integrales triples

1. El conocimiento de las Integrales Triples se convierte en una
herramienta útil, pues tiene muchas aplicaciones en ingeniería y en
la propia matemática; por ejemplo el cálculo del volumen de
sólidos, masa, momento estático, centro de masa y momento de
inercia.
DEFINICIÓN

2. 3
1 2
Consideremos una función : además supongamos que podemos
particionar en conjunto en paralelepípedos cuyas caras son paralelas a los
planos coordenados, llamaremos a estas particiones ,
f S
S
P P P
 

R R
s
 3, ,...., , ,
además decidimos que | | es la diagonal mayor de los paralelepípedos de .
nP P
P P
MARCO TEORICO

3. 3 3
integral triple de la función : integrable en , Se define:La f S S  R R R
  2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) (
; ;
;
, , )
;
b x x y
S a x x y
dxdydz dydxdz dzdxdy
dxdzdy dydzd
f x y z dzdydx f x y
x dzd
z dz d
y
x
d
y d
x
 
 
   
CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS
El calculo de integrales triples puede darse mediante tres ordenes:
| | 0
1
( , , ) lim ( , , ) . .
n
i i i i i iS P
i
L f x y z dxdydz f x y z x y z


    
Tomaremos como ejemplo el orden dzdydx, los demás son similares.

4. 2
2 2
Integrar la función ( , , ) en la región limitada por los planos coordenados y
las superficies 1 y 1
f x y z y
x y z y

   
EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS

5. Vemos que:
0 1
0 1
0 1
z y
x y
y
  
  
 
2 2
1 1 1
2
0 0 0
y y
L y dz dx dy
   
   
  
  
EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS

6. Calcule la integral triple de la función ( , , ) , en la region limitada por los
planos coordenados y el plano : 2 2 4.
f x y z y
P x y z

  
EJERCICIO N°02

7. Vemos que:
0 2
0 2
0 4 2 2
x y
y
z x y
  
 
   
2 2 2 2 4
0 0 0
y x y
L y dz dx dy
   
   
EJERCICIO N°02

8. 3
Para calcular el volumen de un solido, la funcion : es
( , , ) 1, ( , , ) , entonces el volumen del sólido está dado por:
f S
f x y z x y z S
 
  
R R
CÁLCULO DE 𝐕𝐎𝐋𝐔𝐌𝐄𝐍𝐄𝐒 𝐌𝐄𝐃𝐈𝐀𝐍𝐓𝐄 𝐈𝐍𝐓𝐄𝐆𝐑𝐀𝐋𝐄𝐒 𝐓𝐑𝐈𝐏𝐋𝐄𝐒
( )
S S
V S dV dxdydz  

9. 2
2
Hallar el volumen de un sólido cuya tapa es el cilindro y cuya base está
limitada por las lineas , 2 sobre el plano .
z x
y x y x XY

  
EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS
2
2
2
Luego hallamos sus puntos de
intersección igualando las ecuaciones:
2
2 0
factorizando obtenemos
( 2)( -1) 0
2 ó 1
Vemos que:
2 1
2 2
x x
x x
x x
entonces
x x
x
y x
 
  
 
  
  
   

10. EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS
2
Vemos que:
0 z x 

11. EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS
2 2
1 2
2 0
Calculamos el volumen:
x x
x
V dz dy dx


   

12. 2 2 2
Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera 81 y el plano .x y z XY  
EJERCICIO N°02
Solución
Se calcula la mitad superior de la esfera. 2 2
Si hacemos 0 tenemos que 81.
Una circunferencia en el plano XY.
z x y  

13. EJERCICIO N°02
Vemos que:
2 2
2 2 2 2
9 9
81 81
81 81
x
x y x
x y z x y
  
    
      
Calculamos el volumen del sólido:
2 2 2
2 2 2
9 81 81
9 81 81
x x y
x x y
V dz dy dx
   
      
   