Este documento presenta 47 problemas de series y sumatorias matemáticas. Los problemas involucran el cálculo de sumas de términos de progresiones aritméticas, geométricas y otras series, así como determinar valores para que una expresión sea igual a cierto número.

1. Prácticas Dirigidas 1
1
SERIES
Problema 1
Calcular: 퐸=0,1+0,3+0,5+0,7+⋯+2,9
Problema 2
Una serie aritmética de 30 términos tiene de particular que sumados el primer y el penúltimo término resulta 310, en tanto, la suma del segundo y el último término resulta 316. Hallar la suma de los 30 términos de la serie en cuestión.
Problema 3
Hallar “n” en: (3푛+2)+(3푛+4)+(3푛+6)+⋯+(5푛)=81푛
Problema 4
Calcular “S”: 푆=1푥5−2푥6+3푥7−4푥8+5푥9−⋯⏟ 20 푠푢푚푎푛푑표푠
Problema 5
Dados los conjuntos de enteros consecutivos:
{1}; {2,3}; {4,5,6}; {7,8,9,10};…
Donde cada conjunto contiene un elemento más que el precedente, sea 푆푛 la suma de los elementos del n- ésimo conjunto, luego 푆21 será igual a:
Problema 6
Hallar la suma de:
푆=2+ 12+ 13+ 14+ 19+ 18+ 127+ 116+⋯
Problema 7
El segundo término de una P.A. es 7 y el séptimo término es 22. Hallar la suma de los 10 primeros términos.
Problema 8
Los números 푥;푥+4;푥+16;… son los tres primeros términos consecutivos de una progresión geométrica. Hallar la suma de sus 10 primeros términos.
Problema 9
Emanuel ahorró su dinero de la siguiente manera: el primer día 3 monedas de 50 céntimos; el segundo día 3 soles más de lo que ahorró el primer día; el tercer día 5 soles más de lo que ahorró el segundo día; el cuarto día ahorró 7 soles más de lo que ahorró el tercer día y así sucesivamente hasta que el último día ahorró 801 monedas de cincuenta céntimos. ¿A cuánto ascienden sus ahorros?
Problema 10
En el siguiente arreglo triangular calcular la suma de los términos de 퐹20:
퐹1 1
퐹2 4 9
퐹3 16 25 36
퐹4 49 64 81 100
Problema 11
Calcular S: 푆= 13+ 232+ 333+ 434+⋯∞
Problema 12
Calcular la suma de los infinitos términos dados:
17+ 272+ 173+ 274+ 175+ 276+⋯
Problema 13
Calcular S: 푆=1푥19+2푥18+3푥17+⋯+19푥1

2. Prácticas Dirigidas 2
2
Problema 14
Hallar la suma de los 15 primeros términos de la serie: 푆=1+7+17+31+⋯
Problema 15
Hallar la suma de la siguiente serie: 푆=1+2+7+7+13+12+⋯+42
Problema 16
Hallar el valor de “x” 푆=69+67+65+63+⋯+푥=1000
Problema 17
La suma de 81 números pares consecutivos es igual a 171 veces el primer número. Hallar la suma de las cifras del término central.
Problema 18
Hallar S: 푆=1− 14+ 116− 164+ 1256−⋯
Problema 19
Calcular el valor de S: 푆=1+(1+4)+(1+4+7)+(1+4+7+10)+⋯⏟ 20 푡é푟푚푖푛표푠
Problema 20
Calcular la suma de todos los términos unidos por la línea demarcada hasta la fila 20.
퐹1 1
퐹2 1 2 1
퐹3 1 3 3 1
퐹4 1 4 6 4 1
퐹5 1 5 10 10 5 1
퐹6 1 6 15 20 15 6 1
Problema 21
La reina y el rey salen a pasear por los bosques de sus dominios; mientras la reina da 20 pasos en forma constante por cada minuto, el rey avanza 1 paso en el primer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al final llegan juntos a su destino. ¿Cuál es la distancia que han recorrido?
Problema 22
Calcule S: 푆=1푥5푥2+4푥7푥3+7푥9푥4+10푥11푥5+⋯⏟ 20 푡é푟푚푖푛표푠
Problema 23
Calcule:
푀=Σ[( 12) 푛 −( 13) 푛 ] 2∞푛 =0
Problema 24
Si: 푆푛=1+2+3+4+⋯+푛
Hallar el valor de: 푆=푆20−푆19+푆18−푆17+푆16−⋯+푆2−푆1
Problema 25
Hallar “n” en: 4 푛 + 1 푛2+ 4 푛3+ 1 푛3+⋯= 57; 0< 1 푛 <1
Problema 26
Calcule: 푆=1+1+1+1+121+601+⋯⏟ 24 푡é푟푚푖푛표푠
Problema 27
Calcule: 푀=Σ[Σ[Σ(푎) 푘 푎=1] 푖 푘=1] 푛 푖=1
Problema 28
Hallar el valor de: 푆= 34+ 12+ 56+ 316+⋯

3. Prácticas Dirigidas 3
3
4 4
Problema 29
Se define: 푎 푏 푐 = 푎 푏푥푐
Calcule:
푆= 112 + 224 + 34 7 + 4711 +⋯+ 20191211
Problema 30
Dada la serie:
11 푎 + 101 푎2+ 1001 푎3+ 10001 푎4+⋯ donde 푎>0.
Hallar “a”, si esta serie converge a: 1+ 119
Problema 31
A los términos de la serie: 푆=2+5+8+11+⋯
Se le agrega 1;2;3;4;… respectivamente, de tal manera que la suma de la nueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántos términos tiene la serie original?
Problema 32
Si tiene 20 candados y 20 llaves que le corresponden, pero todas las llaves están mezcladas. ¿Cuántas veces será necesario probar las llaves para saber con certeza a que candado corresponden?
Problema 33
Halle el área de la región sombreada:
∞
Problema 34
Calcula la suma de los 20 primeros términos de: −1; 0; 0; 0; 1; 4;…
Problema 35
Calcule la suma de los cuadrados infinitos de la siguiente figura:
Problema 36
Si: Σ푎푘푥푘=푥5−2푥2+7푥+32002 푘=0
Calcule: Σ푎(2푘+1) 100 푘=1
Problema 37
Calcule el valor de S en: 푆= 122−1+ 132−1+ 142−1+ 152−1+⋯+ 1202−1
Problema 38
Calcule: 푀=Σ(3푖+5) 20 푖=10+Σ(4푖3+6푖) 20 푖=5+Σ(2푖−1)220 푖=4
Problema 39
Calcule el valor de: 푆= 1푥37+ 4푥972+ 9푥2773+ 16푥8174+⋯
Problema 40
Halle el valor de “S”: 푆= 139+ 2327+ 3381+ 43243+⋯∞
Problema 41
En la siguiente serie: 0< 1 푞 <1 푆= 푎 푞 + 푎+푟 푞2+ 푎+2푟 푞3+ 푎+3푟 푞4+⋯∞
Calcula la suma de todos sus términos.
37°

4. Prácticas Dirigidas 4
4
Problema 42
Si cada una de las series que se suman es convergente, halle: 푆=Σ(−1)푘12푘 ∞ 푘=0+Σ( 12) 푘∞ 푘=0
Problema 43
Halle la suma de la serie: 1+ 1√23+ 1√43+ 1√83+ 1√163+⋯
Problema 44
Determinar el valor de: 푆(푛)=Σ[ 24푘2−1+ 12푛+1] 푛 푘=1
Problema 45
Como se indica en la figura adjunta, se construye progresivamente circunferencias tangentes de radio cada vez menor, tangentes a dos semicircunferencias de igual radio R. Use dicha construcción para determinar la suma de la serie infinita. 11푥2+ 12푥3+ 13푥4+⋯+ 1 푛푥(푛+1) +⋯
Problema 46
Para la sucesión definida por: 푆푘=Σ( 12푘+푛 ) 2푘 푛=1;푘≥1
Se puede afirmar la siguiente desigualdad:
Problema 47
En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cuadrado uniendo los puntos medios de los lados de dicho cuadrado. Repetimos este proceso indefinidamente. Entonces la suma de los perímetros de todos los cuadrados así construidos será:
R R