Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos. Define conjuntos, subconjuntos, el conjunto vacío, el conjunto potencia, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, diferencia y complemento. También explica el producto cartesiano de conjuntos, leyes del álgebra de conjuntos, particiones y cardinalidad. Finalmente, resuelve un problema utilizando la teoría de conjuntos para determinar cuántas personas visitaron diferentes lugares.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO FACULTAD DE INGENIERÍA CABUDARE-EDO. LARA CONJUNTOS Estructuras Discretas I Unidad III Junio, 2011

2. 1. Definición Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos. Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerar. Ejemplo: Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales. Generalmente, los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc. Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en un círculo, el cual es llamado diagrama de Venn. Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. Por extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno.Ejemplo: Los siguientes conjuntos están determinados por extensión.A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w} b. Por comprensión: Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada. Ejemplo: Los siguientes conjuntos están dados por comprensión. A = {n Î N / 1£n £ 5} (Todos los números naturales mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5) B = { x Î R / x divide a 18} (Los números reales divisores de 18) C = {x Î R / | x | < 4 } ( Los números reales cuyos valores absolutos son menores que 4) Estructuras Discretas I 1

3. 2. Subconjunto Definición: Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como: A Ì B Û ( " x ÎU) ( x Î A Þ x Î B ). Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es: 1. Reflexiva: A Ì A, para todo conjunto A. 2. Antisimétrica: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B. 3. Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C. Definición: Diremos que un conjunto A estáincluido propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B si y sólo si A Ì B y A ¹ B. Ejemplo: Si A = {a,d,f,} y B = { a, b,c,d,e,f,h} , entonces A es subconjunto propio de B. Ejemplo: Si D = { 1, 2, 3, 4 } y E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } , entonces D es subconjunto propio de E. Problema: Probar que A Ë B Û ( $ x )( x Î A x Ï B ) Solución Usando la ley del condicional, P ® q º~ p Ú q, en la definición de inclusión tenemos que: A Ì B Û ( " x )( x Î A Þ x Î B Û ( " x )( x Ï A v x Î B ) luego, negamos ambos lados, ~ ( A Ì B ) Û~ ( " x )( x Ï A v x Î B ) obtenemos que A Ë B Û ( $ x ) ( x Î A Ù x Ï B ) Conjunto Vacío Definición: Dado un conjunto A, el conjunto vacío fA es el conjunto: fA = {x Î A / x ¹ x } el fA no tiene elementos, ya que todo x Î A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es subconjunto de todo conjunto A Estructuras Discretas I 2

4. 3. Conjunto Potencia Si A es un conjunto, se define el conjunto Potenciade A o conjunto partes de A como Ã(A) = { X / X Ì A}, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces Ã(A) = {{f }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}} Características del Conjunto Potencia - La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos. - Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de à (A), ya que si A tiene n elementos, entonces Ã(A) tiene 2n elementos. El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la relación de inclusión. Teorema. A Ì B ÛÃ(A) ÌÃ(B) Representación Tabular del Conjunto Producto Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB Solución AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)} Estructuras Discretas I 3

5. 4. Igualdad Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales. El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales. Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B Û A Ì B Ù B Ì A Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia: (x Î A Û x Î B ) º ( x Î A Þ x Î B ) Ù ( x Î B Þ x Î A ) Estructuras Discretas I 4

6. 5. Unión e Intercepción Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto: A I B = { xÎ U /xÎ A ÙxÎ B} Es decir, los elementos que están en A y también están en B. Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d,e} y B = {a,c,e,h,i,j,k} luego, la intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto A I B ={a,c,e} Propiedades de la Intersección de Conjuntos Sean A y B conjuntos, luego se cumple: i. A I A = A ,"A ii. A I U = A , donde U es el conjunto universal iii. A I f=f iv. A I B = B I A Estructuras Discretas I 5

7. 6. Diferencia y Complemento Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B como el siguiente conjunto: A - B = { xÎ U / xÎ A ÙxÏ B}. Es decir, son todos los elementos que están en A pero que no están en B. Ejemplo: Consideremos los conjuntos A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18} Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18} Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétrica entre A y B es el conjunto. AD B = (A-B) U (B-A) = { xÎ U / xÎ A ÚxÎ B} En el ejemplo anterior se tiene que AD B = {-4,0,3,6,10,11,12,18} Propiedades de la Diferencia de Conjuntos Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que: (AUB) - C = (A - C) U (B - C) (A I B) - C = (A - C) I (B - C) (AD B) - C = (A - C) D (B - C) A I ( B - C) = (A I B) - (A I C) (B - C) I A = (B I A) - (C I A) Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto. C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a B para llegar a ser igual a U. Así podemos decir xÎ C(B) ÛxÏ B. Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7} entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10} Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego: A - B = AI C(B) C(C(A)) = A AUC(A) = U AI C(A) = f C(U) = f C(f ) = U AÌ B Û C(B) Ì C(A) Estructuras Discretas I 6

8. 7. Algebra de Conjuntos Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación. 5.Leyes de Identidad A U f= A I f= f A 6. Leyes de Dominación A U U = U U: conjunto universal A IU = A 7. Leyes de Complementación A U C(A) = U A IC(A) =fff) = U C (C(A)) = A C (U) = C ( 8. Leyes de De Morgan C(A U B) = C(A) IC (B) IB) = C(A) U C (B) C(A Leyes de Idempotencia A U A = AI A = A A Leyes Asociativas A U (BUC) = (AUB) U C A I (BIC) = (AIB) I C Leyes Conmutativas A U B = B U A A IB = B IA Leyes Distributivas A U (B IC) = (A U B) I(A U C) I(B U C) = (A IB) U (A IC) A Estructuras Discretas I 7

10. A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C)

11. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C)

12. Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)Estructuras Discretas I 8

13. 9. Operaciones Generalizadas Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto. Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I. Ejemplo Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por extensión cada miembro de la familia. Solución La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales . Algunos de los miembros de la familia son: Ahora definamos la unión e intersección de una familia indizada de conjuntos: Definición Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define: La unión de esta familia como el conjunto La intersección de esta familia como el conjunto. Observación: dado un conjunto de índice I={n, n+1, & , n+k}, entonces se denota también las uniones e intersecciones como Estructuras Discretas I 9

14. 10. Partición Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si: Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X. Ejemplo Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X. Estructuras Discretas I 10

15. 11. Cardinalidad Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de conjuntos. Ejemplo: De un grupo de 200 turístas que llegaron a Venezuela se sabe lo siguiente: 70 visitaron Canaima, 140 visitaron Zulia, 158 visitaron Mérida, 50 visitaron Canaima y Zulia, 120 visitaron Zulia y Mérida, 55 viaitaron Canaima y Mérida, 15 visitaron Zulia pero no Mérida ni Canaima. 1. ¿Cuántos visitaron los tres lugares?. 2. ¿Cuántos visitaron sólo Mérida? 3. ¿Cuántos no visitaron ninguno de los tres lugares? Solución Sean U el conjunto formado por los 200 turistas. C el conjunto formado por los turistas que visitaron Canaima. M el conjunto formado por los turistas que visitaron Mérida. Z el conjunto formado por los turistas que visitaron Zulia. Sabemos que #C = 70, #M = 158, #Z = 140, #U = 200. #Z = 140 = x + (50-x)+(120-x)+15 140 = x+50-x+120-x+15 140 = 185-x x = 185-140 x = 45, es decir, 45 personas visitaron los tres lugares #M = 158 = m+(55-x)+(120-x)+x 158 = m+175-x, sustituyendo x y despejando m se tiene que m = 28. Por lo que se tiene que 28 turistas visitaron solamente Mérida. Los turistas que no visitaron ninguno de los tres lugares es #U - #(CUZUM) #(CUZUM) = #C+#Z+#M - #(C I Z) - #(CI M) - #(ZI M) + #(CI MI Z) = 70+158+140-50-55-120+45 413+225 #U-#(CUZUM) = 200-188 = 12, por lo que se concluye que 12 turista no visitaron ninguno de los tres lugares. Estructuras Discretas I 11