Derivada de una función

1. SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra
visión de ser competitivos e innovadores para tener
acreditación internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.”
MATEMÁTICAI
DERIVADA
DE UNA
FUNCIÓN
1

2. 2
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
h
xfhxf
m sL
)()( 00 +


3. 3
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

4. 4
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

5. 5
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

6. 6
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

7. 7
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

8. 8
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

9. 9
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

10. 10
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

11. 11
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

12. 12
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

13. 13
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

14. 14
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

15. 15
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

16. 16
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

17. 17
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

18. 18
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

19. 19
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

20. 20
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

21. 21
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

22. 22
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

23. 23
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

24. 24
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

25. 25
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

26. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
26
Llegamos a la Tangente!!!
A partir de la gráfica, la recta
tangente tiene como pendiente:
h
xfhxf
Limm
h
LT
)()( 00
0
+


TLmtan

27. • La derivada de una función en el punto
es y representa la pendiente de la recta
tangente en el punto. Es decir:
27
x
xfxxf
Limxf
x 
+


)()(
)( 00
0
0
'
f ),( 000 yxP
)( 0xf 
Si cambiamos por y por tenemos:
h
xfhxf
Limxf
h
)()(
)(
0
' +


0x x x h

28. 28
OTRAS NOTACIONES DE LA
DERIVADA SON:
y )(xf
dx
d
 y
dx
d
 fDx

29. 29
)(3)1 xfxf +
)1(
12
2
)3 


 f
x
x
f
)1(42)2 fxf +

30. 30
Sea k constante, funciones
diferenciables en el intervalo I. Entonces:
)()( xgyxf
,0k
dx
d
  )(')(')()( xgxfxgxf
dx
d

  1
 kk
kxx
dx
d
  )(')( xkfxkf
dx
d

8)()1 xf  )(xf 0
5
)()2 
 xxf  )(xf 6
5 
 x
3
7)()3 xxf   )(xf
22
21)3(7 xx 
33
1
4)()4 
 xxxf
 )(xf 43
2
12
3
1 

+ xx
EJEMPLOS

31. 31
1;63)()1 24
+ xxxxf
3;
1
3)()2 3
++ x
x
xxxf
64;
725
)()3 2
63

+
 t
t
ttt
tf
   0;752)()4 23
++ uuuuuf

32. 32
  )(').()().(')().( xgxfxgxfxgxf
dx
d
+
Calcular la derivada de la siguiente función
  523)( 13
++ 
xxxxf
Derivando:
 22
23 
 xx
 )(xf  
3x  52 13
++ 
xx )3( + x  
++ 
52 13
xx
 )(xf 1  52 13
++ 
xx )3( + x
Simplificando:
)23)(3(52)( 2213 
+++ xxxxxxf

33. 33
 2
)(
)(').()().('
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
d 






Calcular la derivada de la siguiente función
26
3
)( 5
3
+

 
xx
xx
xf
Derivando
 )(xf
 
 xx 33
 26 5
+ 
xx )3( 3
xx 
)´(xf
 
+ 
26 5
xx
 25
26 + 
xx
 33 2
x  26 5
+ 
xx )3( 3
xx   6
301 
+ x
 25
26 + 
xx

34. 34
  )()()( 1
xfxnfxf
dx
d nn
 
Calcular la derivada de la siguiente función
 52
13)( + xxxf
Derivando
 )(xf  42
135 + xx  
+ 132
xx
 )(xf  42
135 + xx  32 +x

35. 35
  axfaa
dx
d xfxf
ln)(')()(
   )(')()(
xfee
dx
d xfxf

Derivando
 )(xf
 )(xf
xx
xf 243
32)( 
+
x3
2 x24
3 
+)3( x 2ln )24(  x 3ln
x3
2 3 2ln x24
3 
+ )2( 3ln
Calcular la derivada de la siguiente función
3ln.3.22ln.2.3)( 243 xx
xf 


36. 36
  axfaa
dx
d xfxf
ln)(')()(
   )(')()(
xfee
dx
d xfxf

653 12
)( + 
 xx
exf
Derivando
 )(xf
653 12
+ 
xx
e )653( 12
+ 
xx
 )(xf 653 12
+ 
xx
e )56( 2
+ xx
Calcular la derivada de la siguiente función

37. 37
xnxn
lnln)1 
yxyx lnln).ln()2 +
yx
y
x
lnlnln)3 





1log)6 aa
xxe lnlog)5 
1ln)7 e
xex
ln)10
01ln)9 
01log)8 a
b
a
ab
ln
ln
log)4  (cambio de base)

38. 38
 
)(
)('
)(ln
xf
xf
xf
dx
d
  
axf
xf
xf
dx
d
a
ln)(
)('
)(log 
Calcular la derivada de la siguiente función
)2(log3logln 2
3
7
xxxy ++
Derivando
y
 
7
7
x
x

3
)'3(
+
 
  3ln2
2
2
2
xx
xx



+
y 7
6
7
x
x
  3ln2
22
2
xx
x


+
  3ln22
227
xx
x
x
y


+
0+

39. 39
ba
x
ba
x
xf


+

24
)(
2 3 2 4
( ) (2 1) (3 2 1)f x x x x   +
72
12
53







++

x
xx
y
3 2
1)( ++ xxxf
2
(2 5 1)
( )
(1 )
x x
f x
x
 +


52
)17ln(  xxy
 bxxxf 74log)( 234
2 ++
2 1 2
3 2
(5 4)
( )
(2 )
x
x
e x
f x
e x
+
 +

+
)1(
)1ln( +
+ x
xy
xxxxy 24)52ln( 23
++

40. 40
• La recta tangente es una recta que corta
en un punto a una curva.
• La ecuación de la recta tangente L T a la
función f (x) en el punto ( x 0 , y 0 ) con
pendiente m LT está dada por :
• Reemplazando por el concepto de
derivada:

41. 41
2
'( ) 3(0) 4(0) 3 3f x  +   
( 6) 3( 0)y x+   
3 6 0x y+ + 
2
2
( ) ( 3)( 2)
'( ) 3 4 3
f x x x
f x x x
  +
 + 

42. 42
• La recta normal es una recta perpendicular a la
recta tangente.
• La ecuación de la recta normal L T a la función
f (x) en el punto ( x 0 , y 0 ) con pendiente m LT
está dada por :
• Reemplazando por el concepto de derivada:
)(
1
00 xx
m
yy
LT



)(
)('
1
0
0
0 xx
xf
yy 



43. 43
58)('
654)( 2
+
++
xxf
xxxf
mf
f

+
)1('
135)1(8)1('
)1(
13
1
15  xy 019613 + xy

44. 44
2132)()1 + xenxxxf
)(),2(
1
1
)()2 xfkpuntoelen
x
x
xf 

+

2)2()3 )32ln(3
 
xenexy x
)2,1(ln34)4 puntoelenxy +