AFDFSDAEFSD

1. 1
Estado Tensional (Esfuerzos) del
Suelo
2021
MSc. Jorge Dueñas
Facultad de Geología Geofísica y Minas
UNSA
www.unsa.edu.pe
Email: jduenasr@unsa.edu.pe
Tensiones en el Macizo de Suelo
• Comportamiento del Suelo
• Esfuerzos en la Masa del Suelo
• Estado de Tensiones
• Ecuación Fundamental de Terzaghi
• Distribución de Tensiones

2. 2
Naturaleza de la Deformación del Suelo
• Fuerzas de Contacto entre partículas adyacentes
• Deformaciones elásticas y plásticas de partículas en
puntos o zonas de contacto
Fractura y Aplastamiento de
partículas con aumento de área
de contacto
Flexión de “láminas” con movimiento
relativo entre partículas adyacentes
Deslizamiento relativo entre partículas
cuando T > Resistencia tangencial
Naturaleza de la Deformación del Suelo

3. 3
Deformación general del suelo
Deformaciones individuales de partículas
+
Deslizamiento relativo entre partículas
Deformación de masa de suelo controlada por
interacciones entre partículas individuales, especialmente
por deslizamiento entre las mismas (fricción, adhesión)
Naturaleza de la Deformación del Suelo
Deslizamiento: Deformación no lineal e irreversible
Comportamiento tensión-deformación de suelos:
no lineal e irreversible
Imposibilidad de plantear leyes tensión-deformación de
suelo considerando comportamiento de contactos
individuales  Propiedades de sistemas con gran número de
partículas
Naturaleza de la Deformación del Suelo

4. 4
Comportamiento de la Fase Intersticial
Interacción Química
Arcillas
Antes de cargar Reducción de separación por
carga aplicada
Elementos de fase intersticial influyen en naturaleza de
superficies minerales y afectan proceso de transmisión de
fuerzas en puntos de contacto entre partículas
c) Suelo en ebullición
Flujo de agua afecta magnitud de
fuerzas en contactos entre
partículas e influye sobre
resistencia al corte de suelos
Comportamiento de la Fase Intersticial
Interacción Física
a) Estado hidrostático
b)

5. 5
N
T
N
Tmáx= .N
m
 = tan
m
Ángulo de Fricción
Resistencia al Deslizamiento Tangencial entre
Partículas de Suelo
Resistencia al Esfuerzo Cortante
Fuerza que debe aplicarse para
producir deslizamiento relativo
entre partículas
Fuerzas resistentes al
deslizamiento
• Fricción
• Cohesión
Esfuerzos en La Masa del Suelo
Superficie
horizontal
Superficie
ondulada
Corte
vertical por
superficie
horizontal
Corte
vertical por
superficie
ondulada
• Dificultades para medir
tensiones de contacto
• A nivel macroscópico
puede considerarse al
suelo como un medio
continuo

6. 6
Tensiones en un Elemento “Continuo” de Suelo
Suelo Seco
Fuerzas sobre el elemento “A”
2
v
v
2
h
h
2
h
h
2
v
v
a
T
;
a
T
a
N
;
a
N








Tensiones en un Elemento “Continuo” de Suelo
Esfuerzos en un sistema de partículas de suelo

7. 7
Tensiones en interior de suelo
Tensiones Geostáticas
Peso Propio Suelo
Cargas Externas
Estado de tensiones geostáticas
• Superficie de terreno horizontal
• Naturaleza de suelo varía muy poco en horizontal
Estado de tensiones sencillo de determinar
Caso frecuente en suelos, particularmente sedimentarios
h = v = 0
v = h = tensiones principales
v
v
h
h
v = Peso de suelo en z
z
Tensiones Geostáticas

8. 8
Tensiones geostáticas verticales
En general  = f (z)
 aumenta x compresión


z
v dz
0


Peso específico () = cte. (z)
z
v 
 

 
 z
.
v 

Suelos estratificados
v
z
v
h
K



K variable según
suelo comprima o
expanda en dirección
horizontal por
razones naturales o
intervención humana
Tensiones geostáticas horizontales
En general v vs. h: Coeficiente de empuje lateral (K)

9. 9
Coeficiente de Empuje Lateral en Reposo (Ko)
Caso particular de K sin
deformación lateral de terreno v
h
K



0
• Suelo sedimentario “normalmente consolidado”: h < v
Depósito de arena formado por deposición de abajo
hacia arriba: K0 = 0,4 a 0,5
• Suelo sedimentario “sobreconsolidado”: h no se disipa al
descargar, queda “congelado”
K0 puede llegar a 3
Esfuerzos
J.Dueñas_2017

10. 10
Esfuerzos
J.Dueñas_2017
Esfuerzos
J.Dueñas_2017

11. 11
Esfuerzos
J.Dueñas_2017
Esfuerzos
J.Dueñas_2017

12. 12
Esfuerzos
J.Dueñas_2017
Esfuerzos
J.Dueñas_2017

13. 13
Noción de Esfuerzos Principales
J.Dueñas_2017
Esfuerzos
J.Dueñas_2017

14. 14
Mecánica de los Materiales
• Esfuerzo = Fuerza/Área (ejm, psi, Pa)
• Convención de signos:
• (+) Cuando  es compresivo (para suelos)
• (+) Cuando  es antihorario
z
x
zx
(REV)
z
x
xz
zx
xz
Esfuerzo normal, 
Esfuerzo cortante, 
J.Dueñas_2017
• Esfuerzo normal - deformación

L
E = Módulo de Young

 Ley de Hooke
G = Módulo cortante


L
= L/L
• Esfuerzo cortante - deformación
= 
= Def cortante

Mecánica de los Materiales
J.Dueñas_2017

15. 15
Relación de poisson
 material
poisson's
ratio
Rubber ~ 0.50
Magnesium 0.35
Titanium 0.34
Copper 0.33
Aluminium-alloy 0.33
Stainless steel 0.30-0.31
Steel 0.27-0.30
Cast iron 0.21-0.26
Concrete 0.20
Glass 0.18-0.3
Foam 0.10 to 0.40
Cork ~ 0.00
Auxetics negative
ll


5
.
0
0
11



 
v
v


Si v = 0.5, “material incompresible”
(no hay cambio neto de volúmen)
soil
poisson's
ratio
saturated clay 0.40-0.50
part. sat. clay 0.30- 0.40
dense sand 0.30-0.40
loose sand 0.10-0.30
granite 0.23-0.27
Mecánica de los Materiales
J.Dueñas_2017
Ecuación fundamental de Terzaghi
Suelo Saturado
• Carga aplicada
es resistida por
sólidos minerales
y agua Modelo Reológico
Tensión total ()
se divide en:
• Tensión
efectiva (´)
• Presión
intersticial (u)

16. 16
Presión Intersticial
zw
uv
uh
Suelo Saturado
u
u
u h
v 
 w
w z
u 
 
Condición
hidrostática
Porción de esfuerzo total soportada por sólidos minerales
u

 ´

 Ecuación Fundamental de Terzaghi
'
'
v
h
K



En general coeficiente de empuje lateral:
Esfuerzo Efectivo (´)
Principio de Tensiones Efectivas
• ´ controla cambios volumétricos y resistencia
u

 
´

17. 17
Suelos Parcialmente Saturados
Carga resistida por sólidos minerales, agua (capilaridad) y aire
No es válida Ecuación Fundamental de Terzaghi
Succión
ua
uw
ua
ua
uw
“Saturado” No Saturado “Seco”
1


 w
a u
u
s
Esfuerzo Total y Esfuerzo Efectivo
P v
 = Esfuerzo total (v y h)
’ = Esfuerzo efectivo (’v and ’h)
uw = Presión poral del agua (isotropico)
w
u

 
 '
Esfuerzo de la sobrecarga y externo (inducido)
Esfuerzo de los granos de suelo
Hidrostático (sin flujo) o Condic.
h

uw
El esfuerzo efectivo gobierna el
comportamiento geomecánico de la roca
(Prop de resistencia y cambio de volumen)
w
h
h
w
v
v
u
u




'
'




J.Dueñas_2017

18. 18
z
En Mecánica de Suelos, el esfuerzo vertical hace que el elemento de
suelo pueda expandirse lateralmente debido al efecto de Poisson. Sin
embargo, esto no ocurre porque el suelo está confinado. Razón por la cual
el esfuerzo horizontal se asume que es menor que el esfuerzo vertical.
x
Coeficiente de empuje lateral:
z
y
z
x
K
'
'
'
'





 3
3
.
0 
 K
Para el esfuerzo
geostático, en “x“ y ”y”
son iguales.
Consideraciones
especiales: Cargas
inducidas, taludes, muros
de contención, tectónica
x
y
z
Esfuerzo Vertical y Esfuerzo Horizontal
J.Dueñas_2017
Círculo de Mohr

19. 19
Caso bidimensional (2 = 3)
Círculo de Mohr (1882)
Convención de Signos












2
2
2
cos
2
2
3
1
3
1
3
1
sen






• Dados 1, 3 y sus direcciones, se pueden encontrar
tensiones correspondientes a cualquier  ( y ) y
viceversa
• Tensión tangencial o de corte máxima en punto: máx = (1 -
3)/2 = Rcírculo
Esto es para: sen 2 máx = 1  2 =  /4
• Estado de tensiones geostáticas
Círculo de Mohr (1882)
 
 
0
:
0
1
2
:
1
1
2
:
1
max
max
max













K
K
K
K
K
v
v

20. 20
Convención de Signos
Esfuerzo normal ()
Esfuerzo cortante ()
(USC)
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(-)
(-)
Para que el elemento esté en equilibrio el
elemento debe estar sometido al esfuerzo
cortante en sentidos opuestos
J.Dueñas_2017
Esfuerzos Principales & Planos Principales
Esfuerzo principal: Es el esfuerzo normal en un determinado plano donde el
esfuerzo cortante es cero
1 = Esfuerzo principal máximo (mayor)
3 = Esfuerzo principal mínimo (menor)
2 = Esfuerzo principal intermedio (3D)
Si 1 = 2 = 3, “Esfuerzo isotrópico” (no se genera esfuerzo cortante)
(1 - 3 ) = “Esfuerzo desviador” (genera esfuerzo cortante)
Plano Principal: Plano en el que actúa el esfuerzo principal
• Dos planos principales son perpendiculares
1
No necesariamente
verticales u horizontales
3
2
1 

 

3
1
3

J.Dueñas_2017

21. 21
Círculo de Mohr
Considere un elemento en 2D, Donde: 1 ≠ 3
1

3




3
1
   
   
   
   
















sin
cos
:
sin
cos
:
0
cos
sin
:
0
1
3
ds
dy
ds
dx
Donde
ds
ds
dx
F
ds
ds
dy
F
v
h










ds
dx
dy
Sustituyendo...
Sub-elemento:
       
       ds
ds
ds
ds
ds
ds
















sin
cos
cos
cos
sin
sin
1
3




J.Dueñas_2017



3
1
ds
dx
dy
Dividiendo ambos por ds…
       
       ds
ds
ds
ds
ds
ds
















sin
cos
cos
cos
sin
sin
1
3




     
     
















sin
cos
cos
cos
sin
sin
1
3




Resolviendo ambos miembros…
     
       












2
cos
2
1
2
1
2
2
sin
2
1
1
3
1
3
1
3
1





 (Nota: si1 = 3,  = 0)
Re-escribiendo la ecuación 2…
       





 2
cos
2
1
2
1
3 3
1
3
1 



Elevando al cuadrado la Ec (1) y (3) y sumando ambos miembros…
   
2
3
1
2
3
1
2
2
1
2
1
















 




 

J.Dueñas_2017

22. 22
Es la ecuación del círculo de la forma:
   
2
3
1
2
3
1
2
2
1
2
1
















 




 

 
 
 
3
1
3
1
0
2
2
0
2
2
1
2
1















r
x
x
y
Donde
r
x
x
y x
y
x0
r

½(1+3)

1
3
½(1–3)
J.Dueñas_2017

½(1+3)

1
3
½(1–3)
Círculo de Mohr: Es la representación
gráfica del estado de esfuerzos que
actúan en cada plano de un elemento en
2D
• En la práctica, el círculo se traza
solamente en la mitad superior (+)....
• Por lo general, sólo existen esfuerzos
(+) en un régimen compresivo ...


1
3








J.Dueñas_2017

23. 23
Esfuerzo Efectivo en el Círculo de Mohr (’ =  – u)

’ o 
Esfuerzo total ()
Esfuerzo efectivo (’)
Se genera un cambio hacia la izquierda por la presión de poro (u)
Más adelante se verá que este es un estado inestable del estado de
esfuerzos (la roca está cerca a la condición de ruptura)
u
J.Dueñas_2017


x, xy)
x
Determinando Esfuerzos Principales, si es dado los esfuerzos en
planos perpendiculares
y
yx
xy
xy = -yx
x > y
y, yx)
y
x
x+y)
1
3
max
 
2
2
2
1








 y
x
xy
r 


   
   
   
3
1
2
2
max
2
2
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1



















































y
x
xy
y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
x
J.Dueñas_2017

24. 24
x = 2100 psf
Ejemplo: Encontrar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante
máximo (Solución Analítica)
y = 3000 psf
xy = -300 psf
       
       
    psf
psf
psf
y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
x
541
2009
3091
2
1
2
1
2009
3000
2100
2
1
300
3000
2100
2
1
2
1
2
1
3091
3000
2100
2
1
300
3000
2100
2
1
2
1
2
1
3
1
max
3
2
2
2
2
3
1
2
2
2
2
1




































































J.Dueñas_2017
x = 2100 psf
Solución gráfica:
Dibuje a escala en x = y
plotee los puntos conocidos y dibuje el círculo
“señale” los esfuerzos principals y el cortante máximo y = 3000 psf
xy = -300 psf
-1750
-1250
-750
-250
250
750
1250
1750
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

(psf)
 (psf)
(y, yx)=(3000,-300)
(x, xy)=(2100,300)
1=3091
3=2009
max= radius = 541
J.Dueñas_2017

25. 25


x, xy)
x
Encontrando los esfuerzos en un determinado plano…
y
yx
xy
y, yx)
y
x
1
3



Solución Analítica:
   
     












2
cos
2
1
2
1
2
sin
2
1
3
1
3
1
3
1






Solución Gráfica (Método del Plano de Referencia)
1. Establezca el ángulo  del plano de referencia (por ejemplo,
respecto a la horizontal).
2. Localice el plano de referencia en el círculo de Mohr (del centro
del círculo al esfuerzo en el plano de ref)
3. Mida el ángulo doble (2) del plano ref en la misma dirección (CW
o CCW )
4. Esta intercepta al círculo y en este punto se encuentra el estado
de esfuerzo buscado (, )
Plano de referencia

, )
*Vea también los métodos “Polo” u “Origen
de los Planos”
CCW: Sentido anti-horario
CW: Sentido horario
J.Dueñas_2017
3 = 0.5 kPa (C)
Ejemplo


Solución Analítica:
   
   
     
      kPa
kPa
5
.
1
90
cos
5
.
0
5
.
2
2
1
5
.
0
5
.
2
2
1
2
cos
2
1
2
1
1
90
sin
5
.
0
5
.
2
2
1
2
sin
2
1
3
1
3
1
3
1






























Solución Gráfica
= 45
1 = 2.5 kPa (C)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(kPa)
 (kPa)
Plano de Referencia
, ) = (1.5, 1 kPa)
2 = 90 CCW
J.Dueñas_2017

26. 26
x = 2100 psf
Encontrando la orientación de los planos principales
y = 3000 psf
xy = 300 psf
-1750
-1250
-750
-250
250
750
1250
1750
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

(psf)
 (psf)
(y, yx)=(3000,-300)
(x, xy)=(2100,300)
1=3091
3=2009
max= radius = 541
1) Se establece como plano de ref la horizontal
2) Se plotea este plano en el círculo de Mohr
3) Se mide este ángulo hacia el plano principal (2 = 33.7 CCW)
4) Por lo tanto, el plano principal es 17 grados respecto de la
horizontal (CCW)
1 = 3091 psf
3 = 2009 psf
17 deg.
yx = -300 psf
J.Dueñas_2017
Ejemplo: Encontrar los esfuerzos en un plano 30˚con respecto a la
horizontal, tal como se muestra
40 psi
30˚
20 psi
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

(psi)
 (psi)
1=40
3=20
2 = 60
(35, 8.7)
1) Hacemos que el plano principal mayor
sea el plano de referencia
2) Se encuentra este plano en el círculo
3) Se mide el ángulo (2a = 60˚ CCW)
40 psi
30˚
20 psi
35
8.7
J.Dueñas_2017

27. 27
Ejemplo: Encontrar la magnitud y orientación de los esfuerzos principales
40 psi
30˚
20 psi
1) Plotee los ptos conocidos y dibuje el
círculo.
2) Determine  = 44 psi, 3 = 16 psi
3) Se hace que el plano de 30˚ respecto a la
horizontal sea el plano de ref (,) =
(20,10)
4) Se plotea este plano en el círculo
5) Se mide el ángulo con respecto al plano
del esf principal menor (2 = 45˚ CCW)
6) Por lo tanto, el plano principal es de 22.5˚
CCW respecto al plano de ref, o de 52.5˚
CCW respecto a la horizontal.
-10 psi
10 psi
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

(psi)  (psi)
1=44
3=16 2 = 45
)=(20, 10)
located 30 deg CCW from
horizontal
52.5˚ 16 psi
44 psi
J.Dueñas_2017
x
y
yx
xy



Método del Polo (Solución gráfica)
1) Dibuje la(s) línea(s) en el círculo de Mohr a
través del esfuerzo y la orientación conocida.
1) La intersección de estas líneas con el círculo
es el “Polo”
1) Trace una línea desde el polo en la dirección
del ángulo de interés. Esta línea intersecta al
círculo, este punto será el estado de esfuerzo
en ese plano definido por el ángulo ().
Polo


x, xy)
y, yx)
1

, )
J.Dueñas_2017

28. 28
Círculo de Mohr 2D
J.Dueñas_2017
Esfuerzos principales
J.Dueñas_2017

29. 29
Círculo de Mohr 2D
J.Dueñas_2017
Círculo de Mohr 2D
J.Dueñas_2017

30. 30
Círculo de Mohr 3D
J.Dueñas_2017
Círculo de Mohr 3D
J.Dueñas_2017

31. 31
Círculo de Mohr 3D
J.Dueñas_2017
Círculo de Mohr 3D
J.Dueñas_2017

32. 32
Círculo de Mohr 3D
J.Dueñas_2017
Adoptar punto representativo de círculo de
Mohr de coordenadas:
2
2
3
1
3
1









q
p
Útil para representar sucesivos estados de tensiones
(historia de tensiones) de elemento de suelo al cargarse
Diagramas p-q

33. 33
Trayectoria de tensiones
p
q




3
1
3
1
sin





p y q se definen sobre el máximo de corte y no sobre el punto
tangente

 sin
tan 

p
q


La envolvente definida con diagramas p-q puede ser
asociada a la línea de falla definida con los círculos de Mohr
a través de las siguientes relaciones:
Trayectoria de tensiones

34. 34

Tener presente que la envolvente definida por el diagrama p-q
no representa la envolvente de falla definida con los círculos
de Mohr, además para una condición de esfuerzos triaxiales, el
ángulo de falla corresponde a 45°

Trayectoria de tensiones
El plano de 45° no corresponde a la
condición de falla definida con los
círculos de Mohr
Tener presente que envolvente definida por el diagrama p-q no
representa la envolvente de falla definida con los círculos de
Mohr, además para una condición de esfuerzos triaxiales el
ángulo de falla corresponde a 45°
Trayectoria de tensiones

35. 35
Al igual que la
envolvente de los
círculos de Mohr, una
representación por p -q
no posee una envolvente
lineal.
Por lo que se debe
aproximar dependiendo
de p
Trayectoria de tensiones
La conveniencia de un grafico p-q es poder manipular gran cantidad
de estados tensionales de una forma clara
Trayectoria de tensiones

36. 36
Diagramas con circulo de Mohr
•La envolvente tangente a los círculos de Mohr no es lineal, pero se puede
aproximar lineal a diferentes niveles de confinamiento. La aproximación
define las constantes c y 
• El estado tensional de falla en una muestra de suelo corresponde a la
intersección de la envolvente y el circulo de Mohr (de falla).
Diagramas p-q
•La envolvente que pasa por los puntos máximos de corte de los círculos de
Mohr es no lineal, pero se puede aproximar a diferentes niveles de
confinamiento. Las constantes definidas se pueden usar para calcular c y 
• La envolvente descrita por los diagramas p-q no corresponde a la
envolvente de falla definida en los círculos de Mohr
•Una gran cantidad de ensayes de diferentes condiciones tensionales, es
fácil de graficar con gráficos p-q
Trayectoria de tensiones
Distribución de Tensiones en la Masa del Suelo
z
v
v
h
h
h
h
v
v
• Disipación de tensiones en plano
horizontal
• Disipación de tensiones en vertical

37. 37
• Cargas distribuidas en toda la superficie
• Tronco de pirámide
• Teoría de la elasticidad
• Cargas distribuidas en superficie >> espesor de suelo
• “Condición Geostática”: Tensiones producidas se
distribuyen como constante, sin disipación
Métodos de Cálculo de Distribución de Tensiones
q
v
z
Peso Propio
z
v
z
Carga Infinita
q
+ =
v
z
q + z
q
Se asume que tensiones disminuyen en profundidad
siguiendo esquema de tronco de pirámide
• No hay variación de tensiones en planos horizontales
• No se conoce distribución de tensiones fuera de
pirámide
Pendiente 2:1o 1:1
Método del Tronco de Pirámide
     
z
B
z
L
qLB
z
B
z
L
Q
z








Incremento de
tensiones provocado
a profundidad z

38. 38
Solución de Boussinesq (1885)
 
  










































cos
1
cos
cos
z
2
P
2
1
cos
1
cos
2
1
sen
cos
3
z
2
P
)
z
r
(
z
2
P
3
R
z
2
P
3
z
cos
2
P
3
2
3
2
2
2
3
2
r
2
2
3
5
3
2
2
z 2
5
Teoría de la Elasticidad
Carga puntual en semiespacio homogéneo,
isótropo y linealmente elástico
x
y
z
P
o
A
R
r

z
r

(1842 – 1929)
Solución de Westergaard (1938)
 
 
blando
arcilloso
material
para
Poisson
de
Módulo
:
-
1
2
2
-
1
K
:
donde
z
K
y
x
z
K
2
P
2
3
2
2
2
2
z









Teoría de la Elasticidad
x
y
z
P
o
A
z
• En suelos compresibles con finos estratos de arena
o limo alternados con otros de arcilla (arcillas
finamente estratificadas), láminas de arena o limo
actúan como refuerzos del conjunto, restringiendo
deformación horizontal de masa de suelo
(Casagrande)
• Solución elástica lineal en semiespacio finamente particular de este
problema para caso extremo de deformaciones horizontales nulas

39. 39
• Soluciones para carga puntual se extienden por integración para
distintas geometrías
• Cimentación infinitamente larga
• Cimentación cuadrada
• Cimentación circular
• Cimentación de terraplén
• Resultados se expresan mediante curvas isobáricas (“Diagrama de bulbo
de presiones”)
• Para profundidades de 2 a 3 veces B, el valor de la tensión se reduce
• Como se supone medio elástico, vale el principio de superposición
• Validez de valores calculados por estas teorías en suelos
Soluciones Extendidas de Boussinesq y de
Westergaard
Solución Extendida de Boussinesq para incremento de
tensiones verticales por efecto de carga q
(rectangular)
Bulbo de
presiones

40. 40
Superficie rectangular uniformemente cargada
FADUM (1941)
Carga lineal uniformemente distribuida
FADUM (1941)
Carga trapecial infinita (terraplén)
OSTERBERG (1957)
Otros casos de Soluciones Extendidas
NEWMARK (1942)
Otros casos de Soluciones Extendidas
Permite calcular áreas de carga
con cualquier geometría
Escala: Segmento equivale a
profundidad z en la que se
quiere calcular incremento de
tensión vertical

41. 41
BURMISTER
(1943, 1945)
Otros casos de Soluciones Extendidas
Incremento de
tensiones verticales en
medio elástico de 2 y
3 capas de rigideces
diferentes
Esfuerzo inducido por un terraplen, v = Hrelleno
1.5m
Arena seca
17.38 kN/m3
Arena saturada
18.96 kN/m3
3m
B
Antes de la construcción
     
  
kPa
kPa
kPa
kPa
m
kN
m
u
kPa
m
kN
m
m
kN
m
B
B
B
55
.
53
4
.
29
95
.
82
'
4
.
29
/
8
.
9
3
95
.
82
/
96
.
18
3
/
38
.
17
5
.
1
3
3
3










1.5m Arena seca
17.38 kN/m3
Arena saturada
18.96 kN/m3
3m
B
  
  
kPa
kPa
kPa
kPa
m
kN
m
u
kPa
m
kN
m
kPa
B
B
B
39
.
165
4
.
29
79
.
194
'
4
.
29
/
8
.
9
3
79
.
194
/
64
.
18
6
95
.
82
3
3










Hrelleno 6m Relleno
18.64 kN/m3
Después de la construcción
Terraplen

42. 42
Esfuerzos inducidos por efecto de cargas aplicadas en fundaciones
(pequeñas extensiones superficiales )
1) Carga puntual
2) Carga linear
3) Carga con
formas
P
P
b
P/b = lb/ft, kN/m, etc.
P = lb, kN, kips, etc.
Cuadrada
Circular
P
P
A
Area, A
q = P/A
“Presión portante”
q = psf, kPa, ksf, etc.
Zapatas Aisladas y Zapatas Corridas

43. 43
Bulbo de Esfuerzos
• El esfuerzo inducido se va disipando con la profundidad
y la distancia desde el centro
• Prof del esfuerzo inducido ~2B
A
C
B
z
A
=
z
B
z
c

q
z
q
z
q
z
C
C
v
A
v
B
v
B
B
v
A
A
v
3
.
0
5
.
0
4
.
0















Si la fundación es
flexible, se
asentará más bajo
de la línea central,
debido a que el
esfuerzo inducida
es mayor

44. 44
Métodos de Análisis
1) Teoría Elástica (Método de Boussinesq, Newmark)
2) Solución Numérica (Finite Element Methods, FEM)
3) Soluciones Gráficas (Ábacos)
4) Soluciones Aproximadas (ejm., regla trapezoidal 2:1)
Método de Boussinesq
• Infinite elastic half space
• See Coduto (1999) equations:
• 10.11-10.18 (Point Loads)
• 10.19 (Line Loads)
• 10.21-10.22 (Area Loads)
• See Budhu (2007) equations:
• 5.53-5.60 (Point Loads, Displacement Dz, Dr)
• 5.61-5.65 (Line Loads)
• 5.66-5.76 (Strip Loads)
• 5.77-5.94 (Area Loads)

45. 45
Método de Boussinesq
Método de Boussinesq – Carga Puntual

46. 46
Método de Boussinesq – Carga Linear
Método de Boussinesq – Carga Aislada

47. 47
Método de Boussinesq – Carga Circular
lc = Coeficiente de Influencia
Método de Boussinesq – Carga Cuadrada

48. 48
Método de Boussinesq – Carga Rectangular
Método de Boussinesq – Carga Aislada

49. 49
Método de Boussinesq
Método de Boussinesq – Carga Puntual

50. 50
Cargas con Formas (Areas)
• Dos Soluciones:
• Esfuerzo bajo el centro del área
• Uso de Ábacos (Charts)
• Esfuerzo bajo la esquina del área
• Método de Newmark
• Método del factor de influencia
• Muchas veces necesita descomponer el problema
(superposicion)
1 2
3 4

51. 51
Solución Mediante Ábacos (Charts)
Ejemplo
Determine z a 10 m por debajo
del borde de tanque de agua
de 25m de diámetro
(masa del tanque = 6.1 X 106
kg)
  
 
     kPa
kPa
q
q
q
B
x
B
z
kPa
m
N
A
W
q
m
m
r
A
N
s
m
kg
mg
W
z
z
z
f
f
49
122
4
.
0
40
.
0
50
.
0
25
5
.
12
40
.
0
25
10
122
491
59800
491
5
.
12
59800
/
81
.
9
10
1
.
6
2
2
2
2
2
6


























52. 52
Método de Newmark – Area Loads
Factor de Influencia
O use el chart
(Inducida por debajo de la esquina del área
rectangular, BXL)

53. 53
Métodos Aproximados– Regla del Trapezoide
Ejemplo:
Determine z a 10 ft por debajo de
la zapata continua (3 ft x 3 ft)
P = 10,000lb
  
    
  
psf
psf
ft
L
ft
B
ft
z
psf
ft
ft
lb
A
P
q
avg
z
f
59
10
3
10
3
3
3
1111
3
3
10
1111
3
3
000
,
10



















Esfuerzo Promedio Vertical
•Punto A – Divida en 4 rectángulos y multiplique
por 4
• Punto B – Divida en 2 rectángulos y multiplique
por 2
• Punto C Divida en 2 rectángulos “ficticios”
Principio de Superposición

54. 54
Principio de Superposición
A
1.2m 0.5m
475 kN
1 X 1.5 m
= 17kN/m3
Determine z en A (debajo de la esquina)
   
 
    
kPa
kPa
kPa
m
m
kN
z
z
induced
z
z
induced
z
z
induced
z
geostatic
z
z
9
.
46
5
.
26
4
.
20
2
.
1
/
17 3


















1.5 m
1.0 m
0.5 m
A
Área ficticia
I II
 
 
      kPa
kPa
kPa
II
z
II
I
z
induced
z
II
z
II
I
z
5
.
26
1
.
31
6
.
57
&
&










Esfuerzo Bajo un Terraplen
H

B2 B1
z
1 2
0
500
1000
1500
2000
2500
0 10 20 30 40 50
p (psf)
B1 (ft)
z = 5
z = 10
z = 20
H = 40 ft
 = 110 pcf
B2 = 30 ft
Todavía se tienen que considerar el otro lado!

55. 55
P = 350 kN
3 m
???
 = 19.5 kN/m3
v = 0.3
K = 0.36
zw >>3m
1 m
Empuje Lateral en un muro de contención con una carga punctual en superficie
x = 1 m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 20 40 60 80
Depth (m)
lateral pressure (kPa)
geostatic
induced
total
P = 350 kN
3 m
???
 = 19.5 kN/m3
v = 0.3
K = 0.36
zw >>3m
2 m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 20 40 60 80
Depth (m)
lateral pressure (kPa)
geostatic
induced
total
Empuje Lateral en un muro de contención con una carga punctual en superficie
x = 2 m

56. 56
P = 350 kN
???
 = 19.5 kN/m3
v = 0.3
K = 0.36
zw >>3m
Entonces, ¿cómo diseñamos el muro de contención?
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 20 40 60 80
Depth (m)
lateral pressure (kPa)
geostatic
induced
total
• Análisis de flexión
• Análisis de cizallamiento
• Análisis por vuelco
• Refuerzo (ejm, puntos de amarre)
• Efecto de la compactación?
• Tipo de Relleno
Preguntas?