Guía integrales por partes, material didáctico para la enseñanza del método de integrales por partes.

1. 1
Cálculo Integral
el Transporte
Guía: Método de Integración por partes

2. 2
Cálculo Integral
el Transporte
La formula de la deriva de un producto o, equivalente , la
formula diferencial de un producto , nos permite obtener
otra técnica para resolver integrales, llamada integración
por partes. La utilidad de esta técnica radica en el hecho
de que permite cambiar una integral complicada por otra
mas sencilla.
Método de Integración por partes

3. 3
Cálculo Integral
el Transporte
Si u=u(x) y v=v(x) son funciones continuas y diferenciables, entonces:
Demostración:
න 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣𝑑𝑢
Sabemos que la diferencial del producto uv es:
𝑑 𝑢𝑣 = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢
De donde:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
Integrando obtenemos lo buscado:
න 𝑢𝑑𝑣 = න 𝑑 𝑢𝑣 − න 𝑣𝑑𝑢
Por tanto:
න 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣𝑑𝑢

4. 4
Cálculo Integral
el Transporte
Regla nemotécnica:
Sin cola
Para recordar...

5. 5
Cálculo Integral
el Transporte
Ejemplo 1:
න 𝑥2 ln 𝑥𝑑𝑥 =
𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = න 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3
𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥
න 𝑥2
ln 𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑥
1
3
𝑥3
− න
1
3
𝑥3
1
𝑥
𝑑𝑥
න 𝑥2 ln 𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑥
1
3
𝑥3 −
1
3
න 𝑥2𝑑𝑥
න 𝑥2 ln 𝑥𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3 ln 𝑥 −
1
9
𝑥3 + 𝐶
න 𝑥2𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3
න 𝑥2
ln 𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑥
1
3
𝑥3
−
1
3
1
3
𝑥3
+ 𝐶

6. 6
Cálculo Integral
el Transporte
Regla de ILATE
A las funciones las agrupamos en 5 clases, las ordenamos en forma
descendiente en función de la dificulta para encontrar su antiderivada:
u
dv
La regla de ILATE expresa que el integrando como
el producto de dos funciones de distinta clase.
Localice estas funciones en su categoría dada por
ILATE. A la función que queda arriba le
corresponde u y a la función que queda abajo le
corresponde dv.
ILATE funciona en un buen numero de problemas,
pero no siempre es exitosa, en caso de no
funcionar pruebe el ensayo y el error.

7. 7
Cálculo Integral
el Transporte
Ejemplo 2:
න 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = න cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥𝑑𝑥
න 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − න sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − − cos 𝑥 + 𝐶 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
න sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥

8. 8
Cálculo Integral
el Transporte
Referencias
Piskunov, N. (1978). Calculo Diferencial e Integral (4a. ed.). URSS: MIR.
Saenz, J. (2009). Calculo Integral (Segunda ed.). Barquisimeto, Lara,
Venezuela: Hipotenusa.