Este documento contiene ejercicios de álgebra y relaciones binarias. Incluye problemas de funciones, conjuntos, diagramas de flechas y propiedades de relaciones como reflexividad y simetría. Resuelve ejercicios como determinar si una relación es función, calcular rangos y dominios de relaciones, y graficar funciones cuadráticas.

1. a.
b.
c.
a.
b.
c
.
a.
b.
c
.
Pág. 70 a 78 (Ejercicios pares)
Razonamiento y demostración.
2. Si   2
3 4 5f x x x   y   2
5 2g x x  . Halla    2 3f g 
Solución
     
   
   
2
2
2 3 2 4 2 5 12 8 5 9
3 5 2 3 5 18 13
2 3 4
f
g
f g
      
       
    
4. Con respecto a los diagramas de flechas de las relaciones 1 2,R R y 3R en A ,
¿Cuáles son reflexivas?
Solución
1R y 3R
6. Dado el conjunto
 |1 10A x x   
Definimos la relación R en A :   ; | 2R a b a b 
¿Qué podemos afirmar acerca de esta relación?
A. Es reflexiva
B. Es simétrica
C. Su dominio es  4;5;7
D. Su rango es  2;3;4
E. Tiene 8 elementos
Solución
 
      
2;3;4;5;6;7;8;9
4;2 , 6;3 , 8;4
A
R


Luego, se puede afirmar D.

2. 8. Dados los conjuntos
 
 
| 2 2
3 2| 4 7,
M x x
N x x x
    
    
Indica el par ordenado que no pertenece a M N
a) (-2;16)
b) (-2;5)
c) (-1;13)
d) (0;16)
e) (1;13)
Solución
 
 
2; 1;0;1
13;16
M
N
  

Luego, el par no pertenece a M N es  2;5
10. Si   2
3 1f x x  , halla el valor de
   
 
5 2
6
f f
f

Solución
   
 
   
 
2 2
2
5 2 3 5 1 3 2 1 75 12 2 85
5
18 1 176 3 6 1
f f
f
     
   

12. Sea  4;8;7;9A  . Al analizar la relación binaria R definida en A .
              4;4 , 4;8 , 4;7 , 8;8 ,(8;4), 7;7 , 7;4 , 9;9R 
Indica qué propiedades cumple
I. Reflexiva
II. Simétrica
III. Transitiva
Solución
Solo reflexiva y simétrica.
Comunicación Matemática
2. Si  3;4;5;6A  y  6;7B  . Halla  A B B 
Solución
   
      
6
6;6 , 6;7
A B
A B B
 
  
4. Si la relación R es una relación simétrica
          , , , , , , , , ,R Lima Perú Perú x Caracas z Santiago y Chile Santiago
Hallar el conjunto  , ,A x y z
Solución
 , ,
x Lima
y Chile
z Caracas
A Lima Chile Caracas



 

3. 2
.
.5
.7
A
3.
2
.
.5
.7
A
3.
2
.
.5
.7
A
3.
2
.
.5
.7
A
3.
2
.
.5
.7
A
3.
6. Indica el diagrama de flechas que corresponde a la relación
        2;5 , 3;7 , 3;3 , 5;2R 
Definida de A en A siendo  2;3;5;7A 
A)
B)
C)
D)
E)
Solución
Corresponde al apartado C

4. 8. En un conjunto de 2 elementos, ¿cuántas relaciones a lo más se pueden definir?
Solución
Se pueden definir
2
2 4
2 2 16  relaciones
10. Si
 
 
 
1;2;3;4
2;4;6;8
2;3;7
A
B
C



¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene más elementos?
a.  A B C 
b.  A B C 
c.  A B C 
d.  A B C 
e.  A B C 
Solución
a.       2 3 6n A B C n A B n C         
b.       2 3 6n A B C n A B n C         
c.       4 3 12n A B C n A n B C         
d.       4 6 24n A B C n A n B C         
e.       4 1 4n A B C n A n B C         
Luego, el que tiene mayor cantidad de elementos es (d)
12. Dados los conjuntos
 
 
|1 7;
| 1 3
A x x x es impar
B x x
   
    
¿Cuál de las siguientes no es función de A en B ?
a.       1;0 , 3;1 , 7;2
b.       3;1 , 5;1 , 7;0
c.       1;1 , 5;2 , 9;0
d.       7;1 , 5;0 , 3;0
e.       1;2 , 3;2 , 7;1
Solución
 
 
1;3;5;7
0;1;2
A
B


Luego, c) no es función de A en B pues 9 no pertenece al dominio de A

5. 14. Hallar la gráfica de la función   1
2
x
f x  
Solución
x   1
2
x
f x  
0 -1
2 0
16. Grafica   2
3 12 20f x x x  
Solución
Vértice
 
     
2
12
2
2 3
3 2 12 2 20 8
v
v v
x
y f x

  
    
x   2
3 12 20f x x x  
1 11
2 8
3 11
Resolución De Problemas
2. Dados los conjuntos
 
 
| 7 15
| 2 7
G x x
H x x
   
   
¿Cuántos elementos tiene el conjunto G H ?
Solución
   
   
8;9;10;11;12;13;14 7
3;4;5;6 4
G n G
H n H
  
  
Luego,   28n G H  elementos

6. 4. Dados los conjuntos
 
 
10;12;14;16;18
3;5;7;9
S
T


Halla la relación  ; | y
2
x
R x y S T
 
    
 
Solución
      10;5 , 14;7 , 18;9R 
6. Determina el rango de    3 7; 1;8f x x x  
Solución
   
   
1 3 1 7 10
8 3 8 7 31
f
f
  
  
Luego, el rango es  10;31
8. Dado el conjunto  2;3;4A  , se tiene la relación reflexiva
          2; , 2;3 , ;4 , 3; , 3;3R a b c
Calcula a b c 
Solución
2; 4; 2 3 4 8 9 10a b c ó ó a b c ó ó      
10. Dado el conjunto  2;3;4;5;6;7A  , se define en A
  1 ; | 2R a b a b  
  2 ; | 3R a b a b  
Calcula el número de elementos del dominio 1R más el número de elementos del rango de 2R
Solución
        
      
1
2
2;4 , 3;5 , 4;6 , 5;7
2;5 , 3;6 , 4;7
R
R


Luego,
     
     
1 1
2 2
2,3;4;5 4
5;6;7 3
Dom R n R
Rang R n R
  
  
La suma pedida es 7
12. Dado el conjunto  2;3;4;7A  . Si la relación :R A A es reflexiva, calcula a b c  y
verifica si R es transitiva
            2;3 , 2;4 , 4;4 , ;3 , ; 1 , ;R a b a c c 
Solución
            
3
1 2
7
2;3 , 2;4 , 4;4 , 3;3 , 2;2 , 7;7
a
b a b
c
R

   

 
a + b + c = 3 + 2 + 7 = 12
Analizando, R es transitiva

7. 14. Halla a b c d e    , si R es una relación binaria de equivalencia
                  4;4 , ; , ; , 4;5 , 5; , 5;6 , ; 2 , 6;4 , ;5R a a b b c e e d 
Solución
       
     
     
4;5 5;6 4,6 ;e 2 4
4;5 5;4 5; 4
5;6 6;5 d;5 6
5
6
25
R e e
R c c
R d
a
b
a b c d e
    
    
    


     
16. Si  2
2 10| 3 4;T x x x      , indica el dominio de la relación
  ; | y 4 2R x y T x    
Solución
 8; 2; 8; 10T    
Luego,       2;8 , 8;20 , 10;24R    
Por tanto,  10; 8; 2DomR    
18. Si   4 1f x x  y   2 13g x x  ; halla   7f g 
Solución
       7 2 7 13 1 5f g f f       
20. Hallar el vértice de la gráfica de la parábola 2
2 1y x x   
Solución
 
2
2
1
2 1
1 2 1 0
v
v
x
y
  

    
El vértice es  1;0
22. Si             1;2 , 2;1 , ; , ; , 2;3 , 1;R a a c c b es un relación transitiva, halla a b c 
Solución
       
       
       
2;1 1; 2; 2;3 3
1;2 2;1 1;1 a;a 1
2;1 1;2 2;2 c;c 2
R b b b
R a
R c
   
   
   
Luego, 6a b c  
24. Para el conjunto  1;3;5A  se define la relación reflexiva
          1; 2 , 3;3 , 5; 3 , 1;3 , 3;R a b a b   
Indica verdadero (V) o falso (F)
I. R es simétrica
II. R es transitiva
III. R es de equivalencia
Solución
          
2 1 3
3 5 2
1;1 , 3;3 , 5;5 , 1;3 , 3;1
a a
b b
R
   
   
 
Analizando, R cumple con las tres afirmaciones

8. Página 76
2. Analiza y determina qué propiedad (reflexiva, simétrica, transitiva) cumple la relación R
definida en  2;3;4;5A 
Solución
4. Si   2
4 2 3f x x x   y   2
3g x x  , demuestra que     
2
2 4 36f g  
Solución
    
     
2
2
2 2
2 4
4 2 2 2 3 4 3
16 4 3 13 36
f g 
      
    
Página 77
2. De acuerdo al gráfico de la función, calcula el valor de      0 1 2K f f f    
Solución
     0 1 2
9 5 9 23
K f f f    
     
4. Determina el valor de verdad o falsedad para cada proposición
I. Toda relación es una función (F)
II. Toda relación de equivalencia es una relación transitiva(V)
III.      n A B n A n B   (V)
IV. Una función representada en un diagrama sagital, del dominio
sólo sale una flecha (F)
V. La gráfica de una función cuadrática es una parábola (V)

9. Página 78
2. En  8;9;10M  se define la relación reflexiva
        5;2 , ;8 , 5;9 , 3; 6R c c a b c b    
Calcula a b c 
Solución
8
5 9 4
3 6 7
19
a
b b
c b c
a b c

   
    
   
4. De la función cuadrática   2
2 4 1f x x x   , calcula las coordenadas del vértice de la
parábola y los puntos de corte con el eje X
Solución
 
   
2
4
1
2 2
2 1 4 1 1 3
v
v
x
y
   
      
Luego, el vértice es  1; 3 
Los puntos de corte con el eje x se encuentran al resolver 2
2 4 1 0x x  
  
 
4 16 4 2 1 4 24 2 6
2 2 4 2
x
       
  
Luego, los puntos son
2 6 2 6
,0 ; ,0
2 2
        
       
     