2. El problema del consumidor
El consumidor busca maximizar su bienestar,
dada su capacidad de compra
El bienestar del consumidor está
representado por la función de utilidad
Las capacidad de compra del consumidor está
representada por el conjunto factible y la recta
de presupuesto
3. La función de utilidad
La función de utilidad busca representar el bienestar de un
individuo representativo, basado en su consumo de bienes
Para construir esta función, necesitamos un conjunto de
supuestos
Es una función subjetiva, que busca representar las
preferencias del consumidor
4. Supuestos de elección
racional
El individuo elige entre canastas de bienes,
las cuales contienen diferentes cantidades de
éstos.
Podemos representar una canasta 𝑌 de la
siguiente manera:
𝑌 = 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚
Donde tenemos 𝑚 bienes.
5. Supuestos
de
elección
racional
Partimos de la existencia de un
conjunto convexo 𝛺 de canastas
de bienes. Si cada canasta tiene
solamente 2 bienes, tenemos los
siguientes supuestos:
1. Reflexividad: la canasta de
bienes no puede estar vacía
Sea la canasta 𝑌 = (𝑦1, 𝑦2)
entonces:
𝑌 ≽ 𝑌
La canasta 𝑌 es al menos tan
buena como sí misma
6. Supuestos
de
elección
racional
2. Completitud: Dadas dos
canastas
𝑌 = (𝑦1, 𝑦2) y 𝑌′
= 𝑦1
′
, 𝑦2
′
,
se cumple una de las siguientes
relaciones:
𝑌 ≻ 𝑌′
𝑌 es preferida a 𝑌′
𝑌 ≺ 𝑌′ 𝑌′ es preferida a 𝑌
𝑌 ∼ 𝑌′ 𝑌 es equivalente a 𝑌′
7. Supuestos
de
elección
racional
3. Transitividad: Dadas tres
canastas
𝑌 = 𝑦1, 𝑦2 , 𝑌′
= 𝑦1
′
, 𝑦2
′
, y
𝑌" = 𝑦1
"
, 𝑦2
"
,
se cumple una de las siguientes
relaciones:
Si 𝑌 ≻ 𝑌′
y 𝑌′
≻ 𝑌"
entonces
𝑌 ≻ 𝑌"
Si 𝑌 ∼ 𝑌′
y 𝑌′
∼ 𝑌"
entonces
Y ∼ 𝑌"
8. Supuestos
de
elección
racional
4. No saturación: Un consumidor
siempre preferirá más a menos.
Entonces, dadas dos canastas
𝑌 = 𝑦1, 𝑦2 y 𝑌′ = 𝑦1
′
, 𝑦2
′
,
𝑌 ≻ 𝑌′ en los siguientes casos:
Si 𝑦1 = 𝑦1
′
y 𝑦2 > 𝑦2
′
Si 𝑦1 > 𝑦1
′
y 𝑦2 > 𝑦2
′
10. Supuestos
de
elección
racional
5. Continuidad: Los individuos
eligen entre canastas, no entre los
bienes dentro de las canastas.
Sean dos conjuntos:
Ψ1 = 𝑌/𝑌 ≻ 𝐴
Ψ2 = 𝑌/𝑌 ≺ 𝐴
Donde 𝐴 es una canasta
cualquiera, cada conjunto es
cerrado y limitado por su frontera.
Esto excluye a las preferencias
lexicográficas
12. La función
de utilidad
A partir de los supuestos
anteriores, se puede derivar una
función de utilidad:
𝑈 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2)
Esta función expresa el bienestar
(utilidad directa) que obtienen los
consumidores del consumo de los
bienes
13. La función
de utilidad
Si tenemos dos canastas de
bienes, 𝑌 y 𝑌′ , se cumple lo
siguiente:
𝑈 𝑌 > 𝑈 𝑌′
⟺ 𝑌 ≻ 𝑌′
𝑈(𝑌) ≥ 𝑈(𝑌′) ⟺ 𝑌 ≽ 𝑌′
𝑈 𝑌 = 𝑈(𝑌′) ⇔ 𝑌 ∼ 𝑌′
La función de utilidad sobre el
conjunto convexo Ω será
estrictamente cuasi cóncava.
Esto quiere decir, que sus
contornos (en este caso, curvas de
indiferencia) son cóncavos.
15. Curvas de indiferencia
Una curva de indiferencia es el lugar
geométrico de las canastas de consumo que
dan al individuo el mismo nivel de utilidad.
Por ejemplo, para la función de utilidad 𝑈 =
𝑈 𝑦1, 𝑦2 , la curva de indiferencia será:
𝑈 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2)
17. Curvas de indiferencia
La pendiente de la curva de indiferencia se
obtiene tomando diferenciales:
𝑑𝑈 = 0= 𝜕𝑈
𝜕𝑦1
𝑑𝑦1 + 𝜕𝑈
𝜕𝑦2
𝑑𝑦2
Entonces, la relación marginal de sustitución
en el consumo será:
𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2
=
𝑑𝑦2
𝑑𝑦1
= −
𝜕𝑈
𝜕𝑦1
𝜕𝑈
𝜕𝑦2
20. Ejemplo 2
Entonces:
𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2
= −
𝛽
1−𝛽
𝑦2
𝑦1
𝑐+1
Notar que si 𝐶 = 0 la función sería una Cobb-
Douglas
Si 𝐶 = −1 la pendiente sería constante
22. Ejemplos 4 y 5
La función de mínimos (Leontieff):
𝑈 = min[𝛼𝑦1, 𝛽𝑦2]
No existe pendiente
La función cuasi-lineal:
𝑈 = 𝑦1
0.5
+ 2𝑦2
Su pendiente
𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2
= −
1
4𝑦1
0.5 No depende de 𝑦2
23. Ejemplo 6
La siguiente función:
𝑈 = 2𝑦1
0.5
Es neutra en el bien 𝑦2
Su pendiente
𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2
= − 𝑦1
−0.5
0 que tiende a infinito
Por lo tanto las curvas de indiferencia son líneas
verticales paralelas
24. Ejemplo 7
La siguiente función:
𝑈 = 𝑦2
0.5
− 4𝑦1
0.4
En este caso, 𝑦1 es un mal
Su pendiente será positiva:
𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦2𝑦1
= − 0.5𝑦2
−0.5
−1.6 𝑦1
−0.6 = 𝑦1
0.6
3.2𝑦2
0.5
26. Conjunto factible
El conjunto factible representa la capacidad de
compra del individuo, la cual depende de los
ingresos que obtiene y de los precios de los bienes
que compra, todos variables exógenas.
Si asumimos que existen 𝑚 bienes, el conjunto
factible será:
𝐼 ≥ 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 + ⋯ + 𝑃𝑚𝑦𝑚
Si solo son dos bienes:
𝐼 ≥ 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2
27. Recta de presupuesto
Dado que los individuos siempre prefieren más a
menos, éstos consumirán todo su ingreso, sobre la
recta de presupuesto:
𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2
Si tomamos diferenciales obtenemos la relación de
intercambio del mercado:
𝑑𝐼 = 0 = 𝑃1𝑑𝑦1 + 𝑃2𝑑𝑦2
𝑅𝐼𝑦1𝑦2
= − 𝑃1
𝑃2
que es la pendiente de la R.P.
32. Efecto precio
Sea la siguiente recta de presupuesto:
𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2
La pendiente es:
𝑅𝐼 = − 𝑃1
𝑃2
Si el precio del bien 𝑦1 cae en 5%:
𝐼 = 0.95𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2
La pendiente cambia:
𝑅𝐼 = −0.95 𝑃1
𝑃2
33. Elección óptima del
consumidor
El consumidor buscará maximizar su función de
utilidad sujeta a su recta de presupuesto:
𝑀𝑎𝑥 𝑈 = 𝑈 𝑦1, 𝑦2
𝑠. 𝑎. 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2
En este modelo tenemos dos variables endógenas,
que son los consumos, y tres exógenas que son el
ingreso y los precios
34. Elección óptima del
consumidor
La ecuación de Lagrange será:
𝐿 = 𝑈 𝑦1, 𝑦2 + 𝜆(𝐼 − 𝑃1𝑦1 − 𝑃2𝑦2)
Donde 𝜆 es el multiplicador de Lagrange.
Las condiciones de primer orden nos darán un
punto óptimo:
𝜕𝐿
𝜕𝑦1
= 𝜕𝑈
𝜕𝑦1
− 𝜆𝑃1=0
𝜕𝐿
𝜕𝑦2
= 𝜕𝑈
𝜕𝑦2
− 𝜆𝑃2=0
𝜕𝐿
𝜕𝜆 = 𝐼 − 𝑃1𝑦1 − 𝑃2𝑦2=0
35. Elección óptima del
consumidor
Si dividimos la primera expresión entre la segunda,
obtenemos la condición de óptimo del consumidor:
𝜕𝑈
𝜕𝑦1
𝜕𝑈
𝜕𝑦2
=
𝑃1
𝑃2
Lo cual es equivalente a:
𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2
= 𝑅𝐼𝑦1𝑦2
36. Elección óptima del
consumidor
La expresión denota un conjunto de puntos
óptimos de acuerdo a los valores del ingreso y de
los precios, así como a la forma de la función de
utilidad
Podemos escribir la expresión anterior de la
siguiente forma:
𝑦2 = 𝑓(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2)
Reemplazamos esta expresión en la tercera
condición de óptimo
37. Elección óptima del
consumidor
𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑓(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2)
Despejamos 𝑦1 para obtener la curva de demanda
individual de dicho bien:
𝑦1
𝑑
= 𝑦1
𝑑
(𝑃1, 𝑃2, 𝐼)
Reemplazamos esta curva en 𝑦2 = 𝑓 𝑦1, 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
𝑦2 = 𝑓[𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 , 𝑃1, 𝑃2]
Para obtener la demanda individual del bien 𝑦2:
𝑦2
𝑑
= 𝑦2
𝑑
(𝑃1, 𝑃2, 𝐼)
38. Elección óptima del
consumidor
Para asegurarnos que es un máximo calculamos el
determinante de la matriz Hessiana Orlada:
0
2
0
11
2
2
12
2
1
22
2
1
22
21
2
12
11
1
2
1
U
P
U
P
P
U
P
U
U
P
U
U
P
P
P
H
40. La función de demanda
ordinaria
La función de demanda es homogénea de grado
cero en los precios y en el ingreso.
Es decir, el dinero no afecta las decisiones reales, ya
que si elevamos el ingreso de un individuo y los
precios de los bienes que compra, en la misma
proporción, la canasta de consumo no cambia.
41. Ejemplo 8
Para la siguiente función de utilidad:
𝑈 = 𝑦1 − 2 0.5 𝑦2 − 1 0.5
Donde 𝑦1 > 2, 𝑦2 > 1
Podemos partir de la condición de óptimo:
0.5 𝑦1−2 −0.5 𝑦2−1 0.5
0.5 𝑦1−2 0.5 𝑦2−1 −0.5 = 𝑃1
𝑃2
(𝑦2−1)
(𝑦1−2) = 𝑃1
𝑃2
45. Ejemplo 9
Dividimos la primera expresión entre la segunda y
entre la tercera:
𝑦2
𝑦1 = 𝑃1
𝑃2
𝑦3
𝑦1 = 𝑃1
𝑃3
Despejamos 𝑦2 y 𝑦3, y reemplazmos en la
restricción de presupuesto:
𝐼 = 3𝑃1 𝑦1
46. Ejemplo 9
Las tres curvas de demanda serán:
𝑦1
𝑑
= 𝐼
3𝑃1
𝑦2
𝑑
= 𝐼
3𝑃2
𝑦3
𝑑
= 𝐼
3𝑃3
47. Ejemplo 10
Para la siguiente función de utilidad:
𝑈 = 4𝑦1 + 𝑦2
En este caso no se puede hacer una ecuación de
Lagrange
Entonces:
𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2
= −4
𝑅𝐼𝑦1𝑦2
= − 𝑃1
𝑃2
49. Función de utilidad
indirecta (FUI)
La función de utilidad indirecta se obtiene
reemplazando las funciones de demanda derivadas
a partir de la función de utilidad directa. Si las
curvas de demanda son:
𝑦1
𝑑
= 𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 𝑦2
𝑑
= 𝑦2
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼
Entonces:
𝑉 = 𝑈[𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 , 𝑦2
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ]
𝑉 = 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
50. Función de utilidad
indirecta (FUI)
Se llama indirecta, porque la utilidad directa
depende del consumo de los bienes, pero el
consumo de los bienes depende de los precios y
del ingreso del individuo.
Si calculamos el punto óptimo (𝑦1
∗
, 𝑦2
∗
), dados los
precios y los ingresos, entonces:
𝑈(𝑦1
∗
, 𝑦2
∗
) = 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
55. Propiedades de la FUI
Si derivamos la FUI con respecto al ingreso:
𝜕𝑉
𝜕𝐼 = 𝜕𝑈
𝜕𝑦1
𝜕𝑦1
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 +
𝜕𝑈
𝜕𝑦2
𝜕𝑦2
𝜕𝑦2
𝑑
𝜕𝑦2
𝑑
𝜕𝐼
Sabemos que:
𝜕𝑈
𝜕𝑦1
= 𝜆𝑃1
𝜕𝑈
𝜕𝑦2
= 𝜆𝑃2
Entonces:
𝜕𝑉
𝜕𝐼 = 𝜆𝑃1
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 + 𝜆𝑃2
𝜕𝑦2
𝑑
𝜕𝐼
56. Propiedades de la FUI
𝜕𝑉
𝜕𝐼 = 𝜆 𝜕𝑃1𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 + 𝜕𝑃2𝑦2
𝑑
𝜕𝐼 = 𝜆 𝜕𝐼
𝜕𝐼
Por lo tanto:
𝜕𝑉
𝜕𝐼 = 𝜆
Es decir, la derivada de la utilidad indirecta con
respecto al ingreso es igual a 𝜆, que representa la
utilidad marginal del ingreso
58. Propiedades de la FUI
Si derivamos la FUI con respecto a uno de los
precios:
𝜕𝑉
𝜕𝑃1
= 𝜕𝑈
𝜕𝑦1
𝜕𝑦1
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
+
𝜕𝑈
𝜕𝑦2
𝜕𝑦2
𝜕𝑦2
𝑑
𝜕𝑦2
𝑑
𝜕𝑃1
Haciendo los reemplazos:
𝜕𝑉
𝜕𝑃1
= 𝜆𝑃1
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
+ 𝜆𝑃2
𝜕𝑦2
𝑑
𝜕𝑃1
59. Propiedades de la FUI
𝜕𝑉
𝜕𝑃1
= 𝜆 𝜕[𝑃1𝑦1
𝑑+𝑃2𝑦2
𝑑]
𝜕𝑃1
En este caso no podemos hacer la derivada igual a
1 ya que es una derivada parcial. Entonces partimos
de que la derivada total del ingreso con respecto a
uno de los precios es igual a cero, porque ambas
son variables exógenas:
𝑑𝐼
𝑑𝑃1
= 0 = 𝑦1
𝑑
+ 𝜕[𝑃1𝑦1
𝑑+𝑃2𝑦2
𝑑]
𝜕𝑃1
60. Propiedades de la FUI
Entonces:
𝜕[𝑃1𝑦1
𝑑+𝑃2𝑦2
𝑑]
𝜕𝑃1
= −𝑦1
𝑑
Por lo tanto:
𝜕𝑉
𝜕𝑃1
= −𝜆 𝑦1
𝑑
Identidad de Roy
Esta propiedad nos dice que si se eleva el precio de
un bien, nuestra utilidad cae por dos causas, el
cambio en la utilidad marginal del ingreso (+) y el
cambio en los precios (-)
63. Estática comparativa
Si partimos de una curva de demanda cualquiera:
𝑦1
𝑑
= 𝑦1
𝑑
(𝑃1, 𝑃2, 𝐼)
Tomando diferenciales:
𝑑𝑦1
𝑑
= 𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
𝑑𝑃1 + 𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃2
𝑑𝑃2 + 𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 𝑑𝐼
Vamos a ver los efectos de cada variable exógena
sobre el consumo del bien
64. Efecto ingreso y curva de
Engel
¿Qué sucede cuando el ingreso cambia y los
precios se mantienen constantes?
Cuando cambia el ingreso, la capacidad de compra
aumenta, porque ha aumentado el ingreso real.
Si un aumento del ingreso – ceteris paribus – lleva a
un aumento del consumo del bien, éste es normal
Si un aumento del ingreso – c.p. – lleva a una caída
en el consumo del bien, éste es inferior
68. Ejemplos de Curvas de
Engel
Si tomamos las siguientes curvas de demanda:
𝑦1
𝑑
= 𝐼
3𝑃1
𝑦1
𝑑
= (𝐼−𝑃2)
2𝑃1
+ 1
𝑦1
𝑑
= 𝑃2
2
16𝑃1
2
Vemos que también son curvas de Engel, ya que nos
dan la relación entre la cantidad consumida y el ingreso
69. Ejemplos de Curvas de
Engel
En el caso de la primera:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 = 1
3𝑃1
> 0
𝜕2𝑦1
𝑑
𝜕𝐼2 = 0
Vemos que la curva de Engel parte del origen, y
tiene una pendiente constante, dados los precios
relativos.
70. Ejemplos de Curvas de
Engel
En el caso de la segunda:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 = 1
2𝑃1
> 0
𝜕2𝑦1
𝑑
𝜕𝐼2 = 0
Vemos que la curva de Engel parte del origen, y
tiene una pendiente constante, dados los precios
relativos
En este caso la pendiente es mayor que en el caso
anterior
71. Ejemplos de Curvas de
Engel
En el caso de la tercera:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 = 0
Vemos que la curva de Engel no depende del
ingreso
Eso quiere decir que se consume la misma cantidad
del bien sea cual sea 𝐼
72. Elasticidad-ingreso de
demanda
La elasticidad-ingreso de demanda nos muestra en
qué porcentaje varía el consumo óptimo de un bien
ante cambios en el ingreso, dados los precios
relativos
𝜂𝑦1,𝐼 =
𝜕𝑦1
𝑦1
𝜕𝐼
𝐼
= 𝜕𝑦1
𝜕𝐼
𝐼
𝑦1
La elasticidad-ingreso de demanda está relacionada
al tipo de bien
73. Elasticidad-ingreso de
demanda
Así vemos:
𝜂𝑦1,𝐼 > 1 Bienes no esenciales
𝜂𝑦1,𝐼 = 1 Servicios de consumo
0 < 𝜂𝑦1,𝐼 < 1 Bienes esenciales
𝜂𝑦1,𝐼 < 0 Bienes inferiores
76. Ejemplo 16
Para la siguiente curva de Engel:
𝑦1
𝑑
= 𝐼
2𝑃1
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 = 1
2𝑃1
𝐼
𝑦1
𝑑 = 𝐼∗2𝑃1
𝐼 = 2𝑃1
Entonces:
𝜂𝑦1,𝐼 = 1
La curva de Engel tiene elasticidad unitaria
77. Efecto precio y curva de
demanda ordinaria
¿Qué sucede cuando uno de los precios cambia, y
el ingreso y los otros precios se mantienen
constantes?
Cuando cambia el precio de un bien, la capacidad
de compra sube (cae) si dicho precio cae (sube).
Entonces el ingreso real aumenta (cae).
78. Trayectoria de expansión del
precio Bien normal
¿Qué sucede cuando uno de los precios cambia, y
el ingreso y los otros precios se mantienen
constantes?
Cuando cambia el precio de un bien, la capacidad
de compra sube (cae) si dicho precio cae (sube).
Entonces el ingreso real aumenta (cae).
80. Efecto sustitución y curvas de
demanda compensada
Cuando cambia el precio de un bien, la variación en
su consumo se denomina efecto precio
Este efecto se puede separar en dos: un efecto
sustitución y un efecto ingreso
El efecto sustitución es el cambio en la cantidad
consumida, cuando los precios relativos cambian,
manteniendo el ingreso real constante
81. Efecto sustitución y curvas de
demanda compensada
Para poder determinar el efecto sustitución, es
necesario definir el ingreso real
Hay dos definiciones:
- La de Hicks
- La de Slutsky
82. Ingreso real a la Hicks
De acuerdo a Hicks, ante un cambio en los precios
relativos, un consumidor mantiene su ingreso real
constante si su nuevo consumo está sobre la curva
de indiferencia inicial
Es solo después de encontrar en punto de
sustitución 𝐶𝐻 que se puede medir el efecto ingreso
84. Ingreso real a la Slutsky
De acuerdo a Slutsky, ante un cambio en los precios
relativos, un consumidor mantiene su ingreso real
constante si a los nuevos precios aún podría
consumir la canasta inicial
Es solo después de encontrar en punto de
sustitución 𝐶𝑆 que se puede medir el efecto ingreso
86. Curvas de demanda
compensadas
Las curvas de demanda compensadas son aquellas
que solamente toman en cuenta el efecto
sustitución
Se llaman compensadas porque para mantener el
ingreso real si un precio se eleva (cae), es como si
se diera (quitara) ingreso al individuo
87. Curvas de demanda – bien
normal
0
y1
P1
A
P1A
P1B
y1A y1Ch y1Cs y1B
cdo
cdch cdcs
cdch
cdcs
cdo
88. Curvas de demanda – bien
inferior
0
y1
P1
A
P1A
P1B
y1A yB y1Ch y1Cs
cdch
cdcs cdo
cdo
cdch
cdcs
89. Bien Giffen
Un bien Giffen tiene las siguientes características:
- Es un bien inferior
- Su efecto ingreso es mayor que su efecto
sustitución, ambos en valor absoluto)
90. Curvas de demanda – bien
Giffen
0
y1
P1
P1A
P1B
y1A y1Ch y1Cs
cdch
cdcs
cdch
cdcs
cdo
cdo
A
y1B
91. Elasticidad-precio de
demanda
La elasticidad-precio de demanda nos muestra en
qué porcentaje varía el consumo óptimo de un bien
ante cambios en su precio, dados el ingreso y los
demás precios
𝜂𝑦1,𝑃1
=
𝜕𝑦1
𝑦1
𝜕𝑃1
𝑃1
= 𝜕𝑦1
𝜕𝑃1
𝑃1
𝑦1
La elasticidad-precio de demanda está relacionada
al tipo de bien
92. Elasticidad-precio de
demanda
Así vemos:
𝜂𝑦1,𝑃1
< −1 Bienes no esenciales
𝜂𝑦1,𝑃1
= −1 Servicios de consumo
−1 < 𝜂𝑦1,𝑃1
< 0 Bienes esenciales
𝜂𝑦1,𝑃1
> 0 Bienes Giffen
96. Elasticidad-precio cruzada
de demanda
La elasticidad-precio cruzada de demanda nos
muestra en qué porcentaje varía el consumo
óptimo de un bien ante cambios en otros precios,
dados el ingreso y el precio del bien
𝜂𝑦1,𝑃2
=
𝜕𝑦1
𝑦1
𝜕𝑃2
𝑃2
= 𝜕𝑦1
𝜕𝑃2
𝑃2
𝑦1
La elasticidad-precio cruzada de demanda está
relacionada al tipo de bien
97. Elasticidad-precio cruzada
de demanda
Así vemos:
𝜂𝑦1,𝑃2
> 0 Bienes sustitutos
𝜂𝑦1,𝑃2
= 0 No hay relación entre los bienes
𝜂𝑦1,𝑃2
< 0 Bienes complementarios
101. Función de gasto mínimo
Suponga que un individuo desea
mantener su nivel de utilidad, gastando lo
menos posible:
𝑀𝑖𝑛 𝐺 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2
𝑠. 𝑎. 𝑈0 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2)
La ecuación de Lagrange:
𝐿 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 + 𝜆[𝑈0 − 𝑈(𝑦1, 𝑦2)]
Este es el problema dual de la
maximización de utilidad
102. Función de gasto mínimo
En equilibrio:
𝑃1 = 𝜆 𝜕𝑈
𝜕𝑦1
𝑃2 = 𝜆 𝜕𝑈
𝜕𝑦2
𝑈0 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2)
A partir de las dos primeras ecuaciones:
𝑃1
𝑃2
=
𝜕𝑈
𝜕𝑦1
𝜕𝑈
𝜕𝑦2
103. Función de gasto mínimo
Entonces, despejamos 𝑦2:
𝑦2 = 𝑔(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2)
Reemplazando en la restricción de
utilidad:
𝑈0 = 𝑈[𝑦1, 𝑔(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2)]
Si despejamos 𝑦1, obtenemos la curva de
demanda compensada a la Hicks:
𝑦1
ℎ
= 𝑦1
ℎ
(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)
104. Función de gasto mínimo
Remplazando en la expresión anterior:
𝑦2 = 𝑔[𝑦1
ℎ
(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0), 𝑃1, 𝑃2]
Despejamos 𝑦2, y obtenemos su curva de
demanda compensada a la Hicks:
𝑦2
ℎ
= 𝑦2
ℎ
(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)
Ambas funciones dependen solo de los
precios relativos, dado un nivel de utilidad
106. Función de gasto mínimo
Si reemplazamos ambas curvas de
demanda en la ecuación del gasto:
𝐺 = 𝑃1𝑦1
ℎ
𝑃1, 𝑃2, 𝑈0 + 𝑃2𝑦2
ℎ
(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)
Entonces tenemos la función de gasto
mínimo:
𝑚 = 𝑚(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)
107. Ejemplo 20
Sea la siguiente función de utilidad:
𝑈 = 𝑦1
0.5
𝑦2
0.5
+ 2𝑦3
0.5
Encuentre las funciones de demanda
hicksianas y la función de gasto mínimo
𝑀𝑖𝑛 𝐺 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 + 𝑃3𝑦3
𝑠. 𝑎. 𝑈0 = 𝑦1
0.5
𝑦2
0.5
+ 2𝑦3
0.5
Planteamos y resolvemos la ecuación de
Lagrange:
109. Ejemplo 20
Por lo tanto:
𝑦3
ℎ
= 4 𝑃1𝑃2
𝑃3
2
Reemplazamos la relación entre los bienes
𝑦1 y 𝑦3 , y la curva de demanda
compensada 𝑦3
ℎ
en la función de utilidad:
𝑈0 = 𝑦1
0.5 𝑃1
𝑃2
0.5
𝑦1
0.5
+ 4 𝑃1
0.5𝑃2
0.5
𝑃3
110. Ejemplo 20
Despejamos 𝑦1:
𝑦1
ℎ
= 𝑃2
𝑃1
0.5
𝑈0 − 4 𝑃2
𝑃3
Reemplazamos:
𝑦2
ℎ
= 𝑃1
𝑃2
0.5
𝑈0 − 4 𝑃1
𝑃3
Para obtener la función de gasto mínimo,
reemplazamos cada función hicksiana en
la función de gasto que minimizamos
112. Propiedades de la Función de
gasto mínimo
Si derivamos la función de gasto mínimo
con respecto a uno de sus precios:
𝜕𝑚
𝜕𝑃1
= 𝑦1
ℎ
+ 𝑃1𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
+ 𝑃2𝜕𝑦2
ℎ
𝜕𝑃1
𝜕𝑚
𝜕𝑃1
= 𝑦1
ℎ
+ 𝜕(𝑃1𝑦1
ℎ+𝑃2𝑦2
ℎ)
𝜕𝑃1
= 𝑦1
ℎ
+ 𝜕𝐼
𝜕𝑃1
113. Propiedades de la Función de
gasto mínimo
Por lo tanto:
𝜕𝑚
𝜕𝑃1
= 𝑦1
ℎ
Que es el Lema de Shephard.
114. Propiedades de la Función de
gasto mínimo
Por otro lado, si existe una función 𝑧 =
𝑓 𝑥, 𝑦 , cuyas derivadas parciales existen y
son continuas, Entonces se cumple que
𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥
Dado que 𝑚 = 𝑚 𝑃1, 𝑃2, 𝑈0 cumple con
las mismas condiciones, entonces:
𝜕2𝑚
𝜕𝑃2𝑃1
= 𝜕2𝑚
𝜕𝑃1𝑃2
𝜕
𝜕𝑚
𝜕𝑃1
𝜕𝑃2
=
𝜕
𝜕𝑚
𝜕𝑃2
𝜕𝑃1
115. Propiedades de la Función de
gasto mínimo
Entonces:
𝜕 𝑦1
ℎ
𝜕𝑃2
=
𝜕 𝑦2
ℎ
𝜕𝑃1
Lo cual implica que los efectos sustitución
cruzados en una demanda compensada a
la Hicks son simétricos.
116. Propiedades de la Función de
gasto mínimo
Finalmente, si se eleva el precio de uno de
los bienes en un porcentaje 𝑥, entonces el
gasto se elevará también, pero en un
porcentaje menor:
𝜕2𝑚
𝜕𝑃1
2 < 0
𝜕
𝜕𝑚
𝜕𝑃1
𝜕𝑃1
< 0
𝜕 𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
< 0
117. Propiedades de la Función de
gasto mínimo
Lo cual nos dice que las funciones de
demanda compensadas siempre tienen
pendiente negativa ya que solamente
tienen efecto sustitución
118. Ejemplo 21
Para la siguiente función de utilidad
directa:
𝑈 = 𝑦1
0.5
+ 𝑦2
Las curvas de demanda ordinaria para
cada bien serán:
𝑦1
𝑑
= 𝑃2
2
4𝑃1
2
𝑦2
𝑑
= 𝐼
𝑃2
− 𝑃2
4𝑃1
119. Ejemplo 21
Las curvas de demanda hicksianas para
cada bien serán:
𝑦1
ℎ
= 𝑃2
2
4𝑃1
2
𝑦2
ℎ
= 𝑈0 − 𝑃2
2𝑃1
La función de gasto mínimo será:
𝑚 = 𝑃1 ∗ 𝑃2
2
4𝑃1
2 + 𝑃2 ∗ 𝑈0 − 𝑃2
2𝑃1
121. Función de demanda
compensada a la Slutsky
Para calcular esta función debemos tomar
en cuenta que el punto de sustitución de
Slutsky se encuentra sobre una recta de
presupuesto imaginaria que pasa por el
punto inicial
Por lo tanto el ingreso de esta recta de
presupuesto imaginaria es menor que el
ingreso 𝐼
123. Función de demanda
compensada a la Slutsky
Como vemos en el gráfico anterior, tanto
el punto 𝐴 como el punto 𝐶𝑠están sobre
esta recta de presupuesto imaginaria:
𝐼𝐴 = 𝑃1
′
𝑦1 + 𝑃2𝑦2 < 𝐼
Como conocemos 𝑦1
𝐴
y 𝑦2
𝐴
entonces:
𝐼𝐴 = 𝑃1
′
𝑦1
𝐴
+ 𝑃2𝑦2
𝐴
124. Función de demanda
compensada a la Slutsky
Para encontrar las curvas de demanda
compensada a la Slutsky:
𝑀𝑎𝑥 𝑈 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2)
𝑠. 𝑎. 𝑃1
′
𝑦1
𝐴
+ 𝑃2𝑦2
𝐴
= 𝑃1
′
𝑦1 + 𝑃2𝑦2
Las curvas serán:
𝑦1
𝑠
= 𝑦1
𝑠
(𝑃1, 𝑃2, 𝑦1
𝐴
, 𝑦2
𝐴
)
𝑦2
𝑠
= 𝑦2
𝑠
(𝑃1, 𝑃2, 𝑦1
𝐴
, 𝑦2
𝐴
)
128. Ejemplo 21
Si el nuevo precio del bien 𝑦1 es:
𝑃1
′
= 4
𝑦1
𝑠
= 𝑃2
2
4𝑃1
2 =
25
64
>
1
16
𝑦2
𝑠
= 𝑃1
16𝑃2
+ 89.875 − 𝑃2
4𝑃1
= 88.938 <
89.875
129. La ecuación de Slutsky
La ecuación de Slutsky es la expresión
matemática de los efectos precio,
sustitución e ingreso
Esta ecución se puede trabajar tanto con
el efecto sustitución a la Hicks como con
el efecto sustitución a la Slutsky
Nosotros vamos a trabajar con el efecto
sustitución a la Hicks
131. La ecuación de Slutsky
Existen 4 proposiciones de dualidad:
𝑚[𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ] ≡ 𝐼
𝑉[𝑃1, 𝑃2, m(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)] ≡ 𝑈0
A partir de las expresiones anteriores se
derivan las siguientes:
𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ≡ 𝑦1
ℎ
[𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ]
𝑦1
ℎ
𝑃1, 𝑃2, 𝑈0 ≡ 𝑦1
𝑑
[𝑃1, 𝑃2, m(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)]
132. La ecuación de Slutsky
Para derivar la ecuación de Slutsky
emplearemos la tercera expresión:
𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ≡ 𝑦1
ℎ
[𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ]
Derivamos esta expresión con respecto a
𝑃1:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
= 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
+
𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑈0
𝜕𝑈0
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑃1
133. La ecuación de Slutsky
Entonces:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
= 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
+ 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑈0
1 −𝜆𝑦1
𝑑
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
= 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
− 𝜆 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑈0
𝑦1
𝑑
El primer término es el efecto precio
El segundo término es el efecto
sustitución
El tercero es el efecto ingreso
134. La ecuación de Slutsky
Por otro lado, trabajamos con la ecuación
inicial y la derivamos con respecto al
ingreso:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 = 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑈0
𝜕𝑈0
𝜕𝑉 𝜆
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼 = 𝜆 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑈0
Si reemplazamos esta expresión en la
ecuación anterior:
135. La ecuación de Slutsky
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
= 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
− 𝜆 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑈0
𝑦1
𝑑
Obtenemos la ecuación de Slutsky:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
= 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
− 𝑦1
𝑑 𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼
136. La ecuación de Slutsky
En términos de elasticidades:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
𝑃1
𝑦1
𝑑 = 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
𝑃1
𝑦1
𝑑 −
𝑦1
𝑑 𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼
𝑃1
𝑦1
𝑑
Dado que podemos asumir que estamos
en el punto donde 𝑦1
𝑑
= 𝑦1
ℎ
:
𝜂𝑦1
𝑑𝑃1
= 𝜂𝑦1
ℎ𝑃1
− 𝑦1
𝑑 𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼
𝑃1
𝑦1
𝑑
𝐼
𝐼
137. La ecuación de Slutsky
𝜂𝑦1
𝑑𝑃1
= 𝜂𝑦1
ℎ𝑃1
− 𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝐼
𝐼
𝑦1
𝑑
𝑃1𝑦1
𝑑
𝐼
Entonces:
𝜂𝑦1
𝑑𝑃1
= 𝜂𝑦1
ℎ𝑃1
− 𝑘 ∗ 𝜂𝑦1
𝑑𝐼
Donde 𝑘 = 𝑃1𝑦1
𝑑
𝐼 es la proporción del
gasto en el bien 𝑦1 con respecto al ingreso
total
145. Función de demanda
agregada
La función de demanda agregada es igual
a la suma horizontal de las demandas
individuales
Si tenemos 𝑛 consumidores del bien 𝑦1:
𝑌1
𝐷
= 𝑛𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 = 𝑌1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼
Si ahora tenemos 𝑛1 consumidores del
bien 𝑦1 con la siguiente función de
demanda:
𝑦1
𝑑1
= 𝑓 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
146. Función de demanda
agregada
Y 𝑛2 consumidores del bien 𝑦1 con la
siguiente función de demanda:
𝑦1
𝑑2
= 𝑔 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 , entonces:
𝑌1
𝐷
= 𝑛1𝑓 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 + 𝑛2𝑔 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 =
𝑌1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼
148. Ejemplo 23
Suponga que existen 𝑛 consumidores del
bien 𝑦1 con las siguientes funciones de
demanda:
𝑦1
𝑑1
= 𝑃2
2
𝑃1
2 𝑛1 personas
𝑦1
𝑑2
= (𝐼−𝑃2)
2𝑃1
+ 1 𝑛2 personas