es el valor de z? c. ¿Se puede obtener el valor de y? ¿Cuál es? (Explica). 4. Se tiene una partícula cuya posición está dada por la función: a. ¿Cuál es la posición de la partícula en t = 0? b. ¿Cuál es la posición de la partícula en t = 3? c. ¿Cuál fue el desplazamiento total de la partícula de t=0 a t=3? d. ¿Cuál fue la velocidad promedio de la partícula de t=0 a t=3? e. ¿Existe un tiempo positivo en el que la posición en i sea 0? Como preparación para el tema, contesta de manera individual los siguientes ejercicios. 1. Se tienen dos campos vectoriales: a. ¿Cuál es el valor del campo A en (5, 1,-3)? b. ¿Cuál es el valor del campo A en (5, 1, -3), utilizando coordenadas cilíndricas? c. ¿Cuál es el valor del campo A en (5, 1, -3), utilizando coordenadas esféricas? d. ¿Cuál es el producto cruz entre A y B? e. ¿Cuál es el producto punto entre A y B? f. ¿Cuál es el producto punto entre A y B en (5, 1, -3)? 3. Obtén la derivada de las siguientes funciones: a. b. c. d. e. f.

g. h. i. j. k. l. m. n. Actividad 3: Campos y derivadas vectoriales Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas: 1. Considera una función vectorial de la forma: a. ¿Qué valor tiene la función en el punto (1, 1, 1)? b. ¿Qué valor tiene la función en el punto (2, 3, -1)? c. ¿Qué valor tiene la función en el punto (1, -2, 3)? d. Si la función tiene el valor: ¿Cuál es el valor de "x", "y" y "z"? 2. ¿Recuerdas el concepto de derivada? Explícalo con tus palabras brevemente. 3. Si la derivada de una función es positiva, ¿qué significado tiene? Explica. 4. Si la derivada de una función es cero, ¿qué significado tiene? Explica. Con tu equipo contesta los siguientes ejercicios: 5. Piensen en tres funciones que dependan de dos o más variables distintas. (Por ejemplo la temperatura en una ciudad depende de dónde está el termómetro y de la

hora del día; el peso de una persona depende de qué tantas calorías come y de cuánto ejercicio hace.) a. ¿Cuáles son las tres funciones que pensaron? b. ¿Cuáles son las variables independientes en cada una de estas funciones? c. ¿Cuál es la variable dependiente de cada una de las funciones? d. Escriban una ecuación matemática de al menos una de las funciones matemáticas. 6. La intensidad del sonido de una bocina depende del cubo de cuántos watts utilice la bocina y del cuadrado de la distancia a la que esté la bocina, quedando la ecuación: a. Si obtienen el cambio de la intensidad dependiendo de los watts (derivada en de la intensidad en watts) a una distancia constante, ¿cómo quedaría la función? b. ¿Cuál es el significado de la función que acaban de obtener? Expliquen. 8. Contesten las siguientes preguntas a partir de la función: a. ¿Cuál es la derivada de la función en x? b. ¿Cuál es la derivada de la función en y? c. Si se deriva la función en "x" y el resultado se deriva en "y" ¿Cuál sería el resultado? d. Si se deriva la función en "x" y el resultado se deriva en "y" ¿Cuál sería el resultado?

e. ¿Los resultados del inciso c) y d) son iguales o distintos? 1. Lee detenidamente la siguiente situación: Se tiene un terreno en un campo plano de la siguiente forma: un campesino clavó una estaca en un punto, luego caminó 100 en línea recta hacia el este y clavó otra estaca. Después, desde la segunda estaca caminó 20 metros hacia el oeste y 70 metros hacia el norte y clavó una tercera estaca. Desde la tercera estaca caminó 40 metros hacia el oeste y 10 metros hacia el sur y clavó la cuarta estaca. 2. Contesta las siguientes preguntas, justifica tus respuestas con los procedimientos matemáticos adecuados e interpreta los resultados. Utiliza las operaciones vectoriales como herramienta principal y realiza un dibujo a escala de la situación. Si se pone una barda para unir las estacas, de forma tal que quede un cuadrilátero irregular: a. ¿Cuánto tendrá de perímetro dicho terreno? b. ¿Cuál será el área del terreno? c. ¿Cuáles son los ángulos interiores en cada esquina del cuadrilátero? 4. Supón que se quiere construir una ventana como se muestra en la figura: a. Define una ecuación para obtener el perímetro total de la venta. b. Define una ecuación para obtener el área total de la venta. c. Expresa el área en función del perímetro. d. Encuentra, utilizando la teoría de máximos y mínimos vista en el curso, cuál serían los valores de b y h para maximizar el área de la ventana, si el perímetro es fijo con valor de 3 [m]. e. Asume que el campo vectorial de la velocidad de un tiempo fijo es:

4. Contesta las siguientes preguntas, justifica tus respuestas con los procedimientos matemáticos adecuados e interpreta los resultados. Utiliza las operaciones vectoriales como herramienta principal y realiza un diagrama de la situación. a. Si una partícula de polvo está en la posición en un tiempo fijo:  ¿Cómo se representa el vector de posición en coordenadas cilíndricas  ¿Cómo se representa el vector de velocidad en coordenadas cilíndricas? 1. A partir de la siguiente función responde a las preguntas: a. ¿Cuál es la derivada de la función? b. ¿En dónde están sus puntos críticos (máximos y mínimos)? c. ¿En dónde estará el máximo y en dónde el mínimo de la función? 3. A partir de la siguiente función responde a las preguntas: a. ¿Cuál es la derivada de la función en “x”? b. ¿Cuál es la derivada de la función en “y”? c. Explica qué valores debe tener la “x” para que la derivada en “i” sea 0, ¿Importa el valor de la “y”? d. Explica qué valores debe tener la “y” para que la derivada en “i” sea 0, ¿Importa el valor de la x? e. Explica qué valores debe tener la “x” para que la derivada en “j” sea 0, ¿Importa el valor de la y? f. Explica qué valores debe tener la “y” para que la derivada en “j” sea 0, ¿Importa el valor de la x? g. ¿Existe alguna forma de encontrar el valor de “x” y “y” de tal manera que las derivadas en “i” y “j” sean 0? 4. Trabaja con la función: a. Obtén la antiderivada de la función en “x”:

b. Ahora obtén la derivada parcial del resultado ¿Te dio la función original? c. Si al resultado de la antiderivada le sumas el término y obtienes su derivada parcial con respecto a “x”, ¿obtienes el mismo resultado?, ¿por qué? d. Si al resultado de la antiderivada le sumas el término “sen(y)” y obtienes su derivada parcial con respecto a “x”, ¿obtienes el mismo resultado?, ¿por qué? e. Explica lo siguiente: analizando los resultados del inciso c) y d), ¿se le puede agregar cualquier función del “y” al resultado y al hacer la derivada parcial con respecto a “x”, ¿se obtendría el mismo resultado?, ¿por qué? f. Compara los resultados del inciso c) y d) ¿Son iguales o distintos? ¿Cuáles son sus diferencias? 5. Trabaja con la función: a. Obtén la integral definida de la función en “x” de 1 a 3: b. Obtén la integral definida de la función en “x” de 2 a 4: c. Ahora el resultado del inciso a) intégralo en “y” de 2 a 4: d. Ahora el resultado del inciso b) intégralo en “x” de 1 a 3: e. Compara los resultados del inciso c) y d) ¿Son iguales o distintos? ¿Cuáles son sus diferencias? 6. Trabaja con la misma función:

a. Obtén la integral definida de la función en “x” de “a” hasta “b”: b. Obtén la integral definida de la función en “x” de “c” hasta “d”: c. Ahora el resultado del inciso a) intégralo en “y” de “c” hasta “d”: d. Ahora el resultado del inciso b) intégralo en “x” de “a” hasta “b”: e. Compara los resultados del inciso c) y d) ¿Son iguales o distintos? ¿Cuáles son sus diferencias? Soluciona los siguientes ejercicios, realiza un reporte que incluya el procedimiento utilizado para la resolución de cada uno. 1. Obtén la integral de las siguientes funciones: a. b. c. d. 2. Obtén la integral de superficie en las siguientes funciones e. f. g. 3. Obtén la integral de volumen de las siguientes funciones h.

i. Actividad 5: Integrales esféricas y cilíndricas Instrucciones: 1. Analiza y da solución a los siguientes problemas. 2. Realiza un reporte que incluya el procedimiento utilizado para la resolución de cada problema. 1. Responde las siguientes preguntas con lo visto en el Tema 1 respecto a la conversión de vectores: a. ¿Cuál es el valor de “x” en coordenadas cilíndricas? b. ¿Cuál sería la derivada de “x” en coordenadas cilíndricas? c. ¿Cuál es el valor de “y” en coordenadas cilíndricas? d. ¿Cuál sería la derivada de “y” en coordenadas cilíndricas? e. ¿Cuál es el valor de “z” en coordenadas cilíndricas? f. ¿Cuál sería la derivada de “z” en coordenadas cilíndricas? g. Si multiplicas “dx”, “dy” y “dz”, ¿cuál sería el resultado? 2. Obtén los valores de las siguientes integrales a. b. c. d. e. f. 1. Obtén el resultado de esta integral utilizando el teorema de Green: a.

De un cuadrado de 5X5 que comienza en (0,0) y se recorre en el sentido opuesto a las manecillas del reloj. b. De un cuadrado de 5X5 que comienza en (0,0) y se recorre en el sentido opuesto a las manecillas del reloj. 2. Obtén el determinante de las siguientes matrices: c. d. 3. Comprueba si las siguientes matrices son inversas unas de otras e. 1. Quiero pesar a un bebe pero la báscula que tengo solo registra pesos mayores a 50 kg. Si me peso yo cargando al bebe se registran 87 kg. Si mi esposa se pesa cargando al bebe se registran 55kg. Si nos pesamos los tres al mismo tiempo se registran 136kg ¿Cuál es la ecuación que modela el sistema? 2. Voy a un restaurante con toda mi familia una vez al mes, en donde comemos 10 personas. El primer mes se pidieron 3 pescados, 2 pollos y 5 cortes de res, y la cuenta fue de 1290. El segundo mes se pidieron 2 pescados, 4 pollos y 4 cortes de res, y la cuenta total fue de 1200 y el tercer mes se pidieron 4 pescados, 3 pollos y 3 cortes de res; la cuenta total fue de 1200. Plantea las ecuaciones lineales que modelan el sistema. Acomoda las siguientes ecuaciones de forma tal que en las columnas queden alineadas las mismas variables y resuélvelas: 1.

2. 3. 4. 5. 6. Resuelve los sistemas de ecuaciones que acomodaste en la parte individual. 7. Resuelve las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Lee detenidamente el problema y responde lo que se plantea. Parte 1 Supón el siguiente escenario: Un amigo tuyo te comenta por teléfono una problemática que tiene y te das cuenta que la puede resolver con una matriz usando el método de Gauss.

Tu amigo no sabe resolver matrices, pero sabe sumar, restar, multiplicar y dividir. También lo que son renglones y columnas. Para ayudarlo decides explicarle el concepto utilizando un diagrama de flujo. Realiza lo siguiente: 1. Investiga los símbolos utilizados en un diagrama de flujo (inicio, operación, decisión, fin, etc.) 2. Identifica paso por paso qué hacer para resolver esta matriz de tamaño arbitrario. 3. Diseña un diagrama de flujo que muestre cómo resolver una matriz de cualquier tamaño por el método de Gauss. Parte 2 4. Ahora resuelve el siguiente problema planteado por el método de Gauss: Se desea conocer el precio unitario de tres artículos en una ferretería. Los artículos son una caja de clavos, un martillo y un taladro. Se sabe que si alguien compra 3 cajas de clavos y 2 martillos, se gastará 130 pesos. Si alguien compra un martillo y dos taladros, gastará 650 pesos y si alguien compra 10 cajas de clavos y un taladro gastará 400 pesos. 5. Haz la matriz correspondiente. 6. Diseña un diagrama de flujo que muestre cómo resolver la matriz.  Usa los símbolos utilizados en un diagrama de flujo  Debe verse, paso por paso, en qué parte del ciclo se está y cuáles operaciones se hacen en la matriz.

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