Cap 3 flexion compuesta

AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
1
RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
CAPITULO 3
FLEXION COMPUESTA
3.1) INTRODUCCION. -
Flexión compuesta, es cuando las cargas aplicadas provocan en la pieza esfuerzos
por flexión y carga axial (compresión y/o tracción).
3.2) ANALISIS GENERAL. -
Se presenta en secciones asimétricas (𝐼𝑥𝑦 ≠ 0).
a) Esfuerzos en flexión compuesta
𝜎 =
𝑁
𝐴
+ (
𝑀𝑥𝐼𝑦 − 𝑀𝑦𝐼𝑥𝑦
𝐼𝑥𝐼𝑦 − 𝐼𝑥𝑦
2 ) 𝑦 + (
𝑀𝑦𝐼𝑥 − 𝑀𝑥𝐼𝑥𝑦
2 ) 𝑥
b) Posición del eje neutro (𝜎 = 0)
𝑁
𝐴
+ (
2 ) 𝑦 + (
2 ) 𝑥 = 0
Recta de la forma 𝑐 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0
Si 𝑦 = 0 → 𝑥𝑜 = −
𝑐
𝑏
Si 𝑥 = 0 → 𝑦𝑜 = −
𝑐
𝑎
Forma canónica
𝑥
𝑥𝑜
+
𝑦
𝑦𝑜
= 1
En flexión compuesta el EN se desplaza del centroide de la
sección y se aleja de este a incremento de fuerza normal.

2
Donde:
𝐴, 𝐼𝑥, 𝐼𝑦, 𝐼𝑥𝑦 = Propiedades geométricas de la sección transversal.
𝑀𝑥, 𝑀𝑦 = Momentos flectores en los planos 𝑥, 𝑦.
𝑁 = Fuerza normal.
𝑥𝑜, 𝑦𝑜 = Coordenadas de puntos de intersección del EN con los ejes 𝑥, 𝑦.
𝑥1, 𝑦1 = Coordenadas del punto de análisis.
Los momentos flectores y fuerzas normales se consideran positivos si comprimen
el primer cuadrante de la sección. Los signos de 𝑀𝑥, 𝑀𝑦 se cumplen si las cargas
están orientadas respecto a los ejes locales de la barra y estos a su vez son
dextrógiros y con la convención de signos de resistencia de materiales.
3.3) ANALISIS PARTICULAR. -
Se presenta en secciones simétricas (𝐼𝑥𝑦 = 0).
a) Esfuerzos en flexión compuesta
𝜎 =
𝑁
𝐴
+
𝑀𝑥
𝐼𝑥
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑥
b) Posición del eje neutro (𝜎 = 0)
𝑁
𝐴
+
𝑀𝑥
𝐼𝑥
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑥 = 0
Recta de la forma 𝑐 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0
Si 𝑦 = 0 → 𝑥𝑜 = −
𝑐
𝑏
Si 𝑥 = 0 → 𝑦𝑜 = −
𝑐
𝑎
Los esfuerzos extremos se
producen en los puntos mas
alejados y paralelas al EN.

3
3.4) PERIMETRO DEL NUCLEO CENTRAL. -
El núcleo central es una porción cerrada de la sección transversal limitada por
rectas y/o arcos, que es un lugar geométrico que define la forma de diagrama de
esfuerzos en función de la posición de la carga normal respecto a este perímetro.
a) La carga N esta ubicada fuera del perímetro del núcleo central, por lo tanto, el
EN atraviesa la sección provocando tensiones de compresión y tracción. Si la carga
normal N se aleja del centroide de la sección el EN se aproxima al centroide.
b) La carga N esta ubicada dentro del perímetro del núcleo central, por lo tanto, el
EN no atraviesa la sección provocando tensiones de compresión solamente. Si la
carga normal N se aproxima al centroide de la sección el EN se aleja del centroide.

4
c) La carga N esta ubicada exactamente en un punto del perímetro del núcleo
central, por lo tanto, el EN pasa justo por el perímetro de la sección provocando
tensiones de compresión solamente.
3.5) DETERMINACION DEL PERIMETRO DEL NUCLEO CENTRAL. -
A) ANALISIS GENERAL. - B) ANALISIS PARTICULAR. -
En secciones asimétricas (𝐼𝑥𝑦 ≠ 0). En secciones simétricas (𝐼𝑥𝑦 = 0).
𝑥𝑁 = −
1
𝐴
(
𝐼𝑦
𝑥𝑜
+
𝐼𝑥𝑦
𝑦𝑜
) 𝑥𝑁 = −
𝐼𝑦
𝐴𝑥𝑜
𝑦𝑁 = −
1
𝐴
(
𝐼𝑥
𝑦𝑜
+
𝐼𝑥𝑦
𝑥𝑜
) 𝑦𝑁 = −
𝐼𝑥
𝐴𝑦𝑜
𝑥𝑁, 𝑦𝑁 = Coordenadas de puntos del perímetro del núcleo central.
𝑥𝑜, 𝑦𝑜 = Coordenadas de puntos de intersección del EN con los ejes 𝑥, 𝑦.

5
EJERCICIOS RESUELTOS
E-1] Determinar la dimensión necesaria “R” de la sección transversal de la viga.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Centroide
𝑦𝑐 =
∑𝐴𝑖𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
=
4𝑅2(2𝑅) + 0,5𝜋𝑅2
(𝑅 −
4𝑅
3𝜋
)
5,5708𝑅2
⟶ 𝑦𝑐 = 1,5984𝑅
• Momentos de Inercia
𝐼𝑥 = ∑[𝐼𝑥𝑐𝑖 + 𝐴𝑖(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐)2]
𝐼𝑥 = [
2𝑅(2𝑅)3
12
+ 4𝑅2(2𝑅 − 1,5984𝑅)2
] + [0,1098(𝑅)4
+
𝜋𝑅2
2
(𝑅 −
4𝑅
3𝜋
− 1,5984𝑅)
2
]
𝐼𝑥 = 3,73155𝑅4
Sección transversal
𝜎𝐴𝑑𝑚 = 800 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄
• Áreas
𝐴1 = 2𝑅(2𝑅) = 4𝑅2
𝐴2 =
𝜋(𝑅)2
2
= 0,5𝜋𝑅2
Área total
𝐴 = 4𝑅2
+ 0,5𝜋𝑅2
= 5,5708𝑅2

6
𝐼𝑦 = ∑[𝐼𝑦𝑐𝑖 + 𝐴𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐)2
]
𝐼𝑦 = [
2𝑅(2𝑅)3
12
] + [
𝜋(𝑅)4
8
]
𝐼𝑦 = 1,72603𝑅4
𝐼𝑥𝑦 = 0 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛!!!
2) Determinación de Momentos
Plano horizontal x-z
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/3 Origen 3 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟑, 𝟓 𝒎
• Diagrama de Momentos Flectores (𝑴𝒚)
z M
0 0
1,5 -3
2,167 -3,667
3,5 -1
𝑀 = −2𝑧 + 〈
3(𝑧 − 1,5)2
2
〉𝑧≥1,5
𝑄 = −
𝑑𝑀
𝑑𝑧
= 2 − 〈3(𝑧 − 1,5)〉𝑧≥1,5 = 0
2 − 3(𝑧 − 1,5) = 0
𝑧 = 2,167 𝑚 (𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 4)

7
Plano vertical y-z
Tramo 1/3 Origen 3 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟑, 𝟓 𝒎
• Diagrama de Momentos Flectores (𝑴𝒙)
• SECCION CRITICA
Sección 1 𝑀𝑥 = −17,5 𝑡-𝑚 ; 𝑀𝑦 = −1 𝑡-𝑚
𝑀𝑅 = √(−17,5)2 + (−1)2 ⟶ 𝑀𝑅 = 17,529 𝑡-𝑚
Sección 4 𝑀𝑥 = −10,835 𝑡-𝑚 ; 𝑀𝑦 = −3,667 𝑡-𝑚
𝑀𝑅 = √(−10,835)2 + (−3,667)2 ⟶ 𝑀𝑅 = 11,439 𝑡-𝑚
El mayor momento se da en la sección 1 por lo tanto:
Sección Critica 1 𝑀𝑥 = −17,5𝑥105
𝑘𝑔-𝑐𝑚 ; 𝑀𝑦 = −1𝑥105
𝑘𝑔-𝑐𝑚
Fuerza normal 𝑁 = 40𝑥103
𝑘𝑔
z M
0 0
1,5 -7,5
2,167 -10,835
3,5 -17,5
𝑀 = −5𝑧

8
3) Esfuerzos a flexión compuesta
Análisis particular (𝐼𝑥𝑦 = 0)
𝜎 =
𝑁
𝐴
+
𝑀𝑥
𝐼𝑥
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑥
𝜎 =
40𝑥103
5,5708𝑅2
+ (
−17,5𝑥105
3,73155𝑅4
) 𝑦 + (
−1𝑥105
1,72603𝑅4
) 𝑥
𝜎 = 7180,297𝑅−2
+ (−468974,019𝑅−4)𝑦 + (−57936,421𝑅−4)𝑥
• Posición del EN (𝜎 = 0)
7180,297𝑅−2
+ (−468974,019𝑅−4)𝑦 + (−57936,421𝑅−4)𝑥 = 0
Recta de forma
𝑐 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0
Si 𝑦 = 0 → 𝑥𝑜 = −
𝑐
𝑏
= −
7180,297𝑅−2
−57936,421𝑅−4
⟶ 𝑥𝑜 = 0,1239𝑅2
Si 𝑥 = 0 → 𝑦𝑜 = −
𝑐
𝑎
= −
7180,297𝑅−2
−468974,019𝑅−4
⟶ 𝑦𝑜 = 0,0153𝑅2
𝜑 = tan−1
(
𝑦𝑜
𝑥𝑜
) = tan−1
(
0,0153𝑅2
0,1239𝑅2
) ⟶ 𝜑 = 7,04°

9
Coordenada del punto A
𝑥𝐴 = 𝑅
𝑦𝐴 = 3𝑅 − 1,5984𝑅 → 𝑦𝐴 = 1,4016𝑅
Coordenada del punto B
𝑥𝐵 = 𝑅 sen 𝜑 = 𝑅 sen(7,04°) → 𝑥𝐵 = −0,123𝑅
𝑦𝐵 = 0,5984𝑅 + 𝑅 cos(7,04°) → 𝑦𝐵 = −1,591𝑅
• Determinación de la dimensión necesaria
Punto A 𝑦𝐴 = 1,4016𝑅 ; 𝑥𝐴 = 𝑅
𝜎𝐴 =
7180,297
𝑅2
+ (
−468974,019
𝑅4
)𝑦𝐴 + (
−57936,421
𝑅4
)𝑥𝐴
𝜎𝐴 =
7180,297
𝑅2
+ (
−468974,019
𝑅4
)(1,4016𝑅) + (
−57936,421
𝑅4
)(𝑅)
𝜎𝐴 =
7180,297
𝑅2
−
715250,406
𝑅3
≤ 𝜎𝐴𝑑𝑚 = −800 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
7180,297
𝑅2
−
715250,406
𝑅3
= −800 ⟶ 𝑹 = 𝟗, 𝟑𝟐𝟑𝟐 𝒄𝒎
Punto B 𝑦𝐵 = −1,591𝑅 ; 𝑥𝐵 = −0,123𝑅
𝜎𝐵 =
7180,297
𝑅2
+ (
−468974,019
𝑅4
)𝑦𝐵 + (
−57936,421
𝑅4
)𝑥𝐵
𝜎𝐵 =
7180,297
𝑅2
+ (
−468974,019
𝑅4
)(−1,591𝑅) + (
−57936,421
𝑅4
)(−0,123𝑅)
𝜎𝐵 =
7180,297
𝑅2
+
753263,844
𝑅3
≤ 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 800 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)
7180,297
𝑅2
+
753263,844
𝑅3
= 800 ⟶ 𝑹 = 𝟏𝟎, 𝟏𝟎𝟕 𝒄𝒎
Respuesta: La dimensión necesaria “R” será la mayor, por tanto 𝑅 = 10,107 𝑐𝑚

10
E-2] Determinar la máxima carga 𝑃 (𝑡) y excentricidad 𝑒 (𝑐𝑚) en la columna de
manera que las tensiones sean únicamente de compresión e inferiores al esfuerzo
admisible 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 25 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ . Analizar la sección en la base de la columna.
SOLUCION
• Área total
𝐴 = 𝐴1 − 𝐴2 + 2𝐴3 − 2𝐴4 = 3000 − 1800 + 2(450𝜋) − 2(162𝜋)
𝐴 = 3009,557 𝑐𝑚2
• Áreas
𝐴1 = 50(60) = 3000 𝑐𝑚2
𝐴2 = 50(36) = 1800 𝑐𝑚2
𝐴3 =
𝜋(30)2
2
= 450𝜋 𝑐𝑚2
𝐴4 =
𝜋(18)2
2
= 162𝜋 𝑐𝑚2

11
• Centroide
En la interseccion de los ejes 𝑥 y 𝑦.
𝐼𝑥 = [
50(60)3
12
] − [
50(36)3
12
] + 2 [
𝜋(30)4
8
] − 2 [
𝜋(18)4
8
]
𝐼𝑥 = 1259324,555 𝑐𝑚4
]
𝐼𝑦 = [
60(50)3
12
] − [
36(50)3
12
] + 2 [0,1098(30)4
+ 450𝜋 (25 +
4(30)
3𝜋
)
2
] −
−2 [0,1098(18)4
+ 162𝜋 (25 +
4(18)
3𝜋
)
2
]
𝐼𝑦 = 3345958,598 𝑐𝑚4
𝐼𝑥𝑦 = 0 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛!!!
Plano x-z Plano y-z
No existen cargas en este plano
En la base de la columna
𝑁 = 𝑃
𝑀𝑥 = 0
𝑀𝑦 = 𝑃𝑒

12
• Diagramas de Fuerzas Internas
3) Determinación de la excentricidad “e”
Según las condiciones del problema, las tensiones deben ser únicamente de
compresión, por lo tanto, para que se cumpla esta condición la carga “P” debe
ubicarse dentro o en el perímetro del núcleo central, entonces el diagrama de
tensiones será de forma triangular y el EN pasara justo por el perímetro de la
sección en el cuadrante opuesto donde se aplica la carga “P”, con esto tenemos:
Calculo de las coordenadas del punto de aplicación de P (𝑥𝑁 y 𝑦𝑁)
𝑥𝑁 = −
𝐼𝑦
𝐴𝑥𝑜
= −
3345958,598
3009,557(−55)
→ 𝑥𝑁 = 20,214 𝑐𝑚
𝑦𝑁 = −
𝐼𝑥
𝐴𝑦𝑜
= −
1259324,555
3009,557(∞)
→ 𝑦𝑁 = 0
∴ 𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑟𝑎: 𝒆 = 𝒙𝑵 = 𝟐𝟎, 𝟐𝟏𝟒 𝒄𝒎
Intersección del EN con los ejes x y y.
𝑥𝑜 = −55 𝑐𝑚 ; 𝑦𝑜 = ∞

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4) Determinación de la carga “P”
Análisis en la base de la columna.
Momentos flectores 𝑀𝑥 = 0 ; 𝑀𝑦 = 𝑃𝑒𝑥103
Fuerza normal 𝑁 = 𝑃𝑥103
Análisis particular (𝐼𝑥𝑦 = 0)
𝜎 =
𝑁
𝐴
+
𝑀𝑥
𝐼𝑥
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑥
𝜎 =
𝑃𝑥103
3009,557
+ (
0
1259324,555
)𝑦 + (
𝑃(20,214)𝑥103
3345958,598
) 𝑥
𝜎 = 0,332275𝑃 + (0,00604132𝑃)𝑥
• Tensión máxima solicitante
Punto 2 𝑦2 = 0 ; 𝑥2 = 55 𝑐𝑚
𝜎2 = 0,332275𝑃 + (0,00604132𝑃)𝑥2
𝜎2 = 0,332275𝑃 + (0,00604132𝑃)(55)
𝜎2 = 0,6645476𝑃 ≤ 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 25 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄
𝑃 =
25
0,6645476
⟶ 𝑷 = 𝟑𝟕, 𝟔𝟏𝟗 𝒕
Respuesta: La carga máxima para que solo se produzcan esfuerzos de compresión
será 𝑃 = 37,619 𝑡 y la excentricidad 𝑒 = 20,214 𝑐𝑚.

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E-3] Para la columna determinar el momento máximo que puede soportar de
manera que las tensiones sean únicamente de compresión e inferiores al esfuerzo
admisible 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 20 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ .
SOLUCION
• Área total
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 − 𝐴3 = 200𝜋 + 540 − 120
𝐴 = 1048,3185 𝑐𝑚2
• Áreas
𝐴1 =
𝜋(20)2
2
= 200𝜋 𝑐𝑚2
𝐴2 = 27(20) = 540 𝑐𝑚2
𝐴3 =
12(20)
2
= 120 𝑐𝑚2

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• Centroides
𝑦𝑐 =
∑𝐴𝑖𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
=
200𝜋(20) + 540(10) − 120(20 3
⁄ )
1048,3185
𝑦𝑐 = 16,375 𝑐𝑚
𝑥𝑐 =
∑𝐴𝑖𝑥𝑖
∑𝐴𝑖
=
200𝜋 (27 +
4(20)
3𝜋
) + 540(13,5) − 120(4)
1048,3185
𝑥𝑐 = 27,766 𝑐𝑚
𝐼𝑥 = [
𝜋(20)4
8
+ 200𝜋(20-16,375)2
] + [
27(20)3
12
+ 540(10-16,375)2
]
− [
12(20)3
36
+ 120(
20
3
-16,375)
2
]
𝑰𝒙 = 𝟗𝟕𝟎𝟓𝟕, 𝟒𝟏𝟒 𝒄𝒎𝟒
]
𝐼𝑦 = [0,1098(10)4
+ 200𝜋(35,488-27,766)2] + [
20(27)3
12
+ 540(13,5-27,766)2
]
− [
20(12)3
36
+ 120(4-27,766)2
]
𝑰𝒚 = 𝟏𝟏𝟐𝟓𝟑𝟑, 𝟏𝟒 𝒄𝒎𝟒
𝐼𝑥𝑦 = ∑[𝐼𝑥𝑦𝑐𝑖 + 𝐴𝑖(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐)]
𝐼𝑥𝑦 = [0+200𝜋(20-16,375)(35,488-27,766)]+[0+540(10-16,375)(13,5-27,766)]
− [−
122(20)2
72
+ 120(
20
3
-16,375)(4-27,766)]
𝑰𝒙𝒚 = 𝟑𝟗𝟖𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟓 𝒄𝒎𝟒

16
Plano x-z Plano y-z
• Diagramas de Fuerzas Internas
3) Determinación del perímetro del núcleo central
No existen cargas en este plano
En toda de la columna
𝑁 = 10
𝑀𝑥 = 0
𝑀𝑦 = 10𝑒
En la gráfica se muestran 5 ejes
neutros, se analizará cada eje neutro
para hallar las coordenadas del
perímetro del núcleo central, estas
coordenadas se calcularán con las
ecuaciones para análisis general.

17
ANALISIS GENERAL. - Cuando 𝐼𝑥𝑦 ≠ 0.
𝑥𝑁 = −
1
𝐴
(
𝐼𝑦
𝑥𝑜
+
𝐼𝑥𝑦
𝑦𝑜
) … 1)
𝑦𝑁 = −
1
𝐴
(
𝐼𝑥
𝑦𝑜
+
𝐼𝑥𝑦
𝑥𝑜
) … 2)
Propiedades de la sección transversal
𝐴 = 1048,3185 𝑐𝑚2
𝑦𝑐 = 16,375 𝑐𝑚
𝑥𝑐 = 27,766 𝑐𝑚
𝐼𝑥 = 97057,414 𝑐𝑚4
𝐼𝑦 = 112533,14 𝑐𝑚4
𝐼𝑥𝑦 = 39811,965 𝑐𝑚4
• Para el eje neutro 1
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
𝑥𝑁1 = −
1
1048,3185
(
112533,14
∞
+
39811,965
−16,375
) ⟶ 𝑥𝑁1 = 2,319 𝑐𝑚
𝑦𝑁1 = −
1
1048,3185
(
97057,414
−16,375
+
39811,965
∞
) ⟶ 𝑦𝑁1 = 5,654 𝑐𝑚
Puntos de intersección
𝑥𝑜 = ∞
𝑦𝑜 = −16,375 𝑐𝑚
En la gráfica observamos que el EN
es paralela al eje x, por lo tanto, la
intersección del EN con el eje
centroidal x será: 𝑥𝑜 = ∞

18
𝑥𝑁2 = −
1
1048,3185
(
112533,14
∞
+
39811,965
23,625
) ⟶ 𝑥𝑁2 = −1,607 𝑐𝑚
𝑦𝑁2 = −
1
1048,3185
(
97057,414
23,625
+
39811,965
∞
) ⟶ 𝑦𝑁2 = −3,919 𝑐𝑚
𝑥𝑁3 = −
1
1048,3185
(
112533,14
19,234
+
39811,965
∞
) ⟶ 𝑥𝑁3 = −5,581 𝑐𝑚
𝑦𝑁3 = −
1
1048,3185
(
97057,414
∞
+
39811,965
19,234
) ⟶ 𝑦𝑁3 = −1,974 𝑐𝑚
𝑥𝑜 = ∞
𝑦𝑜 = 23,625 𝑐𝑚
𝑥𝑜 = 19,234 𝑐𝑚
𝑦𝑜 = ∞

19
Ecuación de la recta
𝑦 − 𝑦𝐴
𝑥 − 𝑥𝐴
=
𝑦𝐴 − 𝑦𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
⟶ 𝑦 = 𝑦𝐴 +
𝑦𝐴 − 𝑦𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
(𝑥 − 𝑥𝐴)
𝑦 = 3,625 +
3,625 − (−16,375)
−27,766 − (−15,766)
(𝑥 − (−27,766))
𝑦 = −42,6517 − 1,6667𝑥
Si: 𝑥 = 0 ⟶ 𝑦𝑜 = −42,6517 𝑐𝑚
Si: 𝑦 = 0 ⟶ 𝑥𝑜 = −25,5905 𝑐𝑚
𝑥𝑁4 = −
1
1048,3185
(
112533,14
−25,5905
+
39811,965
−42,6517
) ⟶ 𝑥𝑁4 = 5,085 𝑐𝑚
𝑦𝑁4 = −
1
1048,3185
(
97057,414
−42,6517
+
39811,965
−25,5905
) ⟶ 𝑦𝑁4 = 3,655 𝑐𝑚
En este caso el EN es una recta inclinada,
por lo tanto, se debe determinar la
ecuación de la recta, para lo cual
necesitamos las coordenadas de los
puntos A y B.
Coordenadas de A
𝑥𝐴 = −27,766 𝑐𝑚
𝑦𝐴 = 3,625 𝑐𝑚
Coordenadas de B
𝑥𝐵 = −15,766 𝑐𝑚
𝑦𝐵 = −16,375 𝑐𝑚

20
𝑦 = 𝑦𝐴 +
𝑦𝐴 − 𝑦𝐶
𝑥𝐴 − 𝑥𝐶
(𝑥 − 𝑥𝐴) = 3,625 +
3,625 − (23,625)
−27,766 − (−0,766)
(𝑥 − (−27,766))
𝑦 = 24,1924 + 0,74074𝑥
Si: 𝑥 = 0 ⟶ 𝑦𝑜 = 24,1924 𝑐𝑚
Si: 𝑦 = 0 ⟶ 𝑥𝑜 = −32,660 𝑐𝑚
𝑥𝑁5 = −
1
1048,3185
(
112533,14
−32,660
+
39811,965
24,1924
) ⟶ 𝑥𝑁5 = 1,717 𝑐𝑚
𝑦𝑁5 = −
1
1048,3185
(
97057,414
24,1924
+
39811,965
−32,660
) ⟶ 𝑦𝑁5 = −2,664 𝑐𝑚
• Núcleo central
Coordenadas de A
𝑥𝐴 = −27,766 𝑐𝑚
𝑦𝐴 = 3,625 𝑐𝑚
Coordenadas de C
𝑥𝐶 = −0,766 𝑐𝑚
𝑦𝐶 = 23,625 𝑐𝑚

21
• Determinación de la excentricidad “e”
Según las condiciones del problema, las tensiones deben ser únicamente de
compresión, por lo tanto, para que se cumpla esta condición la carga “10” debe
ubicarse dentro o en el perímetro del núcleo central, además el momento en el eje
y es 𝑀𝑦 = 0, por lo tanto, sabemos 𝑦𝑁 = 0, y para determinar la excentricidad 𝑥𝑁,
determinaremos la ecuación de la recta 4-5, por lo tanto:
𝑦𝑁 = 𝑦4 +
𝑦4 − 𝑦5
𝑥4 − 𝑥5
(𝑥𝑁 − 𝑥4) = 3,655 +
3,655 − (−2,664)
5,085 − 1,717
(𝑥𝑁 − 5,085)
𝑦𝑁 = −5,885 + 1,876𝑥𝑁
Entonces para: 𝑦𝑁 = 0 ⟶ 𝒙𝑵 = 𝒆 = 𝟑, 𝟏𝟑𝟔 𝒄𝒎
4) Determinación del momento máximo
𝑀𝑦 = 10𝑒 = 10(3,136 100
⁄ ) ⟶ 𝑴𝒚 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟑𝟔 𝒕-𝒎 ; 𝑴𝒙 = 𝟎
• Esfuerzos en flexión compuesta
𝜎 =
𝑁
𝐴
+ (
2 ) 𝑦 + (
2 ) 𝑥
𝜎 =
10𝑥103
1048,3185
+ (
0(112533,14) − 0,3136𝑥105(39811,965)
97057,414(112533,14) − 39811,9652
) 𝑦
+ (
0,3136𝑥105(97057,414) − 0(39811,965)
97057,414(112533,14) − 39811,9652
) 𝑥
𝜎 = 9,5391 − 0,13371𝑦 + 0,32598𝑥
Coordenadas de 4
𝑥4 = 5,085 𝑐𝑚
𝑦4 = 3,655 𝑐𝑚
Coordenadas de 5
𝑥5 = 1,717 𝑐𝑚
𝑦5 = −2,664 𝑐𝑚

22
9,5391 − 0,13371𝑦 + 0,32598𝑥 = 0
Recta de forma
𝑐 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0
Si 𝑦 = 0 → 𝑥𝑜 = −
𝑐
𝑏
= −
9,5391
0,32598
⟶ 𝑥𝑜 = −29,263 𝑐𝑚
Si 𝑥 = 0 → 𝑦𝑜 = −
𝑐
𝑎
= −
9,5391
−0,13371
⟶ 𝑦𝑜 = 71,342 𝑐𝑚
𝜑 = tan−1
(
𝑥𝑜
𝑦𝑜
) = tan−1
(
29,263
71,342
) ⟶ 𝜑 = 22,302°
Verificación en la fibra critica
𝜎𝐵 = 9,5391 − 0,13371𝑦𝐵 + 0,32598𝑥𝐵
𝜎𝐵 = 9,5391 − 0,13371(−3,965) + 0,32598(17,738)
𝜎𝐵 = 15,851 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ < 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 20 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ ✓ 𝑂𝐾‼
Respuesta: El momento máximo será 𝑀 = 0,3136 𝑡-𝑚 con 𝑒 = 3,136 𝑐𝑚.
Fibra critica B
𝑥𝐵 = 𝑅 cos 𝜑 − 0,766
𝑥𝐵 = 20 cos 22,302° − 0,766
𝑥𝐵 = 17,738 𝑐𝑚
𝑦𝐵 = 𝑅 sen 𝜑 − 3,625
𝑦𝐵 = 20 sen 22,302° − 3,625
𝑦𝐵 = −3,965 𝑐𝑚

23
E-4] Determinar la máxima carga 𝑃(𝑡) que puede soportar la viga de manera que
los esfuerzos en las fibras extremas sean inferiores al esfuerzo admisible.
SOLUCION
• Centroides
𝑦𝑐 =
∑𝐴𝑖𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
=
1600(20) − 156,25𝜋 (
4(25)
3𝜋
)
1109,126
𝑦𝑐 = 24,156 𝑐𝑚
𝑥𝑐 =
∑𝐴𝑖𝑥𝑖
∑𝐴𝑖
=
1600(20) − 156,25𝜋 (40 −
4(25)
3𝜋
)
1109,126
𝑥𝑐 = 15,844 𝑐𝑚
𝜎𝐴𝑑𝑚 = 500 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄
• Áreas
𝐴1 = 40(40) = 1600 𝑐𝑚2
𝐴2 =
𝜋(25)2
4
= 156,25𝜋 𝑐𝑚2
• Área total
𝐴 = 𝐴1 − 𝐴2 = 1600 − 156,25𝜋
𝐴 = 1109,126 𝑐𝑚2

24
𝐼𝑥 = [
40(40)3
12
+ 1600(20 − 24,156)2
] −
− [0,05488(25)4
+ 156,25𝜋 (
4(25)
3𝜋
− 24,156)
2
]
𝑰𝒙 = 𝟏𝟐𝟗𝟒𝟔𝟑, 𝟒𝟗 𝒄𝒎𝟒
]
𝐼𝑦 = [
40(40)3
12
+ 1600(20 − 15,844)2
] −
− [0,05488(25)4
+ 156,25𝜋 (40 −
4(25)
3𝜋
− 15,844)
2
]
𝑰𝒚 = 𝟏𝟐𝟗𝟒𝟔𝟑, 𝟒𝟗 𝒄𝒎𝟒
𝐼𝑥𝑦 = ∑[𝐼𝑥𝑦𝑐𝑖 + 𝐴𝑖(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐)]
𝐼𝑥𝑦 = [0+1600(20 − 24,156)(20 − 15,844)] −
− [0,01647(25)4
+156,25𝜋 (
4(25)
3𝜋
− 24,156) (40 −
4(25)
3𝜋
− 15,844)]
𝑰𝒙𝒚 = 𝟓𝟓𝟗𝟗𝟖, 𝟕𝟓 𝒄𝒎𝟒
Plano vertical y-z
Función de la carga
𝑞𝑧
𝑧
=
2
2
𝑞𝑧 = 𝑧

25
Tramo 1/2 Origen 2 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐 𝒎
• Diagrama de Momentos Flectores (𝑴𝒙)
Plano horizontal x-z
Tramo 1/2 Origen 2 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐 𝒎
• Diagrama de Momentos Flectores (𝑴𝒚)
z M
0 0
1 -(0,667+P)
2 -(3,333+2P)
z M
0 0
1 1,5P
2 3P
𝑀 = −𝑃𝑧 − 1(𝑧) (
𝑧
2
) − 𝑧 (
𝑧
2
) (
𝑧
3
)
𝑀 = −𝑃𝑧 −
𝑧2
2
−
𝑧3
6
𝑀 = 1,5𝑃𝑧

26
• SECCION CRITICA
El mayor momento se da en el empotrado, por lo tanto:
Sección Critica 1 𝑀𝑥 = −(3,333 + 2𝑃)𝑥105
; 𝑀𝑦 = 3𝑃𝑥105
; 𝑁 = 2𝑃𝑥103
3) Esfuerzos a flexión compuesta. - Análisis general (𝐼𝑥𝑦 ≠ 0)
𝜎 =
𝑁
𝐴
+ (
2 ) 𝑦 + (
2 ) 𝑥
𝜎 =
2𝑃𝑥103
1109,126
+ (
−(3,333 + 2𝑃)𝑥105(129463,49) − 3𝑃𝑥105(55998,75)
129463,49(129463,49) − 55998,752
) 𝑦
+ (
3𝑃𝑥105(129463,49) − [−(3,333 + 2𝑃)𝑥105](55998,75)
129463,49(129463,49) − 55998,752
) 𝑥
𝜎 = 1,803𝑃 − (3,167 + 3,133𝑃)𝑦 + (1,37 + 3,6726𝑃)𝑥
1,803𝑃 − (3,167 + 3,133𝑃)𝑦 + (1,37 + 3,6726𝑃)𝑥 = 0
Recta de forma 𝑐 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0
Si 𝑦 = 0 → 𝑥𝑜 = −
𝑐
𝑏
= −
1,803𝑃
(1,37 + 3,6726𝑃)
⟶ 𝑥𝑜 = −𝑓(𝑃)
Si 𝑥 = 0 → 𝑦𝑜 = −
𝑐
𝑎
= −
1,803𝑃
−(3,167 + 3,133𝑃)
⟶ 𝑦𝑜 = +𝑓(𝑃)
𝑥𝐴 = −15,844 𝑐𝑚
𝑦𝐴 = 15,844 𝑐𝑚
Coordenada del punto B
𝑥𝐵 = −0,844 𝑐𝑚
𝑦𝐵 = −24,156 𝑐𝑚
Coordenada del punto C
𝑥𝐶 = 24,156 𝑐𝑚
𝑦𝐶 = 0,844 𝑐𝑚

27
• Determinación de la carga máxima P
Punto A 𝑦𝐴 = 15,884 𝑐𝑚 ; 𝑥𝐴 = −15,844 𝑐𝑚
𝜎𝐴 = 1,803𝑃 − (3,167 + 3,133𝑃)𝑦𝐴 + (1,37 + 3,6726𝑃)𝑥𝐴
𝜎𝐴 = 1,803𝑃 − (3,167 + 3,133𝑃)(15,844) + (1,37 + 3,6726𝑃)(−15,844)
𝜎𝐴 = −106,025𝑃 − 71,884 ≤ 𝜎𝐴𝑑𝑚 = −500𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
106,025𝑃 = 428,116 ⟶ 𝑷𝑨 = 𝟒, 𝟎𝟑𝟕 𝒕
Punto B 𝑦𝐵 = −24,156 𝑐𝑚 ; 𝑥𝐵 = −0,844 𝑐𝑚
𝜎𝐵 = 1,803𝑃 − (3,167 + 3,133𝑃)𝑦𝐵 + (1,37 + 3,6726𝑃)𝑥𝐵
𝜎𝐵 = 1,803𝑃 − (3,167 + 3,133𝑃)(−24,156) + (1,37 + 3,6726𝑃)(−0,844)
𝜎𝐵 = 74,384𝑃 + 75,346 ≤ 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 500 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
74,384𝑃 = 424,654 ⟶ 𝑷𝑩 = 𝟓, 𝟕𝟎𝟖 𝒕
Punto C 𝑦𝐶 = 0,844 𝑐𝑚 ; 𝑥𝐶 = 24,156 𝑐𝑚
𝜎𝐶 = 1,803𝑃 − (3,167 + 3,133𝑃)𝑦𝐶 + (1,37 + 3,6726𝑃)𝑥𝐶
𝜎𝐶 = 1,803𝑃 − (3,167 + 3,133𝑃)(0,844) + (1,37 + 3,6726𝑃)(24,156)
𝜎𝐶 = 87,874𝑃 + 30,421 ≤ 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 500𝑘𝑔 𝑐𝑚2
87,874𝑃 = 469,579 ⟶ 𝑷𝑪 = 𝟓, 𝟑𝟒𝟑 𝒕
Respuesta: La carga máxima es la menor de las tres soluciones 𝑃 = 4,037 𝑡
• Verificación de los esfuerzos en flexión compuesta
Posición del EN
𝑥𝑜 = −
1,803(4,037)
(1,37 + 3,6726(4,037))
⟶ 𝑥𝑜 = −0,45 𝑐𝑚
𝑦𝑜 =
1,803(4,037)
(3,167 + 3,133(4,037))
⟶ 𝑦𝑜 = 0,46 𝑐𝑚

28
Punto A 𝑦𝐴 = 15,884 𝑐𝑚 ; 𝑥𝐴 = −15,844 𝑐𝑚
𝜎𝐴 = −106,025(4,037) − 71,884
𝜎𝐴 = −499,907𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ ≤ 𝜎𝐴𝑑𝑚 = −500 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ ✓ (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
Punto C 𝑦𝐶 = 0,844 𝑐𝑚 ; 𝑥𝐶 = 24,156 𝑐𝑚
𝜎𝐶 = 87,874(4,037) + 30,421
𝜎𝐶 = 385,168𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ ≤ 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 500 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ ✓ (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)
Fibras extremas
𝑥𝐴 = −15,844 𝑐𝑚
𝑦𝐴 = 15,844 𝑐𝑚
Coordenada del punto C
𝑥𝐶 = 24,156 𝑐𝑚
𝑦𝐶 = 0,844 𝑐𝑚

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