Presentación correspondiente a la derivada de un vector y vector unitario, además de la notación física.

2. USOS DE LOS VECTORES
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. En esta presentaci´on se busca contextualizar los vectores estudiados en la se-
mana anterior para usarlos en la f´ısica a trav´es de dos conceptos: El vector
unitario y la derivada de un vector. Esto se hace con el fin de mostrarle al estu-
diante que no existe diferencia en trabajar un vector a trav´es del ´algebra lineal
o a trav´es de la f´ısica.

4. NOTACI ´ON DE UN VECTOR
NOTACI ´ON DE UN VECTOR
Un vector de cualquier dimensi´on puede ser notado de diferentes maneras,
dependiendo en ´area donde est´e trabajando.
DEFINICI ´ON
Un vector en 3 dimensiones puede tener las siguientes notaciones:
1 u = (u1, u2, u3) usado con mucha frecuencia en ´algebra lineal.
2 u = (u1, u2, u3) usado en ´algebra lineal y con frecuencia en c´alculo
vectorial.
3 u = u1i + u2j + u3k utilizado en f´ısica y en m´as textos de c´alculo
vectorial.
NOTA
La notaci´on 3. recibe el nombre de notaci´on de vector unitario, teniendo m´as
sentido a nivel de f´ısica, gracias a la representaci´on que tiene este componente
a componente.

5. NOTACI ´ON DE UN VECTOR
EJEMPLO
EJEMPLO
Un vector de 3 dimensiones tiene las siguientes notaciones:
1 u = (1, 4, 8) en ´algebra lineal.
2 u = (1, 4, 8) usado en ´algebra lineal y en c´alculo vectorial.
3 u = i + 4j + 8k notaci´on unitaria.
EJEMPLO
Escribir el vector (−3, 0, 7) de las tres formas sugeridas.
1 u = (−3, 0, 7) en ´algebra lineal.
2 u = (−3, 0, 7) usado en ´algebra lineal y en c´alculo vectorial.
3 u = −3i + 7k notaci´on unitaria.

6. NOTACI ´ON DE UN VECTOR
NOTACI ´ON DE UN VECTOR
Se debe tener en cuenta que los vectores son anotados con letras min´usculas
y que dependiendo el entorno, se usa alguna de las notaciones escritas en la
diapositiva anterior.

7. VECTORES UNITARIOS
VECTOR UNITARIO
De ahora en adelante se trabajar´an los vectores con la notaci´on utilizada en
f´ısica.
DEFINICI ´ON
Sea u = u1i + u2j + u3k un vector en tres dimensiones. entonces, el vector
unitario de u, notado por ˆu se define por:
ˆu =
u
|u|
NOTA
Es posible escribir cualquier vector diferente de cero en t´erminos de un vector
unitario.

8. VECTORES UNITARIOS
¿PARA QU ´E UN VECTOR UNITARIO?
Los vectores unitarios son bastante importantes ya que permiten un sistema
sencillo de medida. Tambi´en permite una f´acil representaci´on de diversos fen´ome-
nos a nivel de f´ısica. Si se sabe que para recorrer una distancia de un punto A
a un punto B en un tiempo determinado de horas, se puede saber en una hora
cu´anta distancia se ha recorrido, ese es el sentido de los vectores unitarios.
FIGURA: Vector u con su correspondiente vector unitario ˆu

9. VECTORES UNITARIOS
EJEMPLOS
EJEMPLOS
Escribir el vector unitario ˆu correspondiente a los siguientes vectores:
1 u = i + 2j − 4k.
2 u = 3i − 4j.
Para este caso, se tiene:
1 ˆu = 1√
21
i + 2√
21
j − 4√
21
k.
2 ˆu = 3
5i − 4
5j.

10. DERIVADA DE UN VECTOR
DERIVADA DE UN VECTOR
De manera general, un vector describe una trayectoria de una part´ıcula desde
un punto A hasta un punto B. Esta trayectoria generalmente no es una l´ınea
recta; esto quiere decir que su movimiento no es constante. La part´ıcula se
mueve con respecto al tiempo que es, a saber, una variable t (que representa el
tiempo).
FIGURA: Movimiento de una part´ıcula en R3
.

11. DERIVADA DE UN VECTOR
DERIVADA DE UN VECTOR
De acuerdo a la figura anterior, el vector que describe el movimiento est´a dado
por:
r(t) = cos(2t)i + sin(2t)j + tk 0 ≤ t ≤ 2π
PREGUNTA
¿C´omo determinar la velocidad y la aceleraci´on de una part´ıcula a lo largo de
una trayectoria?
DERIVADA DE UN VECTOR

12. DERIVADA DE UN VECTOR
DERIVADA DE UN VECTOR
DEFINICI ´ON
Sea r(t) = r1(t)i + r2(t)j + r3(t)k, con a ≤ t ≤ b. La velocidad y la
aceleraci´on de una part´ıcula a lo largo de la trayectoria r(t) est´an dadas,
respectivamente, por:
Velocidad: r (t) = r1(t)i + r2(t)j + r3(t)k
Aceleraci´on: r (t) = r1(t)i + r2(t)j + r3(t)k
NOTA
Se hace uso de la primera y la segunda derivada de cada una de las
componentes del vector.
Es importante tener en cuenta que el c´alculo de la velocidad y la aceleraci´on
tiene sentido si el vector tiene componentes que no sean constantes.

13. DERIVADA DE UN VECTOR
EJEMPLO
EJEMPLO
Calcular la velocidad y la aceleraci´on asociada al vector
r(t) = cos(2t)i + sin(2t)j + tk en el punto t = π.
Para este caso, se calcula la primera y la segunda derivada, teniendo como
resultado
Velocidad: r (t) = −2 sin(2t)i + 2 cos(2t)j + k
Aceleraci´on: r (t) = −4 cos(2t)i − 4 sin(2t)j
Al evaluar en el punto t = π, se concluye:
Velocidad: r (π) = 2j + k
Aceleraci´on: r (π) = −4i

14. DERIVADA DE UN VECTOR
EJEMPLO
La representaci´on gr´afica de la situaci´on es:
FIGURA: Velocidad y la aceleraci´on en un punto dado sobre la curva.

15. DERIVADA DE UN VECTOR
CONCLUSI ´ON
Los vectores no son solo para ubicar en un plano cartesiano de dos o tres di-
mensiones, tambi´en sirven para muchas cosas m´as: A nivel f´ısico, para hacer
una representaci´on de la velocidad y la aceleraci´on de una part´ıcula en un ins-
tante dado. A nivel de ´algebra, sirve para construir rectas, planos y vectores
perpendiculares a ambos (producto cruz). Tambi´en sirve para la construcci´on
de planos tangentes a superficies.