compartir

1. Briseño Aguirre, L.A. y Verdugo Díaz, J. C. (2007).
Matemáticas 3(20ma reimpr.). México: Santillana. P.p. 54-71.

3. Matemáticas 3
El libro MATEMÁTICAS 3 es una
obra colectiva creada y diseñada en
el Departamento de Investigaciones
Educativas de Editorial
Santillana, bajo la dirección de
Fernando García Cortés.
En la creación de esta obra
intervinieron:
AUTORES:
Luis Alberto Briseño Aguirre
Julieta del Carmen Verdugo Díaz
SECUNDARIA
SERIE 2000

4. El libro MATEMÁTICAS 3, para Educación Secundario, fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
Coordinación editorial: Gabriel Moreno Pineda.
Edición: César Jiménez Espinosa.
Diseño de interiores y portado: Álvaro Fernández Ros.
Coordinación gráfica: Francisco Rivera Rodríguez.
Coordinación de autoedición: José R. Arriaga Macedo.
Corrección de estilo: Javier Andrés Suárez Ruiz.
Composición: Noemí T. Herrera Vargas.
Fotografía: Archivo Fotográfico Santillana.
Dibujo: Luis A. Sánchez Hernández.
D.R. © 1997 por EDITORIAL SANTILLANA, S.A. DE C.V.
Av. Universidad 767
03100 México, D.F.
ISBN: 978-970-642-211-8
Primera edición: abril de 1997
Primera reimpresión: agosto de 1997
Segunda reimpresión: mayo de 1998
Tercera reimpresión: julio de 1998
Cuarta reimpresión: agosto de 1998
Quinta reimpresión: septiembre de 1998
Sexta reimpresión: marzo de 1999
Séptima reimpresión: julio de 1999
Octava reimpresión: agosto de 1999
Novena reimpresión: agosto de 1999
Décimo reimpresión: septiembre de 1-999
Undécima reimpresión: octubre de 1999
Duodécima reimpresión: marzo de 2000
Décima tercera reimpresión: junio de 2001
Décima cuarta reimpresión: febrero de 2002
Décima quinta reimpresión: agosto de 2002
Décima sexta reimpresión: marzo de 2003
Décima séptima reimpresión: abril de 2003
Décima octavo reimpresión: marzo de 2004
Décima novena reimpresión: abril de 2004
Vigésima reimpresión: marzo de 2005
Vigésima primera reimpresión: julio de 2005
Vigésima segunda reimpresión: mayo de 2006
Vigésima tercera reimpresión: agosto de 2006
Vigésima cuarta reimpresión: junio de 2007
Miembro de la Cámara Nacional de la
Industria Editorial Mexicana . Reg. Núm. 802
Impreso en México
Este libro se terminó de imprimir en el mes de
junio de 2007, en Gráficas La Prensa, S.A. de C.V.,
Prolongación de Pino Núm. 577, Col. Arenal, 02980
México, D.F.

5. Unidad 1
Tema 1 Cálculos aproximados
Errores de aproximación
Acotación de errores
Tema 2 Raíz cuadrada
Conceptos
Aproximaciones de la raíz cuadrada
Método babilonio
Método usual
Ejercicios de unidad
Ideas principales
Recreación matemática
Unidad 2
Tema 1 Plano cartesiano y funciones
Noción de función
Ejemplos de funciones
Función mx
Función x2
Funciones x2 + a y (x
Función 1
x
a) 2
Familia de rectas
Desigualdades lineales en el plano cartesiano
Tema 2 Expresiones algebraicas
Leyes de los exponentes
Monomios y polinomios
Operaciones con fracciones
Fracciones algebraicas
Sustitución algebraica
Ejercicios de unidad
Ideas principales
Recreación matemática
Unidad 3
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Tema 1 Ecuaciones lineales
Ecuaciones con paréntesis
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Reducción de ecuaciones
6
Tema 2 Sistemas de ecuaciones
Método gráfico y número de soluciones 60
Método de sustitución 62
7 Método de igualación 64
- Método de suma resta 66y
Sistemas de tres ecuaciones lineales 68
8
10 Tema 3 Productos notables y factorización
F tor mún 70ac co
Binomios con un término común 72
12 Cuadrado de un binomio y binomios conjugados 74
14 Factorización de ax2 + bx y ax2 - c2 76
16 Factorización de ax2 + bx + c 78
18 Aplicaciones en el cálculo numérico 80
20 Fracciones algebraicas y factorización 82
21
22 Tema 4 Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones incompletas 84
Solución por factorización 86
Solución completando cuadrados 88
Solución por medio de la fórmula general 90
23
Discriminante y número de soluciones 92
Ejercicios de unidad 94
Ideas principales 95
24
Recreación matemática 96
26
28
30 Unidad 4
32
Triángulos cuadriláteros y círculo 97,
34
Tema 1 Triángulos36
38 Elementos de un triángulo 98
Congruencia 100
Propiedades de los triángulos 102
40 Construcción de triángulos 104
Bisectrices mediatrices del triángulo42 y 106
44
46 T Cuadriláteros
48 Clasificación 108
50 Propiedades de los paralelogramos 1 10
51
52 Círculo
Rectas notables 112
Propiedades y construcciones
de rectas en el círculo 114
Ángulos en el círculo 116
53 Construcciones con regla y compás 1 18
Ejercicios de unidad 120
Ideas principales 121
54 Recreación matemática 122
56
58

6. Unidad 5
Semejanza y teorema de Pitágoras 123
Tema 1 Semejanza
Teorema de Tales de Mileto 124
Semejanza de triángulos 126
Cálculo de distancia 128
División de un segmento en partes iguales 130
División de un segmento en una razón dado 132
Construcción del cuarto y medio proporcionales 134
Homotecia 136
Dibujo a escala 138
Efectos de la escala en ángulos y perímetro 140
Efectos de la escala en el área y el volumen 142
Tema 2 Teorema de Pitágoras
Visualización geométrica 144
Demostraciones algebraicas 146
Cálculo de longitudes 148
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano 150
Tema 3 Sólidos
Representación plana 152
Desarrollo y armado de pirámides y conos 154
Secciones de prismas y pirámides 156
Volumen de pirámides y conos 158
Volumen y superficie de la esfera 160
Cálculo de longitudes en sólidos 162
Ejercicios de unidad 164
Ideas principales 165
Recreación matemática 166
Unidad 6
Elementos de Trigonometría 167
Tema 1 Trigonometría
Razones trigonométricas 168
Círculo unitario 170
Identidades trigonométricas 172
Razones trigonométricas de
los ángulos de 30°, 45° y 60° 174
Tema 2 Aplicaciones de la Trigonometría
Uso de tablas 176
Uso de la calculadora 178
Resolución de triángulos rectángulos 180
Ejercicios de unidad 182
Ideas principales 183
Recreación matemática 184
Unidad 7
Estadística 185
Tema 1 Tasas
Usos y aplicaciones 186
Crecimiento aritmético 188
Crecimiento exponencial 190
Moda, media y mediana 192
Usos y limitaciones de la media, la moda
y la mediana 194
Medidas de dispersión 196
Tema 2 Nociones de población
Encuestas y censos 198
Ejercicios de unidad 200
Ideas principales 201
Recreación matemática 202
Unidad 8
Probabilidad 203
Tema 1 Nociones de probabilidad
Experimentos aleatorios 204
Probabilidad frecuencia) 206
Probabilidad clásica 208
Tema 2 Cálculos de probabilidades
Diagramas de árbol 210
Principio de adición 212
Principio del producto 214
Tema 3 Simulación
Solución de problemas por simulación 216
Pruebas de Bernoulli 218
Ejercicios de unidad 220
Ideas principales 221
Recreación matemática 222
Programa de tercer grado 223
Bibliografía 224
5

7. Ecuaciones con paréntesis
Tema 1 Ñ
Ecuaciones
lineales
1 Ejemplos de ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se
cumple para algunos valores de las incógnitas. Si la ecuación contiene sólo una
variable o incógnita con exponente 1, se llama ecuación lineal o de primer
grado con una incógnita.
En una ecuación, la expresión algebraica del lado izquierdo del signo igual se
llama primer miembro y la del lado derecho, segundo miembro.
Resolver una ecuación lineal es encontrar el valor de la incógnita para el
cual se cumple la igualdad.
Los siguientes problemas se resuelven con una ecuación lineal.
Juan nació cuando su mamá tenía 28 años. Actualmente, la edad de la mamá
de Juan es el triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?
Si x es la edad de Juan, la de su mamá es 28 + x. Por otro lado, la mamá de
Juan tiene el triple de años que su hijo; es decir, 3x. Si se igualan estas dos ex-
presiones algebraicas, se obtiene la siguiente ecuación:
Ecuaciones de primer
grado con una incógni 3x = 28 + x
Esta ecuación se resuelve despejando x de la siguiente manera:
+ 6 = 78 S t i iób b d l = 28 +3 - -y e res a x en am os m em ros n.e a ecuac x- x x x
Se reducen términos semejantes - > 2x=28+0.
45x-98=0 2x=28
Se dividen entre 2 ambos miembros de la ecuación.
2x28
34z+6= 1 2 2
Se realizan las operaciones. x=14
Miembros de
una ecuación
Por lo tanto, la edad de Juan es 14 años.
primer
miembro
8+3x
segundo
miembro
Un tren salió de una ciudad a una velocidad de 50 km por hora. Tres horas
más tarde salió otro del mismo punto y en la misma dirección. Si el segundo
tren iba a 75 km por hora, ¿cuánto tiempo tardó en alcanzar al primero?
Si x representa las horas que ha viajado el segundo tren, el primer tren ha via-
jado (x + 3) horas, por el tiempo que lleva de ventaja. La distancia recorrida en
el tiempo x por el segundo tren es 75x y la del primero es 50(x + 3). Cuando el
segundo tren alcance al primero, las distancias recorridas serán iguales; la
ecuación que describe esto es 75x = 50(x + 3). Para resolverla, se eliminan los
paréntesis efectuando el producto 50 (x + 3):
75x = 50(x + 3) ^ 75x = 50x + (50)(3) o- 75x = 50x + 150
De la última ecuación se despeja x:
Se resta 50x en ambos miembros. --' 75x -50x = 50x + 150 - 50x
Se reducen términos semejantes. - 25x = 150
Sa rlivirlen amhns miemhrns PntrP 2..ri 25x = 150
25 25
x=6
El segundo tren alcanzará al primero en 6 horas.
54

8. lo se
'
una
mer
al se
ira el
bamá
^á de
s ex-
x
doras
tundo
via-
a en
do el
s; la
los
F 150
50x
Resolver la ecuación 27x - (3x -9) = 3(x + 10).
Se eliminan los paréntesis.
Se reducen términos semejantes.
Se resta -3x en ambos miembros.
Se reducen términos semejantes.
Se resta 9 en ambos miembros. - -- - - - -
Se reducen términos semejantes.
Se dividen ambos miembros entre 21.
1. e
EL
-^ 27x-3x+9=3x+30
. >-24x+9=3x+30
-» 24x+9-3x=3x+30
-21x+ 9=30
^ 21x+ 9-9=30-9
-- o- 21x=21
21x_21
21 21
x=1
EJERCICIOS ^
Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones li-
neales.
o)2x-7=-8+x b)3x-9=x- 11
c)5x-4=8x-20 d) 13-4x=-6x+ 17
e)39-15x=-31 -5x f)x+1 = 18x- 10
g) 120 + 36x = -12x h) -x+ 15 = 5x- 45
Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones; elimina prime-
ro los paréntesis.
a) 5x = 4(x + 17) b) 3x+ 3 = 2(7x- 15)
c) lOx=68-2(4-2x) d) -6x= 3(x- 21)
e) - 1 Ox = -6(4 + 3x) f)31x=-(135+4x)
9) 3(x+ 12) = 2(x- 1) h) 10(x- 8) = 15(2x- 2)
i)-(4x- 17)=6(x-3) j)3(16x+4)=3(34+x)
k) 1 1(3 - x) = 10(3 - 2x)
3x
Resuelve los siguientes problemas.
a) José y su hermano ahorraron $ 152. Si José contri-
buyó con $ 22 más que su hermano, ¿cuánto dine-
ro aportó? (Sugerencia: si llamas x al dinero de
José, el dinero de su hermano es x - 22.)
b) Raúl tiene 21 años y su padre 52. ¿En cuántos
años la edad de Raúl será la mitad que la de su pa-
dre? [Sugerencia: si se llama x al número de años
en que la edad de Raúl será la mitad de la de su
padre, entonces 21 + x = 2 (52 + xj.]
c) Una granjera llevó al mercado del pueblo huevos que
pensaba vender a $ 1.00 cada uno. Como en el
camino se le rompieron 6 huevos, decidió vender los
que le quedaron en $ 1.50. Cuando regresó a su
casa, se dio cuenta de que ganó $ 9.00 más de lo
que esperaba. ¿Cuántos huevos llevaba inicialmente?
[Sugerencia : si la granjera llevaba x huevos inicial-
mente, pensaba obtener x pesos; como se rompieron
6 y los vendió a 1.50, obtuvo 1.50 (x - 6).]
d) Un ciclista sale de una ciudad a 40 km por hora y
dos horas más tarde sale tras él un automóvil a una
velocidad de 90 km por hora. ¿Cuánto tardará el
automóvil en alcanzar al ciclista?
e) El área del siguiente rectángulo es 60 cm2. ¿Cuánto
valed?
(x- 2)
r) x- 23 - ( 15 - x) = 4(x- 8)
s) 51(x+ 3 ) + 9x- 23 = 20(4x+ 8) 20 cm
t) 5(4x- 1) - 2(5x- 5) = 20(x+ 1)
L
1)2(4x-2)=3(x- 31
m) 63(5x + 4) = 650x - 3 1
n) -2(5 - x) = 5(x+ 7) 1
A) 6x - (8x + 15) = 3x
o) 8(9 + x) - 12 = 5(2x+ 6)
p) (x+ 10) - (3x + 12) = 7x+ 2(1 1 - 4x)
q) -(17x+ 18)+2(9+8xi =5(x+ 1)+7
55
s

9. Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
La edad de Pedro es
4 partes de la edad de Jorge, pero dentro de 4 años será
5 partes de esa misma edad. ¿Cuántos años tiene Jorge?
Si x es la edad de Jorge, entonces la edad de Pedro es 4x . Dentro de 4 años la
edad de Jorge será (x + 4) y la de Pedro, 1+ 4l
pero también para entonces
la edad de Pedro será
5 la de Jorge, es decir,
6(x + 4). Si se igualan las dos
últimas expresiones , se obtiene la siguiente ecuación:
(4x+4)= 6(x+4)
Esta ecuación se resuelve de la siguiente manera:
Se eliminan los paréntesis .
4x + 4 =
6x +
614
Se efectúa el producto
6)4_ 4x+4=6x+ 6
20
La expresión
4x + 4 =
6x
+ 6
20 es una ecuación con coeficientes
fraccionarios porque las variables aparecen multiplicadas por fracciones. Es-
ta ecuación se resuelve de la siguiente forma:
Se multiplican ambos miembros por 12,
que es el mínimo común múltiplo de los
denominadores de la ecuación.
Se eliminan los paréntesis efectuando los
productos.
Las fracciones resultantes siempre pue-
den convertirse en enteros. -
Por tanto, la edad de Jorge es 8 años.
12 (.-x+4)=12(x+ 6 /
66x+48= 60x+ 260
9x + 48 = lOx + 40
9x- lOx+48= 10x- lOx+40
-x + 48 - 48 = 40 - 48
-x = -8
x=8
Una ecuación con coeficientes fraccionarios se resuelve multiplicando am-
bos miembros de ésta por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Otra forma de resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios es operar di-
rectamente con las fracciones algebraicas. Por ejemplo:
Resolver la ecuación 4 x + 3 x= 2.
56
1
Á

10. y
era
s la
dos
Se efectúa la suma
5 x + 7 X. (15x + 28x) 1
4 3 _ - -^ 12 2
43x 1
12 2
Se dividen ambos miembros de la ecuación entre 43.
43x=6
43x _ 6
43 43
6
x
43
EJERCICIOS
tes
a
Resuelve las siguientes ecuaciones.
c
)11x
+
9x10
18 18 3
e)-x--x+-
4 2 12 2=
5 5 5 5
g) 8x+4=-2
i) 7 - 4 =5x
k)2 -'x -2x=7
40 m)-9x-1 =x
ñ) -19 - 2
= 6
1 S X-1
-2 + 5+ 6 =
) 2air
p (x x )
di-
r) 4 (x)- 8(x-1)=1
t)x+4-3x-1
8 15
b) 4 + 3x=6
d) 9x+ 9 - 1 =0
F)2+3 2
7
6
h) 1 7=5
Sx+ 4x= -2
1 x+ 3 2
= -Sx-6
n) 2x+ 4 = 15 x-4
o) 4 3 12
q) 56 ( 3x +11=5-8x
s)3(8 -4 4 -9
2x-10 3x-11
u
12 15
Resuelve los problemas en tu cuaderno.
a) La suma de las edades de Ana y Graciela es 65
años. Dentro de 10 años la edad de Graciela será
12 de la de Ana. ¿Cuál es la edad de cada una?
(Sugerencia: Llama x a la edad de Ana y 65 - x a
la de Graciela.)
b) Una persona invierte 4 partes de su dinero y le
sobra la tercera parte menos $ 1 000. ¿Con cuánto
dinero contaba? (Sugerencia: si x es el dinero con
que contaba la persona, después de invertir tres
cuartas partes le queda x - 4 x.)
c) María y Lupe son coleccionistas de mariposas. Las
mariposas de María son 3 partes de las de Lupe.
Si entre las dos tienen 25 mariposas, ¿de cuántas
mariposas dispone Lupe?
d) Después de cortar 4 de la longitud de una tabla,
quedan 30 cm. ¿Cuál era el largo de la tabla?
e) El perímetro de un rectángulo es 96 m; si el ancho
mide las 5 partes de largo, ¿cuáles son las-dimen-
siones?
57

11. 58
Reducción de ecuaciones
Algunas ecuaciones aparentemente no son lineales porque la incógnita se en-
cuentra elevada a un exponente mayor que 1 o aparece en el denominador de
una fracción; para resolverlas, es necesario realizar operaciones que no alteren
la igualdad. Por ejemplo:
Resolver la ecuación 2x(x + 5) = -x(10 - 2x) + 100.
Primero se efectúan los productos para eliminar los paréntesis:
2x (x + 5) = -x(10 - 2x) + 100
(2x)(x) + (2x)(5) = (-x)(10) - (-x)(2x) + 100
2x2+ lOx = -lOx+2x2+ 100
En algunos términos de la última ecuación, la incógnita aparece con exponente
2. Sin embargo, éstas se pueden eliminar si se resta 2x2 en ambos miembros:
2x2 + lOx = -1()X + 2x2 + 100
2x2 - 2x2 + 10x = - lOx + 2x2 + 100 - 2x2
l Ox = - lOx + 100
lOx + lOx = -lOx + 100 + lOx
20x = 100
x=5
Se puede comprobar que x = 5 es la solución de la ecuación si se sustituye el
valor de la incógnita en la ecuación original:
2(5)(5 + 5) _ - 5(10 - 2(5)) + 100
10(10) _ -5(10 -10) + 100
100 = -5(0) + 100
100=100
Como la igualdad se cumple, x = 5 es la solución.
Encontrar la solución de la ecuación 7 - 3x = 5.
En este caso, la incógnita aparece en el denominador de dos fracciones. La
ecuación se puede resolver si ambos miembros se multiplican por 3x.
7165
x 3x
(3x)(7 -
16
) _ (3x)(5)
21x _ 48x = 15x
x 3x
21 - 16 = 15x
En la última ecuación no hay denominadores.
5 = 15x
15x = 5
15x 5
15 15
1
x= 3
a
Re
i
1
D
e
a
E
c

12. en-
ir de
eren
ente
e:
r
1
La
Resolver la ecuación 4 = 5 Esta ecuación se puede resolver si se
x 4x-22^
multiplican ambos miembros por el producto de los denominadores, es decir,
por (x)(4x - 22):
W (4x - 22) (x)C4x-22J
(4x - 22)4 = 5(x)
16x-88=5x
16x-88 - 5x=5x-5x
llx-88=0
llx-88+88=0+88
llx = 88
x=8
EJERCICIOS
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)x2-2x+ 15=x+x2 -3
b) -2x2 - 3x= x(-2x- 6) - 930
c)x3-8x+4=x(x2-2)-20
d) 135 + 9x - 4x2 = 4x - 4x2 + 160
e) 3x(6x - 5) = 18x2 + x- 32
f)x2+7x+ 10=x(9+x)
g) (x-2)(x-1)-x2=-1
h) (3x- 1)(2x- 2) = 6x2 - 18
i)(x- 1)(x+ 1)=x2-2x+3
Determina qué valor de x es la solución de cada
ecuación.
Resuelve las ecuaciones con fracciones algebraicas.
16 5 1
a)8 b)
x 3x 6
9 7 5 2 1
c)-+-=-4 d)-+-=
x x 2x x 2
1 1
f)
3 1 2
-_=e)-+-
2x 5x 10 X
1
9 )6+ 8 =3 + 5 h)
1 + 1 + 2 =
2x 3x 4x 3
i) 19 +3+ 1 = 15 +3 j) -4 = 6 -2
x x x-3 x-3
k 5 = -1 1) 4 = 22x+9 2x+ 3 5x+ 4 x+ 2
)14- 13 = -14m
a) 2x2 - 2(8x- 6) = x (2x - 10) - 4x+ 2
x=4 x= -2 x=5 x= 8
b) x 4 +5 x64 +3
x= 4 x= 2 x= -9 x=9
c)4x2+2x- 1 =4x2
1 1 1
x= 1 x= x=
4 2 3 2
n)
3 3
x
x x + 1 x(x+1) x-1
38 + 12 88
n) x+ 4 +S (x+ 4)(x+ 5)
o) x+5 = x+ 1
x+4 x-4
25 + 15 10
P) x+ 1 X- 1 (x + 1)(x- 1)
5x+ 9 5x
q) x-4 x-6
59

13. Método gráfico y número de soluciones
Tema 2
Sistemas de
ecuaciones
Una ecuación lineal con dos incógnitas es la ecuación de una recta en el
plano cartesiano. Las siguientes son ecuaciones lineales con dos incógnitas:
4x+y=8 3x-10y=39 2x+9.3y=6.7
Cualquier ecuación lineal con dos incógnitas (x y y) se puede escribir de la for-
ma y = mx + b si se despeja y. Por ejemplo, el resultado de despejar y en
4x + y = 8, es la ecuación y = -4x + S.
Un sistema de ecuaciones es una colección de dos o más ecuaciones. En la
presente sección se estudiarán los sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa encontrar
los valores de x y y que son solución para ambas ecuaciones simultáneamente.
Por ejemplo, obsérvese el siguiente sistema de ecuaciones:
3x+y=6 (1) 3x-4y= -9 (2)
3x+
Figura 1
coordenadas (1, 3) es común a ambas, entonces las coordenadas de este punto
satisfacen las dos ecuaciones: 3 = 6 - 3(1) = 6 - 3 = 3 y 3 = 4 (1) + 4 = 4 = 3
El método gráfico para la resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas se compone de los siguientes pasos:
Se grafican las rectas correspondientes a las ecuaciones del sistema.
© Se obtienen las coordenadas del punto de intersección de las rectas grafi-
cadas. Los valores de estas coordenadas son la solución del sistema.
Resolver por el método gráfico el siguiente sistema de ecuaciones:
5x - 2y = -2 (1)
, -4)
2x-y=0 (2)
La elaboración de las gráficas se simplifica si y es despejada en cada ecuación:
y= 2x+1 y=2x
Para cada ecuación, se encuentran dos parejas de valores que las satisfagan.
y= 2 x+ 1 y= 2x
x y x y
0 1 0 0
2 6 2 4
Como se observa en la figura 2, las
coordenadas del punto de intersección
de las dos rectas son (-2, -4). La
solución del sistema de ecuaciones es
Figura 2 x = -2 y y = -4.
Las ecuaciones del sistema pueden expresarse de la forma y = mx + b si se
despeja y:
y=6-3x
(1, 3) Las gráficas de estas ecuaciones son las rectas de la figura 1. Como el punto de
60

14. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método gráfico:
x+y=1 (1) 3x+3y=3 (2)
or-
en
la
on
ar
te.
se
de
to
es
ion
Figura 3
Figura 4
Si las ecuaciones se expresan de la forma y = mx + b, se obtiene y = -x + 1,
y = 3 x + 3 . Nótese que la segunda ecuación es equivalente a y = -x + 1, es
decir, las dos ecuaciones del sistema determinan la misma recta; su gráfica se
muestra en la figura 3.
Como no hay un punto de intersección único , el sistema de ecuaciones tie-
ne muchas soluciones, determinadas por los valores de las coordenadas de
cualquier punto de la recta.
Resolver por el método gráfico el sistema de ecuaciones:
5x+4y=9 (1) 5x+4y=12 (2)
Estas ecuaciones se expresan de la forma y = mx + b así:
y=-4x+ 9 y=-4x+ 12
Obsérvese, en la figura 4, que las rectas de estas ecuaciones son paralelas a la
recta con ecuación y = - 4 x; entonces, no poseen un punto en común, pues tam-
bién son paralelas entre sí. Como no hay puntos comunes, el sistema no tie-
ne solución.
EJERCICIOS
Resuelve con el método gráfico los siguientes sistemas
de ecuaciones.
a) x+y=2
3x- 2y= 1
b) 4x+ 3y= 0
5x+ 4y= 1
d) 4x+ 5y= 10
6x- 7y= -14
Expresa las ecuaciones de la forma y = mx + b y com-
prueba que estos sistemas de ecuaciones lineales se re-
presentan con rectas paralelas en el plano cartesiano.
a) 3x - 3y = 12
lox- l0y= 8
b)x+y=-16
3x+ 3 y= -10
El.
e) -x+ 3y= -13 f) 3x-y=5
-2x+ l0y= -46 8x- 4y= 4 Determina si cada sistema de ecuaciones lineales tiene
solución única, muchas soluciones o carece de solución.
c) 2x+ y= 16
x-y=-1
Expresa las ecuaciones en la forma y 5 mx 1 b y com-
prueba que cada sistema se representa con una recto.
a) x- y= 4
2x- 2y= 8
b) 15x - 5y= 10
24x - 8y = 16
a) x+ y= 1
x-y= 1
c)x+y= 1
x+ y= 2
e) 3x+ 2y= 1
x+ y= 2
b) x+ y= 1
2x+ 2y= 2
d) x+ y= 1
-x- y= - 1
f) x+ 2y= 1
-2x-y=-1
61

15. Método de sustitución
1 Método de sustitución
Además del método gráfico existen otros para resolver sistemas de ecuaciones
lineales. A continuación, se explicará el método de sustitución . Considérese
este sistema de ecuaciones:
3x-2y=1 (1)
x+y=2 (2)
Los pasos para encontrar la solución de este sistema son los siguientes:
2x+y=6
x+ 4y = 17 U Se despeja y en una ecuación; por ejemplo, en la (2):
y = 2 - x
De esta forma, se obtiene y expresada en función de x.
© x+ 4(6 - 2x) = 17 El En la ecuación (1), se sustituye y por su expresión en términos de x y
' x+ 24 - 8x = 17 despeja x:
24-17=8x-x
7=7x
x= 1
© y=6-2(1)
y=6-2
y= 4
Solución
3x - 2(2 - x) = 1
3x-4+2x= 1
5x-4=1
5x=1+4
5x=5
x=1
se
© Se sustituye el valor de x, determinado mediante el paso anterior, en la
ecuación obtenida al despejar y en el paso 1:
y=2-(1)
y=1
De modo que x = 1 y y = 1 es la solución del sistema de ecuaciones.
x= 1
y=4 Este método para resolver un sistema de ecuaciones lineales se llama método
de sustitución y consta de estos pasos:
O Se despeja y en alguna de las dos ecuaciones para expresarla en función de x.
© Se reemplaza y en la otra ecuación por su expresión en términos de x. El
resultado es una ecuación con una incógnita; la solución de esta ecuación es
el valor de x que satisface el sistema.
© Se sustituye el valor de x encontrado mediante el paso anterior en la expre-
sión obtenida en el paso 1. De esta manera se encuentra el valor de y.
El procedimiento también es válido si en el primer paso se despeja x en lugar de
y. Tómese como ejemplo la resolución del siguiente problema:
Dos números cumplen estas condiciones : el doble del primero más el triple del
segundo es igual que 8 y el triple del primero menos el doble del segundo es
igual que -14. ¿Cuáles son los números?
Si x es el primer número y y el segundo , por la primera condición del problema,
2x + 3y = 8, y por la segunda, 3x - 2y = - 14. Entonces, la solución se halla
mediante este sistema de ecuaciones:
2x+3y=8 (1) 3x-2y=-14 (2)
h2

16. O Se despeja x en la ecuación (1):
© Se reemplaza x en la ecuación (2):
De esta ecuación se despeja x:
3( 2 2y 14-^
24 2 9y
-2y = -14
3(' 2 ')-2y=-14
X24-9y-4y=-28
© Se sustituye y en la ecuación obtenida en el paso 1: x =
La solución del sistema de ecuaciones es x = -2 y y = 4.
EJERCICIOS
a
Resuelve en tu cuaderno, con el método de sustitución,
estos sistemas de ecuaciones lineales.
a) 2x+ y= 1
5x-y=-15
c) 4x- 2y= 20
x+ y= -1
b) 5x+ 4y= 8
17x+ y= 2
d)6x-y=1
5x-y=0
e) x- y= 0
7x+ 6y= -13
9) 2x-y=6
3x+2y=44
i) y- x= 2
5x- 4y= 3
k) 4x- y= -2
5x- y= 16
m)8x- 3y= 15
2x+ 2y= 12
ñ) x+ y= -1
5x+ y= -9
p) ]5x-8y= 0
12x+ 36y= 0
r) 3x+ 2y= 1
x+ 5y= -4
f) -2x+ 3y= 4
x- 2y= -12
h) -4x+ 6y= -2
x- 2y= 4
j) 6x-7y=-5
2x- 5y= -15
1 )9x-3y=-9
3x+y=9
n) 20x= 3y+ 7
8y= 12x + 2
o) 5x+ 4y= 14
5x- 4y= 6
q) 16x+ l6y= 32
x+8=2
s)x+2y=2
5x+ y=-8
-13y = -52
y=4
(8 - 3(4)) _ -2
2
Soluciona los siguientes problemas en tu cuaderno;
plantea un sistema de ecuaciones para cada uno.
a) La suma de dos números es 45 y la diferencia es
25. ¿Cuáles son los números?
b) La suma de dos números es 220 y la diferencia es
20. ¿Cuáles son los números?
c) Tres veces la edad de Juan más dos veces la edad
de José es 55, y la suma de las edades de ambos
es 21. Calcula las edades de Juan y José.
d) Cuatro cajas de galletas y tres de dulces cuestan
$ 99, tres cajas de galletas y una de dulces valen
$ 58. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
e) El perímetro de un rectángulo es 20 cm. Si el triple
del ancho es el doble del largo, ¿ cuáles son las
dimensiones de la figura?
f) Una persona va de su casa al trabajo por un
camino y regresa por otro. De ida, recorre 35 km
menos que el doble de la distancia que camina de
regreso. Si en total recorre 55 kilómetros, ¿qué dis-
tancia se desplaza la persona de ida y de regreso?
g) Una barca recorre 13.5 km en 3 horas cuando va
a favor de la corriente de un río. La misma barca
recorre el mismo trayecto en 9 horas cuando nave-
ga en sentido contrario a la corriente. ¿Cuál es la
velocidad de la barca y de la corriente del río?
63

17. 1 Método de igualación
2x+ y= 6
x+ 4y= 17
__ (17-x)
y 4
© 6-2x= 17-x
4
4(6 - 2x) = 17 -x
24-8x= 17-x
7 = 7x
x= 1
© y= 6 - 2(1)
y=6-2
y= 4
Solución
x= 1
y= 4
64
Método de igualación
El siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se resolverá
con el método de igualación.
5x+y=-11 (1)
-2x-6y=38 (2)
o Se despejay en ambas ecuaciones : (1): y = -11 - 5x
(2): -6y = 38 + 2x
(38 + 2x) _ (19 + x)
-6 -3
© Se igualan los valores de y encontrados en el inciso anterior para obtener
una ecuación lineal con una incógnita ; de ésta, se despeja x.
-11-5x= (
19+x)
-3
-3(-11 - 5x) = 19 + x
33+15x=19+x
15x-x= 19-33
14x = -14
x= -1
© Se sustituye el valor de x en alguna de las ecuaciones encontradas en el pri-
mer paso; por ejemplo, en la ecuación y = 11 - 5x:
y= -11-5(-1)=-11+5=-6
Por tanto, la solución del sistema es x = -1 y y = - 6.
En resumen, el método de igualación consiste en los siguientes pasos:
O Se escoge una incógnita y se despeja en ambas ecuaciones.
© Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para ob-
tener una ecuación lineal con una incógnita. Cuando esta ecuación es resuel-
ta, se encuentra el valor de una incógnita.
© Se sustituye el valor de la incógnita determinado mediante el paso anterior
en alguna de las ecuaciones resultantes del primer paso; así se obtiene el va-
lor de la otra incógnita.
El siguiente problema se resolverá mediante un sistema de ecuaciones cuya so-
lución se obtendrá con el método de igualación.
El perímetro del marco de una pintura mide 16 centímetros. Si el largo es el tri-
ple del ancho, ¿cuáles son las dimensiones del marco?
Se llamará x al largo del marco y y al ancho. Del enunciado del problema se deri-
van las siguientes ecuaciones:
El perímetro es 16 cm: 2x + 2y = 16.
El largo es el triple del ancho: x = 3y.
Se despeja x en la primera ecuación:
1

18. 2x + 2y = 16
2x=16-2y
x = (16 - 2y)
2
er
or
va-
so-
Como en la segunda ecuación x ya está despejada, se igualan (2) y (3):
3y = (16 2 2y) . La solución de esta ecuación es y = 2.
Si se sustituye el valor de y en la ecuación (2), resulta el valor de x:
x=3y w x=3(2)=6
Entonces, el marco mide 6 cm de largo y 2 de ancho.
EJERCICIOS
Q
Resuelve los sistemas con el método de igualación.
a) x+ y= -9
x-y=7
b) x- y= -1
4x- 5y= 0
c) 10x+ 3y= -27
x+ y= -9
e) x+ 5y= 3
2x+ 7y= 0
g) 15x + 4y = 35
100x- 2y= 90
i) óx+9y=39
-2x+ 2y= -18
k) 9x- l0y= 2
2x+ y= 23
m)7x- 2y= 3
9x+ 4y= 17
ñ) 7x- 3y= 1
2x+ y= -9
p) 9x+8y=6
5x+ óy= -6
r) áx+ 5y= -7
3x- y= 14
t) 3x- 2y= 1
x+ 2y= 2
d) 3x+y=-1
4x- y= 1
f) 6x-y= 10
9x- 4y= -5
h) 4x+ 9y= -8
-x- 3y= 5
j)3x+2y=60
6x- 7y= 21
1) 5x-4y=0
2x- y= 3
n) 8x- 3y= -5
4x-y=1
o) 3x+ 2y= 60
6x- 7y= -45
q) -4x+ 5y= 11
7x- 8y= -11
s) -x+ 2y= 5
2x- 3y= -1
u) x+ y= 1
5x- 3y= 4
Plantea un sistema de ecuaciones para cada problema
y resuélvelo con el método de igualación.
a) ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo que
tiene 72 cm de perímetro si la base es 3 cm mayor
que la mitad de la altura?
b) Juan y Pedro poseen una colección de 40 discos. Si
Pedro le diera 4 a Juan, ambos quedarían con el
mismo número de discos; ¿cuántos tiene cada uno?
c) El precio de 4 metros de lino y 5 de pana es $ 1 275,
y el de 5 metros de lino y 4 de pana es $ 1 290.
¿Cuánto cuesta el metro de lino y de pana?
d) El doble de un número menos el triple de otro es 5 y la
diferencia de ambos es - 1 . ¿Cuáles son los números?
e) Una maestra desea repartir cierto número de libros
entre sus alumnos con mejor promedio. Si regalara
5 libros a cada uno, le sobrarían 3; si les diera 6, le
quedaría 1. ¿A cuántos alumnos obsequiará libros
la maestra? ¿Cuántos libros repartirá ? (Sugerencia:
llama x al número de libros y y a¡ de alumnos. Si la
maestra obsequia 5 libros a cada alumno, reparte
5y libros y le sobran x- 5y.)
f) A la fiesta de cumpleaños de Claudia asistieron 50
de sus amigos; 3 de los hombres más 5 de las mu-
jeres sumaban 36 personas. Si en un momento todas
las mujeres estaban bailando, ¿cuántos hombres no
bailaban?
65

19. Método de suma y resta
Método de suma
y resta
2x+3y=13
+ -2x+2y=-18
0+5y=-5
2x+ y= 6
El método de suma y resta consiste en realizar operaciones con las ecuacio-
nes de un sistema para eliminar una de las variables, a fin de encontrar una
ecuación lineal con una incógnita. Por ejemplo:
Resolver el sistema
2x+3y= 13 (1)
-2x + 2y = -18 (2)
El coeficiente de x, es decir, el número que lo multiplica, en las dos ecuaciones,
es igual pero de signo contrario. Como las ecuaciones son igualdades, se pue-
den sumar miembro a miembro como sigue:
El resultado es una ecuación lineal con una sola incógnita , que se resuelve así:
5y=-5--- --- -- Y-y=-1
Si se sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales, se en-
x + 4y = 17 cuentra el valor de x. Por ejemplo, en la ecuación (1):
2x + 3(-1) = 13 ---' 2x - 3 = 13 e 2x = 16 ^ x = 8
2x + y = 6 La solución del sistema de ecuaciones es la pareja x = 8 y y = -1.
-2x- 8 = -34
Si una incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones de un siste-
ma, éstas se restan para eliminar la incógnita. Por ejemplo:
2x+ y= 6
+ -2x- 8y = -34 4x + 9y = -8 (1)
-7y= -28 3x + 9y = - 15 (2)
-28
y= 7 =4 Como la incógnita y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones , éstas se
restan miembro a miembro:
2x+4=6
(6-4)
2 = 1
Solución
x=1
y=4
4x+9y=-8 (1)
- 3x+9y=-15 (2)
x+ 0 =7
Entonces x = 7. Si se sustituye este valor en la ecuación (1), se obtiene el valor
de y:
4(7)+9y=-8 --o- 28+9y=-8 -o 9y=-8-28-..-y= (-89 28) _ -936 =-4
La solución del sistema es la pareja x = 7 y y = -4.
Si en un sistema de ecuaciones ninguna de las dos incógnitas tiene el mismo coefi-
ciente, las ecuaciones se transforman por medio de multiplicaciones. Por ejemplo:
Resolver el sistema
15x + 4y = 6 (1)
-7x+3y=41 (2)
Si la primera ecuación se multiplica por 3 y la segunda por -4, el sistema se
transforma como sigue:
Re
mi
a)
c)
e)
9)
k)
m)
ñ)
p)
r)
66

20. 3(15x + 4y) = 3(6) 45x + 12y = 18 (1')
-4(-7x + 3y) = -4(41) ^ 28x - 12y = -164 (2')
Se suman las ecuaciones Y se sustituye el valor encontrado
del nuevo sistema: en una de las ecuaciones iniciales:
45x + 12y = 18 45(-2) + 12y = 18
+28x-12y=-164 -90+12y=18
73x +0 = - 146 12y=18+90
73x= -146-^x= -2
La solución al sistema es la pareja x = - 2 y y = 9.
EJERCICIOS
Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales con el
método de suma y resta.
a) x- 5y= 3
-x+ 6y= 1
b)x+y=-5
x- y= -11
c) x- y= 6 d) 3x- y= 1
2x+ y= 4 4x+y=-22
e) -5x+ y= 5 f) x+y=2
4x-y=-1 -x+ 2y= 31
g) 3x+ 2y= 4 h) 4x+ y = -1
x+ y= 2 5x+ 3y= 4
i) 9x+ y= 90 j) 3x- y= 1
15x- 2y= -15 8x+ 3y= 48
k) 9x- 5y= -3 I) 4x+y=8
2x- y= 1 15x- 4y= -1
m)-7x+ 5y= 15
4x- y= -29
n) 7x+ 8y= -1
9x- 2y= 11
ñ) 5x-2y=4
1Ox-7y= -16
o) 3x+ 2y= 0
18x+ 9y= 9
p) 4x- 3y= -9 q) 5x+ 4y= 0
5x- 2y= 1 6x+ 5y= 1
r) 3x+ 5y= 2 s) 2x+ 7y= 3
5x+ 3y= 14 3x- 4y= 19
t)6x-2y=0 u) 6x+ 8y = -4
7x- 3y= -4 12x- 16y= 16
y 108=9
12
Soluciona los siguientes problemas; plantea un sistema
de ecuaciones para cada uno y resuélvelo con el méto-
do de suma y resta.
a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo isósceles
ABC? (Sugerencia: recuerda que los ángulos interio-
res de cualquier triángulo suman 180°.)
B
b) El largo de un rectángulo es el triple del ancho. Si
el largo fuera 3 centímetros menor y el ancho 9
centímetros mayor, la figura sería un cuadrado.
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
c) En una granja hay pollos y conejos. Si el número
de patas es 244 y el de animales 107, ¿cuántos
pollos y conejos se encuentran en la granja?
d) El número de hermanos de María es el mismo que
el de hermanas, pero cualquier hermano de María
tiene el doble de. hermanas que de hermanos.
Calcula el número de hermanos y hermanas que
tiene María. (Observación: si llamas xal número de
hermanos y y al de hermanas de María, un her-
mano de María tiene y+ 1 hermanas, pues son y
hermanas de María más María, y x- 1 hermanos
porque son x hermanos de María menos él mismo.)
67

21. Sistemas de tres ecuaciones lineales
Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se resuelve
encontrando los valores de las tres variables que satisfagan simultáneamente
las tres ecuaciones.
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se transforma en uno de dos
ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución. Como ejemplo, se
resolverá el siguiente sistema:
x+y-z=-5 (1)
x - y + 2z = 11 (2)
2x+y-z=-4 (3)
O Se despeja x en la ecuación ( 1): x = - 5 - y + z
© Se sustituye x en las ecuaciones (2) y (3):
(- 5 - y + z) - y + 2z = 11 2(- 5-y+z)+y-z=-4
Cuando se reducen términos semejantes , el resultado es un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas:
-2y+3z =16 (1') -y +z =6 (2')
© Este sistema se resuelve con alguno de los métodos expuestos en lecciones
anteriores . Por ejemplo , con el método de suma y resta:
Se multiplica la segunda ecuación por 2 y el resultado se resta a (1'):
-2y+3x=16
2(-y+z) =2(6) ' - -2y+2z=12
0 + z=4
Se reemplaza el valor de z en la ecuación (2'): -y + (4) = 6, entonces y = - 2.
Se sustituyen los valores de y y z en la ecuación que se obtuvo en el paso 1:
x=-5-(-2)+(4)=-5+2+4=1
La solución del sistema es x = 1, y = -2 y z = 4.
En general, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelve así:
O Se despeja una incógnita en alguna ecuación.
© La incógnita despejada en el primer paso se sustituye en las otras dos ecua-
ciones; el resultado es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
© Se resuelve el sistema obtenido en el paso anterior y con la solución de és-
te, se encuentra el valor de la incógnita despejada en el primer paso.
El perímetro de un triángulo es 18 centímetros. El lado mayor es dos unidades
mayor que el mediano y el mediano es dos unidades mayor que el pequeño.
¿Cuánto miden los lados de la figura?
Si x es el lado mayor, y el mediano y z el pequeño, el planteamiento del proble-
ma es el que sigue:
68

22. elve
ante
dos
, se
La solución del sistema está dada por los valores x = 8, y = 6 y z = 4.
© Se sustituye z en la primera ecuación:
x+y+(y-2)=18 x+2y-2=18»» x+2y=20
Las ecuaciones x + 2y = 20 y (2) tienen las mismas incógnitas. Entonces, se
puede resolver el sistema formado por ellas.
x+2y=20 (1') x-y=2 (2)
dos
n
z=y-2- ^ z=6-2=4
nes
El perímetro es 18 cm: x + y + z = 18 (1)
El lado mayor es dos unidades mayor que el mediano: - x - y = 2 (2)
El lado mediano es dos unidades mayor que el pequeño: --s y - z = 2 (3)
Se despeja z en la tercera ecuación: z = y - 2.
La solución de este sistema es x = 8 y y = 6. Si se reemplaza el valor de y en la
ecuación encontrada en el paso 1, se obtiene el valor de z:
EJERCICIOS
l El-
Resuelve los sistemas de tres ecuaciones con tres incóg-
nitas.
a)x+y-z=3
x- y+ z= - 1
x+ y+ z= 1
:
c) x+ 2y+ z= 2
3x+ y- z= 0
x-2y-z=-4
e) 3x+ y- z= 2
:ua-
s-
2x- y- z= - 7
x+ y+ z= 4
g) 3x+ 8y-z= 7
x+ y-z= 4
x+ 2y+z= -5
i) x- y+ z= 15
3x- 2y+ z= 20
des x+ 4y- 3z=10
año.
k) 2x- y+ z= 6
-x+ 3y- z= -10
ble- 4x+ 7y+ 2z= 3
b) 2x- y+ z=4
x+ y+ z= 7
2x+ 2y- z= 2
d) x+ y+ z= 5
X- y- z= 1
x- y+ z= 9
f) 2x- y+ z= 8
3x- 2y- z= 4
x+ y+ z= 14
h) x+ y+ z= =1
2x- 10y+z=6
5x- 3y+ 5z= -5
j) 4x-4y+z=3
x+ y-2z= -3
3x+ y-2z= 7
1) 5x+ 4y+ 2z= 35
x- y+ 8z= -32
6x+ 5y- z= 54
Soluciona los siguientes problemas mediante sistemas
de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
a) María y José fueron a la tienda. María pagó $ 17.00
por 5 dulces, 1 chocolate y 3 galletas. José pagó
$ 16.00 por 2 dulces, 2 chocolates y 1 galleta. Si
el precio de cada chocolate es el triple que el de
una galleta, ¿cuánto cuestan los dulces, los chocola-
tes y las galletas?
b) Calcula las edades de un abuelo, un padre y un hijo.
La edad del padre es el triple que la del hijo, las eda-
des del padre y del abuelo suman 102, y cinco veces
la edad del hijo excede en 10 años la del abuelo.
c) Una caja contiene clavos, tornillos y tuercas. El nú-
mero de clavos es el triple que el de tornillos y la
cantidad de tornillos es tres veces el de tuercas.
¿Cuántos clavos, tornillos y tuercas hay en la caja si
en total suman 1 872 objetos?
d) Un ciclista avanza a 25 kilómetros por hora en te-
rreno plano, a 15 kilómetros por hora en subida y
a 30 kilómetros por hora en bajada. Para recorrer
una carretera de 100 kilómetros empleó 4 horas de
ida y 5.5 horas de regreso. ¿Cuántos kilómetros de
subida, bajada y terreno plano tiene la carretera?
69

23. Factor común
Productos
notables y
factorización
Factorización
de un monomio
56)X3 17)Íg)x3
56x3
56xx2^ [2)(2)(2)(7)
Máximo factor común
24x3yz4 56y5z3
M.C.D.
de 24 y 56
Factores comunes con
el mínimo exponente
15
5
5
5
1
En ocasiones, es necesario expresar un monomio de manera que sus factores se
indiquen explícitamente. A esto se llama factorizar un monomio . Por ejem-
plo, las siguientes son factorizaciones de 6x2:
(3)(2)(x2) (6x)(x) (6x2)(1) (-3)(2)(-x)(x) (3)(2)(x)(x)
Cada producto es igual que W. La factorización de un monomio no es única.
Factorizar el monomio 8x5 de manera que un factor sea 2x2 . El proble-
ma consiste en encontrar un monomio que multiplicado por 2x2 resulte 8x5.
Como (2)(4) = 8 y (x2)(x3) = x5, el monomio buscado es 4x3 pues (4x")(2x2) = 8x5.
Encontrar los factores comunes de los monomios x3 y x4.
Los factores de x3 son 1, x, x2 y x3, ya que (1)(x3) = x3 y (x)(x2) = x3.
Los factores de x4 son 1, x, x2, x3 y x4, pues (1)(x4) = x4, (x)(x3) = x4 y ( x2)(x2) = x4.
Entonces, los factores comunes de los dos monomios son 1, x, x2 y x3.
x2y es factor común de 2x2y3 y 9x3y porque 2x2y3 = (x2y)(2y2) y 9x3y = (x2y)(9x).
El factor común de dos monomios es otro monomio que es factor de ambos.
El mayor factor común de dos o más monomios se llama máximo factor común.
Véase cómo se calcula el máximo factor común de 12x2zy3, -8x3y2w y 6x3y:
12x2zy3 -8x3y2w 6x3y
Q Se halla el máximo común
divisor de las partes literales. ---> 12 8 6
© Se toman las variables comunes
de cada monomio. x2y8
M.C.D. = 2
-x3y2 x3y
Se escogen las que tienen menor
2exponente. x y
27 T Se multiplica el M.C.D. de las partes 19 3 literales por las variables comunes elevadas
3 3 l >- 2a menor exponente. 2x y
1 5
M.C.D. (15, 27) = 3
70
Calcular el máximo factor común de 15x4y5z9 y 27x3y7zw. El M.C.D. (má-
ximo común divisor) de 15 y 27 es 3 (se calcula a la izquierda) y las variables
comunes elevadas al menor exponente son x3, y5 y z. Entonces, el máximo fac-
tor común es 3x3y5z.
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de un monomio por un
polinomio o de un polinomio por otro polinomio. Si un polinomio está formado
por monomios con factor común distinto de 1, se puede factorizar como el pro-
ducto de un monomio y un polinomio. Por ejemplo:
a
e
1
a
c
1
E
a
d
1
E
a
d

24. T
s se
em-
Factorizar el polinomio 3x2y + 12x3y2 + 15xy.
Q Se obtiene el máximo factor común de los monomios que forman el polino-
mio. El máximo factor común de 3x2y, 12x3y2 y 15xy es 3xy.
© Se factorizan los monomios como sigue: 3x2y = (3xy)(x), 12x3y2 = (3xy)(4x2 y)
y 15xy = (3xy)(5).
ble-
8x5
© Se expresa el polinomio como producto del máximo factor común y la suma
de los otros factores obtenidos en el paso 2:
3x2y + 12x3y2 + 15xy = (3xy)(x + 4x2y + 5)
Se puede comprobar si la factorización es correcta realizando el producto:
(3xy)(x + 4x2y + 5) = (3xy)(x) + (3xy)( 4x2y) + (3xy)(5) = 3x2y + 12x3y2 + 15xy
Factorizar el polinomio 4x3 - 12x2 + 18x.
O 2x es un máximo factor común de los monomios del polinomio.
© 4x3 = (2x)(2x2), - 12x2 = (2x)(-6x), 18x = (2x)(9)
© (4x3-12x2+18x)=(2x)(2x2-6x+9)
EJERCICIOS
1-1
Factoriza los siguientes monomios.
a) 4x2y b) 21 ab3 c) 48abx5y2 d) 60x3yz2
e) 8Z2W2V f ) 15x5yz3 g) 23r4st2 h) 20x3y4z
Encuentra el factor que falta en cada caso.
a) 4x2y2 = (-4xy)( ) b) 4x2y2 = (2y)(
c) 4x2y2 = (4x)( - - ) d) 4x2y2 = (2xy)( )
91
Escribe tres factorizaciones de cada monomio.
á- a) -16x2y3 b) -18 U4 c) 125 U' 3 V2
les
ac-
d) -25y3z3 e) -60x8 f) 240a14be
un
ado
kro-
Encuentra el máximo factor común de cada pareja.
a) 8X3 y 6x8 b) 24a2 y 14a6 c) x100 y x99
d) 4a2by22a3b5e) 35u7v15y56uv16f) 4x6y 2x3
.. l
Expresa cada binomio como producto de factores, tal
que uno de ellos sea el máximo factor común.
a) 5 + 15x b) 26 - 39y
c) 42x+ 48y d) 56x+ 57y
e) 3xy2-9x2y f) 1 Oxa + 7 xa
g) x+ x2 h) 4x- 8x2
i) 8x + 14x2 j) X- x2
k) X2 + X3 1 5X3- 15X4
m)a2b3 + 9ab4 n) óab - 27ab2
ñ) 64u6v5 + 28u5v6 0) 6x2y- óxy2
p) 2x2y2+ 4xy q) a2b2c2 + 2abc
Expresa los polinomios como producto de factores, tal
que uno de ellos sea el máximo factor común.
a) 2x + 6x2 -8x3 b) 10X2 + 16x3 -28x4
c) ]2x+ 26x2 -18x5 d) 7x5 -14x8 -21 x'0
e) 2x6 + 4x4 + 8x2 f) xy2 - x2y- x2y2
g) 25X3y3+ 50X3y4- 75X2y3
h) 11y4 -33y5 -121y8
i ) óxy 5 + 3 yx4 +9x2
j )-Zy2 - Z3y+ Zx4y2
71