Reticulos, Sub-reticulos y sus Ejemplos

1. RETÍCULOS
Autor:
Robert Milt
C.I: 21.323.613

2. RETICULOS
Un retículo (L,v,^) es distributivo si lo siguiente se cumple para todo x, y, z en L:
X ^ ( Y v Z) = (X ^ Y) v (X ^ Z)
Viendo los retículos como conjuntos parcialmente ordenados, se dice que el operador
MEET "preserva" un número finito y no vacío de operadores JOIN. Un resultado básico
de la teoría de retículos es que la condición de arriba es equivalente a su dual:
X v ( Y ^ Z) = (X v Y) ^ (X v Z)
Otra definición equivalente es decir que L es distributivo si y solo si lo siguiente se cumple
para cualesquiera elementos x, y, z en L:
(X ^ Y) v ( Y ^ Z) v (Z ^ X) = (X v Y) ^ ( Y v Z) ^ (Z v X)
Lo que a su vez es equivalente a decir
(X ^ Z =Y ^ Z) y (X v Z =Y v Z) implica X = Y

3. PROPIEDADES DE LOS RETICULOS
Todo retículo completo L es acotado, con
• 0=^L=vØ
• 1=vL=^Ø
Todo retículo finito, no vacío L es completo, por lo que también es acotado.
•
En un retículo distributivo y acotado, el complemento de un elemento a es único si
existe, lo que suele denotarse como ac (particularmente en el caso de retículos de
subconjuntos) o bien ¬a (particularmente en aplicaciones de lógica).
•
Demostración: Sean b y c complementos de a, queremos mostrar que b = c. Ahora se
cumple que b = b 1 = b (a c) = (b a) (b c) = b c. Análogamente se muestra que c = b c,
por lo que b = c.
En un retículo distributivo acotado se verifica
• ¬0 = 1, ¬1 = 0.
Si a tiene un complemento ¬a, entonces también ¬a tiene un complemento, que es:
• ¬ (¬a) = a.

4. EJEMPLOS CON LAS PROPIEDADES DE LOS
SUB-RETÍCULOS
Sub-retículos
Sea (L;≤) un retículo, y L’ contenido en L un subconjunto de L. Entonces L’ es
un sub-retículo si para cualesquiera x,y ∈ L’ se verifica que x˅y L’ y x˅y L’.
∈
∈
15
Ejemplos:
30
2
15
6
3
30
6
5
30
1
L2
6
1
3
3
L1
Diagramas de Hasse
10
2
L4
1
L3

5. Entonces L1 y L4 son sub-retículos de D (30), mientras que L2 y L3 no lo son.
L2 no es sub-retículo porque el supremo de 2 y 3 es 6, que no pertenece a
L2. L3 no es sub-retículo porque el ínfimo de 6 y 10 vale 2, que no pertenece
a L3. Nótese que L3, con el orden que hereda de D (30) es un retículo, pero
no es sub-retículo de L3.
Ejemplo 2:
Consideramos el conjunto ordenado {1,2}. Entonces el diagrama de Hasse
sería:
{1,2}
{1}
{2}
{0}

6. OPERACIONES REPRESENTATIVAS AL
HOMOFORMISMO DE LOS RETÍCULOS
Sean (L1, ∨1, ∧1) y (L2, ∨2, ∧2) álgebras de Boole. Una aplicación f:
L1˅
→L2 es un morfismo de álgebras de Boole si es un morfismo de
retículos que conserva los elementos cero, uno y los complementos. Si
además f es biyectiva diremos que f es un isomorfismo de álgebras de
Boole
Dado X = {x1, x2,..., xn} un conjunto con n elementos entonces f: (X)
˅
→2ntal que ∀A⊆X, f(A) = (a1, a2,...,an) donde ai= 1 si xi∈A y ai= 0 si
xi∉A, es un isomorfismo de álgebras de Boole