Operaciones entre matrices

1. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

2. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Operaciones Entre Matrices
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

3. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
En esta presentaci´on, se definen las operaciones b´asicas entre matrices,
como lo son la suma, el producto por escalar y el producto matricial
mostrando algunos ejemplos.
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

4. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Suma de Matrices
Se tiene la siguiente definici´on:
Definici´on
Sean A y B dos matrices de tama˜no m × n. La suma de A y B, notada por
A + B est´a dada por:
A + B =
=



a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 · · · amn



m×n
+



b11 b12 b13 · · · b1n
b21 b22 b23 · · · b2n
b31 b32 b33 · · · b3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
bm1 bm2 bm3 · · · bmn



m×n
=



a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 · · · a2n + b2n
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 · · · a3n + b3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 am3 + bm3 · · · amn + bmn



m×n
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

5. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Para tener en cuenta
Nota
Es importante tener en cuenta que solo se puede efectuar suma de
matrices s´ı y s´olo s´ı son del mismo tama˜no. Por ejemplo,
A2×3 + B2×3 = (A + B)2×3; mientra que A2×3 + B3×2 no se pueden sumar.
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

6. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Ejemplo
Ejemplo de Suma
Sean
A =
1 2 3
4 7 −2 2×3
B =
−4 −6 7
2 10 7 2×3
La suma A + B est´a dada por:
A + B =
1 2 3
4 7 −2 2×3
+
−4 −6 7
2 10 7 2×3
=
−3 −4 10
6 17 5 2×3
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

7. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Productos
A diferencia de los n´umeros reales, las matrices tienen dos tipos de
productos: El producto por escalar y el producto matricial. Se debe tener
en cuenta que ambos son totalmente diferentes.
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

8. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Producto por Escalar
Es el primero de los dos productos y consiste en multiplicar todas las
entradas de la matriz por un mismo n´umero (llamado escalar).
Definici´on
Sea A una matriz de m × n y α un escalar. El producto del escalar α por
la matriz A, notado por αA est´a dado por:
αA = α







a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 · · · amn







m×n
=







αa11 αa12 αa13 · · · αa1n
αa21 αa22 αa23 · · · αa2n
αa31 αa32 αa33 · · · αa3n
...
...
...
...
...
αam1 αam2 αam3 · · · αamn







m×n
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

9. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Observaci´on
Nota
El producto por escalar se puede hacer para cualquier matriz, sin
restricci´on con respecto al tama˜no.
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

10. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Ejemplo
Ejemplo Producto por Escalar
Sea
A =
12 −7 8 5
4 5 −9 12
1 −2 3 −4
12 21 12 0
4×4
Si α = 2, entonces 2A es igual a:
A =
24 −14 16 10
8 10 −18 24
2 −4 6 −8
24 42 24 0
4×4
De igual forma, si α = −3, entonces −3A es igual a:
A =
−36 21 −24 −15
−12 −15 27 −36
−3 6 −9 12
−36 −63 −36 0
4×4
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

11. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Producto Matricial
Es otra operaci´on definida entre matrices que, como se ver´a en la
definici´on, es totalmente diferente a la forma de multiplicar dos n´umeros
reales. Es aqu´ı donde aparece cierta dificultad a la hora de operar.
Definici´on
Sea A una matriz de m × n y B una matriz de n × m. El producto
matricial de A y B, notado por AB est´a dado por:
AB =



a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 · · · amn



m×n



b11 b12 b13 · · · b1m
b21 b22 b23 · · · b2m
b31 b32 b33 · · · b3m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
bn1 bn2 bn3 · · · bnm



n×m
=
a11b11 + a12b21 + · · · + a1nbn1 · · · a11b1m + a12b2m + · · · + a1nbnm
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1b11 + am2b21 + · · · + amnbn1 · · · am1b1m + am2b2m + · · · + amnbnm m×m
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

12. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Observaci´on
Al inicio, el producto matricial resulta algo complicado de realizar por la
cantidad de cuentas que se deben hacer.
Nota
El producto matricial NO ES CONMUTATIVO; es decir, AB = BA.
Es ac´a donde se presenta la diferencia entre operar n´umeros reales y
operar matrices.
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

13. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Ejemplo
Ejemplo Producto Matricial
Sean
A =
12 5 7
−4 8 −3 2×3
B =


3 0
8 −1
−5 7


3×2
El producto matricial AB est´a dado por:
AB =
12 5 7
−4 8 −3 2×3


3 0
8 −1
−5 7


3×2
= (12 ∗ 3) + (5 ∗ 8) + (7 ∗ (−5)) (12 ∗ 0) + (5 ∗ (−1)) + (7 ∗ 7)
((−4) ∗ 3) + (8 ∗ 8) + ((−3) ∗ (−5)) ((−4) ∗ 0) + (8 ∗ (−1)) + ((−3) ∗ 7)
=
41 44
67 −29 2×2
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

14. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Ejemplo
Ejemplo Producto Matricial
Sean
A =
12 5 7
−4 8 −3 2×3
B =


3 0
8 −1
−5 7


3×2
El producto matricial BA est´a dado por:
BA =


3 0
8 −1
−5 7


3×2
12 5 7
−4 8 −3 2×3
=
(3 ∗ 12) + (0 ∗ (−4)) (3 ∗ 5) + (0 ∗ 8) (3 ∗ 7) + (0 ∗ (−3))
(8 ∗ 12) + ((−1) ∗ (−4)) (8 ∗ 5) + ((−1) ∗ 8) (8 ∗ 7) + ((−1) ∗ (−3))
((−5) ∗ 12) + (7 ∗ (−4)) ((−5) ∗ 5) + (7 ∗ 8) ((−5) ∗ 7) + (7 ∗ (−3))
=


36 15 21
100 32 59
−88 31 −56


3×3
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

15. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Para Tener en Cuenta
Nota
Una forma ´util de concluir si se puede hacer el producto matricial es
observar que el n´umero de columnas de la primera matriz a multiplicar es
igual al n´umer de filas de la segunda matriz a multiplicar. El resultado
final es una matriz con el tama˜no de filas correspondiente a la primera
matriz por las columnas de la segunda matriz.
Nota
Es importante tener en cuenta que la forma m´as sencilla de hacer
operaciones entre matrices es realizando ejercicios a diario para
comprender y ”mecanizar”las cuentas hechas en cada una de ellas.
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices

16. Operaciones
Entre
Matrices
´Algebra
Lineal
Suma de
Matrices
Producto
entre
Matrices
Producto
por
Escalar
Producto
Matri-
cial
Suma de Matrices
Producto entre Matrices
Producto por Escalar
Producto Matricial
Comentario Final
El producto matricial se realizar al aplicar un concepto llamado producto
punto que ser´a tratado en la parte de operaciones entre vectores. Por
ahora, es importante tener claridad de como son las operaciones existentes
entre las matrices.
´Algebra Lineal Operaciones Entre Matrices