Integral multiple resuelto

NOLAN JARA J.
1
PROBLEMA 1:
Sea el sólido definido en R³ por:
|}|;1;4/),,{( 222223
yzyxzyxRzyxS 
Calcular el volumen del solidó S
Solución:
2 2
( ) .................(*)
{( , , ) / | | 4 ;( , ) }
E
V E dV
E x y z R y z x y x y D

      


NOLAN JARA J.
2
2 2 2 22 2
2 2
2
2 2 2
3 2 2 2 2
4 ( ) 4 ( )1 1 1 1
1 | | 11 1
4 (
{( , ) / 1 1 ; 1 1}
{( , , ) / | | 4 ; 1 1 ; 1 1}
(*):
( ) ( ( ) ) 2 ( ( ) )
4 ( ( ) )
x y x yx x
x z y x z yy x y x
x
z y
D x y R x y x x
E x y z R y z x y x y x x
en
V E dz dy dx dz dy dx
dz dy dx
    
      
 

         
              
  

     
22 2
2
)1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1
2 2 2 2 2 1
0
0
4 ( ( 4 ( )) )
4 [(1/ 2)[ (4 ) (4 ) ( / ( 4 ))] / 2]|
yx x
x y x y
x
y
x
x y y dydx
y x y x arcsen y x y
 
   



    
      
    

Como la integración es muy complicada utilizaremos otro método
Otra forma: en coordenadas cilíndricas
2
3 2
2 1 4
( ) 0 0 | |
2 1 2
2 2 3/2 2 1
0
0 0 0
( ) {( , , ) / | | 4 ;0 1;0 2 }
( ) | ( , , ) | ( ( ) )
( ( [ 4 | |] ) (1/ 2)[(2 / 3)(4 ) | | ( )]|
(1/ 2) [2 3 |
r
T E r z r sen
r
r
T E r z R r sen z x r
V E J r z dv rdz dr d
r r r sen dr d r sen r d
se

 

 
   
 
   

  

  
        
 
      
  
   
  
2 /2
0 0
/2
0
| 16 / 3] 2 ((16 / 3) 2 3 )
2[(16 (6 / 3)) / 3 cos ]| 2(((8 3 3 ) / 3) 1)
n d sen d
 



   
  


   
     
 
PROBLEMA 2
Dado el cambio de variables definido por las ecuaciones x = u + v ; y = v – u2
. Calcular
el determinante jacobino de dicho cambio de variables. Sea T el triangulo del plano UV
cuyos vértices son los puntos (0,0) ;(2,0) y (0,2). sea R la imagen en el plano XY del
triangulo T . Mediante el cambio de variables dado:
Hacer un dibujo de la región R Calcular el área de la región R .
Calcular la integral doble de
 
R yx
dA
1
2
SOLUCIÓN
x = u + v ; y = v – u2
  u
u
v
y
u
y
v
x
u
x
vuJ 21
12
11
. 











Grafica en UV

NOLAN JARA J.
3
Las líneas que que encierran la superficie T en
el plano UV al ser proyectados sobre en el
plano XY también encierran otra superficie
entonces:
u+v=2: u=0: v=0
Grafica en XY
 
 
  XYXXRyxR
xyyxx
sonsproyectadacurvaslasEntonces
yxvcomo
uvvuvvuyx
yxucomo
uvvuyx
xvux
uu







23
2
2
2222
22
:20/,
::0:2
:
00
2
00
:
22
  2
2
0
2
2
0 3
14
2 udxxxdx
x
dydxdyS
x
R
R 






  
   
))3/32arctan()32(arctan(3/)32(2
|)3/)1(2arctan()2/3)(3/4(|
)1)3/)1(2(
1
)3/4(.1
)1)3/)1(2(3
4
1
)1)1(3/4(4/3
1
1
4/3)1(
1
1
1
1
1
1
1
11
2
0
2
0
2
0 2
2
0
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0
2
0 22
2
2





















































 




   
xxdx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
x
yx
dx
xy yx
dy
YX
dA
x
x
R
x
x
PROBLEMA 3
Sea R la porción acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones: R
xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x
Dibujarla y calcular la integral: dAyx
R
22

SOLUCIÓN:
Graficando la región R que es limitada por las líneas: xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x

NOLAN JARA J.
4
R = R1  R2  R3
*En R1 *En R2 *En R3
2
2
2
1
 X 1
2
2
 X 21  x
XY
X
4
1

X
Y
X
21

x
yx
2

 dAy
22
x
=
dAy
22
x
+
dAy
22
x
+
dAy
22
x
dxdyyx
x
x
  








2
2
2
1
4
1
22
dxdyyx
x
x
  










1
2
2
2
1
22
dxdyyx
x
x
  










2
1
2
22
x
x
x
x
x
x
yxyxyx
2
2
1
32
2
1
1
2
2
32
4
1
2
2
2
1
32
333  














dx
x
dx
xx
dx
x
xx  























2
1
51
2
2
2
2
2
1
5
33
8
3
1
3
8
3
1
3
64
2
1
61
2
2
2
2
2
1
6
183
ln8
3
ln7
3
ln
9
32























 xx xxx
3
2ln7
18
1
9
4
3
2ln8
3
2ln7
3
2ln7
3
2ln
9
4
18
1



uydAx
R
22
3
2ln7

PROBLEMA 4
Calcular el volumen del cuerpo del espacio definido por las ecuaciones
 322
222 1
,0,1,1
yx
zzyxyx


SOLUCIÓN
R3R2R1R

NOLAN JARA J.
5
 
 
  
   
3
2 2
3 2
2
1
, / 0 1;1 1
:
cos ;
1
, / 1;0
cos 2
D
V s dA
x y
D x y R x x y x
usando transformacion de cordenadas de
cartesianas a polares donde
x r y rsen
T D r R r
sen
 

 
 


       
 
 
       
 

PROBLEMA 5
Calcular R
dAyx 33
, siendo R la región contenida en el cuadrante positivo y limitado por
las curvas 2,1,4,2 22222222
 yxyxyxyx
SOLUCIÓN
GRAFICO DE R
   
 
1
2
13 30
cos
1
2 2
0 01
cos
2 2
0 0
3
1 1
,
1
(1 cos )
cos 1 1
2 2
2
2
senT
sen
V s J r dA rdr d
r r
d sen d
r
sen
V s u

 
 
 
 
 
   
 
 



 
   
 
  
   
            
 
   
 
  
 
  
   
 
 
    
 
 
   
422
:
8
1
8
1
,
21,42/,
8
1
,
8
22
22
,
1,,
:
21,
42,
var
21,42/,
22
2222
2233
3333
2
22
22
22222
vu
yx
vu
y
vu
x
pero
dudvyxdudv
xy
yx
dudvvuJyxdAyx
vuRvuT
xy
vuJ
xy
yx
yx
y
v
x
v
y
u
x
u
yxJ
vuJyxJ
queSabemos
vyxv
uyxu
iablecambiodeHagamos
yxyxRyxRregionLa
RTRT
R T
R
R




























 

NOLAN JARA J.
6
GRFICA DE T(R)
 
    










 



2
1
4
2
2
4
2
3
2
1
4
2
2222
4128
1
48
1
48
1
vv u
RT
u
vu
dvdu
vu
dudv
yu
PROBLEMA 6:
Calcular
2 2 2
................(*)x y z
S
e dv 
 donde S es el conjunto de los puntos 3
),,( Rzyx 
tales que 0,1222
 zzyx
Solución:
Graficamos 0,1222
 zzyx
}10;11;11/),,{( 22223
yxzxyxxRzyxS 
Proyeccion de la region S




















R
v
dAyx
vv
dv
v
16
7
16
7
612
56
8
1
212
56
8
1
22
2
1
32
1
2
1
2

NOLAN JARA J.
7
Transformando a coordenadas esféricas
x=ρcosθsenφ
y=ρsenθsenφ
z=ρcosφ
|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ
Donde la variación de ρ,θ,φ es:
10
2/0
20






En la integral (*)
2
2
2 /2 1
2
0 0 0
2 /2 1 2 /2
2
0 0 0 0 0 0
.| ( , , ) |. . . . .
( . . ) ( 2) ( 2)
.| ( , , ) |. 2 ( 2)
S
S
e J dv e sen d d d
sen e d d d sen e d d e
e J dv e
 
 
  
    

 

       
       
   
  
 

   
 
   
     

PROBLEMA 7
Calcular la integral triple 2
s
y dv
Donde S es el sólido
}41
);/(10/),,/(),,{(}41,0/),,{(
22
22332223


yx
yxzRzyxRzyxzyxzRzyxS 
Entonces tenemos que S=D1 U D2 pues D1 y D2 son regiones disjuntas
2 2 2
1 2S D D
y dv y dv y dv    ...........................(*)
}22;)4()1(
)1()4(,)1()4(/),,{(
22
2222223


xxyx
xyxyxzyxRzyxS
2
1D
y dv : en coordenadas esféricas

NOLAN JARA J.
8
}2/,20,21/),,{()1(
}21,0cos/),,{()1(
}41,0cos/),,{()1(
3
3
23






RDT
RDT
RDT
x=ρcosθsenφ
y=ρsenθsenφ
z=ρcosφ
2 2
2
2 4 2 3
1 /2 0 1
2 2
2 3 5 2 2 2
1
/2 0 0 /2
( ) . . . . . .
. . / 5| . . (31/ 5) (1 cos ) cos .
(62 /15)
D
sen sen sen d d d sen sen d d d
sen sen d d sen d d
 

   
 
             
        


  

   
   
2
2D
y dv : en coordenadas cilíndricas
}20,21,/10/),,{()2(
}41,/10/),,{()2(
23
223




rrzRzrDT
rrzRzrDT
x=rcosθ
y=rsenθ
z=z
J(r,θ,z)=r
2 2 22 2 1/ 2 2
0 1 0 0 1
2
2 2 2
1
0
( ) . . . . .
. / 2 | . (3/ 2)
r
rsen r dz dr d rsen dr d
sen r d
 

   
  


    

En (*) : )2/315/62(2
 vy
s

NOLAN JARA J.
9

2
3 2 2 2 2
Problema nro 8
Calcular la integral dv.SiendoSel recinto solido
definido por:
( , , ) / 1, 0 4
:
:
s
z
S x y z x y y z x y
solucion
Graficamos el volumen S
        

Hallando laregion Dsobreel plano xy

NOLAN JARA J.
10
 
2 22
3 2 2 2
41 1
2 2
1 0
( , , ) /0 4 , 1 1,0 1
( ( ) )
Vemosquemediantecoordenadascartesianaselcalculodelaintegralse
complica,hacemosuncambiodevariblemediantecoordenada
x yx
s x y z y
S x y z y z x y x y x
z dv z dz dy dx
 
  
            
   
 3 2
scilindricastenemos
T(s)= (r, ,z) / 4 ; 0 ;0 1rsen z r r          
2
2
( )
2
1 4
2 2
0 0
( , , ) ( , ,
: ( , , ; ( , , ) ( , , )
( ( ) )
s T s
r
s r z rsen
z d v F r z J r z dv
si J r z r f x y z F r z z
z dv z dz rd r d

 
 
 


  

  

 
   
2
41 3
2
0 0
1 3
2 2 3 32
0 0
1 13
2 2 2 3 32
0 0
1 15 4
2 2 32
0 00
( ) )
3
1
( ( 4 ) )
3
1 1
( 4 ) ( 4 ) )
3 2
1 1
( 4 )
3 2 4
r
s r rs en
s r
s r o r
s
z
z d v r d r d
z d v r r s e n r d r d
z d v r d r s e n r d r d
r
z d v r s e n d

 






 
 
 

 
 
  


 
   
 
 
     
 
 
    
 
 
  
  
   



2 5 5 3
0 0
3
2 5 5
0
1 1
( 3 4 )
6 1 2
1 1
( 3 4 ) (co s )
6 1 2 3
s
s
z d v d se n d
co s
z d v
 
 

  

 
 
   
    
  

2 5 5 31 1
( 3 4 )
6 9s
z dv u   

NOLAN JARA J.
11
PROBLEMA 9:
Sea Ω el recinto comprendido entre el interior de un paraboloide 22
3 yxz  y el
interior de un elipsoide 94 222
 zyx , calcular zdv


Resolución:
Grafica del paraboloide:
Corte en los ejes coordenados
2/30:
30:
30:



yzxy
xzyx
zyxz
corte en los planos coordenados
Para el plano xy
elipseyx
z
.....34
0
22


Para el plano xz
parabolaxz
xz
y
....3
3
0
2
2



Para el plano YZ
parabolayz
yz
x
...34
43
0
2
2



Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyx ......34 22

Grafica de una elipsoide
94 222
 zyx
2/30:
30:
30:



yzxy
xzyx
zyxz
Para el plano XY
elipseyx
z
...94
0
22


Para el plano XZ
elipsezx
y
...9
0
22


22
43 yxz 

NOLAN JARA J.
12
Para el plano YZ
elipsezy
x
...94
0
22


Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyx
yxk
.....94
94
222
222


GRAFICA DE LA INTERSECCION DEL PARABOLOIDE Y EL ELIPSOIDE
Otra vista:

NOLAN JARA J.
13
Grafica de la ecuación (3)
34 22
 yx
2 22
2 22
2 2 2
3 2 2 2 2 2 2
9 4( 3 )/23
3 4 3( 3 )/2
{( , ) / 3 / 2 3 / 2; 3 3}
{( , , ) / 4 3 9 4 ; 3 / 2 3 / 2; 3 3}
( )
x yx
x z x yy x
D x y R x y x x
x y z R x y z x y x y x x
V zdv zdzdydx
 
     
         
                
     
Notamos que la integración es muy operativa, por eso utilizaremos coordenadas
cilíndricas.
}),(;)49(34/),,{( 22223
DyxyxzyxRzyxz 
En coordenadas cilíndricas:
x=rcosθ
2y=rsenθ
z=z
)9(3
))4(9(34
22
2222
rzr
yxzyx


De (3):
 20;50
0;5
54
2
22



r
rr
yx
)3.......(..............................54
0)4(6)4(2
:)2.().1.(
)2.......(..........).........4(9
)1.....(..........34:21
22
22222
222
22




yx
yxyx
endoreemplazan
yxz
yxzSS

NOLAN JARA J.
14
Además: J(r,θ,z) = r/2
2
2
2 5 9
( ) 0 0 3
2 5 5 3
( ) 0 0
2
6 4 5
0
0
2
0
2
0
( ) ( , , ) ( / 2)
( 5 )
( ) ( , , ) (1/ 4)
( ) (1/ 4) ( / 6 (5/ 4) | )
( ) (1/ 4) (125/12)
( ) (1/ 4)(125 /12) |
r
T r z r
T r
r
V J r z zdv r zdzdrd
r r drd
V J r z zdv
V r r d
V d
V










 






    
  




  
 
  
   
 
 
   
  


( ) (125 / 24)V  
PROBLEMA 10
Consideremos el recinto del primer octante de R3
  baconyxzbxyabxyaRzyx  0,,,;,, 22223
Calcular el volumen de Ω y hallar  
 dvyxxy 33
SOLUCIÓN
Hallaremos el volumen:
  
D
zdADV
Definiremos la región D
    
   
   
 
      
   
 
       

  




















b
au
b
av
b
au
b
av
DT
abdudvdudv
yx
yxV
emplazando
dudvvuJyxV
IIbabvabuaRvuDT
yx
vuJxy
yx
xy
y
v
x
v
y
u
x
u
yxJ
donde
vuJyxJxyvxyu
iabledecambiounalizando
IbabxyabxyaRyxD
2
22
22
22
2
22
22
22
222
2
1
2
1
2
1
Re
,
0,,/,
2
1
,22
22
,
1,,,
varRe
0,,/,



NOLAN JARA J.
15
       
   
 
    
  

 
 





b
au
b
av
DTDT
DD
abuvdudv
dudv
yx
uvyxdudvvuJuvyx
IIendefinidoestaDTyIendefinidoestaDComo
dAxyxyyxdAyxxyzdvyxxy
Hallando
222
22
2222
22223333
8
1
2
1
2
1
,
)()()(
PROBLEMA 11:
Calcular el volumen del sólido definido por las desigualdades x²+y²+z² 2
4a ,
z aa, >0, mediante coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas.
SOLUCIÓN:
En coordenadas esfericas:
T(s)= {(ρ,θ,φ)є R³/ 0 2
,2   2
4a , aa,cos  >0}
T(s)= {(ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2   sec,22  aa }
T(s)= {(ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2  3/0,2sec   aa }
x=ρcosθsenφ
y=ρsenθsenφ
z=ρcosφ
Se tiene :
2 /3 2
2
0 0 sec
. . .
a
a
sen d d d
 

      

NOLAN JARA J.
16
/3
2 /3 2
3 3 3 3
sec0 0
0
/3
3 /3 3 3
0 0
/3
3 3 2
0
/3
3 3
0
. / 3 . . 2 [ (8 sec ) / 3. ]
2 [8 / 3 ( cos ) | / 3 .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan . tan ]
2 [(4 / 3)]
|
a
a
sen d d sen a a d
a a sen d
a a d
a a d

 





       
    
   
  

 
  
  
  

  



3 3 2 /3
0
3
( / 3)tan (1/ 2) |
(5 / 3)
a a
a





En coordenadas cilíndricas:
T(s)={(r,θ,z) є R³/ })4(,30,20 22
razaar  
x= rcosθ
y= rsenθ
z= z
J(r,θ,z)=r






3
3
0
23
0
2/322
3
0
3
0
2222222
3
0
2
0
22
3
0
2
0
)4(3
0
2
0
)3/5(
]||)4(3/2[
])4([))4(()2/1(
))4((...
22
a
arra
drarraddrara
drdararddrdzr
aa
a aa
ara
a
a




 


PROBLEMA 12:
Sea S el sólido limitado, inferiormente por la parte superior del cono 222
44 zyx 
Y superiormente por la esfera zzyx 2222

Calcular la integral (1 )
s
x dv
SOLUCIÓN:
Graficamos:

NOLAN JARA J.
17
 
   
 
 
2 2 2
1
2 2 2
2
3 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
sea:
4x +4y =z .......
x +y +z =2z.....S
: , , / 2 1 ( ) 1,( , )
: S
Entoncesinterceptamosestasdos superficies:
2 1 ( ) 1
2 1 1 ( )
4 1 4 1 ( )
5 4
S
S x y z x y z x y x y D
D S
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x
       

    
    
      
  2 2
2 2 16 4
....
25 5
y
x y circunferencia deradio R

  
Graficando la región D:

NOLAN JARA J.
18
 
2
1
2
3
3 2
Transformando a coordenadas cilindricas:
cos
2 1 ........
Dela region Dsededuce:
0 2 ..........
4
0 ............
5
De α,β,δ,tenemos:
4
( ): ( , , ) / 2 1 ;0 ;0 2
5
( , , )
x r
y rsen
z z
r z r
r
T S r z r z r r
J r z r



  

  




   
  
  
       

2
2
s
4
2 15
s 0 0 2
4
2 5
1
2
0 0
4
2 5
2
0 0
4
2 5
2 2 2 2 3
0 0
(1+x)dv ( , ) ( , , )
(1+x)dv. (1 cos )
( (1 cos ) ) )
( (1 cos ) ( 1 2 ) )
( ( 1 2 cos 1 cos 2
s
r
r z r
r
r
r
r
r
f x y J r z dv
r rdzdrd
r r z dr d
r r r r dr d
r r r r r r









 
 
 
 

  

 
 
 

 
 
   
     
 
   
 
 
 
3
2 2 32 3 4
2 2 32 5
0 0
2
0
s
) )
2(1 ) 1 4 cos
cos (1 ) 2
8 8 3 3
cos arctan(1/3) 47 2
cos
4 16 250 25
4
(1+x)dv.
25
r
dr d
r r r r
arcsenr r r
d







 
 

 

 
    
    
  
      
  
 



PROBLEMA 13:
Calcular el plano tangente P a la superficie de ecuación 033
 yxzxxz en el
punto (1,3,1). Sean A,B,C los puntos en los que el plano P corta a los ejes coordenados.
Calcular mediante una integral triple el volumen del tetraedro cuyos vértices son el
origen y los puntos A,B y C.

NOLAN JARA J.
19
Hallando el plano tangente P(t):
Sea : 03),,( 3
 yxzxxzzyxF
Punto de tangencia: )1,3,1(),,( 000 zyx
Ecuación del plano tangente
063:)(
)1().4.().3(),2.(
)4..(..............................).........,,(
)3.....(..............................).........,,(
)2........(..........).........6,1,3()1,3,1(
)33,1,13(),,(
),,(...
)1........(0),,()(:)(
0000
23
000
000
0000







zyxtP
enydoreemplazan
zyxP
zyxP
F
xxzzzzyxF
zyxFgradienteelhallando
zyxFpptP
Hallando los puntos de corte del plano P(t) con los ejes coordenados:
En x:Hacemos y=z=0A: x=2
En y:x=z=0B:y=-6
en Z:x=y=0C:z=6
3
( )
{( , , ) / 0 3 6;( , ) }
S
V s dv
S x y z R z y x x y D

      


NOLAN JARA J.
20
Graficando la ecuación D
2
0
6
23
0
6
2
0
6
3/)6(
0
2
0
6
3/)6(
0
0
6
3/)6(
0
63
0
2
12)(
|)3663/)(6/1()3612()6/1()(
|)6)2/3(()63()(
}06;3/)6(0/),{(
udvsV
yyydyyysV
dyxxyxdxdyxydzdxdydvsV
yyxRyxD
S
y
y
y
y
x
y
y
xS y
y
x
xy
z






    












PROBLEMA 14:
Calcular usando coordenadas esféricas 2 2 2
( / ( ))
S
xyz x y z dv  siendo S el recinto
limitado en el primer octante por la esfera 4222
 zyx
Solución:
}40;40;20/),,{( 2223
yxzxyxRzyxS 

NOLAN JARA J.
21
Convirtiendo a coordenadas esféricas:
x=ρcosθsenφ
y=ρsenθsenφ
z=ρcosφ
intervalos de variación:
2/0
20
2/0






Operando
2
2 /2 /2 2 /2 /2
4 2 2 4
0 0 0 0 0 0
2
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/ 4 ( 2 )( 2 ) 1/ 4 ( 1/ 2) 2 . . ( 2. 2 )
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/
s
s
sen sen sen sen dv
sen sen sen d d d sen sen sen
sen sen sen sen dv
   
  
          
             
          
  

     


     

2 /2 2 /2 2
2 4 4 2 4
0 0 0 0 0
2
4
0
4 ( 1/ 2) 2 . . .( 2) 1/ 4 ( 2 . . ) 1/ 4 (1/ 2)
1/ 8( ) 32 / 40
sen sen d d sen sen d d
d
 
    

          
 
    

   
 
    


NOLAN JARA J.
22
PROBLEMA 15:
Calcular el volumen del sólido.
  yxyxyxR zzyxS
2222223
1;
4
1
0/,, 
Usando coordenadas esféricas y cilíndricas:
SOLUCIÓN:
S
dV
Haciendo una transformación de coordenadas a coordenadas cilíndricas:
x= rcos ; y= rsen ; z= z
Donde el jacobiano J(r,  )=r
2 2 2 2 22 2 21 1
0 ( ( 0 : 1
4 2
) cos ) cosr zrsen r sen senr r r            
 
3 21
( , , ) / 0 2 :0 : 1
2
S r z r r zR r          
     
21 1
31 32 2 22 2
2 32
0 0 0 0 0
1 21 0.75
3 3
1
r
r
dz rdr d r rdr d dr ur r
  
  
    
                      
     
En coordenadas esféricas:
x= rcosθsenф ; y= rsenθsenф ; z= rcosф
Donde el jacobiano J(r,θ, ф)=r2
senф:
   
       

 senrsensenrsenrsensenr
senrsensenr
r
2222
22
coscos
cos
1cos
4
1
0



NOLAN JARA J.
23
 
4
0.20:
2
1
0/),,(
3 
  rrS R
  ur ddd
sen
dddrsendV
S
3
2
0
2
0
4
0
2
0
4
0
2
1
0
2
76.0
2
2
1
122
2
1
6
1
24
44 







































    




  
PROBLEMA 16:
Siendo   363694/,, 2223
 zyxRzyxS
Calcular usando un cambio de variable adecuado, la integral
  
S
dvzyx
2
632
SOLUCIÓN
Usando coordenadas esféricas
 
    
    
    
 
    
 
  










 




























2
0 0
1
0
22
2
22
22
3
2
2
2
2
2
2
2
222
coscos216
6coscos6632
coscos6632
0,20,10/,,
.2.3,,
cos
2
cos
3
123
363694
dddrsenrsensensenr
ddrdsenrsensensenrdvzyx
sensensenrzyx
rRrST
donde
senrrJ
rz
senrsen
y
senr
x
zyx
zyx
r
S ST
   
 








4
5
216
cos2
3
2
5
216
cos22
5
216
2
0
2
0 0
3

 

 











 
dsen
sen
ddsensensensensensen
  
S
zyx 
5
864
632
2
PROBLEMA 17:

NOLAN JARA J.
24
Hallar el volumen del sólido situado en el exterior del paraboloide z=x2
+y2
que lo limita
el semiplano 0z y en el interior del cilindrox2
+y2
=2x
SOLUCIÓN
El volumen del sólido encerrado es:
    
 
   
   
 
 
 
3
2
0
2
0
4
2
0
cos2
0
32
2
22
222
2
3
322
4
4
4
cos2
22
22
,cos20/,
22
cos;cos2
cos2cos
,:cos
11/,
usen
sen
dddrrdrdrrV
rRrDT
tenemos
positivoserdebecomor
rrsenr
rrJrsenyrx
polaresscoordenadapasandoa
yxRyxD
dondezdAV
r
DT
D















































   


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