MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
Trabajo de Calculo, Asintotas, Continuidad y Limites Trigonometricos. (Angel Rodriguez)
1. 0
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD YACAMBU
CABUDARE – ESTADO LARA
Nombre: Angel D Rodríguez R.
C.I. 25.146.710.
Expediente: III-133-00236.
Profesor: Rubén Bravo.
Sección: MA12TOP.
Cabudare; 09 de Abril del 2014.
2. 1
Resolver detalladamente cada ejercicio.
1. ܵ݅ ݂()ݔ ൞
− 4, ݔ ݅ݏ < − 2
௫య
ଶ
, ݅ݏ − 2 ≤ ݔ < 2
ݔ − 1, ݔ ݅ݏ ≥ 2
, ݎ݈݈ܽܽܪ ൜
ܽ) lim௫→ ିଶ ݂()ݔ
ܾ) lim௫→ ଶ ݂()ݔ
2. Hallar lim୶→
ಘ
ల
ୱ୧୬൫୶ିಘ
ల൯
ୡ୭ୱ ୶ି
√య
మ
3. Hallar lim௫→
ଵିୡ୭ୱ ଶ௫
ସ௫మ
4. Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en −2.
݂()ݔ ൜
ݔଷ
, ݔ ݅ݏ ≤ −2
ݔ ܭଶ
− 2,ݔ ݔ ݅ݏ > −2
5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación.
ݕݔଶ
− ݕଶ
− 4ݔ − 8 = 0
6. Sea g(x)= 2x2
+ x. Calcular g’ (x) por definición.
7. Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio.
݂( )ݔ൝
−2, ݔ ݅ݏ < −1
ܽݔ + ܾ, ݅ݏ − 1 ≤ ݔ < 3
2, ݔ ݅ݏ ≥ 3
3. 2
Ejercicios:
1. Si f(x) ൞
− 4, si x < − 2
୶య
ଶ
, si − 2 ≤ x < 2
x − 1, si x ≥ 2
, Hallar ൜
a) lim୶→ ିଶ f(x)
b) lim୶→ ଶ f(x)
Solución:
a) ∃ lim୶→ିଶ f(x) = −4
lim
୶→ ିଶశ
xଷ
2
=
(−2)ଷ
2
=
−8
2
= −4
lim
୶→ ିଶష
−4 = −4
Luego el límite existe ya que los laterales son iguales así lim௫→ିଶ ݂()ݔ = −4
b) lim୶→ଶశ x − 1 = 2 − 1 = 1
lim
୶→ଶష
xଷ
2
=
(2)ଷ
2
=
8
2
= 4
∄ lim
୶→ଶ
f(x) ya que los laterales son diferentes.
4. 3
2. Hallar lim୶→
ಘ
ల
ୱୣ୬ቀ୶ି
ഏ
ల
ቁ
ୡ୭ୱ ୶ି
√య
మ
=
.ܨ ܫ
Solución:
Ya que lim୶→
ಘ
ల
sen x −
= sen
−
= sen0 = 0
Λ
lim୶→
ಘ
ల
cos x −
√ଷ
ଶ
= cos
−
√ଷ
ଶ
=
√ଷ
ଶ
−
√ଷ
ଶ
= 0
Sea ݑ = x −
π
6
⇒ x =൬ݑ +
π
6
൰
x →
π
6
ݑ → 0
Así; lim௨→
ୱୣ୬ ௨
௦ቀ௨ା
ಘ
ల
ቁ ି
√య
మ
de la identidad cos(A+B)= cos A × cos B – sen A × sen B
lim௨→
ୱୣ୬ ௨
ୡ୭ୱ ௨ × ୡ୭ୱ
ಘ
ల
ି ୱୣ୬ ௨ × ୱୣ୬
ಘ
ల
ି
√య
మ
Como cos
= cos30°
=
√ଷ
ଶ
Λ sen
= cos30°
=
ଵ
ଶ
Tenemos lim௨→
ୱୣ୬ ௨
√య
మ
ୡ୭ୱ ௨ ି
భ
మ
ୱୣ୬ ௨ ି
√య
మ
Reagrupando tenemos lim௨→
ୱୣ୬ ௨
ି
భ
మ
ୱୣ୬ ௨ ି
√య
మ
( ଵି ୡ୭ୱ ௨)
5. 4
Si dividimos numerador y denominador por ݑ ya que ݑ → 0 Λ ݑ ≠ 0
Tenemos lim௨→
౩ ೠ
౫
ି
భ
మ
౩ ೠ
౫
ି
√య
మ
ቀ
భషౙ౩ ೠ
౫
ቁ
Aplicando teorema de límites y usando los límites fundamentales de
lim௨→
ୱୣ୬ ௨
௨
= 1 Λ lim௨→
ଵିୡ୭ୱ ௨
௨
= 0
Tenemos =
୪୧୫ೠ→బ
౩ ೠ
ೠ
ି
భ
మ
୪୧୫ೠ→ బ
౩ ೠ
౫
ି
√య
మ
୪୧୫ೠ→ బ ቀ
భషౙ౩ ೠ
౫
ቁ
=
ଵ
−
1
2
−
√3
2
× 0
= −2
Así que el lim୶→
ಘ
ల
ୱ୧୬൫୶ିಘ
ల൯
ୡ୭ୱ ୶ି
√య
మ
= −2.
1
1
0
0
6. 5
3. Hallar lim୶→
ଵିୡ୭ୱ ଶ୶
ସ୶మ
= lim୶→
ଵିୡ୭ୱ ଶ୶
(ଶ୶)మ
Hacemos a ݑ = 2x lim௨→
ଵିୡ୭ୱ ௨
௨మ
x → 0 ݑ → 0
Multiplicando y dividiendo por la conjugada de 1 − cos .ݑ
Tenemos lim௨→
ଵିୡ୭ୱ ௨
௨మ
.
ଵାୡ୭ୱ ௨
ଵାୡ୭ୱ ௨
De la identidad ݊݁ݏଶ
ݔ + ܿݏଶ
ݔ = 1. Sale 1 − ܿݏଶ
ݔ = ݊݁ݏଶ
.ݔ
lim௨→
ଵି௦మ ௨
௨మ ( ଵାୡ୭ୱ ௨)
= lim௨→ ቂ
௦మ ௨
௨మ
.
ଵ
ଵାୡ୭ୱ ௨
ቃ
Multiplicando teorema de límites tenemos
ቀlim
0→ݑ
ݑ ݊݁ݏ
ݑ
ቁ
ଶ
. lim
0→ݑ
1
1 + cos ݑ
= 1ଶ
.
1
1 + cos 0
= 1 .
1
1 + 1
=
1
2
Por el limite fundamental de
ୱୣ୬ ௨
௨
ݑ → 0 que es igual a 1 y el coseno de 0 = 1
Así que el lim୶→
ଵିୡ୭ୱ ଶ୶
ସ୶మ
=
ଵ
ଶ
7. 6
4. Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en −2.
݂()ݔ ൜
ݔଷ
, ݔ ݅ݏ ≤ −2
ݔ ܭଶ
− 2,ݔ ݔ ݅ݏ > −2
Solución:
I. ݂(−2) = (−2)ଷ
= −8
II. lim௫→ ିଶశ ݔܭଶ
− 2ݔ = 4 ܭ + 4
lim
௫→ ିଶష
(−2)ଷ
= −8
Luego 4 k + 4 = −8 ya que; ∃ lim୶→ ିଶ f(x) en su condición de
continuidad en −2.
Así, 4 K + 4 = −8 ⇒ 4 ( K + 1) = −8
K + 1 =
ି଼
ସ
K + 1 = −2
K = −2 − 1
K = −3
8. 7
5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación.
ݕݔଶ
− ݕଶ
− 4ݔ − 8 = 0
Despejemos :ݕ
ݕ ݔଶ
− ݕଶ
= 4ݔ + 8
ݕଶ
(ݔ − 1) = 4ݔ + 8
ݕଶ
=
4ݔ + 8
ݔ − 1
ݕ = ඨ
4 ( ݔ + 2 )
ݔ − 1
ݕ = 2 . ඨ
ݔ + 2
ݔ − 1
Despejemos A.V diremos que x = a es A.V
Si y solo si lim௫→ష ݂()ݔ = ± ∞
Λ donde a es un punto de discontinuidad de f(x)
lim௫→శ ݂()ݔ = ± ∞
Sea ܽ = 1 la posible asíntota ݔ = 1
2 lim
௫→ଵశ
ඨ
ݔ + 2
ݔ − 1
= 2 . ඨ
1 + 2
1ା − 1
= 2 . ඨ
3
0ା
= 2 . √+∞
2 lim
௫→ଵష
ඨ
ݔ + 2
ݔ − 1
= 2 . ඨ
1 + 2
1ି − 1
= 2 . ඨ
3
0ି
= 2 . √−∞ = ∄
Luego podemos decir que ݔ = 1 es una asíntota vertical por la derecha.