Introducción a la Matemática Financiera, valor del dinero en el tiempo e Interés Simple

2. Puntualidad
Solo para el aprendizaje y cuando el docente lo
autorice. Deben estar en modo silencio.
Pulcritud en la presentación de
informes presenciales o virtuales
No ingerir alimentos en el aula.
Respeto total a personas y
normas
NORMAS DE CONVIVENCIA

3. UNIDAD 1
Introducción la Matemática Financiera y el
Valor del Dinero en el Tiempo.
Interés Simple y Ecuaciones de Valor.
3

4. VÍDEO
MATEMÁTICAS FINANCIERAS - Clase 1 – Introducción
https://www.youtube.com/watch?v=kwsDHragCOg

5. Logro de aprendizaje de la Unidad 1
Al terminar la unidad, el estudiante resuelve 4 de 5
problemas propuestos de Interés Simple, identifica las
variables, utiliza la fórmula apropiada, halla el
resultado correcto y lo interpreta.
5

6. Introducción a la Matemática Financiera
6
Definición de Matemática Financiera
La Matemática Financiera es una derivación
de la matemática aplicada que provee un
conjunto de herramientas, las cuales
permiten analizar cuantitativamente la
viabilidad o factibilidad económica y
financiera de los proyectos de inversión o
financiación.
Fuente:
http://cepea.edu.pe/profesionalizacion_xx/p
rogramas-dst-
prof/presentacion/doc/MATEMATICA_FINAN
CIERA.pdf, recuperado 19/12/2016.

7. 7 7
La matemática financiera es una herramienta que permite responder a las
siguientes cuestiones:
Introducción a la Matemática Financiera

8. 8 8
Definición de Interés
El interés es un índice utilizado en economía
y finanzas para registrar la rentabilidad de un
ahorro o el costo de un crédito. Se le llama
interés a los distintos tipos de índice que se
emplean en la medición de rentabilidad de
los ahorros o que se incorporan al valor de un
crédito.
Fuente:
http://www.definicionabc.com/economia/int
eres.php, recuperado el 19/12/2016
El interés es el valor del dinero en el tiempo.
Es el precio a pagar por disponer de un
capital durante un periodo de tiempo.
El Valor del Dinero en el tiempo

9. 9 9
1UM ≠ 1UM
HOY 1 AÑO
El Valor del Dinero en el tiempo

10. 10
10
El Valor del Dinero en el tiempo
C
a
p
i
t
a
l
I
n
i
c
i
a
l
I
n
t
e
r
e
s
e
s
Principal
Valor Presente
Capital
Stock Inicial de efectivo
Monto
Valor Futuro
Capital
Stock Final de efectivoC
a
p
i
t
a
l
I
n
i
c
i
a
l
Lapso de tiempo

11. 11
11
Operaciones financieras
Las Operaciones Activas son aquellas en la que
una entidad financiera presta el dinero.
Ejemplo: Préstamo personal, Crédito
Hipotecario, Tarjeta de Crédito; etc.
Las Operaciones Pasivas son aquellas en la
que una entidad financiera recibe el dinero.
Ejemplo: cuentas de ahorro, depósitos a plazo
fijo, Fondos Mutuos; etc.
Las operaciones financieras son Activas y Pasivas.
Tasas
Activas
Tasas
Pasivas
≠
SPREAD
FINANCIERO

12. 12
12
El Interés Simple
Interés Simple:
• El interés es la diferencia entre un monto o
capital final y el importe original que lo
produjo.
• Beneficio que se obtiene de una inversión
cuando los intereses producidos se deben
únicamente al capital inicial.
• El interés sólo se aplica al capital inicial.
• El interés no se capitaliza.
• El interés es la diferencia entre un monto o
capital final y el importe original que lo
produjo.
• Períodos de tiempo: años, semestres,
trimestres, meses, semanas, días.

13. 13
El Interés Simple
Componentes del Interés:
• Interés (I): Es le beneficio que se obtiene por
un capital invertido.
• Tasa de Interés (i): Es el porcentaje que se
paga por el alquiler del dinero.
• Tiempo (n): Es la duración de la inversión.
• Capital Inicial (P): Es el dinero que se
invierte

14. 14 14
Componentes del interés Simple.
Capital Inicial (P)
Tasa de Interés (i)
Tiempo (n)
El Riesgo (está incluido en la Tasa
de Interés)
I = f( P, i, n)
El Interés Simple

15. 15
El Interés Simple
Fórmulas del Interés Simple
I = P . i . n
S = P + I S = P + P . I . n
S = P (1 + i . n)
1
2
3
1 2en

16. 16
Indicaciones para resolver problemas de Interés Simple.
1.- Identificar las variables: Capital Inicial (P); Tasa de Interés (i); Tiempo (n).
2.- Graficar para aclarar el problema.
3.- Identificar la fórmula apropiada según l a variable a identificar.
4.- Homogenizar el periodo de tiempo, si la tasa está expresada en años, el tiempo
también debe ser expresado en años, si la tasa es semestral, el tiempo también debe
ser expresado en semestres; y así sucesivamente. En algunos problemas se deben
convertir las tasas de interés.
El Interés Simple

17. 17
Indicaciones para resolver problemas de Interés Simple.
5.- Las tasas de interés se trabajan en tanto por uno en las fórmulas. Normalmente se
expresan en porcentajes. Basta con dividir el porcentaje (tanto por ciento) entre 100.
6.- Trabajar con todos los decimales posibles. Solamente redondear la respuesta al
problema a dos decimales, en el caso de ser el resultado una tasa de interés,
expresarla en porcentaje.
7.- A efectos del cálculo de tasas diarias, se considera el año comercial (360 días) –
BCRP.
El Interés Simple

18. 18
El Interés Simple
Conversión de tasas de Interés Simple
m = periodos en el año
i anual
i m =
m 4
Ejemplo 1: Calcular la tasa bimestral a partir de 12% anual.
m = 6; i = 12%  i bimestral = 0.12/6 = 0.02 = 2%
Ejemplo 2: Calcular la tasa mensual a partir de 18% anual.
m = 12; i = 18%  i bimestral = 0.18/12 = 0.015 = 1.5%
Ejemplo 3: Calcular la tasa anual a partir de 2.5% mensual.
m = 12; i mensual = 2.5%  i bimestral = 0.025*12 = 0. 30 = 30%
Ejemplo 4: Calcular la tasa diaria a partir de 24% anual.
m = 360; i = 24%  i bimestral = 0.24/360 = 0.000667 = 0.067%
Ejemplo 5: Calcular la tasa anual a partir de 0.05% diaria.
m = 1; i = 0.05%  i bimestral = 0.0005*360 = 0.18 = 18%

19. 19
El Interés Simple
Conversión de tasas de Interés Simple
i anual
I mensual =
12
i anual =i mensual x 12
i anual
i trimestral =
4
i anual
i bimensual =
6
i anual =i trimestral x 4i anual =i bimensual x 6
i anual
i diario =
360
i anual =i diario x 360

20. VÍDEO
INTERÉS SIMPLE con problemas de ejemplo - Matemáticas Financieras - academia JAF
https://www.youtube.com/watch?v=jvR8DhKw8FE&t=204s
20

21. Calcular el interés simple comercial de:
$2.500 durante 8 meses al 8% mensual.
1.-
Ejemplos de Interés Simple

22. Calcular el interés simple comercial de:
$2 500 durante 8 meses al 8% mensual.
Entonces:
P = $2 500; n = 8 meses; i= 0,08
I = $2 500 * 8 * 0.08 = $133,33 Respuesta
1.-
1 2 3
i= 0,08Capital Inicial (P = $2 500)
Interés (I = $133)
Capital Inicial (P = $2 500)
Meses
0
Ejemplos de Interés Simple

23. Calcular el interés simple comercial de:
$60.000 durante 63 días al 9% anual
2.-
Ejemplos de Interés Simple

24. Calcular el interés simple comercial de:
$60.000 durante 63 días al 9% anual.
I =$60.000; t =63 días; i =0,09
I = $60.000 * 63 * 0.09 = $ 945 Respuesta
360
2.-
Ejemplos de Interés Simple

25. Calcular el interés simple comercial de:
$12.000 durante 3 meses al 8½ % anual.
3.-
Ejemplos de Interés Simple

26. Calcular el interés simple comercial de:
$12.000 durante 3 meses al 8½ % anual.
C =$12.000; t =3 meses; i =0,085
I = $12.000 * 3 * 0.085 = $ 255 Respuesta
12
3.-
Ejemplos de Interés Simple

27. Calcular el interés simple comercial de:
$5.000 durante 3 años, 2 meses y 20 días al
0,75% mensual.
4.-
Ejemplos de Interés Simple

28. Calcular el interés simple comercial de:
$5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75%
mensual.
C = 5.000
i = 0,0075 mensual = 0,0075/30 diaria = 0.00025
diaria
t = 3años *360 días = 1080 días
2 meses * 30 días = 60 días
+ 20 días = 1180 días
I = $5,000 * 1180 * 0.00025 = $1.450 Respuesta
4.-

29. Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de
$2.400, con 4.5 % de interés. ¿Cuántos días
estuvo endeudado?
4.-
Ejemplos de Interés Simple

30. Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400,
con 4.5 % de interés. ¿Cuántos días estuvo
endeudado?
S = $ 2500.20
P = $ 2400.0
i = 0,045 anual
n = ?
I = $2500.20 – $2400 = $100.20
100.20 = 2400 * n * 0.045 ==> n = 0.92777 años
n = 0.92777 año x 1 año/360 días = 334 días.
5.-
Ejemplos de Interés Simple

31. Ecuaciones de Valor a Interés Simple

32. VÍDEO
13_MatFin Interés Simple 8: Ecuaciones de Valor Equivalente (ejemplos)
https://www.youtube.com/watch?v=JjuCxfUvKlY
32

33. Una ecuación de valor es la equivalencia financiera, planteada en
términos algebraicos y en una fecha determinada, entre dos
conjuntos de obligaciones o flujos de capitales cuyos vencimientos
coinciden o se han hecho coincidir. En general, estos conjuntos
vienen relacionados a un flujo de deudas y el otro al de los pagos,
o bien, uno se refiere a los depósitos y el otro, a los retiros
producidos en una cuenta bancaria, así como también, se
presentan casos de transacciones en las que un deudor desea
reemplazar un conjunto de pagos que debe efectuar a un
determinado acreedor, por otro conjunto que sea equivalente, pero
con otras cantidades y fechas de vencimiento. La igualdad o el
planteamiento antes señalado es lo que se conoce como una
ecuación de valores equivalentes, o simplemente, una
ecuación de valor.
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
33

34. Una ecuación de valor se fundamenta en que el dinero tiene un valor
que depende del tiempo. Por tal razón, al plantearla se debe
respetar la Regla Fundamental de la Suma Financiera de Capitales :
“Dos o más capitales financieros no pueden sumarse mientras no
coincidan sus vencimientos”
A ese vencimiento o fecha de referencia se le llama FECHA FOCAL.
Cuando se hayan llevado todos los capitales a la fecha focal
acordada, podemos plantear una ecuación de valor y determinar, a
partir de ésta, los capitales de cuantía desconocida.
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
34

35. Para facilitar la solución de los problemas financieros que se
resuelven planteando una ecuación de valor, es conveniente utilizar
lo que se conoce como los diagramas tiempo-valor. Estos
consisten en una línea horizontal con una escala de tiempo en
años, meses, días, etc., dependiendo del problema y en ella se
indican las sumas de dinero de los dos conjuntos de capitales en
sus correspondientes vencimientos. Un conjunto se representa con
flechas que se colocan arriba del eje del tiempo del diagrama
tiempo-valor y, el otro conjunto, con flechas que se colocan abajo.
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
35

36. Ecuaciones de valor
Es muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra u
otras nuevas obligaciones. La solución de este tipo de problemas se plantea
en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados
en una sola fecha denominada fecha focal. En la fecha focal debe plantearse
entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que la suma
algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia
financiera.
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
años
DIAGRAMA DE FLUJOS DE EFECTIVO
0 1 2 3 4 5Fecha Focal
36

37. Al resolver problemas financieros es muy útil utilizar un eje temporal para
volcar en él todos los datos; fechas, ingresos, egresos, saldo, tasas vigentes, etc.
Para plantear la ecuación de balance o de valor, se deben valorar todos los
ingresos, egresos y el saldo en la fecha focal.
años
DIAGRAMA DE FLUJOS DE EFECTIVO
0 1 2 3 4 5Fecha Focal
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
37

38. Veamos un
Ejemplo:
GustavoMesase habíacomprometidoapagarhoy lasumade $120,000y $80,000
dentrode 2años. Ante laimposibilidadde honrardichoscompromisosenlaforma
pactada, el acreedoraccedióaunrefinanciamientoenbase aunatasadel 18%
de interéssimple anual, aceptandolacancelaciónde dichasdeudas
mediante unpagode $110,000dentrode 4añosy unpagofinal en5años.
Determinarel importe del últimopago.
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
38

39. Solución:
Sabemos que no es el mismo valor de una unidad monetaria en el
presente que en el futuro, por tanto:
Se debe escoger fecha en la cual se puedan comparar los flujos de
efectivo una (fecha focal).
Actualizaremos los importes de efectivo al día de hoy (año 0)
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
39

40. P1 + P2 i anual = 18%
P3 + P4
DIAGRAMA DE FLUJOS DE EFECTIVO
0
S1 = 120,000
1 2 3 4 5
S2 = 80,000
S3 =110,000
S4 = X
Fecha Focal
Veamos el planteamiento del problema gráficamente:
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
40

41. Respuesta: Deberá hacer un pago de $ 185, 113.54 al final del año 5.
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
Solución:
Datos: S1= 120,000 n1 = 0 años i = 0.18
S2= 80,000 n2 = 2
S3= 110,000 n3 = 4
S4= X n4 = 5
Fórmulas:
I = P * i * n
S = P + I
S = P [ 1+ (i*n)] P = S / [1 +(i*n)] P = S * [(1 +(i*n)]-1
Establecemos la siguiente ecuación.
P1 +P2 = P3 + P4
Cálculos:
120,000 / [1 + (0.18 * 0)]+ 80,000 / [1 + (0.18 * 2)] = 110,000 / [1 + (0.18 * 4)] + S4 / [1 + (0.18 * 5)]
120,000 * [1 + (0.18 * 0)]
-1
+ 80,000 * [1 + (0.18 * 2)]
-1
= 110,000 * [1 + (0.18 * 4)]
-1
+ S4* [1 + (0.18 * 5)]
-1
120,000 + 80,000 *1.36-1
= 110,000 x 1.72-1
+ S4 * 1.90-1
S4 = (120,000 + 58,823.23 - 81395.35 ) / 1.9-1
S4 = 97,428.18 / 1.9
-1
S4 = 97,428.18 * 1.9
S4 = 185,113.54
41

42. Ejercicio 2
Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de cuatro meses, $1.500.000 dentro de nueve meses y
$1.750.000 dentro de un 10 meses. La persona desea efectuar un solo pago de $3.600.000 para cancelar las
tres obligaciones. Si la tasa de interés es del 16.5% anual, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.
DIAGRAMA DE FLUJOS DE EFECTIVO
meses
P3 + P4
Fecha Focal
0 1 2 3 4 5
S4 = 3'600,000
S1 =1'000,000
Fecha Focal
6 7 8 9 10
S2 =1'500,000
S3 =1'750,000
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
42

43. Solución:
Datos: S1 =1'000,000 n1 = 4 meses i = 0.165
S2 =1'500,000 n2 = 9
S3 =1'750,000 n3 = 10
S4 = 3'600,000 n4 = X
Fórmulas:
I = P * i * n
S = P + I
S = P [ 1+ (i*n)] P = S / [1 +(i*n)] P = S * [(1 +(i*n)]-1
Establecemos la siguiente ecuación.
P1 +P2 + P3 = P4
Cálculos:
1'000,000 / [1 + (0.165 * 4/12)]+ 1'500,000 / [1 + (0.165 * 9/12)] + 1'750,000 / [1 + (0.165 * 10/12)] = 3'600,000 / [1 + (0.165 * n)]
1'000,000 * [1 + (0.165 * 4/12)]-1
+ 1´´500,000 * [1 + (0.165 * 9/12)]-1
= 1'750,000 * [1 + (0.165 * 10/12)]-1
= 3'600,000 * [1 + (0.165 * n)]-1
947.867,30 + 1.334.816,46 + 1.538.461,54 = 3.600.000 + (3.600.000 * 0.165)n
947.867,30 + 1.334.816,46 + 1.538.461,54 = 3.600.000 + 594.000 n
221.145,3 = 594.000 n
n = 0,3722984848 años n = 4,4675818182 meses (x 12 meses) n = 4 meses y 4 días (x 30 días)
Ecuaciones de Valor a Interés Simple
43

44. GRACIAS POR SU ATENCIÓN