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1. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” TRIGONOMETRIA
ccesarepublicacolombia.blogspot.com5º
TRIGONOMETRIAA
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
NOTABLES
Prof. Ccesa
Son aquellos triángulos rectángulos que,
conociendo sus ángulos, sus lados están
en una determinada relación.
Existen varios triángulos notables, pero
en este año sólo estudiaremos a tres de
ellos.
Los cuales son:
*T. Rectángulo de 45° y 45°.
*T. Rectángulo de 30° y 60°.
*T. Rectángulo de 37° y 53°.
1. TEOREMA DE PITÁGORAS
Uno de los teoremas más importantes de la
geometría es el Teorema de Pitágoras,
llamado así en honor al matemático griego
Pitágoras.
El teorema dice:
Si ABC es un triángulo rectángulo,
entonces “El cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de sus
catetos”.
Se cumple:
Ejemplo:
- Calcula “x”.
Solución:
92 + 122 = x2
81 + 144 = x2
225 = x2
15 = x
2. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE
45 Y 45°
La longitud de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo 45° - 90°- 45° es el producto de
2 por la longitud de un cateto. Los catetos
son de igual medida.
Ejemplo:
- Calcula “x”
Solución:
*Por ser triángulo notable de 45°:
4 = 1k
4 = K
x = 2 k  x = 4 2
3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DE 30° Y 60°
La longitud de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo de 30° - 90° - 60° es el doble del
cateto opuesto de 30°.
Ejemplo:
- Calcula “x”
Solución:
*Por ser triángulo notable de 30° y 60°:
12 = 1k
12 = k
x = 2k  x = 24
4. TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DE 37° Y 53° :
La relación de sus lados de un triángulo
rectángulo de 37° - 90° -53° es como de 3, 5
y 4.
Ejemplo:
- Calcula “x”
Solución:
*Por ser triángulo notable de 37° y 53°:
24 = 4k
6 = k
x = 5k  x = 30
IMPORTANTE:
“En todo triángulo se cumple que a
mayor ángulo se le opone mayor lado y a
menor ángulo se le opone menor lado “.
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Calcula “x”.
Solución:
*Aplicando Pitágoras:
32 + 32 = x2
9 + 9 = x2
18 = x2
3 2 = x
2).- Calcula “x”.
a2
+ b2
= c2
B
A
C
c
a
b
(Cateto)
(Cateto)
A
C B
x
9
12
1k
A
C B
45°
k2
45°
1k
A
C B
45°
45°
4 x
A
C B
30°
2k
60°
k3
1k
A
C B
30°
x
60°
12
A
C B
37°
5k
53°
3k
4k
A
C B
37°
x
53°
24
3B
x3
C
A
x+1B
x+2x
C
A

2. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” TRIGONOMETRIA
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Solución:
*Aplicando Pitágoras:
x2
+ (x+1)2
= (x+2)2
x2
– 2x – 3 = 0
x = 3 y x = -1
Una longitud nunca puede ser negativa,
por lo tanto:
x = 3
3).- Calcula “
n
m
”
Solución:
* Como en el triángulo de 37° y 53° a la
hipotenusa se le opone 5k lo igualamos a
25.
5k = 25
K = 5
m = 3k n = 4k
m = 3(5) n = 4(5)
m = 15 n = 20
 4
3
20
15
n
m

4).-Calcula “x”.
Solución:
* Trazamos la altura BH .
Por ser triángulo notable de 45°:
x = 8 2
5).-Calcula “x”
Solución:
* “y” por ser lado que se le opone al
ángulo de 30° es : y = 5 3
Por lo tanto: como “x” es el lado que se
opone a 53° es igual a:
x = 4 3
6).- Calcula “x”
Solución:
*Por ser un triángulo notable de 45° “x”
es:
4 2 = 1k  x = 1k 2
x =(4 2 ) 2  x = 8
7).- Calcula “x”
Solución:
Por ser triángulo rectángulo notable de
37° y 53° a “x” se le opone 3k y a “y” se le
opone 4k.
Por lo tanto:
4
3
k4
k3
y
x

8).- Calcula “x”, si su perímetro del
triángulo es 48.
Solución:
*Por ser triángulo rectángulo notable de
37° y 53° se cumple:
*El perímetro es la suma de sus lados del
triángulo, por lo tanto:
3a + 4a + 5a = 48
12a = 48
a = 4
CUESTIONARIO
PROBLEMAS PROPUESTOS
NIVEL I
1).- Calcula “x”
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
2).- Calcula “x”.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
B
A
C
37°
25
53°
m
n
A
B
C
30° 45°
16 x
30°
53°
x
10 3
30°
53°
x
10 3
y
A
C
B
45°
45°
4 2
x
53° 37°
x y
5a
37°
5a
37°
3a
4a
A
B
C
30° 45°
16 x
8
8H
B
A
C
37°
25 = 5K
53°
m
n
A
C B8
6 x
A
C B60
x 61

3. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” TRIGONOMETRIA
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3).- Calcula “x”.
a) 26 b) 27 c) 25
d) 29 e) 210
4).- Calcula “x”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5).- Calcula “x”.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
6).- Halla el valor de “a”.
a) 10 2 b) 4 c) 10
d) 5 2 e) 5
7).-Halla el valor de “x”.
a) 8 b) 16 c) 4
d) 8 3 e) 16 3
8).- Calcula “x”
a) 16 b) 14 c) 12
d) 10 e) 8
9).- Calcula “a + b”
a) 26 b) 28 c) 30
d) 32 e) 34
10).- Halla “
y
x
”
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
11).- Calcula “m.n”
a) 48 b) 50 c) 52
d) 56 e) 58
12).- Calcula “y”
a) 14 b) 16 c) 18
d) 20 e) 22
13).- Halla “x”
a) 4 b) 8 c) 8 3 /3
d) 16 e) 4 3
14).- Halla “
n
m
”
a) 3 b) 2 c) 1/2
d) 3 /3 e) 1
A
C B
45°
45°
10 a
B
A
C
30°
x
60°
8
B
A
C
37°
20
53°
x
B
A
C
37°
a
53°
16
b
A
C B
30°
x
60°
y
8 3
A
C B
37°
10
53°
n
m
A
C B
45°
45°
8 2
y
A
C B
30°
x
60°
4
A
C B
30°
m
60°
n
A
C Bx
x-1 x+1
A
C Bx
16 16 2
A
C B
x
20
15

4. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” TRIGONOMETRIA
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15).-Del gráfico, calcula “ x – y”.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
NIVEL II
1).-Halla “BC”, si AB = 8
a) 4 2 b) 4 c) 8 2
d) 16 e) 16 2
2).- Halla “ x”
a) 14 b) 16 c) 18
d) 20 e) 22
3).- Calcula “x”
a) 6 b) 12 c) 3
d) 3 2 e) 8
4).- Halla “x”.
a) 12 b) 9 c) 24
d) 5 e) 15
5).- En el triángulo ABC, calcula
“BC”. Si AC = 42.
a) 21 b) 42 c) 30
d) 40 e) 50
6).- En el triángulo ABC, calcula
“HC”. Si AB = 32.
a) 24 b) 12 c) 36
d) 48 e) 42
7).-Calcula “BC”, si AD = 10
a) 8 2 b) 6 2 c) 3 2
d) 8 e) 6
8).-Calcula “x”
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
9).- Calcula “BP”, si AC = 8 2
a)2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10).- En el triángulo ABC , calcula
“EC”. Si AC = 20.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11).- Calcula “x”.
a) 22 b) 24 c) 26
d) 28 e) 30
36
53°37°
x
y
30° 45°
A
B
C
x
45°
30°
6
CA
B
53° 30°
x
15
A
B
C
45° 37°
C45°
37°
D
A
B
37°
9 x
C
45°
8°
P
A
B
53°
30°
x
40
30°
A
B
CH
A C
B
45°
37°
E
x
45°
37°
B
A C
20

5. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” TRIGONOMETRIA
ccesarepublicacolombia.blogspot.com5º
12).-Calcula “x”.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
13).-Calcula “x”.
a) 32 b) 33 c) 34
d) 35 e) 36
14).- Calcula “x”.
a) 8 3 b) 16 3 c) 16
d) 8 e) 12
15).- Calcula “AD”, si CD =10.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
A
C B
37°
50
53°
x
53° 60°
20 3
x
45° 30°
8 2 x
37°
23°
A
B CD