metalurgia lagrange

1. APLICACIÓN AJUSTE DE BALANCES METALURGICOS POR METODOS
NUMERICOS (SMITH E ICHIYEN).
Jhonny Handry Castillo Mamani
Cía. Minera San Valentín S.A.
jcastillo_ciamsv@yahoo.es
Resumen density of pulp, lothology of the bargain and
oxides).
Cuando se hace un diagnostico metalúrgico de
un circuito de flotación con el objetivo de mejorar - Chemical reagents (collectors, fizzy, activators,
y/o optimizar la recuperación y ley del concentrado depressor, pH and to spread of slimes).
existen tres rutas posibles.
- Teams and circuits (type and size of cells,
- Mineral y operación (ley, mineralogía, tonelaje, system of aeration, configuration of benches
granulometría, densidad de pulpa, litología de and time of residence.
la ganga y óxidos).
Seeing the above and the third point as part of
- Reactivos químicos (colectores, espumantes, the metallurgic diagnosis is required of a reliable
activadores, depresantes, pH y dispersante de balance of the circuit of floating to evaluate the
lamas). recuperation for benches of cell, recuperation for
size of particles, circulating load in the circuit, time
- Equipos y circuitos (tipo y tamaño de celdas, of residence, etc.
sistema de aireación, configuración de bancos
y tiempo de residencia. Nowadays the software has a great deals
commercial that you can sell off balances of
Viendo lo anterior y el tercer punto como parte metallurgic processes, however; It is necessary to
del diagnostico metalúrgico se requiere de un model the and circuit to adjust moral values in such
balance confiable del circuito de flotación para a way that one have the best esteem when not
evaluar la recuperación por bancos de celda, counting on it.
recuperación por tamaño de partículas, carga
circulante en el circuito, tiempo de residencia, etc. The results of the application of a method of
calculation are up for the adjustment of balance of
Hoy en día hay muchos software comerciales materials unrolled by Smith and Ichiyen in the
que puede realizar balances de procesos present work.
metalúrgicos, sin embargo; al no contar con ello es
necesario modelar el circuito y ajustar los valores INTRODUCCIÓN
de tal manera que se tenga la mejor estimación.
Los circuitos de procesamiento de minerales,
En el presente trabajo se presentan los desde el chancado a flotación, pueden ser bastante
resultados de la aplicación de un método de cálculo complejos e incluyen varios flujos de reciclo.
para el ajuste de balance de materiales
desarrollado por Smith e Ichiyen. Frecuentemente no se dispone de estimaciones
de los flujos másicos en línea, excepto para el flujo
Summary de alimentación. Por lo tanto, estos flujos deben
estimarse indirectamente si son requeridos.
When it is done one I diagnose metallurgic of a
circuit of floating for the sake of getting better and or La Figura muestra una situación común en circuitos
optimizing the recuperation and law of the de molienda o flotación.
concentrate three possible routes exist.
- Mineral and operation (law, mineralogy,
tonnage, classification by size of particles,
Castillo, 1 de 9

2. - En la construcción de modelos, la estimación
de los parámetros requiere de datos
“suavizados“.
A continuación se presentan los resultados de
la aplicación de un método de cálculo para el ajuste
Figura 1: Análisis de flujos en un circuito para el de balance de materiales desarrollado por Smith e
ajuste de balances de materiales. Ichiyen.
La letra minúscula en la Figura se refiere a alguna AJUSTE DE BALANCE PARA SISTEMAS DE 1
cualidad de la corriente, por ejemplo: contenido NODO
fraccional de cobre, la fracción más fina que 200
mallas, etc. Para explicar los fundamentos matemáticos del
ajuste para sistemas de 1 nodo, se analizará un
Del balance de materiales en estado separador típico, con flujos de alimentación (w1),
estacionario, tanto global como por componentes, concentrado (w2) y cola(w3); según los flujos
se obtiene: másicos involucrados son w1, w2 y w3
respectivamente, conteniendo n elementos de
B ca interés, con concentraciones c1i, c2i y c3i.
 (1)
A cb
En consecuencia, la razón A = B se puede Alimentacion
determinar indirectamente de la cualidad o
características medidas (análisis químico o w1,C1i
granulométrico).
La pregunta natural en este punto es: ¿se Celda Unitaria
obtendrá la misma razón B = A si se resuelve
utilizando el análisis fraccional y la fracción más
fina que 200 mallas?. La respuesta es no.
Colas
La razón es que a menos que los valores a, b y w3,C3i
c sean perfectos, en el sentido que el muestreo, Concentrado
análisis y estado estacionario sean perfectos, se
w2,C2i
debe esperar diferencias en la razón B = A si se
utilizan distintas cualidades.
Figura 2: Balance de materiales para sistemas de 1
Por lo tanto, se requiere determinar la mejor nodo.
estimación de B = A, además, se desea que los
valores a, b y c se ajusten para corresponder a la El balance global de materiales está dado por,
mejor estimación anterior.
w1  w2  w3  0 (2)
Esto no es un ejercicio académico, sino que
tiene significado práctico. El balance por componentes está dado por,
- Los balances de materia se efectúan en forma
w1 * c1i  w2 * c2i  w3 * c3i  0 (3)
rutinaria para estimar la velocidad de
producción de concentrado y, posteriormente,
su recuperación. Considerando los errores intrínsecos a los métodos
de muestreo y análisis, asociados a los valores de
- En esquemas de control de procesos, la adición las concentraciones de los diferentes elementos de
de reactivos puede realizarse en proporción al interés en cada corriente, estos pueden expresarse
flujo másico de mineral. según,
- La instrumentación puede ser chequeada, c1,i  c1i  1i (4)
determinando que cualidad necesita mayor
ajuste. c  c2i   2i
,
2i (5)
c3i  c3i   3i
,
(6)
Castillo, 2 de 9

3. De esta forma, la ecuación 3 se puede expresar donde,
como,
 1 
w1 * c1i  w2 * c2i  w3 * c3i  0
, , ,
(7)  
 2
De acuerdo con el método desarrollado por Ichiyen
 .  (15)
et al., se define la función objetivo J que debe ser .
minimizada para obtener una solución óptima al  
ajuste del balance de materiales.
 n
Dicha función está dada por, El desarrollo final de Lagrange arroja como
resultado la matriz de ajuste  i para cada
J    iT * M i  *  i
1
(8) corriente:
i
 i  M i * BT * B * M i * BT  * B * Ci
2 1
k  ij
n  (16)
J     (9)

i   ij

j  Ahora se pueden obtener los errores para cada
elemento i en cada corriente j. Para esto, es
donde, necesario fijar las variables independientes, dado
 ij : es la varianza de cij
2 por la ecuación 17, (grados de libertad) en el
sistema para la optimización de la función objetivo
k : es el número de corrientes J.
n : es el número de elementos de interés
grados de libertad = N corrientes – N nodos – 1 (17)
En el caso del separador de la Figura 9.2, se tiene
que: Método de solución
 12i 0 0  De acuerdo con el método desarrollado por
Smith e Ichiyen, se define la función objetivo J que
M i    0
  2i
2
0 

(10) debe ser minimizada para obtener una solución
óptima al ajuste del balance de materiales, esto se
0 0  32i 
  puede resolver por métodos de gradiente de primer
orden (Gauss-Newton) o segundo orden (Newton-
Se definen además, Raphson). Para facilitar el trabajo de métodos
numéricos se usa la hoja de calculo utilizando la
B  w1  w2  w3  (11) herramienta Solver.
Conceptos básicos de Solver
 c1,i 
 ,  Solver es una herramienta para resolver y
Ci,  c2i  (12) optimizar ecuaciones mediante el uso de métodos
c3i 
, numéricos.
 
Con Solver, se puede buscar el valor óptimo
1i  para una celda, denominada celda objetivo, en
 i   2i 
donde se escribe la fórmula de la función objetivo f
(13)
  (x1, x2, ..., xn).
 3i 
 
Solver cambia los valores de un grupo de
celdas, denominadas celdas cambiantes, y que
Utilizando el método de aproximación de Lagrange, estén relacionadas, directa o indirectamente, con la
se llega a la siguiente expresión para la función fórmula de la celda objetivo. En estas celdas se
objetivo, encuentran los valores de las variables controlables
x1, x2, ..., xn.
L    iT * M i  *  i  2 * T * B * Ci,
1
(14)
i Puede agregarse restricciones escribiendo la
fórmula objetivo en una celda y especificando las
Castillo, 3 de 9

4. observaciones respecto a esa celda (mayor que, alimento, concentrado y cola. Los resultados
menor que, diferente, etc) obtenidos se resumen en la Tabla 1, para las
concentraciones de 5 elementos de interés: Cu, Pb,
Si Zn, Fe y Ag.
Solución ¿Es Fin
Inicial óptima?
Tabla 1: Muestreo de las leyes en las corrientes del
separador
No No. Flujo Nombre %Cu %Pb %Zn %Fe Oz Ag/TC
1 Alimento 2.47 0.04 0.34 11.97 0.91
2 Concentrado 25.88 0.12 2.80 32.40 3.50
Nueva solución 3 Colas 1.52 0.03 0.22 9.01 0.64
Figura 3: Algoritmo del solver. El Problema tiene 1 grado de libertad, por lo tanto;
se fija como valor conocido el flujo de la
Solver utiliza diversos métodos de solución, alimentación w1=1, por lo tanto:
dependiendo de las opciones que seleccione.
w3  1  w2 (18)
- Para los problemas de Programación Lineal
utiliza el método Simplex. Tabla 2: Resumen de los resultados obtenidos para
el separador.
- Para problemas lineales enteros utiliza el Feed Conc. Tailing
método de ramificación y límite, implantado por %Cu ajustado 2.62 25.06 1.46
John Watson y Dan Fylstra de Frontline %Pb ajustado 0.04 0.13 0.03
%Zn ajustado 0.35 2.78 0.22
Systems, Inc.
%Fe ajustado 10.79 32.83 9.65
%Ag ajustado 0.00 0.01 0.00
- Para problemas no lineales utiliza el código de %Cu medido 2.47 25.88 1.52
optimización no lineal (GRG2) desarrollado por %Pb medido 0.04 0.12 0.03
la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y %Zn medido 0.34 2.80 0.22
la Universidad Allan Waren (Cleveland). %Fe medido 11.97 32.40 9.01
%Ag medido 0.00 0.01 0.00
 Cu 0.153 -0.823 -0.055
Pasos para usar Solver  Pb -0.004 0.002 0.002
 Zn 0.006 -0.021 -0.003
- Plantear el problema.  Fe -1.186 0.426 0.639
 Ag 0.000 0.000 0.000
- Función objetivo y restricciones.
Luego, la función es minimizada para w2 = 0.049.
- Ingresar datos en el modelo de Solver
(variables y parámetros). Tabla 3: Balance en celda unitaria de Flotación.
Leyes
Productos Peso %Cu %Pb %Zn %Fe OzAg/tc
- Obtener una respuesta ya sea maximizándola, Cabeza (1) 1.000 2.62 0.04 0.35 10.79 0.82
minimizándola o igualándola a un valor en Conc.(2) 0.049 25.06 0.13 2.78 32.83 3.56
particular. Relave (3) 0.951 1.46 0.03 0.22 9.65 0.68
Cabeza (c) 1.000 2.62 0.04 0.35 10.79 0.82
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CÁLCULO
% Distribución
Para aplicar el método de ajuste, se considera Productos Peso Cu Pb Zn Fe Ag
Cabeza (1) 1.000 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00
una celda unitaria de flotación operando con
Conc.(2) 0.049 46.85 16.69 39.28 14.91 21.20
mineral de cobre, en circuito abierto; como se Relave (3) 0.951 53.15 83.31 60.72 85.09 78.80
muestra en la Figura 2. Cabeza (c) 1.000 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00
Durante la operación en estado estacionario se
obtuvieron muestras sucesivas de los flujos de
Castillo, 4 de 9

5. AJUSTE DE BALANCE PARA SISTEMAS DE 8 NODOS
Para ilustrar el método de cálculo para sistemas de 8 nodos, se desarrollará el ajuste de balance de
materiales para un circuito de flotación zinc completo, según muestra la Figura 4.
Circuito de flotación de zinc anterior
C1 C8w4 C10w5
C3(1-w1) C5(1+w3-w8) C7(w4+w5+1-w8)
Acond UNIT Rougher I Rougher II Scavenger I Scavenger II
C1 C11(1-w8)
C9(w5+1-w8)
C2w1 C4w2 C6w3
C13(w3+w2+w1-w8) C14w7
C17(w1+w7-w8)
Cl - I Cl - II Cl - III
C15(w6+w2+w1-w8)
C12w6
C16w8
Figura 4: Balance de materiales para sistemas de 8 nodos (circuito anterior).
El balance global de materiales está dado por,
Unitaria
C1  C2 w1  C3 (1  w1 )  0 (19)
Rougher I
C3 1  w1   C13 (w3  w2  w1  w8 )  C4 w2 C 5 1  w3  w8   0 (20)
Rougher II
C8 w4  C10 w5  C5 1  w3  w8   C6 w3 C 7 w4  w5  1  w8   0 (21)
Scavenger I
C7 w4  w5  1  w8   C8 w4  C9 w5  1  w8   0 (22)
Scavenger II
C9 w5  1  w8   C10 w5  C11 1  w8   0 (23)
Cleaner I
C6 w3  C15 (w6  w2  w1  w8 )  C12 w6  C13 w3  w2  w1  w8   0 (24)
Cleaner II
C12 w6  C4 w2  C17 w1  w7  w8  C 14 w7  C15 (w6  w2  w1  w8 )  0 (25)
Cleaner III
C 2 w1  C14 w7  C16 w8  C17 w1  w7  w8   0 (26)
El desarrollo del método de optimización indica que la matriz de ajustes que minimiza la función J, al
igual que en el sistema de 1 nodo, se describe según,
Castillo, 5 de 9

6.  i  M i * BT * B * M i * BT  * B * Ci
1
(27)
En este caso, al tratarse de 17 corrientes,
  12i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
 0  2i
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 0 0  32i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
 0 0 0  4i
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 0 0 0 0  52i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
 0 0 0 0 0  6i
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0  7i
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
 0 0 0 0 0 0 0  2
8i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
M i   0 0
 0 0 0 0 0 0 0  92i 0 0 0 0 0 0 0 0 

(28)
 0 0 0 0 0 0 0 0 0  10i
2
0 0 0 0 0 0 0 
 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  11i
2
0 0 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  12i
2
0 0 0 0 0 
 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  2
13i 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  14i
2
0 0 0 
 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  15i
2
0 0 
 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  16i
2
0 
 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  1i 7 
2

T
Ci'  c1i
'
 '
c2i '
c3i '
c4i '
c5i '
c6i '
c7i '
c8i '
c9i '
c10i '
c11i '
c12i '
c13i '
c14i '
c15i '
c16i '
c17i  (29)
Para el caso de 17 nodos, también se modifica la matriz B, a partir del balance de materiales,
1 -w1 -(1-w1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 (1-w1) -w2 -(1+w3-w8) 0 0 0 0 0 0 0 (w3+w2+w1-w8) 0 0 0 0
0 0 0 0 (1+w3-w8) -w3 -(w4+w5+1-w8) w4 0 w5 0 0 0 0 0 0 0
B  0 0 0 0 0 0 (w4+w5+1-w8) -w4 -(w5+1-w8) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 (w5+1-w8) -w5 -(1-w8) 0 0 0 0 0 0 (30)
0 0 0 0 0 w3 0 0 0 0 0 -w6 -(w3+w2+w1-w8) 0 (w6+w2+w1-w8) 0 0
0 0 0 w2 0 0 0 0 0 0 0 w6 0 -w7 -(w6+w2+w1-w8) 0 (w1+w7-w8)
0 w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w7 0 -W8 -(w1+w7-w8)
Durante una operación en estado estacionario se obtuvieron muestras sucesivas para los 17 flujos del
circuito de la Figura 4 , obteniéndose los resultados que aparecen en la Tabla 4, para las concentraciones
de 5 elementos de interés: Cu, Pb, Zn, Fe y Ag.
Tabla 4: Muestreo de las leyes en las corrientes del circuito de flotación de zinc anterior.
No. Flujo Nombre %Cu %Pb %Zn %Fe Oz/tc Ag
1 Alimento Circuito Zinc 0.14 0.42 4.57 10.70 1.17
2 Espuma unitaria 0.89 1.87 52.20 4.60 5.25
3 Relave unitaria 0.12 0.33 3.00 10.04 0.68
4 Espumas rougher I 1.07 2.13 34.37 10.87 5.83
5 Relave rougher I 0.12 0.84 1.53 10.98 1.26
6 Espumas rougher II 1.33 8.33 17.80 18.87 13.13
7 Relave rougher II 0.13 0.50 1.57 11.90 1.31
8 Espumas scavenger I 0.70 2.43 8.33 16.90 4.67
9 Relave scavenger I 0.07 0.26 0.62 10.78 0.78
10 Espumas scavenger II 0.23 0.76 2.27 13.23 1.90
11 Relave scavenger II 0.07 0.22 0.56 6.23 0.35
12 Espumas cleaner I 1.33 3.33 23.60 14.00 7.28
13 Relave cleaner I 1.13 11.00 14.00 16.67 14.00
14 Espumas cleaner II 1.09 7.47 40.55 8.53 9.63
15 Relave cleaner II 1.40 5.53 22.00 14.13 8.04
16 Espumas cleaner III 0.96 1.91 53.81 5.20 4.38
17 Relave cleaner III 1.33 5.07 26.87 11.13 12.54
Castillo, 6 de 9

7. Tabla 5: Resume los resultados realizados para el circuito de zinc.
Valores calculados ValoresExperimentales i
No. Flujo %Pb %Cu %Ag %Fe %Zn %Pb %Cu %Ag %Fe %Zn Pb Cu Ag Fe Zn
1 0.39 0.14 0.002 8.44 4.99 0.42 0.14 0.003 10.70 4.57 -0.03 0.00 -0.001 -2.26 0.42
2 1.82 0.88 0.015 4.54 51.64 1.87 0.89 0.015 4.60 52.20 -0.05 -0.01 0.000 -0.06 -0.56
3 0.33 0.11 0.002 8.60 3.09 0.33 0.12 0.002 10.04 3.00 0.00 -0.01 0.000 -1.44 0.09
4 2.31 1.04 0.017 10.25 34.44 2.13 1.07 0.016 10.87 34.37 0.18 -0.03 0.001 -0.62 0.07
5 0.79 0.13 0.003 9.27 1.52 0.84 0.12 0.004 10.98 1.53 -0.05 0.01 0.000 -1.71 -0.01
6 9.97 1.23 0.040 17.83 17.93 8.33 1.33 0.037 18.87 17.80 1.64 -0.10 0.003 -1.04 0.13
7 0.52 0.14 0.003 10.27 1.59 0.50 0.13 0.004 11.90 1.57 0.02 0.01 -0.001 -1.63 0.02
8 2.36 0.65 0.014 17.29 8.28 2.43 0.70 0.013 16.90 8.33 -0.07 -0.05 0.001 0.39 -0.05
9 0.28 0.08 0.002 9.33 0.69 0.26 0.07 0.002 10.78 0.62 0.02 0.01 0.000 -1.45 0.07
10 0.74 0.22 0.006 13.70 2.15 0.76 0.23 0.005 13.23 2.27 -0.02 -0.01 0.000 0.47 -0.12
11 0.22 0.06 0.001 8.74 0.50 0.22 0.07 0.001 6.23 0.56 0.00 -0.01 0.000 2.51 -0.06
12 3.91 1.37 0.021 13.88 23.51 3.33 1.33 0.021 14.00 23.60 0.58 0.04 0.001 -0.12 -0.09
13 7.64 1.17 0.036 18.17 13.98 11.00 1.13 0.040 16.67 14.00 -3.36 0.04 -0.004 1.50 -0.02
14 2.28 1.16 0.025 8.64 37.67 7.47 1.09 0.027 8.53 40.55 -5.19 0.07 -0.002 0.11 -2.88
15 3.79 1.35 0.022 14.27 22.08 5.53 1.40 0.023 14.13 22.00 -1.74 -0.05 -0.001 0.14 0.08
16 2.09 0.97 0.014 5.42 49.87 1.91 0.96 0.012 5.20 53.81 0.18 0.01 0.001 0.22 -3.94
17 2.28 1.27 0.037 11.03 27.52 5.07 1.33 0.035 11.13 26.87 -2.79 -0.06 0.002 -0.10 0.65
Luego, la función es minimizada para:
w1 = 0.0392, w2 = 0.0767, w3 = 0.0564, w4 = 0.1374, w5 = 0.1225, w6 = 0.2975, w7 = 0.1074, w8 = 0.0910
Circuito de flotación de zinc actual
C1 C8w4 C10w5
C3(1-w1) C5(1+w3-w8+w4+w5) C7(1-w8+w4+w5)
Acond UNIT Rougher I Rougher II Scavenger I Scavenger II
C1 C11(1-w8)
C9(1-w8+w5)
C2w1 C4w2 C6w3
C13(w1+w2+w3-w8) C14w7
C17(w7-w8)
Cl - I Cl - II Cl - III
C15(w6-w8)
C12w6
C16w8
Figura 5: Balance de materiales para sistemas de 8 nodos (circuito actual).
Al igual que en el balance del circuito de flotación de zinc anterior se procede a formar las ecuaciones
para cada nodo, que en este caso son 8 nodos. A diferencia de circuito anterior mostrado en la Figura 4; en
este caso los concentrados del Scavenger I y II retornan al circuito como alimento del Rougher I, así mismo;
los concentrados de la Celda Unitaria, Rougher I y Rougher II son enviados como alimento al banco de
celdas Cleaner I.
Durante una operación en estado estacionario se obtuvieron muestras sucesivas para los 17 flujos del
circuito de la Figura 5 , obteniéndose los resultados que aparecen en la Tabla 6, para las concentraciones
de 5 elementos de interés: Cu, Pb, Zn, Fe y Ag.
Castillo, 7 de 9

8. Tabla 6: Muestreo de las leyes en las corrientes del circuito de flotación de zinc actual.
No. Flujo Nombre %Cu %Pb %Zn %Fe Oz/tc Ag
1 Alimento Circuito Zinc 0.08 0.22 4.24 14.84 0.62
2 Espuma unitaria 0.63 0.39 49.69 9.59 2.38
3 Relave unitaria 0.08 0.14 2.62 15.09 0.45
4 Espumas rougher I 0.70 1.40 16.23 19.98 3.14
5 Relave rougher I 0.15 0.34 2.31 18.65 0.96
6 Espumas rougher II 0.56 1.11 10.39 23.92 2.68
7 Relave rougher II 0.10 0.69 0.90 17.77 0.58
8 Espumas scavenger I 0.40 0.95 4.39 31.51 1.90
9 Relave scavenger I 0.07 0.19 0.44 16.17 0.43
10 Espumas scavenger II 0.29 0.55 1.79 36.08 1.28
11 Relave scavenger II 0.05 0.14 0.31 15.73 0.25
12 Espumas cleaner I 0.92 1.51 34.01 14.15 3.84
13 Relave cleaner I 0.76 1.34 11.28 22.19 2.81
14 Espumas cleaner II 0.74 0.86 50.21 7.18 3.48
15 Relave cleaner II 0.94 2.15 19.93 19.35 4.01
16 Espumas cleaner III 0.71 0.56 55.37 5.13 3.12
17 Relave cleaner III 0.90 1.61 28.57 15.13 3.58
La Tabla 7: Resume los resultados realizados para el circuito de zinc.
Valores calculados ValoresExperimentales i
No. Flujo %Pb %Cu %Ag %Fe %Zn %Pb %Cu %Ag %Fe %Zn Pb Cu Ag Fe Zn
1 0.17 0.09 0.002 14.36 4.28 0.22 0.08 0.002 14.84 4.24 0.03 0.01 0.00 0.34 0.03
2 0.39 0.62 0.007 9.58 49.70 0.39 0.63 0.007 9.59 49.69 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00
3 0.17 0.07 0.001 14.53 2.63 0.14 0.08 0.001 15.09 2.62 0.02 0.00 0.00 0.39 0.01
4 1.40 0.74 0.009 19.91 15.99 1.40 0.70 0.009 19.98 16.23 0.00 0.03 0.00 0.05 0.17
5 0.38 0.16 0.003 19.40 2.11 0.34 0.15 0.003 18.65 2.31 0.03 0.01 0.00 0.54 0.14
6 1.06 0.55 0.008 23.74 10.82 1.11 0.56 0.008 23.92 10.39 0.04 0.01 0.00 0.13 0.30
7 0.29 0.11 0.002 18.83 0.95 0.69 0.10 0.002 17.77 0.90 0.28 0.00 0.00 0.74 0.04
8 1.01 0.38 0.005 30.83 4.31 0.95 0.40 0.005 31.51 4.39 0.04 0.02 0.00 0.48 0.06
9 0.19 0.07 0.001 17.02 0.45 0.19 0.07 0.001 16.17 0.44 0.00 0.00 0.00 0.60 0.00
10 0.57 0.28 0.004 35.10 1.77 0.55 0.29 0.004 36.08 1.79 0.01 0.01 0.00 0.70 0.01
11 0.14 0.05 0.001 15.07 0.30 0.14 0.05 0.001 15.73 0.31 0.00 0.00 0.00 0.47 0.00
12 1.53 0.86 0.011 14.04 33.58 1.51 0.92 0.011 14.15 34.01 0.02 0.04 0.00 0.08 0.30
13 1.35 0.69 0.008 22.29 11.43 1.34 0.76 0.008 22.19 11.28 0.00 0.05 0.00 0.08 0.11
14 0.82 0.73 0.010 7.43 49.36 0.86 0.74 0.010 7.18 50.21 0.03 0.00 0.00 0.18 0.60
15 2.12 0.98 0.011 19.48 20.02 2.15 0.94 0.011 19.35 19.93 0.02 0.03 0.00 0.09 0.07
16 0.56 0.68 0.009 5.05 56.02 0.56 0.71 0.009 5.13 55.37 0.00 0.02 0.00 0.06 0.46
17 1.64 0.90 0.010 14.85 28.64 1.61 0.90 0.010 15.13 28.57 0.02 0.00 0.00 0.19 0.05
Luego, la función es minimizada para:
w1 = 0.0351, w2 = 0.4249, w3 = 0.1573, w4 = 0.1549, w5 = 0.1000, w6 = 0.1897, w7 = 0.0944, w8 = 0.0715
Castillo, 8 de 9

9. COMPARACION DE RESULTADOS Cu y las leyes de los concentrados respectivamente;
así por ejemplo la ley del concentrado de zinc ha sido
En la Tabla 8 y Tabla 9 se muestran los de 49.96% con una recuperación de 83.42%,
resultados obtenidos de los dos circuitos de actualmente la ley del concentrado de zinc es de
flotación, donde se observa que en nuestro 54.39% con una recuperación de 90.21%; que
circuito actual Zinc se tiene un incremento lógicamente ha sido un ingreso adicional
adicional en la recuperación de 2.50% de Zinc; económicamente para la empresa. Además frente a
aun siendo la ley de cabeza menor, igualmente se los otros balances como el de mínimos cuadrados,
tiene un incremento en la ley del concentrado algebraico, matricial, Lagrange, el método residual y
final. En esta etapa se ha logrado incrementar la otros; tiene una ventaja favorable ya que su
ley y recuperación de concentrado cambiando los modelamiento matemático es bastante sencillo y de
flujos de alimentación a cada celda y/o banco de fácil uso.
celdas de flotación disminuyendo la carga
circulante y maximizando la recuperación en cada AGRADECIMIENTOS
banco de celdas.
A los Ingenieros: Arturo Arias, Juan Romero y
Tabla 8: Resultado de balance metalúrgico Gilberto Yanarico; Director de Operaciones, Gerente
(circuito flotación anterior) de Operaciones y Superintendente de Planta
Descripcion %Zn %Rec Zn concentradora de Cía. Minera San Valentín S.A., por
LEY CABEZA 4.99 permitir que este estudio de aplicación sea publicado,
UNITARIA 51.64 40.53 a una persona en especial por ser mi motor y motivo,
ROUGHER I 34.44 64.33 a los Supervisores y Operadores de la Planta
ROUGHER II 17.93 35.30 Concentradora por su invalorable apoyo en todo tipo
SCAVENGER 8.28 61.37 de cambio que estamos implementando y con su
SCAVENGER II 2.15 36.76 aporte se hacen realidad los resultados esperados.
CLEANER I 23.51 86.03
CLEANER II 37.67 36.23 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CLEANER III 49.87 74.81
CIRCUITO 49.87 90.93 1. H. Smith and N. Ichiyen, Computer Applications
and process control, Computer adjustment of
Tabla 9: Resultado de balance metalúrgico metallurgical balances. (CIM) Bulletin for
(circuito flotación actual) September (1,973)
Descripcion %Zn %RecZn
LEY CABEZA 4.28 2. J. Yianatos B, Flotación de minerales. Universidad
UNITARIA 49.70 40.75 Técnica Federico Santa Maria. (2,005)
ROUGHER I 15.99 70.61
ROUGHER II 10.82 60.20 3. PROCEMIN 2006 IV Taller Internacional sobre
SCAVENGER 4.31 59.24 Procesamiento de minerales Pag 193- 207,
SCAVENGER II 1.77 38.66
Santiago Chile - Noviembre (2006).
CLEANER I 33.58 50.52
CLEANER II 49.36 66.32
4. E. Kreyszig. Matemáticas avanzadas para
CLEANER III 56.02 85.90
ingeniería (2003)
CIRCUITO 56.02 93.43
5. J. Murillo O. Modelos no lineales: Gauss – Newton
CONCLUSIONES
y Newton Raphson (2002).
La aplicación del método de cálculo para el 6. J. Castillo M. Aplicación de la función solver en
ajuste de balance de materiales desarrollado por procesos metalúrgicos Enero (2009).
Smith e Ichiyen, ha sido una herramienta como
parte del diagnostico metalúrgico; esto a
7. J. Castillo M., Informes internos de balances de
conllevado optimizar nuestros circuitos de procesos metalúrgicos CIAMSV.
flotación; maximizando la recuperación de Zn, Pb,
Castillo, 9 de 9