Características de las funciones polinomiales, raíces factores y gráficas

1. Funciones
polinomiales de
grado superior
Mtra. Teresa Carrillo
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2. Comportamiento en el extremo
n an > 0 an< 0
Par P(x)  
cuando x  
P(x)  -
cuando x  
P(x)  
cuando x  -
P(x)  -
cuando x  -
Impar P(x)  
cuando x  
P(x)  -
cuando x  
P(x)  -
cuando x  -
P(x)  
cuando x  -
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3. Las gráficas
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4. Teorema del valor intermedio
 La continuidad de una
función significa que la
gráfica no tiene
interrupciones.
 Si f(x) es continua en [a, b] y
si K es cualquier número
entre f(a) y f(b), entonces
existe cierto número c entre
(a, b) tal que f(c) = K
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5. Graficar
 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 4𝑥
 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥
 𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 𝑥2
− 2𝑥
 𝑓 𝑥 = 𝑥4
− 3𝑥3
+ 2𝑥2
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6. Multiplicidad
 Si un polinomio tiene un
factor de la forma (x – c)k,
para un entero positivo k > 1,
entonces x = c es un cero o
raíz repetida con
multiplicidad k
 Si k es par toca el eje x, pero
permanece del mismo lado.
 Si k es impar, la gráfica se
aplana y cruza el eje x.
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7. Ejemplos
 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1 2(𝑥 − 1)
 𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥 + 1) 𝑥 − 1 2
 𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
 𝑓 𝑥 = 𝑥2(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 2 𝑥 − 2
 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 − 2
 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2
 𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥 + 1)(2 − 𝑥)
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8. División polinomial
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 𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2, 𝑥 − 1
 𝑃 𝑥 = 2𝑥5
+ 𝑥4
− 𝑥3
− 𝑥 − 1, 2𝑥2
− 2𝑥 + 1
 𝑃 𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 + 2, 𝑥 − 1
 𝑃 𝑥 = 𝑥3
+ 𝑥2
− 2, 𝑥 − 1
 𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 4, 𝑥 + 21
 𝑃 𝑥 = 3𝑥4
+ 2𝑥3
− 𝑥 + 2, (𝑥2
+ 2𝑥 − 1)
 𝑃 𝑥 = 2𝑥4
− 2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 𝑥 − 2, 𝑥2
− 𝑥 − 1
 𝑃 𝑥 = 3𝑥4
+ 2𝑥3
− 𝑥 + 2, (𝑥2
+ 2𝑥 − 1)
 𝑃 𝑥 = 3𝑥5
− 2𝑥4
+ 𝑥3
+ 5𝑥2
− 𝑥 − 1, (𝑥4
− 2𝑥3
+ 𝑥 + 1)

9. Factores y ceros de un polinomio. División
sintética
 Obtener las raíces y los
factores de los siguientes
polinomios por división
sintética y esbozar la
gráfica
𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 5𝑥3 + 5𝑥2 − 5𝑥 − 6
𝑃 𝑥 = 2𝑥4 − 5𝑥3 + 5𝑥 − 2
𝑃 𝑥 = 𝑥3
− 5𝑥2
+ 8𝑥 − 4
𝑃 𝑥 = 3𝑥4
+ 5𝑥3
− 5𝑥2
− 5𝑥 + 2
𝑃 𝑥 = 2𝑥4
+ 3𝑥3
− 12𝑥2
− 7𝑥 + 6
𝑃 𝑥 = 6𝑥4
− 13𝑥3
+ 13𝑥 − 6
𝑃 𝑥 = 3𝑥3
+ 𝑥2
− 8𝑥 + 4
𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 3
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10. Referencias
 Faires, D.; DeFranza, J. (2001)
Precálculo. 2ª Ed. Thomson Learning.
México.
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