Este documento trata sobre conceptos fundamentales de álgebra lineal como combinaciones lineales, espacios generados e independencia lineal. Define una combinación lineal como una suma de vectores multiplicados por escalares. Explica que un conjunto de vectores genera un espacio vectorial si cualquier vector en ese espacio puede escribirse como una combinación de esos vectores. También define la independencia lineal y cómo determinar si un conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente.
13. Combinaci´on
Lineal
´Algebra
Lineal
Combinaci´on
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinaci´on
Espacio
Generado
Linealidad
Combinaci´on Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinaci´on
Espacio Generado
Si el vector (x, y, z) es fijo, entonces, se puede resolver un sistema de tres
ecuaciones con dos inc´ognitas. Al resolver se tiene:
−1 1 | y
2 4 | x
4 6 | z
→
1 0 | x
6
− 2y
3
0 1 | x
6
+ y
3
0 0 | −5x
3
+ 2y
3
+ z
Se sabe que el sistema tiene una soluci´on ´unicamente si −5x
3
+ 2y
3
+ z = 0.
As´ı:
5x − 2y − 3z = 0
´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
14. Combinaci´on
Lineal
´Algebra
Lineal
Combinaci´on
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinaci´on
Espacio
Generado
Linealidad
Combinaci´on Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinaci´on
Espacio Generado
Dados los siguientes vectores en P2: v1 = 2t2
+ t + 2, v2 = t2
− 2t,
v3 = 5t2
− 5t + 2, v4 = −t2
− 3t − 2. Determinar si el vector
u = t2
+ t + 2 ∈ gen{v1, v2, v3, v4}. Considerar
α1v1 + α2v2 + α3v3 + α4v4 = u
y resolver el sistema de ecuaciones.
Observaci´on
Para conlcuir espacios generados, se debe analizar la consistencia o
inconsistencia del sitema de ecuaciones lineales que se plantea.
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17. Combinaci´on
Lineal
´Algebra
Lineal
Combinaci´on
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinaci´on
Espacio
Generado
Linealidad
Combinaci´on Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Determinaci´on de dependencia o independecia lineal
El procedimiento para determinar so los vectores v1, v2, · · · , vn son
linealmente dependientes o linealmente independiente es:
1 Se plantea la ecuaci´on de la definici´on, para llegar a un sistema
homog´eneo.
2 Si el sistema homog´eneo posee s´olo la soluci´on trivial, entonces los
vectores dados son linealmente independientes; si tiene una soluci´on
no trivial, entonces los vectores son linealmente dependientes.
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