RECUERDEN QUE SE ENTREGA EL DIA 27 DE MAYO

1. Geometr´ıa Anal´ıtica II
Cuarto Examen Parcial
1. (.1 cada inciso) Dar la representaci´on de cada vector de R3 en los otros dos sistemas de coordenadas.
a) (3, 3, 1)r.
b) (−2, 1, −4)r.
c) (0, 2, 5)r.
d) (1,
√
3, −2)r.
e) (2, 5π/6, 4)c.
f ) (3, 5π/4, −3)c.
g) (1, π/12, 3)c.
h) (4, 13π/12, π/4)e.
i) (2, 2π/3, −π/6)e.
j) (1, π, 5π/12)e.
2. (.5 cada inciso) Demostrar que en el sistema de coordenadas esf´ericas:
a) La gr´afica de la ecuaci´on ϕ = k es un semicono vertical con v´ertice en el origen para toda k ∈ [−π/2, π/2] {0}.
b) La gr´afica de la ecuaci´on ϕ = 0 es el plano z = 0.
3. (.5 cada inciso)
a) Demostrar que en el sistema de coordenadas cil´ındricas, la gr´afica de la ecuaci´on θ = k es un semiplano vertical por
el origen para toda k ∈ [0, 2π].
b) ¿Que se puede decir de la gr´afica de la ecuaci´on θ = k en coordenadas esf´ericas?
4. (1 punto) Bosquejar la gr´afica de la ecuaci´on ρ(θ, φ) = θ.
5. (1 punto) Encontrar la ecuaci´on en coordenadas esf´ericas del elipsoide con semiejes de longitud a, b y c respectivamente.
6. (.2 cada inciso) Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando cada respuesta con una demostraci´on
o un contraejemplo.
Sea ¯x ∈ R3 y sean (x, y, z)r, (r, θ, z)c y (ρ, θ, ϕ)e sus respectivas representaciones. Entonces:
a) |x| ≤ r.
b) |z| ≤ r.
c) |y| ≤ ρ.
d) |z| ≤ ρ.
e) r ≤ ρ.
7. (1 punto) Sean z, w ∈ C {0}. Demostrar que arg zw = arg z + arg w.
8. (1 punto) Sean z ∈ C y n ∈ N. Demostrar que z tiene n ra´ıces n-´esimas distintas, es decir que existen w1, w2, . . . , wn ∈ C
todos distintos entre si y tales que (wi)n = z para toda i ∈ {1, 2, . . . , n}.
9. (1 punto) Demostrar que la funci´on ra´ız cuadrada transforma las rectas verticales y horizontales de C (R ∪ {0}) en ramas
de hip´erbolas.
Hint: Utilizar la representaci´on polar de un n´umero complejo.
10. (1 punto) Decir que es la proyecci´on estereogr´afica y mencionar algunas de sus propiedades.
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