metodos numericos o algebra lineal

1. Determinante de Vandermonde
Objetivos. De

2. nir la matriz de Vandermonde y demostrar la formula para su determi-nante.
Conocer su aplicacion a la interpolacion polinomial.
Requisitos. Determinante y sus propiedades, polinomios.
1. De

3. nicion (matriz de Vandermonde). Sean 1; : : : ; n 2 F. La matriz de Vander-
monde generada por los puntos 1; : : : ; n se de

4. ne mediante la siguiente formula:
V (1; 2; 3; : : : ; n) :=
2
66666664
1 : : : n1
1 1 2
1
2 : : : n1
1 2 2
2
3 : : : n1
1 3 2
3
: : : : : : : : : :
1 n 2n
: : : n1
n
3
77777775
:
En notacion breve:
V (1; 2; 3; : : : ; n) :=
j1
i
n
i;j=1:
Las entradas de cada renglon forman una progresion geometrica.
2. Ejemplo (el determinante de Vandermonde para n = 1). En este caso la matriz
de Vandermonde es de tama~no 1 1:
det V (1) =
1
:
Su determinante es igual a 1 y no depende de 1.
3. Ejemplo (el determinante de Vandermonde para n = 2).
det V (1; 2) =

9. 1 1
1 2

14. = 2 1:
4. Ejemplo (el determinante de Vandermonde para n = 3).
det V (1; 2; 3) =

21. 1 1 2
1
1 2 2
2
1 3 2
3

28. :
Determinante de Vandermonde, pagina 1 de 4

29. Aplicamos operaciones elementales por columnas:
det V (1; 2; 3) =

36. 1 1 2
1
1 2 2
2
1 3 2
3

43. C3 +=3C2
C2 +=3C1 ==========

50. 1 1 3 2
1 13
1 2 3 2
2 23
1 0 0

57. :
Luego expandimos a lo largo de la ultima

58. la:
det V (1; 2; 3) = (1)3+1

62. 1 3 1(1 3)
2 3 2(2 3)

66. :
De la primera

67. la factoricemos el factor comun 1 3; de la segunda

68. la factoricemos
el factor comun 2 3:
det V (1; 2; 3) = (1 3)(2 3)

72. 1 1
1 2

76. :
El ultimo determinante es det V (1; 2) = 2 1. Cambiando los signos de los factores
1 3 y 2 3, obtenemos:
det V (1; 2; 3) = (2 1)(3 1)(3 2):
5. Teorema (formula para el determinante de Vandermonde).
det V (1; : : : ; n) =
Y
(j i):
1ijn
Demostracion. Por induccion. El caso degenerado n = 1 puede servirnos como una base
de la induccion si aceptamos el convenio que el producto de los elementos de un conjunto
vaco es igual a 1:
det V (1) = det
1
= 1 =
Y
;
=
Y
1ij1
(j i):
Para n = 2 la formula tambien es correcta:
det V (1; 2) =

80. 1 1
1 2

84. = 2 1 =
Y
(j i):
1ij2
Supongamos que la formula es cierta para n 1 y la demostremos para n. Usamos la
misma idea que vimos en el caso n = 3. Para eliminar todas las entradas del ultimo
renglon excepto la primera entrada realicemos las siguientes operaciones elementales con
las columnas:
Cn + =nCn1; : : : ; C3 + =nC2; C2 + =nC1:
Determinante de Vandermonde, pagina 2 de 4

85. Obtenemos el siguiente determinante:
det V (1; : : : ; n) =

94. 1 1n : : : n1
1 1 n 2
1 n2
1 n
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1 n1 n 2 n1 n1n : : : n1
n1 n2
n1n
1 0 0 : : : 0

103. :
Expandamos el determinante a lo largo del ultimo renglon:
det V (1; : : : ; n) = (1)n+1

110. 1 1n : : : n1
1 n 2
1 n2
1 n
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
n1 n 2n
1 n1n : : : n1
n1 n2
n1n

117. :
Para cada i 2 f1; : : : ; n 1g, del i-esimo renglon factoricemos i n:
det V (1; : : : ; n) = (1)2(1)n1
Y
(i n)
1in1

124. 1 : : : n2
1 1 2
1
: : : : : : : : :
1 n1 n1 : : : n2
n1
2

131. :
Usando el factor (1)n1 cambiemos los signos de los factores i n, i 2 f1; : : : ; n1g,
luego notemos que el ultimo determinante es V (1; : : : ; n1). Podemos calcularlo usando
la hipotesis de induccion:
det V (1; : : : ; n) =
Y
(n i)
1in1
Y
(j i) =
1ijn1
Y
(j i):
1ijn
6. Observacion. La ultima igualdad en la demostracion del teorema esta basada en el
hecho que los conjuntos
(i; j) : 1 i j n 1
y
(i; n) : 1 i n 1
son disjuntos, y su union es
(i; j) : 1 i j n
:
Por ejemplo, para n = 4:
(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 4)
=
(1; 2); (1; 3); (2; 3)
[
(1; 4); (2; 4); (3; 4)
:
7. Corolario (el determinante de Vandermonde con argumentos diferentes por
pares es distinto de cero). Sean 1; : : : ; n diferentes por pares: i6= j si i6= j.
Entonces det V (1; : : : ; n)6= 0.
Determinante de Vandermonde, pagina 3 de 4

132. Aplicacion a la interpolacion polinomial
8. Teorema (existencia y unicidad del polinomio interpolante). Sea F un campo.
Sean 0; 1; : : : ; n elementos de F diferentes por pares y sean

133. 0;

134. 1; : : : ;

135. n 2 F. Entonces
existe un unico polinomio P 2 Pn(F) tal que P(i) =

136. i para todo i 2 f0; : : : ; ng.
Demostracion. Busquemos P de la forma
P(x) = c0 + c1x + c2x2 + : : : + cnxn:
Para que se cumplan las igualdades P(i) =

137. i los coe

138. cientes del polinomio deben
satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
8
:
c0 + c10 + c22
0 + : : : + cnn
0 =

139. 0;
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
c0 + c1n + c22n
+ : : : + cnn
n =

140. n:
La matriz del sistema es la matriz de Vandermonde asociada a los puntos 0; : : : ; n, esto
es, la matriz V (0; : : : ; n). Como 0; : : : ; n son diferentes por pares, su determinante es
distinto de cero. Por el teorema de Cramer el sistema tiene una unica solucion.
9. Corolario (la igualdad de polinomios de grado n en n + 1 puntos implica
la igualdad de sus coe

141. cientes). Sean P;Q 2 Pn(F). Supongamos que 0; 1; : : : ; n
son algunos puntos de F diferentes a pares, y
8k 2 f0; 1; : : : ; ng P(k) = Q(k):
Entonces P = Q, esto es, los coe

142. cientes correspondientes de P y Q son iguales.
10. Corolario (la igualdad de los valores de polinomios en un conjunto in

143. nito
de puntos implica la igualdad de sus coe

144. cientes). Sea F un campo in

145. nito (por
ejemplo, Q, R o C), sean P;Q 2 P(F) y sea A un subconjunto in

146. nito de F. Si P() =
Q() para todo 2 A, entonces P = Q.
11. Ejemplo: dos polinomios diferentes sobre un campo

147. nito pueden tener
los mismos valores en todos los puntos. En campos

148. nitos es posible la situacion
cuando P() = Q() para todo 2 F, pero P6= Q. Recordemos que en el campo de dos
elementos F2 = f0; 1g se cumple la igualdad 1 + 1 = 0. Consideremos los siguientes dos
polinomios sobre el campo F2:
P(x) = x + x5; Q(x) = 0:
Notemos que P y Q son dos polinomios diferentes, pues tienen coe

149. cientes diferentes.
Pero P(0) = 0 = Q(0) y P(1) = 1+1+0 = Q(0), as que P() = Q() para todo 2 F2.
Determinante de Vandermonde, pagina 4 de 4