Analisis numerico

2. Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos
proporcionan una alternativa para cálculos complicados. Al usar la
computadora para obtener soluciones directamente, se pueden
aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de
simplificación o a técnicas lentas. Un especialista en análisis
numéricos se interesa en la creación y comprensión de buenos
métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una
característica importante del estudio de los métodos es su
valoración.
También podemos decir que los métodos Numéricos han
jugado un papel fundamental en el desarrollo tecnológico actual. Su
aplicación va desde la economía a la industria aeroespacial entre
muchas mas.
Métodos numéricos Importancia:

3. Definición de Número Máquina
Se puede decir que un sistema numérico que consta de dos dígitos:
Ceros (0) y unos (1) de base 2, este termino comúnmente llamado
«representación Binaria» significa que es de base 2, la más pequeña
posible; Este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en
lugar de un número decimal, exige de más lugares. Que según lo dicho
anteriormente se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria
de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o
para una conexión eléctrica abierta/cerrada. Esto se comprenderá mejor
en ejemplos prácticos.

4. Ejemplo 1. (sistema binario o base 2)
Para representar un número en binario se descompone
el número en potencias de 2 y sólo se escribe utilizando
los dígitos 0 y 1.
Los subíndices 10 y 2 indican la base en la
que se encuentra el número.

5. Errores Absolutos y Relativos
Continuando con el mismo orden de ideas podemos decir que los errores
asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su
exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor
individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos
numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que
cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos
se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y
cantidades matemáticas.

6. Definición de Error Absoluto
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor
tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la
medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o
negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Lo anteriormente expuesto es un hecho muy pesimista,
dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma
dirección, es posible que la suma ("algebraica") de errores sea cero,
con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad
negativa.

7. Cota de Errores Absolutos y Relativos
*Una cota es un valor que delimita una cantidad aproximada.
*La cota de error es el error máximo que se puede cometer al realizar una
medida o tomas una aproximación.
*Las cotas de error indican la precisión de la medida.
*A partir de una cota del error absoluto podemos obtener una cota del
error relativo.

8. Fuentes Básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos
numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo
se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los
números en una PC.
El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas
en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más
importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los
errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento
es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los
términos de una serie).

9. Redondeo y Truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los
resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases
fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de
redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.
En otras palabras la deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida
al hecho de que los altos términos en la representación decimal completa no
tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo
produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado.

10. El error de redondeo se debe a la
naturaleza discreta del sistema
numérico de máquina de punto
flotante, el cual a su vez se debe a su
longitud de palabra finita. Cada número
(real) se reemplaza por el número de
máquina más cercano. Esto significa
que todos los números en un intervalo
local están representados por un solo
número en el sistema numérico de
punto flotante.
Error De Redondeo

11. Errores De Una Suma Y Una Resta
En esta sección estudiamos el problema
de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce
un error, proporcional al epsilon de la
máquina, queremos ver como estos
errores se acumulan durante el proceso. El
análisis que presentamos generaliza al
problema del cálculo de productos
interiores.
En la práctica muchas computadoras
realizarán operaciones aritméticas en registros
especiales que más bits que los números de
máquinas usuales. Estos bits extras se llaman
bits de protección y permiten que los números
existan temporalmente con una precisión
adicional. Se deben evitar situaciones en las
que la exactitud se puede ver comprometida al
restar cantidades casi iguales o la división de
un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias
valores de errores relativos y absolutos poco
relevantes.

12. Estabilidad e Inestabilidad
La condición de un problema matemático
relaciona a su sensibilidad los cambios en
los datos de entrada. Puede decirse que
un cálculo es numéricamente inestable si
la incertidumbre de los valores de entrada
aumentan considerablemente por el
método numérico. Un proceso numérico es
inestable cuando los pequeños errores que
se producen en alguna de sus etapas, se
agrandan en etapas posteriores y
degradan seriamente la exactitud del
cálculo en su conjunto.

13. Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento
se usan de manera informal para indicar
cuan sensible es la solución de un
problema respecto de pequeños cambios
relativos en los datos de entrada. Un
problema está mal condicionado si
pequeños cambios en los datos pueden
dar lugar a grandes cambios en las
respuestas. Si el número de condición es grande
significa que se tiene un problema mal
condicionado; se debe tomar en cuenta
que para cada caso se establece un
número de condición, es decir para la
evaluación de una función se asocia un
número condicionado, para la solución de
sistemas de ecuaciones lineales se
establece otro tipo de número de
condición; el número condicionado
proporciona una medida de hasta qué
punto la incertidumbre aumenta