1. IMAGEN Definición: La imagen es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial W, cuyos vectores son transformaciones lineales de vectores del espacio vectorial V Notación: Imagen se denota Im(f) Img(f)= {wЄW /v Є V, f(v)=w}

2. V W : f : : : v7 w1 v8 w2 Img(f) v9 w3 v10 : : : Donde : (v7, v8, v9, v10 yw1, w2, w3 ) son vectores V y W son espacios vectoriales Teorema: La imagen está dada por una restricción al espacio vectorial W

3. Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad Definición: Una transformación lineal es inyectiva si se cumple que a cada vector de V le corresponde un solo vector de W Es inyectivassi Nf = 0v Una transformación lineal es sobreyectiva si se cumple que la imagen del espacio vectorial V es todo el espacio vectorial W Es sobreyectivassi Img=W y dimImg(f)=dimW Una transformación lineal es biyectiva si se cumple que f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

4. V W : fw1 : v11 w2 v12 v13 w3 v14 : w4 : Donde : (v7, v8, v9, v10 yw1, w2, w3 ) son vectores V y W son espacios vectoriales * f es inyectiva * f sobreyectiva entonces * f es biyectiva

5. Ejercicios resueltos f: ℜ2->ℜ3 (x , y) -> f (x , y )= (x-y , 2x, y+x) Hallar la Img(f) Paso 1.- Nf= {(a ,b , c)/ f (x,y )= (0 , 0, 0) } Nf= {(a ,b , c)/ (x-y , 2x, y+x)= (0 , 0, 0) }

6. Entonces x-y =0 , 2x=0 , y+x = 0 donde x=0 y=0 Nf= { (x,y ) / x=0 , y =0 } Nf={(0 , 0)} Paso 2 Img(f) = {(a ,b , c)/ f (x,y )= (a , b, c) } Img(f) = {(a ,b , c)/ (x-y , 2x, y+x)= (a , b, c) }

7. Entonces x-y =a 2x = b y+x= c 1 -1 a 1 -1 a 1 -1 a 2 0 b = 0 2 b-2a = 0 2 b-2a 1 1 c F2=F2-2F10 2 c-a F3=F3-F2 0 0 c-b+a F3=F3-F1 Existe sol ssi c-b+a = 0 Img(f) = {(a ,b , c)/ c-b+a = 0}

8. f: ℜ2 -> P1(t) (a , b) -> f (a,b )= 2a + (b+a)t Hallar la Img(f) Paso 1.- Nf= {(a ,b )/ f (a,b )= 0+ 0t } Nf= {(a ,b )/ 2a + (b+a)t = 0+ 0t }

9. Entonces 2a =0 , b-a=0 a=0 y b=0 Nf= { (x,y ) / a=0 , b =0 } Nf={(0 , 0)} entonces f es inyectiva Paso 2.- Img(f) = {(a ,b )/ f (a,b )= x+ yt } Img(f) = {(a ,b )/2a + (b+a)t = x+ yt }

10. Entonces 2a =x , b-a=y 2 0 x 1 0 x/2 1 0 x/2 -1 1 y = -1 1 y = 0 1 y+ x/2 F1=F1/2 F1=F1-F2 Si en la matriz no existe una fila de ceros se asume que no hay restricciones Img(f) = { x + yt / x Λ y Є ℜ}

11. En el ultimo ejercicio se cumple que: Nf = 0v Por tanto f es inyectiva Img=W , dimImg(f)=3 y dimW=3 dimImg(f)=dimW Por tanto f es sobreyectiva Entonces se cumple que f es Biyectiva