4.-Solución numérica de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales. 4.1 Métodos de la serie de Taylor.

1. Matemáticas IV
Método de la Serie de Taylor

2. Brook Taylor en su trabajo “Methodus In
crementorum Directa et Inversa” (1715)
desarrolló lo que hoy se conoce como cál
culo de las diferencias finitas.
El mismo tratado contenía la famosa fórmula c
onocida como el Teorema de Taylor, cuya impor
tancia sólo se reconoció hasta 1772, cuando Jo
seph-Louis Lagrange lo definió como “El funda
mento principal del cálculo diferencial".
Introducción

3. Las ecuaciones diferenciales son un área de estudio y aplicación muy importante del cálculo
en general.
Existen varios métodos para la resolución de ecuaciones diferenciales tanto de primer como
de segundo orden.
Para todos estos métodos en general definimos un paso h que es la diferencia entre los valores
en los cuales queremos encontrar la función evaluada. Este paso se calcula como ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
donde 𝑛 es el número de particiones del intervalo [𝑎, 𝑏].
El método de Taylor es una herramienta poderosa para la resolución numérica de ecuaciones
diferenciales, el mismo se deduce de la formula de Taylor.

4. La serie de Taylor, es de gran valor en el estudio de los métodos numéricos. En esencia, la
serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en
términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. En particular, el teorema
establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio.
Para aproximar 𝑦𝑖+1 conociendo 𝑦′ = 𝑓 𝑡, 𝑦 se obtiene el algoritmo:
𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ +
1
2!
𝑓′ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ2
+
1
3!
𝑓′′ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ3
+ ⋯ +
1
𝑛!
𝑓 𝑛−1
𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ 𝑛
Donde n es el orden del método de Taylor y además se tiene como condición inicial 𝑦0 = 𝛼
con 𝑖 = 0, 1, 2,…, 𝑛 - 1.
Como se puede esperar en este método se necesitaran aplicar derivadas implícitas debido a la
aparición del término 𝑓′ que depende de 𝑡, 𝑦.

5. Estrategias para hallar una serie de Taylor
1. Derivar 𝑓 𝑥 varias veces y evaluar las derivadas en 𝑐.
𝑓 𝑐 , 𝑓′ 𝑐
, 𝑓′′ 𝑐
, 𝑓′′′ 𝑐
, … , 𝑓 𝑛
𝑐 , …
Buscar las pautas que sigue esa secuencia de números.
2. Usar esa secuencia para formar los coeficientes de Taylor 𝑎 𝑛 =
𝑓 𝑛 𝑐
𝑛!
, determinar el
intervalo de convergencia de la serie de potencia resultante
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 + 𝑓′ 𝑐 𝑥 − 𝑐 +
𝑓′′
𝑐
2!
(𝑥 − 𝑐)2
+ … +
𝑓 𝑛
𝑐
𝑛!
𝑥 − 𝑐 𝑛
+ ⋯
3. Averiguar si, en ese intervalo de convergencia, la serie converge a 𝑓 𝑥 o no.

6. Aproxime la solución de 𝒚′ = 𝒄𝒐𝒔(𝒕) − 𝒚, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏, 𝒚𝟎 = 𝟏 empleando n=4 con el método de
Taylor de orden 3.
En este caso el n=4 hace mención al número de particiones del intervalo ya que en otro lado se
especifica el orden del método de Taylor.
Primero revisamos nuestro algoritmo general y revisamos cuales derivadas debemos calcular:
𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ +
1
2!
𝑓′ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ2
+
1
3!
𝑓′′ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ3
Llegando hasta el termino de orden 3 tenemos que calcular f' y f''.
Procediendo:
𝑦′ = cos 𝑡 − 𝑦
𝑓 𝑡, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑦
𝑓′ 𝑡, 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑦′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑦
𝑓′′ 𝑡, 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑦′ = −𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑦
Ejemplo 1.

7. Reemplazamos en el algoritmo original, conociendo además que h=0.25.
𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 0.25 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑖 − 𝑦𝑖 +
1
2
0.252
−𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑖 − 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑖 + 𝑦𝑖 +
1
6
0.253
𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑖 − 𝑦𝑖
Con el algoritmo particular generado podemos comenzar a iterar el método para generar una
tabla de valores:

8. Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙. 𝒆 𝟐𝒙−𝟒
Dar el polinomio de Taylor 𝒑(𝒙) de orden 3 de 𝒇 en 𝒙 = 𝟐.
𝑝 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′
𝑎 𝑥 − 𝑎 + 𝑓′′
𝑥 − 𝑎
𝑥 − 𝑎 2
2!
+ ⋯ + 𝑓 𝑛
𝑥 − 𝑎 𝑛
𝑛!
En este caso tenemos 𝑎 = 2 y 𝑛 = 3, entonces:
𝑝 𝑥 = 𝑓 2 + 𝑓′
2 𝑥 − 2 + 𝑓′′
2
𝑥 − 2 2
2!
+ 𝑓′′′
2
𝑥 − 2 3
3!
Tenemos que calcular 𝑓 y sus derivadas hasta 𝑓′′′
en 𝑥 = 2.
𝑓 𝑥 = 𝑥. 𝑒2𝑥−4
𝑥=2
𝑓 2 = 2
𝑓′
𝑥 = 𝑒2𝑥−4
+ 𝑥. 𝑒2𝑥−4
. 2 → 𝑓′
𝑥 = 𝑒2𝑥−4
2𝑥 + 1
𝑥=2
𝑓′
2 = 5
𝑓′′
𝑥 = 2. 𝑒2𝑥−4
(2𝑥 + 1) + 𝑒2𝑥−4
. 2 → 𝑓′′
𝑥 = 𝑒2𝑥−4
4𝑥 + 4
𝑥=2
𝑓′′
2 = 12
Ejemplo 2.

9. 𝑓′′′
𝑥 = 2. 𝑒2𝑥−4
4𝑥 + 4 + 𝑒2𝑥−4
. 4 → 𝑓′′′
𝑥 = 𝑒2𝑥−4
8𝑥 + 12
𝑥=2
𝑓′′′
2 = 28
Entonces, el polinomio de Taylor de la función nos queda:
𝑝 𝑥 = 2 + 5 𝑥 − 2 +
12(𝑥 − 2)2
2!
+
28(𝑥 − 2)3
3!
→ 𝑝 𝑥
= 2 + 5 𝑥 − 2 + 6(𝑥 − 2)2
+
14(𝑥 − 2)3
3

10. Dado el problema de valor inicial:
𝑦′
= 1 +
𝑦
𝑥
,
𝑦 1 = 2, 𝑥 ∈ 1,2
Aproxima la solución usando el método de Taylor de segundo orden con 4 pasos.
Método de Taylor de segundo orden.
Formulación del método. El problema está en forma normal, identificamos 𝑓(𝑥, 𝑦),
𝑓 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑦
𝑥
Ejemplo 3.

11. Calculamos las derivadas parciales
𝑓′
𝑥 𝑥, 𝑦 = −
𝑦
𝑥2
𝑓′
𝑦 𝑥, 𝑦 =
1
𝑥
El tamaño de paso es
ℎ =
2 − 1
4
= 0.25
Y los nodos son:
𝑥0 = 1, 𝑥1 = 1.25, 𝑥2 = 1.5, 𝑥3 = 1.75, 𝑥4 = 2

12. La fórmula de recurrencia es, en este caso es
𝑦i+1 = 𝑦𝑖 + 0.25 ∙ 𝑓 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 +
(0.25)2
2
𝑓𝑥
′
𝑥𝑖, 𝑦𝑖 + 𝑓′
𝑥𝑖, 𝑦𝑖 𝑓 𝑥𝑖, 𝑦𝑖
Fase 1. Partimos de
𝑥0 = 1, 𝑦0 = 2
Calculamos
𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 1 +
2
1
= 3,
𝑓𝑥
′
𝑥0, 𝑦0 = −
2
1
= −2,
𝑓𝑦
′
𝑥0, 𝑦0 =
1
1
= 1,

13. La fórmula de recurrencia es, en este caso es
𝑦1 = 𝑦0 + 0.25 ∙ 𝑓 𝑥0, 𝑦0 +
0.25 2
2
𝑓𝑥
′
𝑥0, 𝑦0 + 𝑓𝑦
′
𝑥0, 𝑦0 𝑓 𝑥0, 𝑦0
𝑦1 = 2 + 0.25 ∙ 3 + 0.03125 ∙ (−2 + 1 ∙ 3)
𝑦1 = 2.78125
Fase 2. Partimos de
𝑥1 = 1.25, 𝑦1 = 2.78125
Calculamos
𝑓 𝑥1, 𝑦1 = 1 +
2.78125
1.25
= 3.225,
𝑓𝑥
′
𝑥1, 𝑦1 = −
2.78125
1.25 2
= −1.78,
𝑓𝑦
′
𝑥1, 𝑦1 =
1
1.25
= 0.8,

14. La fórmula de recurrencia es, en este caso es
𝑦2 = 𝑦1 + 0.25 ∙ 𝑓 𝑥1, 𝑦1 +
0.25 2
2
𝑓𝑥
′
𝑥1, 𝑦1 + 𝑓𝑦
′
𝑥1, 𝑦1 𝑓 𝑥1, 𝑦1
𝑦2 = 2.78125 + 0.25 ∙ 3.225 + 0.03125 ∙ (−1.78 + 0.8 ∙ 3.225)
𝑦2 = 3.6125
Fase 3. Partimos de
𝑥2 = 1.5, 𝑦2 = 3.6125,
Calculamos
𝑓 𝑥2, 𝑦2 = 1 +
3.6125
1.5
= 3.408333,
𝑓𝑥
′
𝑥2, 𝑦2 = −
3.6125
1.5 2
= −1.605556,
𝑓𝑦
′
𝑥2, 𝑦2 =
1
1.5
= 0.6666667,

15. La fórmula de recurrencia es, en este caso es
𝑦3 = 𝑦2 + 0.25 ∙ 𝑓 𝑥2, 𝑦2 +
0.25 2
2
𝑓𝑥
′
𝑥2, 𝑦2 + 𝑓𝑦
′
𝑥2, 𝑦2 𝑓 𝑥2, 𝑦2
𝑦3 = 3.6125 + 0.25 ∙ 3.408333 + 0.03125 ∙ (−1.605556 + 0.6666667 ∙ 3.408333)
𝑦3 = 4.485417
Fase 4. Partimos de
𝑥3 = 1.75, 𝑦3 = 4.485417,
Calculamos
𝑓 𝑥3, 𝑦3 = 1 +
4.485417
1.75
= 3.563095,
𝑓𝑥
′
𝑥3, 𝑦3 = −
4.485417
1.75 2
= −1.464626,
𝑓𝑦
′
𝑥3, 𝑦3 =
1
1.75
= 0.5714286,

16. La fórmula de recurrencia es, en este caso es
𝑦4 = 𝑦3 + 0.25 ∙ 𝑓 𝑥3, 𝑦3 +
0.25 2
2
𝑓𝑥
′
𝑥3, 𝑦3 + 𝑓𝑦
′
𝑥3, 𝑦3 𝑓 𝑥3, 𝑦3
𝑦4 = 4.485417 + 0.25 ∙ 3.563095 + 0.03125 ∙ (−1.464626 + 0.5714286 ∙ 3.563095)
𝑦4 = 5.394048
Resumimos los resultados en una tabla
i xi yi
0 1.00 2
1 1.25 2. 781250
2 1.50 3. 612500
3 1.75 4. 48541 7
4 2.00 5. 39404 8

17. ANÁLISIS NUMÉRICO, Julio Daniel Ruano Lima, http://es.scribd.com/jdruano92
MÉTODOS NUMÉRICOS: RESUMEN Y EJEMPLOS , Francisco Palacios.
Marzo 2008, versión 1.4
MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA INGENIERÍA, Antonio Nieves Hurtado, Ce
csa.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS, Steven C. Chapra y Raymond P. Canales,
Mc Graw Hill.
Bibliografia.