Muestreo por atributos

1. GESTION DE CALIDADGESTION DE CALIDAD
Mgr. J.Rubén Garcia Molina

2. Muestreo simple por atributos
Este tipo de planes son los difundidos en la práctica
comercial ya que son a la vez versátiles y sencillos de
aplicar.
Para definir un plan de muestreo simple por atributos
es necesario fijar dos parámetros: el tamaño de la
muestra n y el número de aceptación c. Cualquier lote
que presente una muestra con más de c unidades
disconformes es rechazado.
2

3. Control de Calidad:
Desde la primera fase del desarrollo industrial, los productores fabrican
buscando la Calidad, y los consumidores se benefician de ésta.
Una de las primeras herramientas y técnicas utilizadas para alcanzarla, fue la
inspección de lotes de materias primas, insumos y producto terminado.
Al principio la inspección era total, a medida que los volúmenes producidos
crecen, los costos se incrementan exponencialmente, por tanto, es necesario
efectuar MUESTRAS.

5. Muestreo aleatorio: los elementos de la muestra se seleccionan por
métodos aleatorios inspirados en el azar.
Muestreo no aleatorio: la muestra se selecciona ordinariamente, de
acuerdo con ciertas reglas de antemano.
Muestreo aleatorio simple: Está fundamentado en el puro azar. LasMuestreo aleatorio simple: Está fundamentado en el puro azar. Las
unidades muestrales son elegidas aleatoriamente y sin que la elección de una
influya en las siguientes.
Dicha muestra es obtenida unidad a unidad, sin reposición de éstas a la
población después de cada selección.

6. Lote: conjunto de N artículos
terminados, siendo N un valor grande,
dispuesto para ser vendido
Muestra: conjunto de n artículos (n<<N) extraídos de
dicho lote con el fin de evaluar la calidad del lote completo

7. Modelos probabilísticos en el muestreo
por atributos
El valor de la variable aleatoria x, número de piezas defectuosas
contenido en una muestra de una población viene dado por una
distribución hipergeométrica



 −



 MNM
donde M es la cantidad de piezas defectuosas en el lote de N
unidades; x es la cantidad de defectuosas en la muestra de
n unidades.
7












−





=
n
N
xnx
xP )(

8. Modelos probabilísticos en el muestreo
por atributos
Cuando el tamaño del lote N es grande respecto al tamaño
de la muestra n, la distribución puede aproximarse por una
binomial
Donde p es la proporción de defectuosos en la muestra y pA
es la proporción de defectuosos del lote o población.
Esta distribución será mas cercana a la realidad desde el
punto de vista del productor, porque el productor
administra grandes cantidades, es decir N grande.
8
xnx
pp
x
n
xP −
−





= )1()(

12. Riesgos mínimos

14. Curvas características de operación (CO)
Las curvas CO muestran la probabilidad de aceptación
del lote como función de la fracción defectuosa
contenida en este.contenida en este.
A cada plan de muestreo (o sea, a cada par de valores n
y c) le corresponde una curva CO distinta.
Usualmente, la elección de un plan se basa en su curva
CO.
14

15. Curvas características de operación
(cont.)
Por ejemplo, la curva CO para el plan con N = 1000, n =
89 y c = 2 es
1.0
15Proporcion de defetos en el lote
Probabilidaddeaceptaciondellote
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.00.20.40.60.8

17. Curvas características de operación
(cont.)
Suele distinguirse entre curvas CO de tipo A o curvas
CO del consumidor cuando las mismas se construyen a
partir de la distribución hipergeométrica y curvas COpartir de la distribución hipergeométrica y curvas CO
tipo B o curvas CO del productor cuando las mismas se
construyen a partir de la distribución binomial.
17

18. Curvas características de operación
(cont.)
Curvas CO tipo A y B para n = 25 y c = 0.
0.81.0
18Proporcion de defetos en el lote
Probabilidaddeaceptaciondellote
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.00.20.40.60.8
N=100
N=Infinito

19. Curvas características de operación
(cont.)
Como la diferencia entre las curvas mostradas es
pequeña, en la práctica los planes se diseñan basándose
las curvas tipo B. Estos permite diseñar los planeslas curvas tipo B. Estos permite diseñar los planes
independientemente del tamaño del lote.
Sin embargo debe recordarse que para el consumidor
esto es una aproximación cuya validez debe verificarse
en cada caso.
19

20. Curvas características de operación
(cont.)
Curvas CO con relación n/N fija y c = 0.
1.0
N = 50,n = 5
N = 100,n = 10
N = 200,n = 20
N = 1000,n = 100
20
Proporcion de defetos en el lote
Probabilidaddeaceptaciondellote
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.00.20.40.60.8
N = 1000,n = 100

24. Diseño de planes de muestreo
El diseño clásico de planes de muestreo se basa en la
especificación de algunos puntos dentro de la curva
CO.
NAC: nivel de calidad aceptable, es el peor nivel de
calidad que el consumidor considera aceptable comocalidad que el consumidor considera aceptable como
media del proceso
24
• α: riesgo del productor, es la probabilidad de que el
plan rechace un lote con una proporción defectuosa igual
al NAC. Se desea que sea bajo para proteger al productor.

26. NCL (NTC): nivel de calidad limitativo, es el
peor nivel de calidad que el consumidor
considera aceptable en un lote individual.
β: riesgo del consumidor, es la probabilidad deβ: riesgo del consumidor, es la probabilidad de
que el plan acepte un lote con una proporción
defectuosa igual al NCL. Se desea que su valor
sea pequeño ya que se trata del tope aceptable
por el consumidor.
26

27. Diseño de planes de muestreo (cont.)
Una vez que se fijan estos cuatro valores la curva
característica está determinada en forma única y por
tanto el plan de muestreo también. Para obtener n y c
hay que resolver las ecuaciones:hay que resolver las ecuaciones:
27
∑
∑
=
−
=
−
−
−
=
−
−
=−
c
x
xnx
c
x
xnx
NCLNCL
xnx
n
NCANCA
xnx
n
0
0
)1(
)!(!
!
)1(
)!(!
!
1
β
α

28. Diseño de planes de muestreo (cont.)
Si NAC < NCL y β < 1 - α, este par de ecuaciones
siempre tienen solución (aunque no en forma
explícita). Sin embargo, dependiendo de cómo se fijen
los parámetros anteriores es posible que el plan sealos parámetros anteriores es posible que el plan sea
irrealizable en la práctica.
En general mientras más cercanos sean el NAC y el
NCL mayor será el tamaño de la muestra n y, por tanto,
más complejo el plan.
28

29. Plan de muestreo simple
Encontrar n y c
Solución analítica
Metodología por las normasMetodología por las normas
norteaméricanas ANSI/ASQC Z1.4
Empleando ISO como NB/ISO 2859:1:2009

30. NormaNorma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4)
Es una norma militar americana publicada en 1963.
Presenta planes de muestreo simples, dobles y
múltiples.
Está basado en el NAC.Está basado en el NAC.
Se puede utilizar para controlar la proporción de
defectos o el número de defectos por unidad.
Posteriormente es denominada por las normas
norteaméricanas ANSI/ASQC Z1.4
Finalmente adoptada por la ISO como NB/ISO
2859:1:2009
30

31. Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4)
(cont.)
Determinar el nivel de inspección, el cual está
relacionado con el tamaño muestral. Usualmente se
utiliza el nivel II pero el nivel III se usa cuando el costo
de inspección es bajo y el nivel I cuando el costo es
alto. Los planes especiales se utilizan con ensayos sonalto. Los planes especiales se utilizan con ensayos son
destructivos, en los cuales se desean tamaños
mínimos.
Determinar el tamaño del lote.
31

32. Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4) (cont.)
Hallar la letra código del plan.
32

33. Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4) (cont.)
Planes para muestreo simple con nivel de inspección
normal.
33

34. Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4) (cont.)
Elegir el número de muestras del plan de muestreo:
simple, doble o múltiple.
Elegir el NAC (en porcentaje).
Seleccionar el tipo de inspección (normal, reducida oSeleccionar el tipo de inspección (normal, reducida o
severa). El plan contiene reglas para saltar entre los
distintos planes (ver siguiente lámina).
Usando el NAC y la letra código determinar el plan a
partir de las tablas.
34

35. Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4) (cont.)
Si en la posición correspondiente no se encuentra
ningún plan, seguir la flecha hasta encontrar uno. Se
debe tomar entonces el nuevo tamaño muestral y el
nuevo número de aceptación.
Si tamaño muestral es mayor que del lote, realiceSi tamaño muestral es mayor que del lote, realice
inspección al 100%.
35

36. Norma ANSI/ASQC Z1.4 o ISO 2859:1:2009 (cont.)
Se rechazan 2 de 5
lotes consecutivos
Se aceptan 10
lotes consecutivos
Inicio
36
Reducida Normal Severa
Se aceptan 5
lotes consecutivos
Se rechaza 1 lote o
la producción es irregular
10 lotes
consecutivos
bajo
inspecdión
estricta
Interrupcción

37. Planes de muestreo dobles por
atributos
En estos planes la decisión tras observar la primera
muestra tomada del lote puede ser aceptarlo,
rechazarlo o tomar una segunda muestra. Si esto
último se decide entonces la aceptación o el rechazo seúltimo se decide entonces la aceptación o el rechazo se
basan en la información proveniente de ambas
muestras.
37

38. Planes de muestreo dobles por
atributos (cont.)
Así pues, para determinar un plan de muestreo doble
es necesario fijar cuatro valores: el tamaño de la
primera muestra (n1), el número de aceptación de laprimera muestra (n1), el número de aceptación de la
segunda muestra (c1), el tamaño de la segunda
muestra (n2) y el número de aceptación para ambas
muestras combinadas (c2).
38

39. Planes de muestreo dobles por
atributos (cont)
Si llamamos di al número de defectos en la i-ésima
muestra podemos resumir así:
Tomar muestra Tomar muestra Rechazar lote
39
¿ d1 ≤ c1? ¿ d1 > c2?
¿ d1 + d2 ≤ c2?
Tomar muestra
de tamaño n1
Tomar muestra
de tamaño n2
Aceptar lote Rechazar lote
Rechazar lote
Aceptar lote
SI SI
SI
NO
NO
NO

40. Planes de muestreo dobles por
atributos (cont)
Dos ventajas de estos planes son:
Cuando se utiliza reducción en la segunda muestra
pueden haber ahorros importantes.pueden haber ahorros importantes.
Sicológicamente son más fáciles de aceptar ya que estos
planes le dan al lote una segunda oportunidad.
La principal desventaja de los planes dobles es que
requieren mayor planificación previa.
40

41. Curvas CO para planes de
muestreo dobles
El cálculo de las curvas CO es ahora más complejo.
Llamando Xi al número de disconformes en la i-ésima
muestra (i = 1,2) entonces Pa, la probabilidad de
aceptación del lote, es:aceptación del lote, es:
41
∑ ∑∑
∑
=
−
==
=
==+==
−≤=+≤=
≤<≤+≤<+≤=
2
1
21
2
1
0
21
0
1
22111
21122121111
)()()(
)()()(
)|()()(
c
cd
dc
s
c
d
c
cd
a
sXPdXPdXP
dcXPdXPcXP
cXccXXPcXcPcXPP

42. Curvas CO para planes de
muestreo dobles (cont.)
Igualmente existen curvas tipo A (cuando se usa la
distribución hipergeométrica para las Xi) o tipo B
(cuando se usa la distribución binomial).
Muchas veces se incluye también una curva CO para la
primera y para la segunda muestras por separado, las
cuales se hayan de la misma forma que se hizo en los
planes simples.
42

43. Curvas CO para planes de
muestreo dobles (cont.)
Por ejemplo, para el plan n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100, c2 =
3 las curvas tipo B son:1.0
0.0
Prob. acep. combinada
43
Proporcion disconforme en el lote
Probabilidaddeaceptacion
0.0 0.05 0.10 0.15
0.00.20.40.60.8
1.00.80.60.40.2
Prob. acep. combinada
Prob. acep. 1°muestra
Prob. rech. 1°muestra (derecha)

44. Curvas CO para planes de
muestreo dobles (cont.)
Es importante destacar que la probabilidad de
aceptación y rechazo en la primera muestra no suman
1, ya que se le da oportunidad a tomar una segunda
muestra.muestra.
El diseño en este caso también se hace especificando
NAC, α, NCL y β. Sin embargo la solución de las
ecuaciones es en este caso más complicado.
44

45. Curvas del número muestral medio
Es importante conocer cual es el número promedio de
inspecciones que se van a realizar bajo el plan de
muestreo doble, como función del verdadera
proporción disconforme en lote. Si las dos muestrasproporción disconforme en lote. Si las dos muestras
se toman completamente, el cálculo es muy sencillo a
partir de las curvas CO:
45
)( 1121 cXPnnNMM >⋅+=

46. Curvas del número muestral medio (cont.)
Sin embargo, cuando se utiliza reducción (es decir, si
se interrumpe la toma de la segunda muestra cuando
el total de disconformes supera a c2) el número
muestral medio es menor y el cálculo es más
2
muestral medio es menor y el cálculo es más
engorroso.
Note que la reducción podría utilizarse también en
planes de muestreo simple.
46

47. Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4) (cont.)
Ejemplo 7: suponga que se espera recibir lotes de
2.000 de un proveedor nuevo, y que la gerencia ha
decido soportar un NAC de 0.1%. Le piden que
determine un plan de muestreo para investigar la
calidad de los artículos del proveedor. Tome en cuentacalidad de los artículos del proveedor. Tome en cuenta
que la inspección de este tipo de productos es muy
fácil y barata.
47

48. Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4) (cont.)
Para obtener la letra código del plan necesitamos el
tamaño del lote N (el cual conocemos) y el nivel de
inspección. Como la inspección de estos artículos es
sencilla y barato, podemos utilizar un nivel de
inspección III, lo cual implica que el tamaño deinspección III, lo cual implica que el tamaño de
nuestras muestras n va a ser un poco más grandes que
con cualquier otra alternativa.
48

49. Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4) (cont)
Una vez que obtenemos la letra código L, lo único que
necesitamos es determinar el nivel de inspección.
Como se trata de un nuevo proveedor, escogemos un
nivel normal. Entrando en la tabla correspondiente,
con un NAC de 0.1 y la la letra código L, el plan decon un NAC de 0.1 y la la letra código L, el plan de
muestreo simple correspondiente es n = 150 y c = 0
(como no hay plan, se sigue la flecha)
49