GUIA MATE

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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE
5º AÑO BÁSICO
UNIDAD 8
CÁLCULO DE ÁREAS
Preparado por: Héctor Muñoz

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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE
5º AÑO BÁSICO
UNIDAD 8
CÁLCULO DE ÁREAS
1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
En esta Unidad se presentan y utilizan procedimientos de cálculo de área de rectángulos,
triángulos y paralelogramos. Un aspecto básico en este tema son las unidades de medida en que
se expresen los datos o los resultados a que se llegue. El material propuesto advierte en relación
al error bastante frecuente de generalizar a las unidades de área las equivalencias entre las
unidades de longitud, pensando, por ejemplo, que el metro cuadrado debe equivaler a 100
centímetros cuadrados, ya que el metro equivale a 100 centímetros.
Para establecer procedimientos de cálculo de área, el punto de partida es el área del
rectángulo. A partir de allí es posible derivar procedimientos de cálculo para el área de un
cuadrado, de un triángulo rectángulo, de un triángulo cualquiera y de un paralelogramo.
Los procedimientos encontrados se aplican en diversas situaciones del ámbito geométrico o en
contextos reales. Asimismo, se analizan los cambios o la invariancia del área de figuras
geométricas ante diferentes cambios en uno o más de sus elementos.
2. DURACIÓN APROXIMADA
4 semanas
3. CONTENIDOS
3.1 El área del rectángulo
3.2 El área del triángulo
3.3 El área de diferentes figuras geométricas
4. APRENDIZAJES ESPERADOS
4.1 El área del rectángulo
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Reconozcan el m2
, el cm2
y el mm2
como unidades de área y las utilicen
correctamente.
• Interpreten otras unidades de área en el marco de contextos del mundo
real (hectárea, km2
).
• Conozcan y comprendan una derivación de la fórmula para el área del
rectángulo basada en el concepto de arreglo rectangular.
• Determinen mediante cálculo, el área de cuadrados y rectángulos,
efectuando eventualmente las mediciones que se requieran.
• Conozcan y justifiquen relaciones de equivalencia entre unidades de área de
uso frecuente.
Aprendizajes
esperados

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4.2 El área del triángulo
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Conozcan y apliquen un procedimiento de cálculo del área de triángulos
rectángulos, efectuando eventualmente las mediciones que se requieran.
• Conozcan y apliquen un procedimiento de cálculo del área de triángulos
cualesquiera, efectuando eventualmente las mediciones que se requieran.
4.3 El área de diferentes figuras geométricas
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Conozcan y apliquen un procedimiento de cálculo del área de
paralelogramos, efectuando eventualmente las mediciones que se
requieran.
• Determinen el área de superficies que pueden descomponerse en
rectángulos y triángulos, en diferentes contextos.
• Visualicen los cambios que se producen en el área de triángulos o
paralelogramos cuando se varía uno o más de sus elementos.
5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS
5.1 Operaciones con magnitudes
Es conveniente ir introduciendo poco a poco a los estudiantes al trabajo con magnitudes que
se expresan en términos de una unidad de medida y en especial a las operaciones con ellas.
Al efectuar adiciones o sustracciones con cantidades que incluyen una unidad de medida, la
situación es bastante simple. Los términos de una adición o sustracción deben estar
expresados en una misma unidad y el resultado queda expresado en esa unidad.
Así, por ejemplo,
50 cm + 20 cm = 70 cm,
200 g – 75 g = 125 g,
etc.
Es importante resaltar el hecho que la adición o sustracción no varía la magnitud con la que se
está trabajando. Si sumo dos longitudes, el resultado es una longitud; si resto dos intervalos
de tiempo el resultado es un intervalo de tiempo, y así sucesivamente.
Sin embargo, la situación es diferente en el caso de multiplicaciones o divisiones.
Si multiplicamos o dividimos una magnitud por un número puro, el resultado corresponde a
esa misma magnitud. El resultado de multiplicar un volumen por 5 será un volumen, el
resultado de dividir una cantidad de dinero por 8 será una cantidad de dinero.
Aprendizajes
esperados
Aprendizajes
esperados

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Pero si multiplicamos o dividimos entre sí dos magnitudes, el resultado corresponde a una
magnitud diferente. Si multiplico la longitud de los lados de un rectángulo, el resultado no es
una longitud sino que es un área. Si divido una distancia por un intervalo de tiempo, el
resultado no es una distancia ni es un intervalo de tiempo, es una velocidad.
Al tratar en forma sistemática el tema del cálculo de áreas debemos hacer hincapié en este
punto. Los estudiantes ya saben que para encontrar el área de un rectángulo debemos
multiplicar la longitud de uno de sus lados por la longitud del otro lado. También debieran
saber que si la longitud de los lados está expresada en centímetros, el área resulta expresada
en centímetros cuadrados, o si la longitud de los lados está expresada en metros, el área
resulta expresada en metros cuadrados, y así sucesivamente.
Lo que necesitamos enfatizar ahora es que esta nueva unidad (el centímetro cuadrado o el
metro cuadrado) surge precisamente del producto centímetro · centímetro (o metro· metro).
Como las dos unidades que se multiplican son iguales, el resultado recuerda las potencias. Y
de allí su nombre y su símbolo (cm2
).
En 7º, al tratar el cálculo de volumen de cuerpos geométricos, encontraremos que el volumen
de un prisma recto se obtiene multiplicando 3 longitudes. Si las longitudes están expresadas
en metros, el resultado quedará expresado en metro · metro · metro, que se asocia a una
potencia y se abrevia m3
.
5.2 El Sistema Internacional de Unidades (SI)
El sistema de unidades utilizado hoy día en la mayor parte de los países, incluido Chile, es el
llamado Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI) creado en 1960 por la Conferencia
General de Pesos y Medidas sobre la base del Sistema Métrico Decimal.
El SI define 7 magnitudes básicas y sus respectivas unidades. En la siguiente tabla se indican
estas magnitudes básicas con su respectiva unidad de medida y símbolo.
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Hay que hacer notar que los símbolos no son abreviaturas. Por lo tanto, no tienen punto ni
agregan una “s” en caso de plural. Se recomienda asimismo respetar el uso de mayúscula o
minúscula indicado en la tabla.
El SI considera también un conjunto de prefijos que multiplican la unidad básica por una
potencia de 10. La siguiente tabla muestra algunos de los prefijos de uso más frecuente.

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PREFIJO SÍMBOLO EQUIVALENCIA
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
La siguiente tabla muestra algunas unidades de uso frecuente que se derivan de las unidades
fundamentales, con sus respectivos símbolos de acuerdo con las disposiciones del SI.
UNIDAD SÍMBOLO
centímetro cm
milímetro mm
kilómetro km
gramo g
milígramo mg
milisegundo ms
Mayores informaciones acerca del SI se pueden encontrar en Internet buscando bajo: sistema
internacional unidades.
5.3 Las unidades de área
Las unidades de área más frecuentes en situaciones cotidianas son el milímetro cuadrado
(mm2
), el centímetro cuadrado (cm2
), el metro cuadrado (m2
) y el kilómetro cuadrado (km2
).
1 m2
es el área de un cuadrado de 1 m de lado. En forma similar, 1 mm2
es el área de un
cuadrado de 1 mm de lado, 1 cm2
es el área de un cuadrado de 1 cm de lado y 1 km2
es el área
de un cuadrado de 1 km de lado.
Un cuadrado de 1 m de lado tiene un área de 1 m2
. Como 1 m equivale a 1.000 mm, el área
de un cuadrado de 1 m de lado, expresada en mm2
será:
1.000 mm · 1.000 mm = 1.000.000 mm2
.
De igual forma, el área de un cuadrado de 1 m de lado, expresada en cm2
será:
100 cm · 100 cm = 10.000 cm2
.
De modo que entre estas unidades de área se tienen las siguientes equivalencias:
1 m2
= 10.000 cm2
= 1.000.000 mm2
.
Siguiendo un razonamiento similar, se concluye que 1 km2
= 1.000.000 m2
.
Es necesario mostrar y deducir estas equivalencias, pues se suele caer en el error de pensar
que puesto que 1 m es igual a 100 cm, entonces 1 m2
debe ser igual a 100 cm2
. Lo mismo se
puede decir de las demás equivalencias entre unidades de área.

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Y en 7º año, al tratar las unidades de volumen, volveremos a encontrarnos con una situación
muy similar.
5.4 ¿Cuál es la base y cuál es la altura?
Con frecuencia los estudiantes aprenden que el área de un triángulo es igual a la mitad del
producto de “la base por la altura”. Este enunciado induce al error de pensar que todo triángulo
tiene una “base” que correspondería al lado horizontal situado en la parte inferior del triángulo.
En triángulos, el término “base” se entiende en relación con una determinada altura y se
refiere al lado al que llega la altura. Cualquier lado del triángulo puede ser considerado base
puesto que a cada lado corresponde una altura. Así, el lado a es la base correspondiente a la
altura ha, el lado b es la base correspondiente a la altura hb y el lado c es la base correspondiente
a la altura hc.
Es necesario insistir en este punto pues, como se dijo, muchos estudiantes tienden a pensar
que la fórmula de cálculo para el área de un triángulo es válida solo para un determinado lado del
triángulo.
De hecho, en todo triángulo debe cumplirse que:
= =
O también:
a · ha = b · hb = c · hc
Esta última relación proporciona un ejemplo geométrico de magnitudes inversamente
proporcionales. Si el producto de la longitud de un lado por la longitud de su correspondiente
altura es constante, podremos decir que la longitud de la altura es inversamente proporcional a la
longitud del lado correspondiente.
La fórmula para el área de un paralelogramo da origen a consideraciones muy similares. Se
suele afirmar, correctamente, que el área de un paralelogramo es igual al producto de la base por
la altura. Nuevamente hay que entender el término “base” como correspondiente a una altura. La
base de un paralelogramo es aquel lado del paralelogramo al cual llega la altura en cuestión. Y,
por lo tanto, cualquier lado del paralelogramo puede hacer las veces de base.
6. DESCRIPCIÓN DE LAS GUÍAS DE TRABAJO PARA ESTUDIANTES
GUÍA Nº 1
UNIDADES DE ÁREA Y ÁREA DEL RECTÁNGULO
La Guía nº 1 se inicia con un repaso de las unidades de longitud de uso frecuente y de sus
equivalencias. Ello prepara para la introducción de las unidades de área más usuales, las que
luego se definen y se indica el símbolo que les sirve de abreviatura.
A continuación, se analiza la posibilidad de determinar el área de un rectángulo cubriéndolo
con cuadrados cuya área es la unidad. Estos cuadrados conforman un arreglo rectangular de
a · ha
2
c · hc
2
b · hb
2

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modo que el total de cuadrados (es decir, de unidades de área) es igual al producto del número
de filas por el número de unidades en cada fila.
De allí surge la fórmula para el cálculo del área de un rectángulo.
En la guía se aplica esta fórmula para determinar el área de diferentes figuras geométricas o
superficies en contextos reales y para establecer relaciones de equivalencia entre diferentes
unidades de área.
La guía está dividida en 4 secciones:
1. Unidades de medida de longitud
2. Unidades de medida de área
3. El área del rectángulo
4. Equivalencia entre unidades de área
GUÍA Nº 2
EL ÁREA DEL TRIÁNGULO
En la Guía nº 2 se deriva una fórmula para el cálculo del área de triángulos rectángulos y se
aplica luego dicha fórmula para obtener una fórmula para el cálculo del área de un triángulo
acutángulo.
Sobe la base de ejemplos, se muestra luego que dicha fórmula es aplicable también a
triángulos rectángulos (considerando la hipotenusa como base) y a triángulos obtusángulos.
La guía está dividida en 3 secciones:
1. El área de un triángulo rectángulo
2. Las alturas de un triángulo
3. El área de un triángulo cualquiera
GUÍA Nº 3
EL ÁREA DE DIFERENTES FIGURAS GEOMÉTRICAS
En la Guía nº 3 se deduce una fórmula para el cálculo del área de un paralelogramo a partir de
la yuxtaposición de 2 triángulos congruentes.
Luego se propone un conjunto de actividades en las que se espera que el estudiante pueda
aplicar las distintas fórmulas de cálculo de áreas en situaciones de diverso tipo.
Finalmente, se analizan los cambios o la invariancia del área de triángulos o paralelogramos
cuando se modifica uno o más de sus elementos.
La guía está dividida en 3 secciones:
1. El área de un paralelogramo
2. Situaciones variadas
3. Figuras en movimiento