1. Ecuaciones Diferenciales Exactas

2. Se dice que una expresión diferencial Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f(x,y) una ecuación se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta.

3. Veamos el siguiente ejemplo: Es una ecuación diferencial exacta ya que la ecuación se puede expresar como la expresión

4. es una ecuación diferencial exacta ya que Sin embargo, para obtener la solución no siempre es fácil obtener la expresión que se pueda expresar como una expresión diferencial total, más sin embargo mediante el teorema que a continuación se enuncia encontrar dicha expresión no resulta tan complicado.

5. Teorema Sea M(x,y) y N(x,y) funciones continuas, así como sus derivadas de primer orden. Entonces una condición necesaria y suficiente para que sea una diferencial exacta es que

6. Considerando la ecuación resulta conveniente analizar si la ecuación diferencial es una ecuación exacta, una de las restricciones que debemos de imponer, dado el teorema mencionado sobre las condiciones de las implicaciones necesarias y suficientes: y su integración nos conduce a por otro lado, considérese que

7. donde g(y) es una constante de integración que es función de y ya que la integración fue realizada con respecto a x. A fin de determinar el valor de dicha constante derivemos la función obtenida de la integración, con respecto a y. consideremos que la expresión obtenida es independiente de la variable x , por lo que

8. por otro lado recordemos de la definición de diferencial total que por lo que podemos obtener despejando la derivada de la función g(x) tenemos: partiendo de esta ecuación, con la intención de encontrar la constante de integración g(y) podemos obtener

9. sin embargo, para seguir con nuestro tratamiento teórico, consideremos que la expresión obtenida es independiente de la variable x , por lo que recordemos que el teorema nos asegura que

10. Referencias http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferential/exact_solu.htm