Enunciados Lógicos

1. Lógica de enunciados
(o lógica proposicional)

2. Ejemplos de enunciados
 Cuba es una isla en el Pacífico
 2 + 2 = 4
 Vicente Fox es el presidente de Guatemala
 Vicente Fox no es el presidente de Guatemala y sí es el
presidente de México

3. enunciado
 Secuencia de
símbolos
(oración escrita
o emitida
oralmente)
+ Proposición
(significado del
enunciado en
virtud del cual
el enunciado es
verdadero o
falso)

4. Enunciados simples
 Tegucigalpa es la capital de Honduras
 2 + 2 = 4
 El Sol es una estrella
 Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005
 La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes

5. Enunciados complejos
 Tegucigalpa es la capital de Honduras y San José
es la capital de Costa Rica
 Juan sabe que Tegucigalpa es la capital de
Honduras
 Juan cree que San José es la capital de Costa
Rica
 Necesariamente 2+2 = 4
 Es posible que Pedro no sepa que Tegucigalpa es
la capital de Honduras

6. Enunciados complejos
 Se distingue entre enunciados
complejos intensionales y
enunciados complejos
extensionales
• La base de la distinción es el llamado “principio de
sustitución de equivalentes”

7. Tegucigalpa es la capital de Honduras
y Managua la capital de Nicaragua
 “Tegucigalpa es la capital de Honduras” es
equivalente a “Lima es la capital de Perú”
 Lima es la capital de Perú y Managua la
capital de Nicaragua

8. Paris es la capital de Honduras y
Managua la capital de Nicaragua
 “Paris es la capital de Honduras” es
equivalente a “Lima es la capital de
Argentina”
 Lima es la capital de Argentina y Managua la
capital de Nicaragua

9. Juan cree que Tegucigalpa es la capital de
Honduras
 “Tegucigalpa es la capital de Honduras” es
equivalente a
“Roma es la capital de Italia”
 Juan cree que Roma es la capital de Italia

10. Juan cree que Montevideo es la capital de
Argentina
 “Montevideo es la capital de Argentina” es
equivalente a “San José es la capital de
Chile”
 Juan cree que San José es la capital de
Chile

11. Principio sustitución de equivalentes
Sea C una oración compleja, A
una oración componente de C,
B cualquier oración, y C* el
resultado de substituir a A por B
en C :
Si A tiene el mismo valor de
verdad que B, entonces C tiene el
mismo valor de verdad que C*.

12. Enunciados complejos
 Enunciados complejos extensionales
(respetan siempre el principio de
sustitución de equivalentes)
 Enunciados complejos intensionales
(no siempre respetan el principio de
sustitución de equivalentes)

13. Operadores
 Intensionales : forman
enunciados intensionales
(ejemplos: “es necesario que”, “es obligatorio que”)
Extensionales: forman
enunciados extensionales
(ejemplos: “y”, “o”, “no es el caso que”

14. Operadores importantes del
lenguaje coloquial
 y
 O
 Si..., entonces
 No es el caso que
 Si y solo si

15. Usos que corresponden a
funciones lógicas diferentes
 “y” en “Juan y Pedro son hermanos” tiene un función lógica
diferente de la usada en “Juan es alto y Pedro es bajo”
 “o” a veces se usa en sentido exclusivo y otras en sentido inclusivo.
 “Si...entonces” tienen usos extensionales e intensionales

16. Es necesario expresar en forma
precisa la función lógica de ciertos
usos de cada uno de los operadores
mencionados. Con este fin,
introduciremos un lenguaje formal,
el cual llamaremos LE

17. Lenguaje formal LE:símbolos
básicos
 Parámetros de enunciados: letras mayúsculas del
alfabeto
 Símbolos lógicos : (, ), , , , , 

18. Semántica de símbolos
lógicos de LE
 Semántica informal: usando el lenguaje coloquial para
interpretar cada símbolo. Por ejm., “” habrá de
significar lo mismo que “y”. Problema: ambigüedad y
falta de precisión de los operadores coloquiales
 Semántica formal: usando tablas de verdad

19. Reglas de construcción de fórmulas de LE
 Todo parámetro de enunciado es una fórmula de LE
 Si  es una fórmula de LE, entonces 
 Si  y  son fórmulas de LE, entonces (  ), (  ), (
 ) y (  ) son fórmulas de LE

20. Ejemplos fórmulas de LE
 (A  B)
 ( A  M)  (H R)
 ((D  B)  H)
 (I   C)  ( A  M)
 (A  B)  (C  H)

21.     
V V V
V F F
F V F
F F F

22.     
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabla de disyunción

23.  
V F
F V
Tabla de negación

24.   
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabla de equivalencia material

25.     
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabla de implicación material

26. Símbolo para consecuencia
lógica


27. Ejemplo razonamiento en LE
AB
B
 A

28. A B AB B A
V V V F F
V F F V F
F V V F V
F F V V V
P1 P2 C
Prueba de validez lógica por tablas de verdad

29. Prueba de validez lógica de razonamientos en
lenguaje coloquial: procedimiento
 Traducir del lenguaje coloquial a LE
 Determinar la validez de la traducción mediante tablas de verdad

30. Si aumentan la inflación y quiebran algunas
empresas, entonces aumentará la criminalidad.
Aumentará la inflación y alguna empresas
quebrarán.
Por lo tanto, aumentará la criminalidad.
Un razonamiento en lenguaje coloquial

31. Traducción del razonamiento
 A: aumenta la inflación
 E: algunas empresas quiebran
 C: aumentará la criminalidad
 (A  E)  C
 A  E
C

32. A E C (A  E) (AE)  C
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
C P2 P1
Prueba de validez de la traducción

33. Ámbito de confiabilidad del método
 Un razonamiento en lenguaje coloquial será válido intuitivamente,
si la traducción de ese razonamiento a LE es dictaminada por el
método como un razonamiento válido en LE.
Si un razonamiento es intuitivamente inválido, entonces ese
procedimiento siempre dictaminará su traducción a LE como
inválido.

34. Limitación del método
 Si un razonamiento en lenguaje coloquial es intuitivamente válido, es
posible que el método dictamine que la traducción de ese razonamiento a
LE es inválido
 Origen de esta limitación: el análisis de los razonamientos no penetra
en la estructura lógica interna de los enunciados simples, lo cual no
revela posibles relaciones lógicas entre las expresiones componentes de
los enunciados simples

35. Todos los gatos son animales
Todos los animales son mortales
Por lo tanto, todos los gatos son mortales
Ejm. de razonamiento válido no cubierto
por el método

36. Verdades lógicas de LE:
TODA FÓRMULA QUE RESULTA
VERDADERA BAJO CUALQUIER
ASIGNACIÓN DE VALORES A LOS
PARAMETROS DE ENUNCIADOS
COMPONENTES DE LA FÓRMULA

37. A A  A
V V
F V
Ejemplo de tautología

38. Sistematización de razonamientos
válidos y tautologías de LE
 Mediante un sistema formal axiomático: axiomas y
reglas
 Mediante un sistema formal de reglas de deducción
natural: sólo reglas

39. En el caso de LE, se han
construido sistemas formales que
 Permiten derivar todas las tautologías
 Permiten derivar todos los razonamientos válidos en LE

40. Y, por otro lado,
 Todo enunciado derivable de tales sistemas formales es
una tautología
 Todo razonamiento derivable de tales sistemas es válido