mecánica teórica

1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´anica
1er. EXAMEN PARCIAL (25 de Enero de 1993)
Apellidos Nombre N.o
Grupo
Ejercicio 2.o
Tiempo: 60 min.
Un disco homog´eneo de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre una recta r, mante-
ni´endose vertical. De su centro cuelga, mediante una articulaci´on, una varilla de masa m y
longitud l < R. En el extremo inferior de esta varilla act´ua una fuerza horizontal, de valor
f = A sen Ωt. El conjunto est´a sometido adem´as a la acci´on de la gravedad. Se pide:
C
C
C
C
C
C
CC -
f = A sen Ωt
r
M, R
ϕ
θ
m, l
a. Tomando como coordenadas el giro del disco θ y el
´angulo de la varilla con la vertical ϕ, expresar el trabajo
δW para un desplazamiento virtual arbitrario.
b. Fuerzas generalizadas seg´un las coordenadas anterio-
res.
c. Ecuaciones de Lagrange del movimiento.
d. Discutir la existencia o no de integrales primeras y ob-
tenerlas en su caso.
e. Reacci´on tangencial de la recta sobre el disco, emplean-
do multiplicadores de Lagrange.

2. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´anica
1er. EXAMEN PARCIAL (25 de Enero de 1993)
Apellidos Nombre N.o
Grupo
Ejercicio 2.o
Tiempo: 60 min.
Un disco homog´eneo de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre una recta r, mante-
ni´endose vertical. De su centro cuelga, mediante una articulaci´on, una varilla de masa m y
longitud l < R. En el extremo inferior de esta varilla act´ua una fuerza horizontal, de valor
f = A sen Ωt. El conjunto est´a sometido adem´as a la acci´on de la gravedad. Se pide:
C
C
C
C
C
C
CC -
f = A sen Ωt
r
M, R
ϕ
θ
m, l
a. Tomando como coordenadas el giro del disco θ y el
´angulo de la varilla con la vertical ϕ, expresar el trabajo
δW para un desplazamiento virtual arbitrario.
b. Fuerzas generalizadas seg´un las coordenadas anterio-
res.
c. Ecuaciones de Lagrange del movimiento.
d. Discutir la existencia o no de integrales primeras y ob-
tenerlas en su caso.
e. Reacci´on tangencial de la recta sobre el disco, emplean-
do multiplicadores de Lagrange.
Tomando desplazamientos virtuales δθ y δϕ, la expresi´on
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
CC
ϕ
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AA
δϕ
-
-1
lδϕ
−Rδθ
-
−Rδθdel trabajo de f es
δW = (−Rδθ + lδϕ cos ϕ)A sen Ωt,
e identificando coeficientes
Qθ = −RA sen Ωt; Qϕ = lA cos ϕ sen Ωt.
La energ´ıa cin´etica es
T =
1
2
M(R ˙θ)2
+
1
2
1
2
MR2 ˙θ2
+
1
2
m
l2
˙ϕ2
4
+ R2 ˙θ2
+ lR ˙θ ˙ϕ cos ϕ +
1
2
1
12
ml2
˙ϕ2
.
La atracci´on gravitatoria proviene de un potencial V = −mgl cos ϕ. Ser´ıa posible incluir su
efecto a trav´es de δW y las fuerzas generalizadas correspondientes, pero es preferible tenerlas
en cuenta mediante una Lagrangiana parcial, L = T − V . En funci´on de L y de las fuerzas
Qθ, Qϕ calculadas antes, las ecuaciones de Lagrange son
3
2
(M + m)R2 ¨θ +
1
2
mlR ¨ϕ cos ϕ −
1
2
mlR ˙ϕ2
sen ϕ = −AR sen Ωt,
1
3
ml2
¨ϕ +
1
2
mlR¨θ cos ϕ + mgl sen ϕ = lA cos ϕ sen Ωt.

3. Aunque ∂L/∂θ = 0, θ no es c´ıclica, ya que existe una fuerza Qθ en esa direcci´on. La
energ´ıa total tampoco se conserva, por la acci´on de la fuerza f no conservativa. Por tanto
no existen integrales primeras.
Para calcular la reacci´on horizontal de la rodadura, imponemos la coacci´on de rodadura a
trav´es de un multiplicador de Lagrange. Llamando x al desplazamiento horizontal del centro
del disco (positivo hacia la derecha) y θ al giro del mismo, la ecuaci´on de ligadura es
˙x + R ˙θ = 0,
lo que para desplazamientos virtuales δθ, δx, δϕ equivale a
δx + Rδθ = 0.
Los coeficientes de esta expresi´on son pues
Ax
= 1, Aθ
= R, Aϕ
= 0.
Estos coeficientes, afectados por el multiplicador λ, son los que hay que incluir en el lado
derecho de las ecuaciones de Lagrange. Para hallar estas, debemos reformular L en funci´on de
x, θ y ϕ, considerando x y θ independientes:
L =
1
2
M ˙x2
+
1
4
MR2 ˙θ2
+
1
2
m
l2
˙ϕ2
4
+ ˙x2
+ l ˙x ˙ϕ cos ϕ +
1
24
ml2
˙ϕ2
+ mgl cos ϕ.
Asimismo, la nueva expresi´on de δW debido a f es
δW = (δx + lδϕ cos ϕ)A sen Ωt,
de donde se obtiene
Qx = A sen Ωt; Qϕ = lA cos ϕ sen Ωt; Qθ = 0.
La ecuaci´on de Lagrange en x es
d
dt
∂L
∂ ˙x
−
∂L
∂x
= Qx + λAx
(M + m)¨x +
1
2
ml ¨ϕ cos ϕ −
1
2
ml ˙ϕ2
sen ϕ = A sen Ωt + λ
La reacci´on horizontal es precisamente el valor de λ,
Rx = λ = (M + m)¨x +
1
2
ml ¨ϕ cos ϕ −
1
2
ml ˙ϕ2
sen ϕ − A sen Ωt.
O bien en funci´on de θ,
Rx = (M + m)R¨θ +
1
2
ml ¨ϕ cos ϕ −
1
2
ml ˙ϕ2
sen ϕ − A sen Ωt.