Unidad ii operaciones con fracciones

Matemática General
Código: 000-0001
MATERIAL PREPARADO POR:
Alejandrina De Boutaud Montero
María D’ Boutaud Montero
Panamá, 2017
1

OPERACIONES CON FRACCIONES
Antes de describir las operaciones con
fracciones recordemos:
• Una fracción, en general, es la expresión de una
cantidad dividida por otra. Es decir una fracción es una
parte de un total.
• Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el
número de partes que tienes.
• Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número
de partes en que se ha dividido el total.
Numerador
Denominador

 Para leer una fracción, el numerador se lee normalmente pero, como veremos a
continuación, el denominador tiene una forma especial de leerse.
Denominador Lectura Ejemplos
2 medios 5 / 2 = cinco medios
3 tercios 2 / 3 = dos tercios
4 cuartos 3 / 4 = tres cuartos
5 quintos 4 / 5 = cuatro quintos
6 sextos 5 / 6 = cinco sextos
7 séptimos 6 / 7 = seis séptimos
8 octavos 7 / 8 = siete octavos
9 novenos 8 / 9 = ocho novenos
10 décimos 9 / 10 = nueve décimos
mayor de 10
Se agrega al número
la terminación avos
10 / 11 = diez onceavos

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
Tipo Características Ejemplos
Propia
El numerador es menor que
el denominador
1 / 2, 7 / 9
Impropia
El numerador es mayor que
el denominador
4 / 3, 5 / 2
Homogéneas Tienen el mismo
denominador
2 / 5, 4 / 5
Heterogéneas
Tienen distinto
denominador
3 / 7, 2 / 8
Entera
El numerador es igual al
denominador;
representan un entero
6 / 6 = 1
Equivalentes
Cuando tienen el mismo
valor.
Dos fracciones son
equivalentes
si son iguales sus productos
cruzados
Las fracciones se pueden clasificar de distintas formas; en la siguiente tabla se
muestran las características de las más importantes.

El principio fundamental de las fracciones,
establece que multiplicar o dividir el numerado y
el denominador de una fracción por el mismo
número, excepto el cero, tiene como resultado
una fracción equivalente a (esto es, que tiene el
mismo valor que) la fracción original.
6

Adición
• Hay tres simples pasos para sumar fracciones:
• Paso 1: asegúrate de que los números de abajo
(los denominadores) son iguales
• Paso 2: suma los números de arriba (los
numeradores). Pon la respuesta sobre el
denominador del paso 1
• Paso 3: simplifica la fracción (si hace falta)

• Ejemplo 1:
1 + 1
4 4
• Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve
directamente al paso 2.
• Paso 2. Suma los números de arriba y pon la respuesta
sobre el denominador:
1 + 1 = 1 + 1 = 2
4 4 4 4
• Paso 3. Simplifica la fracción:
2 = 1
4 2

• Ejemplo 2:
1 + 1
3 6
• Paso 1: los números de abajo son diferentes. Así que necesitamos
hacerlos iguales.
• Podemos multiplicar arriba y abajo de 1/3 por 2 así:
1 = 2
3 6
Paso 2: suma los números de arriba y ponlos sobre el mismo
denominador:
2 + 1 = 2 + 1 = 3
6 6 6 6
Paso 3: simplifica la fracción:
3 = 1
6 2

Hacer los denominadores iguales
En el ejemplo anterior fue fácil hacer que los denominadores
fueran iguales, pero puede ser más difícil... así que necesitarás
usar el
Mínimo común múltiplo
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el número
por 1, 2, 3, 4...
Por ejemplo: los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 2 o más número es el
menor de lo múltiplos comunes a estos números:
Por ejemplo: vamos a calcular el MCM de 3 y 4:
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...
Vemos que 12 es un múltiplo de ambos números y es el menor de
los múltiplos comunes. Por lo tanto 12 es el Mínimo Común
Múltiplo.

Ejemplo: ¿Cuánto es 3/8 + 5/12 ?
Vamos a probar a hacer que los denominadores sean el mismo... si multiplicas 8 × 3 sale
24, y su multiplicas 12 × 2 también sale 24. Así que probemos con eso (importante: lo que
hagas abajo, debes hacerlo también arriba):
× 3
3 = 9
24
× 3
y,
× 2
5 = 10
12 24
× 2
Ahora podemos sumar: 9
/24 + 10
/24 = 19
/24

Otra manera de calcular el mínimo común múltiplo
8- 12 2
4- 6 2
2- 3 2
1 3 3
1 1 1
3
8
+
5
12
=
9
24
+
10
24
=
19
24
Se divide el MCM
entre el denominador
de la primera fracción
24/8=3, este resultado
se multiplica por el
numerador (3*3)=9,
obteniendo la fracción
equivalente 9/24, este
proceso se repite con
cada término de la
fracción.
Así, 8 entre 2=4 y lo colocamos debajo de 8
12 entre 2=6 y lo colocamos debajo del 12
De esta manera buscamos los factores de 8 y 12,
cuando la última línea es 1, hemos terminado el
proceso.
Ahora el MCM=2*2*2*3*1=24

Sustracción
Hay tres simples pasos para restar fracciones
• Paso 1: asegúrate de que los números de abajo
(los denominadores) son iguales
• Paso 2: resta los números de arriba (los
numeradores). Pon la respuesta sobre el
denominador del paso 1
• Paso 3: simplifica la fracción

Ejemplo 1:
3 – 1
4 4
Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve
directamente al paso 2.
Paso 2. Resta los números de arriba y pon la respuesta
sobre el denominador:
3 – 1 = 3 – 1 = 2
4 4 4 4
Paso 3. Simplifica la fracción:
2 = 1
4 2

Ejemplo 2:
1 – 1
2 10
Paso 1. Los números de abajo son diferentes. Tenemos que hacerlos iguales.
Podemos multiplicar arriba y abajo de ½ por 5 así:
1 = 5
2 10
y ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales:
5 – 1
10 10
Paso 2. Resta los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:
5 – 1 = 5 – 1 = 4
10 10 10 10
4 = 2
10 5

S i los denominadores son diferentes, calculamos el Mínimo Común Múltiplo
Ejemplo
1 – 3
3 4
Se calcula el mínimo común múltiplo
3 4 2
3 2 2
3 1 3
1 1 1
1
3
−
3
4
=
4
12
−
9
12
= −
5
12
Se divide el MCM
entre el
denominador de la
primera fracción
1/3=4, este resultado
s multiplica por el
numerador (4*1)=4
obteniendo la
fracción equivalente
4/12, este proceso se
repite con cada
término de la
fracción.
Así, 3 entre 2 queda igual y bajamos el 3. Luego
dividimos 4/2=2 y lo colocamos debajo del 4.
Volvemos a dividir 3/2, como no es divisible exacto
baja igual 3; Seguido el factor 2/ 2=1
Finalmente, escogemos el factor 3 y dividimos
3/3=1, al ser todo 1 finaliza el proceso.
De esta manera buscamos los factores de 3 y 4,
multiplicando 2¨2”3=12
Ahora el MCM=2*2*2*3*1=24

Multiplicación
Hay 3 simples pasos para multiplicar
fracciones
1. Multiplica los números de arriba
(los numeradores).
2. Multiplica los números de abajo
(los denominadores).
3. Simplifica la fracción.

Ejemplo 1
1 × 2
2 5
Paso 1. Multiplica los números de arriba:
1 × 2 = 1 × 2 = 2
2 5
Paso 2. Multiplica los números de abajo:
1 × 2 = 1 × 2 = 2
2 5 2 × 5 10
2 = 1
10 5
Ejemplo 2
1 × 9
3 16
1 × 9 = 1 × 9 = 9
3 16
1 × 9 = 1 × 9 = 9
3 16 3 × 16 48
9 = 3
48 16

Ejemplo 2
1 × 9
3 16
1 × 9 = 1 × 9 = 9
3 16
1 × 9 = 1 × 9 = 9
3 16 3 × 16 48
9 = 3
48 16

• División.
Hay 3 simples pasos para dividir fracciones:
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (por la
que quieres dividir) (es decir el recíproca).
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la
recíproca de la segunda.
Paso 3. Simplifica la fracción (si hace falta

Ejemplo 1
1 ÷ 1
2 4
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):
1 4
4 1
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:
1 × 4 = 1 × 4 = 4
2 1 2 × 1 2
4 = 2
2

Ejemplo 2
1 ÷ 1
8 4
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):
1 4
4 1
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:
1 × 4 = 1 × 4 = 4
8 1 8 × 1 8
4 = 1
8 2

EJERCICIOS con FRACCIONES
𝟏. −𝟏𝟐 :
𝟒
−𝟗
= 𝟐𝟕
𝟐. 𝟎 ∗ −
𝟏
𝟏𝟖
= 𝟎
𝟑. −
𝟑
𝟒
:
𝟔
−𝟓
=
𝟓
𝟖
𝟒.
𝟒
𝟓
:
𝟓
𝟖
−
𝟏
𝟑
∗ 𝟏𝟐 =
𝟖
𝟑𝟓
𝟓.
𝟏𝟒
−𝟓
: −𝟐𝟏 =
𝟐
𝟏𝟓
𝟔.
−𝟖
𝟐𝟏
−𝟕𝟐
𝟒𝟗
=
𝟕
𝟐𝟕

EJERCICIOS con FRACCIONES
𝟕. −𝟐𝟎 : 𝟔 + 𝟖: 𝟔 = −𝟐
𝟖.
−𝟒
𝟏𝟓
∗
𝟓
𝟖
:
𝟏
−𝟔
= 𝟏
𝟗.
𝟒𝟗
𝟓
: 𝟕 + 𝟑 −
𝟏𝟏
𝟕
:
𝟏𝟒
𝟒𝟗
+
𝟑
𝟕
:
𝟕
𝟏𝟐
=
𝟏𝟒
𝟓
𝟏𝟎.
−𝟏 +
𝟏
𝟐
∗ −
𝟒
𝟑
𝟏
𝟑
−
𝟐
𝟑
: 𝟕
= −𝟕
𝟏𝟏.
𝟖
𝟓
∗
𝟐
𝟕
+ −
𝟏
𝟓
+
𝟐
𝟑
=
𝟔𝟑𝟐
𝟓𝟐𝟓
𝟏𝟐.
𝟓
𝟑
∗
𝟏
𝟑
∗
𝟏
𝟓
+
𝟏
𝟕
∗ −
𝟏
𝟑
=
𝟒
𝟔𝟑

SOLUCIÓN EJERCICIOS con FRACCIONES
• 𝟏. −𝟏𝟐 :
𝟒
−𝟗
= −𝟏𝟐 ∗
−𝟗
𝟒
=
𝟏𝟎𝟖
𝟒
= 𝟐𝟕
• 𝟐. 𝟎 ∗ −
𝟏
𝟏𝟖
= 𝟎
• 𝟑. −
𝟑
𝟒
:
𝟔
−𝟓
=
𝟑
𝟒
∗
𝟓
𝟔
=
𝟏𝟓
𝟐𝟒
=
𝟓
𝟖
• 𝟒.
𝟒
𝟓
:
𝟓
𝟖
−
𝟏
𝟑
∗ 𝟏𝟐 =
𝟒
𝟓
:
𝟕
𝟐𝟒
∗ 𝟏𝟐 =
𝟒
𝟓
∗
𝟐
𝟕
=
𝟖
𝟑𝟓

•
𝟏𝟒
−𝟓
: −𝟐𝟏 =
𝟏𝟒
−𝟓
∗
𝟏
𝟐𝟏
=
𝟐
𝟏𝟓
• 𝟔.
−𝟖
𝟐𝟏
−𝟕𝟐
𝟒𝟗
=
−𝟖
𝟐𝟏
∗
𝟒𝟗
−𝟕𝟐
=
𝟏
𝟑
∗
𝟕
𝟗
=
𝟕
𝟐𝟕
• 𝟕. −𝟐𝟎 : 𝟔 + 𝟖: 𝟔 =
−𝟐𝟎
𝟔
+
𝟖
𝟔
= −
𝟏𝟐
𝟔
= −𝟐
• 𝟖.
−𝟒
𝟏𝟓
∗
𝟓
𝟖
:
𝟏
−𝟔
=
−𝟏
𝟑
∗
𝟏
𝟐
:
𝟏
−𝟔
=
−𝟏
𝟔
∗
−𝟔
𝟏
= 𝟏

• 𝟗.
𝟒𝟗
𝟓
: 𝟕 + 𝟑 −
𝟏𝟏
𝟕
:
𝟏𝟒
𝟒𝟗
+
𝟑
𝟕
:
𝟕
𝟏𝟐
=
𝟒𝟗
𝟓
∗
𝟏
𝟕
+
𝟑 −
𝟏𝟏
𝟕
:
𝟏𝟒
𝟒𝟗
+
𝟑
𝟕
∗
𝟏𝟐
𝟕
=
•
𝟕
𝟓
+ 𝟑 −
𝟏𝟏
𝟕
:
𝟏𝟒
𝟒𝟗
+
𝟑𝟔
𝟒𝟗
=
𝟕
𝟓
+
𝟏𝟎
𝟕
:
𝟓𝟎
𝟒𝟗
=
𝟕
𝟓
+
𝟕
𝟓
=
𝟏𝟒
𝟓
• 𝟏𝟎.
−𝟏 +
𝟏
𝟐
∗ −
𝟒
𝟑
𝟏
𝟑
−
𝟐
𝟑
:𝟕
=
−𝟏 + −
𝟒
𝟔
𝟏
𝟑
−
𝟐
𝟑
∗
𝟏
𝟕
=
−𝟏 + −
𝟒
𝟔
𝟏
𝟑
−
𝟐
𝟐𝟏
=
−
𝟓
𝟑
−
𝟓
𝟐𝟏
=
−
𝟓
𝟑
∗
𝟐𝟏
𝟓
= −𝟕

• 𝟏𝟏.
𝟖
𝟓
∗
𝟐
𝟕
+ −
𝟏
𝟓
+
𝟐
𝟑
=
𝟖
𝟓
∗
𝟑𝟎−𝟐𝟏+𝟕𝟎
𝟏𝟎𝟓
=
𝟖
𝟓
∗
𝟕𝟗
𝟏𝟎𝟓
=
𝟔𝟑𝟐
𝟓𝟐𝟓
• 𝟏𝟐.
𝟓
𝟑
∗
𝟏
𝟑
∗
𝟏
𝟓
+
𝟏
𝟕
∗ −
𝟏
𝟑
=
𝟓
𝟗
∗
𝟏𝟐
𝟑𝟓
∗ −
𝟏
𝟑
=
𝟓
𝟗
∗
𝟏𝟐
𝟑𝟓
∗ −
𝟏
𝟑
=
𝟓
𝟗
∗ −
𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟓
=
𝟏
𝟑
∗
𝟒
𝟐𝟏
=
𝟒
𝟔𝟑

Operaciones con fracciones
Ejemplo:
7 = 7 . 8 = 56 = 56
1/8 1/8 . 8 1
Propiedad:
a = a . c = ac 2 = 2 . 5 = 2.5
b b c bc 7 7 5 7.5
30

Ejemplo:
Propiedad:
a + c = ad + bc 4 + 2 = 4 . 3 + 5 .
2 = 22
b d bd 5 3 5.3 15
2 + 4 = 2 . 15 + 5 . 4 = 50 = 2
5 15 5 . 15 75 3
31

2 + 4 = 2 . 15 + 5 . 4 = 50 = 2
5 15 5 . 15 75 3
Además podemos resolver este problema convirtiendo 2/5 y
4/15, en fracciones equivalentes que tengan el mismo
denominador y después utilizar la:
Propiedad:
a + b = a + b 2 + 3 = 2 + 3 = 5
c c c 9 9 9 9
2 + 4 = 2 . 15 y 4 = 4 . 5
5 15 5 . 15 15 15 . 5
32

Sin embargo, 15 es el menor de dichos denominadores
comunes, el cual se conoce como el mínimo común
denominador (MCD) de 2/5 y 4/15, tenemos entonces que
2 + 4 = 2 . 3 + 4 = 6 + 4 = 10 =
5 15 5 . 3 15 15 15 15
Otro ejemplo
3 - 5 = 24 (3) - 24 (5) = 3 . 3 - 5 . 2 = 9 - 10 = 9
- 10
8 12 (8) 12 8 . 3 12 . 2 24 24 24
24 = 1
24
2
3
33

Multiplicación: Siempre se aplica la ley de los
signos primero, luego el 2 que esta fuera del
paréntesis, multiplica a todos los términos y se
reduce
2(-6 + 2) = -12 + 4 =
-8
34

Multiplicación: Siempre se aplica la ley de los
signos primero, se puede simplificar (dividir
numerador y denominador entre un
mismo número) en x o numerador por
numerador y denominador por denominador, y
se reduce la respuesta final:
(3/10)(-7/15)=
(3/10)(-7/15)= -21/150 = (3/3) =
-7/50
-7/50
35

División: el denominador se invierte y se convierte
en una operación de multiplicación
-5
4
7
10
(-5/4) (10/7)
= -25/14
36

ambiente de aprendizaje
Organiza tu área de estudio libre de
interrupciones y molestias, aseado, ventilado e
iluminado suficientemente.
Vístete con ropa cómoda.
Conserva en orden y buen estado los materiales
didácticos.
Fondo musical música para superaprender (por
ejemplo: Bach, Vivaldi, Mozart). (volumen bajo)
37

ambiente de aprendizaje
Lectura rápida de la teoría y de los problemas
desarrollado.
Practica los problemas propuestos.
Descansa y revisa antes de cada clase.
Practica y practicar, la asociación de ideas y la
visualización creativa son elementos básicos para
aprender y recordar.
•La repetición, la asociación de ideas y la visualización creativa son elementos básicos para aprender y recordar, ¡Utilízalos!•La repetición, la asociación de ideas y la visualización creativa son elementos básicos para aprender y recordar, ¡Utilízalos!
38

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