cal1

1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL DE CHIRIQUÍ
PARCIAL No. 3 DE CÁLCULO I
PROFESOR: A. GALLARDO H. ALUMNO: KARLA ROBLES
FECHA: 𝟏𝟕 − 𝟔 − 𝟐 𝟎𝟐𝟏 . CÉDULA: 4-811-1645
GRUPO: 2L111
INDICACIONES: “Al resolver esta asignación, sea cuidadoso, limpio y ordenado con sus
respuestas; realice todos los pasos correspondientes y necesarios en cada caso ”.
1−) 𝑠(𝑡) =
2
3
(𝑡3 −
15
2
𝑡2 + 12𝑡 + 5) es la función de posición de un cuerpo en
enmovimientorectilíneo, 𝑠enmetros;calcular:……………………………………….…………………(20 puntos).
𝑎) La velocidad y la aceleración al final de 30 segundos.
𝑏) Los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad y la aceleración son cero.
2 −. Un automóvil viaja hacia el Oeste a razón de 150 km por hora y otro automóvil viaja hacia el
Norte a 140 km por hora; ambos autos se dirigen hacia la intersección de dos vías.
¿Con qué rapidez se aproximan el uno al otro, cuando el primer automóvil está a 0,3 km y el
segundoautomóvilestáa0,4kmde dichaintersección?………………………..………...……….. (20puntos).
3 −. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, si existen, de la gráfica de
𝑓(𝑥) =
1
6
(𝑥3
− 6𝑥2
+ 9𝑥 + 6)… …… … …… … …… … … …… … …. . … … …… . (20 puntos).
4 −. Determinar los intervalos de concavidad y de convexidad, si existen, de la gráfica de la
función 𝑓(𝑥) = −3𝑥4
+ 4𝑥3
+ 6𝑥2
…………..…………………………………..…….………. (20 puntos).
5 −. Determinar el o los puntos de inflexión, si existen, de la gráfica de la función
𝑓(𝑥) = 𝑥4
−
8
3
𝑥3
+ 2𝑥2
.. … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … . . . (20 puntos).
“SUERTE”

2. 1−) 𝒔(𝒕) =
𝟐
𝟑
(𝒕𝟑 −
𝟏𝟓
𝟐
𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝒕 + 𝟓) 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐮𝐧 𝐜𝐮𝐞𝐫𝐩𝐨 𝐞𝐧
en movimiento rectilíneo, 𝒔 en metros; calcular:……………………………………….…………………
(𝟐𝟎 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬).
𝒂) La velocidad y la aceleración al final de 𝟑𝟎 segundos.
𝒃) Los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad y la aceleración son cero.
Solución
𝒂) La velocidad y la aceleración al final de 𝟑𝟎 segundos.
Se sabe en movimientorectilíneoque lavelocidadse expresacomo 𝒗 = 𝒔′(𝒕) y la aceleración
𝒂 = 𝒔′′(𝒕)es por elloque se procede a derivar
𝑠′(𝑡) =
2
3
((3t2) −
15
2
(2t) + 12(1) + 0)
𝑠′(𝑡) =
2
3
(3t2 − 15t + 12)
𝑠′(𝑡) =
2(3)
3
(t2 − 5t + 4)
𝑠′(𝑡) = 2(t2 − 5t + 4)
𝑠′′(𝑡) = 2(2t − 5(1) + 0)
𝑠′′(𝑡) = 2(2t − 5)
𝑅: 𝐴 𝑙𝑜𝑠 30𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑠′(30) = 2((30)2 − 5(30) + 4)
𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑒𝑠 𝑑𝑒 1508
𝑚
𝑠
𝑠′(30) = 2((900) − 150 + 4)
𝑠′(30) = 2(904 − 450)
𝑠′(30) = 2(754)
𝑠′(30) = 1508 𝑚/𝑠
𝑅: 𝐴 𝑙𝑜𝑠 30 𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠′′(30) = 2(2(30) − 5)
𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 𝑒𝑠 𝑑𝑒 110
𝑚
𝑠²
𝑠′′(30) = 2(60 − 5)

3. 𝑠′′(30) = 2(55)
𝑠′′(30) = 110 m/s2
𝑏) Los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad y la aceleración son cero.
Los intervalosde lavelocidad soncerocuando 𝑠′(𝑡) = 0
𝑠′(𝑡) = 2(t2 − 5t + 4) = 0
(t2 − 5t + 4) = 0
(𝑡 − 1)(𝑡 − 4) = 0
𝑡 − 1 = 0 ʌ 𝑡 − 4 = 0
𝑡 = 1𝑠 ʌ 𝑡 = 4𝑠
R: La velocidad del móvil es de 0 a los 1 y 4 segundos.
Los intervalosde laaceleraciónsoncerocuando 𝑠′′(𝑡) = 0
𝑠′′(𝑡) = 2(2t − 5) = 0
2(2t − 5) = 0
2t − 5 = 0
2t = 5
t =
5
2
s
R: La aceleración del móvil es de 0 a los 2.5 segundos.

4. 2 −. Un automóvil viaja hacia el Oeste a razón de 150 km por hora y otro automóvil viaja hacia el
Norte a 140 km por hora; ambos autos se dirigen hacia la intersección de dos vías.
¿Con qué rapidez se aproximan el uno al otro, cuando el primer automóvil está a 0,3 km y el
segundo automóvil está a 0,4 km de dicha intersección? ………………………..………...……….. (𝟐𝟎
puntos).
Solución
Sea 𝒕 el número de horas del tiempo que ha transcurrido desde que los autos comenzaron a
aproximarse al punto𝑷 o puntode intersección, 𝒙el númerode kilómetrosde ladistanciaa partir
del primer automóvil hasta el punto 𝑷 a las 𝒕 horas, que es 𝟎, 𝟑 𝒌𝒎, 𝒚 el número de kilómetros
de la distancia a partir del segundo automóvil hasta la intersección, que 𝟎, 𝟒 𝒌𝒎, y 𝒛 el número
de kilómetros de la distancia entre los dos automóviles a las 𝒕 horas.
Como 𝒙 decrece conforme 𝒕 crece y el primer auto se aproxima al punto 𝑷 de interseccióna una
tasa de 𝟓𝟎 𝒌𝒎/𝒉, entonces
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= −𝟏𝟓𝟎; al igual que lo es
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= −𝟏𝟒𝟎.
Del Teoremade Pitágoras para 𝒙 = 𝟎, 𝟑 y 𝒚 = 𝟎,𝟒, obtenemos𝒛.
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑧2 = (0,3)2 + (0,4)2
𝑧2 = 0,09 + 0,16
𝑧2 = 0,25
𝑧 = 0,5
𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
2𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2(0,5)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2(0,3)(−150) + 2(0,4)(−140)
(0,5)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= −45 − 56
(0,5)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= −101

5. 𝑑𝑧
𝑑𝑡
= −
101
0,5
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= −202
R: Los automóviles se aproximan el uno al otro a la rapidez de 202 km/h

6. 3 −. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, si existen, de la gráfica de
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟔
(𝒙𝟑
− 𝟔𝒙𝟐
+ 𝟗𝒙 +
𝟔)… …… … …… … …… … … …… … …. . … … …… . (𝟐𝟎 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬).
Solución:
𝑓′(𝑥) =
1
6
((3𝑥2) − 6(2𝑥) + 9(1) + 0)
𝑓′(𝑥) =
1
6
(3𝑥2 − 12𝑥 + 9)
𝑓′(𝑥) =
3
6
(𝑥2 − 4𝑥 + 3)
𝑓′(𝑥) =
1
2
(𝑥2 − 4𝑥 + 3)
1
2
(𝑥2 − 4𝑥 + 3) = 0
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 − 3 = 0 ʌ 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 3 ʌ 𝑥 = 1
Para 𝑥 = 1
Si 𝑥 < 1 ʌ Si 𝑥 > 1
𝑓′(0) =
1
2
((0)2 − 4(0) + 3) ʌ 𝑓′(2) =
1
2
((2)2 − 4(2) + 3)
𝑓′(0) =
1
2
(0 − 0 + 3) ʌ 𝑓′(2) =
1
2
(4 − 8 + 3)
𝑓′(0) =
3
2
ʌ 𝑓′(2) =
1
2
(7 − 8)
𝑓′(0) =
3
2
ʌ 𝑓′(2) =
1
2
(−1)

7. 𝑓′(0) =
3
2
> 0 crece ʌ 𝑓′(2) = −
1
2
< 0 decrece
Para 𝑥 = 3
Si 𝑥 < 3 ʌ Si 𝑥 > 3
𝑓′(2) =
1
2
((2)2 − 4(2) + 3) ʌ 𝑓′(4) =
1
2
((4)2 − 4(4) + 3)
𝑓′(2) =
1
2
(4 − 8 + 3) ʌ 𝑓′(4) =
1
2
(16 − 16 + 3)
𝑓′(2) =
1
2
(7 − 8) ʌ 𝑓′(4) =
1
2
(0 + 3)
𝑓′(2) =
1
2
(−1) ʌ 𝑓′(4) =
1
2
(3)
𝑓′(2) = −
1
2
< 0 decrece ʌ 𝑓′(4) =
3
2
> 0 crece
R: Luego f(x) es reciente en intervalos (-∞,1) y (3,+∞) y es decreciente en el intervalo (1,3)

8. 4 −. Determinar los intervalos de concavidad y de convexidad, si existen, de la gráfica de
la función 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟒
+ 𝟒𝒙𝟑
+ 𝟔𝒙𝟐
…………..…………………………………..…….………. (20
puntos).
Solución:
𝑓′(𝑥) = −3(4𝑥3)+ 4(3𝑥2)+ 6(2𝑥)
𝑓′(𝑥) = −12𝑥3 + 12𝑥2 + 12𝑥
𝑓′′(𝑥) = −12(3𝑥2)+ 12(2𝑥)+ 12(1)
𝑓′′(𝑥) = −36𝑥2 + 24𝑥 + 12
𝑓′′(𝑥) = 0
−36𝑥2 + 24𝑥 + 12 = 0
−3𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0
3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0
(3𝑥2) − 2(3𝑥) − 3
3
= 0
(3𝑥 − 3)(3𝑥 + 1)
3
= 0
3(𝑥 − 1)(3𝑥 + 1)
3
= 0
(𝑥 − 1)(3𝑥 + 1) = 0
𝑥 − 1 = 0 ʌ 3𝑥 + 1 = 0
𝑥 = 1 ʌ 3𝑥 = −1
𝑥 = 1 ʌ 𝑥 = −
1
3

9. Para 𝑥 = −
1
3
Si 𝑥 < −
1
3
ʌ Si 𝑥 > −
1
3
𝑓′′(−1) = −36(−1)2 + 24(−1) + 12 ʌ 𝑓′′(0) = −36(0)2 + 24(0) + 12
𝑓′′(−1) = −36(1) − 24 + 12 ʌ 𝑓′′(0) = −36(0) + 0 + 12
𝑓′′(−1) = −36 − 24 + 12 ʌ 𝑓′′(0) = 0 + 0 + 12
𝑓′′(−1) = −60 + 12 ʌ 𝑓′′(0) = 12
𝑓′′(−1) = −48 ʌ 𝑓′′(0) = 12
𝑓 (−
1
3
) = −3(−
1
3
)
4
+ 4(−
1
3
)
3
+ 6(−
1
3
)
2
𝑓 (−
1
3
) = −3 (
1
81
) + 4 (−
1
27
) + 6(
1
9
)
𝑓 (−
1
3
) = −
1
27
−
4
27
+
2
3
𝑓 (−
1
3
) =
−1 − 4 + 2(9)
27
𝑓 (−
1
3
) =
−5 + 18
27
𝑓 (−
1
3
) =
13
27
Luego 𝑃(−
1
3
,
13
27
)
Para 𝑥 = 1
Si 𝑥 < 1 ʌ Si 𝑥 > 1
𝑓′′(0) = −36(0)2 + 24(0) + 12 ʌ 𝑓′′(2) = −36(2)2 + 24(2) + 12
𝑓′′(0) = −36(0) + 0 + 12 ʌ 𝑓′′(2) = −36(4) + 48 + 12
𝑓′′(0) = 0 + 0 + 12 ʌ 𝑓′′(2) = −144 + 60
𝑓′′(0) = 12 ʌ 𝑓′′(2) = −84

10. 𝑓(1) = −3(1)
4
+ 4(1)
3
+ 6(1)
2
𝑓(1) = −3(1) + 4(1) + 6
𝑓(1) = −3 + 4 + 6
𝑓(1) = −3 + 10
𝑓(1) = 7
Luego 𝑃(1,7 )
R: Como f”(2)<0 y f”(1/2)<0, entoncesf(x) escóncava abajo o convexa en losintervalos(-∞, -1/3)
U (1.+∞).Y como f”(0)>0 es cóncava en el intervalo (-1/3, 1) a partirde los puntos(-1/3, 13/27)
hasta(1,7)

11. 5 −. Determinar el o los puntos de inflexión, si existen, de la gráfica de la función
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒
−
𝟖
𝟑
𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙𝟐
.. … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … . . . (𝟐𝟎 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬).
𝑓(𝑥) = 𝑥4 −
8
3
𝑥3 + 2𝑥2
Solución:
𝑓′(𝑥) = (4𝑥3) −
8
3
(3𝑥2)+ 2(2𝑥)
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 8𝑥2 + 4𝑥
𝑓′′(𝑥) = 4(3𝑥2) − 8(2𝑥)+ 4(1)
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 − 16𝑥 + 4
12𝑥2 − 16𝑥 + 4 = 0
4 (3𝑥2 − 4𝑥 + 1) = 0
3𝑥2
− 4𝑥 + 1 = 0
𝑋 =
−(−4)± √(−4)2 − 4(3)(1)
2(3)
= 0
𝑋 =
4 ± √4
6
= 0
𝑋 =
4 ± 2
6
𝑥 =
4+2
6
= 0 ʌ 𝑥 =
4−2
6
𝑥 = 1 ʌ 𝑥 =
1
3

12. Para 𝑥 =
1
3
Si 𝑥 <
1
3
ʌ Si 𝑥 >
1
3
𝑓′′(0) = 12(0)2 − 16(0)+ 4 ʌ 𝑓′′ (
1
2
) = 12 (
1
2
)
2
− 16(
1
2
)+ 4
𝑓′′(0) = 12(0) − 0 + 4 ʌ 𝑓′′ (
1
2
) = 12(
1
4
) − 8 + 4
𝑓′′(0) = 0 − 0 + 4 ʌ 𝑓′′ (
1
2
) = 3 − 8 + 4
𝑓′′(0) = 4 ʌ 𝑓′′(2) = −8 + 7
𝑓′′(0) = 4 ʌ 𝑓′′(2) = −1
𝑓 (
1
3
) = (
1
3
)
4
−
8
3
(
1
3
)
3
+ 2(
1
3
)
2
𝑓 (
1
3
) =
1
81
−
8
3
(
1
27
) + 2(
1
9
)
𝑓 (
1
3
) =
1
81
−
8
81
+
2
9
𝑓 (
1
3
) =
1 − 8 + 2(9)
81
𝑓(
1
3
) =
1 − 8 + 18
81
𝑓 (
1
3
) =
19 − 8
81
𝑓 (
1
3
) =
11
81
R: Luego, el punto de inflexión de la gráfica de 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑃(
1
3
,
11
81
).

13. Para 𝑥 = 1
Si 𝑥 < 1 ʌ Si 𝑥 > 1
𝑓′′ (
1
2
) = 12 (
1
2
)
2
− 16(
1
2
) + 4 ʌ 𝑓′′(2) = 12(2)2 − 16(2)+ 4
𝑓′′(0) = 12(
1
4
) − 8 + 4 ʌ 𝑓′′(2) = 12(4) − 32 + 4
𝑓′′(0) = 3 − 8 + 4 ʌ 𝑓′′(2) = 48 − 32 + 4
𝑓′′(0) = −8 + 7 ʌ 𝑓′′(2) = 52 − 32
𝑓′′(0) = −1 ʌ 𝑓′′(2) = 20
𝑓(1) = (1)
4
−
8
3
(1)
3
+ 2(1)
2
𝑓(1) = 1 −
8
3
(1)+ 2(1)
𝑓(1) = 1 −
8
3
+ 2
𝑓(1) = 3 −
8
3
𝑓(1) =
1
3
R: Luego, el punto de inflexión de la gráfica de 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑃(1,
1
3
).