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Universidad
Distrital
Francisco
Jose
de
caldas
REDES NEURONALES TALLER I
Hernan Sanabria Páez cod: 20062005011
27 de marzo de 2016
1. Punto 1: Clasificador Bayesiano
El clasificador bayesiano, óptimo parte del hecho de que para minimizar el
error se debe optar por la mayor de las probabilidades a posteriori, es decir si
tenemos un conjunto de clases se dice que un elemento X pertenece la clase Ci
si:
P(Ci|X) > P(cj|X) ∀j = i (1)
por lo tanto se puede representar el clasificador de bayes como una función fi(x)
que depende de lo expresado en (1) aplicando el teoremas de bayes:
fi(X) =
P(Ci|X)P(Ci)
P(X)
(2)
Para nuestro caso al tratarse de una distribución normal de 2 dimensiones tene-
mos:
P(x) =
1
√
2π × Σ
e− 1
2 (X−µ)T
Σ−1
(X−µ)
(3)
Donde:
X es el vector [x1 x2]T
Σ es la matriz de covarianza de cada clase.
µ es el vector de valor medio de cada clase.
Por lo tanto si aplicamos ln, y sus propiedades, a ambos lados de la ecuación (2)
tenemos:
gi(X) = ln(P(Ci|X)) + ln(P(Ci)) − ln(P(X)) (4)
Reemplazando (3) en (4) tenemos:
gi(X) = −
1
2
(X − µ)T
Σ−1
i (X − µ) −
1
2
ln(|Σi|) + ln(P(Ci)) (5)
Nótese que se han omitido los valores de ln(P(X)) y 1
2 ln(2π) puesto que son
valores constantes para cada una de las clases, y se cancelaran mas adelante
cuanto se igualen las funciones de cada clase para hallar sus fronteras de decisión.](https://image.slidesharecdn.com/taller1-160718111004/85/taller1-1-320.jpg)
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Universidad
Distrital
Francisco
Jose
de
caldas
2 Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Ahora se realizara una simplificación de (5) ,aprovechando la propiedad delas
matrices (A + B)T
= AT
+ BT
, para facilitar los cálculos así:
gi(X) = −
1
2
[XT
Σ−1
i X−XT
Σ−1
i µi−µT
i Σ−1
i X+µT
i Σ−1
i µi]−
1
2
ln(|Σi|)+ln(P(Ci))
(6)
y finalmente agruparemos dicha ecuación como:
gi(X) = XT
WiX +
1
2
XT
ωi +
1
2
ωT
i X + ωi0 (7)
Donde:
Wi = 1
2 Σ−1
i
ωi = µiΣ−1
i
ωi0 = −1
2 µT
i Σ−1
i µi − 1
2 ln(|Σi|) + ln(P(Ci))
y como XT
ωi = ωT
i X dicha ecuación se reduce a:
gi(X) = XT
WiX + ωT
i X + ωi0 (8)
1.1. Ecuación a Partir de C1 y C2
Para determinar la ecuación del clasificador empezaremos calculando los pa-
rámetros Σ y µ para las 2 clases C1 y C2 con la ayuda del software matlab. Para
calcular los vectores de valores medios utilizaremos un script con el siguiente
código:
clear all %limpiar variables
clc %limpiar consola
load(’set1.mat’); %cargar datos
mu1 = mean(clase1) %calcular el valor medio de la clase1
mu2 = mean(clase2) %calcular el valor medio de la clase2
al ejecutar dicho script obtenemos:
mu1 =
1.4363 1.4757
mu2 =
-0.8955 -0.9752](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 2. 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 2 Universidad Distrital Francisco José de Caldas Ahora se realizara una simplificación de (5) ,aprovechando la propiedad delas matrices (A + B)T = AT + BT , para facilitar los cálculos así: gi(X) = − 1 2 [XT Σ−1 i X−XT Σ−1 i µi−µT i Σ−1 i X+µT i Σ−1 i µi]− 1 2 ln(|Σi|)+ln(P(Ci)) (6) y finalmente agruparemos dicha ecuación como: gi(X) = XT WiX + 1 2 XT ωi + 1 2 ωT i X + ωi0 (7) Donde: Wi = 1 2 Σ−1 i ωi = µiΣ−1 i ωi0 = −1 2 µT i Σ−1 i µi − 1 2 ln(|Σi|) + ln(P(Ci)) y como XT ωi = ωT i X dicha ecuación se reduce a: gi(X) = XT WiX + ωT i X + ωi0 (8) 1.1. Ecuación a Partir de C1 y C2 Para determinar la ecuación del clasificador empezaremos calculando los pa- rámetros Σ y µ para las 2 clases C1 y C2 con la ayuda del software matlab. Para calcular los vectores de valores medios utilizaremos un script con el siguiente código: clear all %limpiar variables clc %limpiar consola load(’set1.mat’); %cargar datos mu1 = mean(clase1) %calcular el valor medio de la clase1 mu2 = mean(clase2) %calcular el valor medio de la clase2 al ejecutar dicho script obtenemos: mu1 = 1.4363 1.4757 mu2 = -0.8955 -0.9752
- 3. 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas Universidad Distrital Francisco José de Caldas 3 Por lo tanto tenemos que: µ1 = 1,43 1,47 y µ2 = −0,89 −0,97 (9) Ahora se procederá a calcular las matrices de covarianza y sus inversas para cada clase agregando el siguientecodigo al anterior script: %calculamos Xi -Xmedio para la covarianza extendiendo mu1 600 veces ce1 = clase1 - repmat(mu1 ,600 ,1); %calculamos la matriz de covarianza para la clase1 cov1 =(1/600)*ce1 ’*ce1 %calculamos Xi -Xmedio para la covarianza extendiendo mu1 400 veces ce2 = clase2 - repmat(mu2 ,400 ,1); %calculamos la matriz de covarianza para la clase2 cov2 =(1/400)*ce2 ’*ce2 invs1=inv(cov1) %inversa de la matriz de covarianza 1 invs2=inv(cov2) %inversa de la matriz de covarianza 2 det(cov1) %determinante de la matriz de covarianza 1 det(cov2) %determinante de la matriz de covarianza 2 El cual nos entrega el siguiente resultado: Σ1 = 0,9032 −0,0169 −0,0169 0,9782 y Σ2 = 2,2598 0,4484 0,4484 1,9683 (10) Σ−1 1 = 1,1076 0,0191 0,0191 1,0226 y Σ−1 2 = 0,4635 −0,1056 −0,1056 0,5321 (11) |Σ1| = 0,8832 y |Σ2| = 4,2468 (12) Ahora que se tienen todos los parámetros se puede utilizar la ecuación (8) para cada una de las clases: g1(X) = XT W1X + ωT 1 X + ω10 (13) g2(X) = XT W2X + ωT 2 X + ω20 (14) por lo tanto se empezará calculando el valor de XT W1X y XT W2X: W1 = 1 2 Σ−1 1 (15) XT W1X = 1 2 x1 x2 · 1,1076 0,0191 0,0191 1,0226 · x1 x2
- 4. 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 4 Universidad Distrital Francisco José de Caldas XT W1X = 0,5538x2 1 + 0,0191x1x2 + 0,5113x2 2 (16) W2 = 1 2 Σ−1 1 (17) XT W2X = 1 2 x1 x2 · 0,4635 −0,1056 −0,1056 0,5321 · x1 x2 XT W2X = 0,2317x2 1 − 0,1056x1x2 + 0,2661x2 2 (18) Ahora se calculara el valor de ωT 1 X y ωT 2 X: ωT 1 = µT 1 Σ−1 1 (19) ωT 1 X = 1,4363 1,4757 · 1,1076 0,0191 0,0191 1,0226 · x1 x2 ωT 1 X = 1,6191x1 + 1,5366x2 (20) ωT 2 = µT 2 Σ−1 2 (21) ωT 2 X = −0,8955 −0,9752 · 0,4635 −0,1056 −0,1056 0,5321 · x1 x2 ωT 2 X = −0,3121x1 − 0,4244x2 (22) y finalmente se calculará el valor de ω01 y ω02: ω10 = − 1 2 µT i Σ−1 1 µ1 − 1 2 ln(|Σ1|) + ln(P(C1)) (23) ω01 = − 1 2 1,4363 1,4757 1,1076 0,0191 0,0191 1,0226 1,4363 1,4757 − 1 2 ln(0,8832)+ln 600 1000 ω01 = −2,7452 (24) ω20 = − 1 2 µT 2 Σ−1 2 µ2 − 1 2 ln(|Σ2|) + ln(P(C2)) (25)
- 5. 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas Universidad Distrital Francisco José de Caldas 5 ω02 = − 1 2 −0,8955 −0,9752 0,4635 −0,1056 −0,1056 0,5321 1,4363 1,4757 − 1 2 ln(0,8832)+ln 600 1000 ω01 = −2,5865 (26) Por lo tanto: g1(X) = 0,5538x2 1 +0,0191x1x2 +0,5113x2 2 +1,6191x1 +1,5366x2 −2,7452 (27) g2(X) = 0,2317x2 1 −0,1056x1x2 +0,2661x2 2 −0,3121x1 −0,4244x2 −2,5865 (28) dichas funciones representan paraboloides que encierran la mayoría de los puntos de las dispersiones como se observa en la siguiente figura: −6 −4 −2 0 2 4 6−5 0 5 0 10 20 30 40 50 x2 x1 g1(x1,x2) Figura 1. paraboloide que encierra la mayoria de los puntos de la clase 1 en el plano de z =0. Si g1(X)=0 y g2(X)=0 obtenemos el siguiente resultado: Etiqueta X1 EtiquetaX2 Funciones discriminantes para el clasificador bayesiano −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 Figura 2. Cortes de las superficies de decicion con el plano Z = 0
- 6. 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 6 Universidad Distrital Francisco José de Caldas Ahora si se iguala g1(X) y g2(X) y se reagrupan términos obtendremos la frontera de decisión: 0 = 0,3321x2 1 + 0,1247x1x2 + 0,2452x2 2 + 1,9312x1 + 1,9610x2 − 0,1587 (29) cuya gráfica es la siguiente: Etiqueta X1 EtiquetaX2 Region de decisión clasificador bayesiano −6 −4 −2 0 2 4 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 Figura 3. Frontera de decision Si tomamos la ecuación (29) como una función que depende de x1 y x2 o sea: g(x1, x2) = 0,3321x2 1+0,1247x1x2+0,2452x2 2+1,9312x1+1,9610x2−0,1587 (30) si se realiza su gráfica tenemos: −5 0 5 −5 0 5 0 10 20 30 40 50 g(x1,x2) x1 x2 Figura 4. Superficie de decisión tomando g(x1, x2) = 0,3321x2 1 + 0,1247x1x2 + 0,2452x2 2 + 1,9312x1 + 1,9610x2 − 0,1587, donde los puntos rojos corresponden a la clase 1 y los puntos verdes a la clase 2.
- 7. 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas Universidad Distrital Francisco José de Caldas 7 Al ser la gráfica de la Figura 4, que corresponde a la función g(x2, x2), un paraboloide podemos deducir la siguiente regla de clasificación: x ∈ C1 si g(x1, x2) > 0 de lo contrario x ∈ C2 (31) 1.2. Comparación clasificador Bayesiano vs Perceptron con bolsillo Para realizar la comparación primero se ha entrenado un perceptron con bolsillo obteniendo una buena solución para separar las 2 clases, obteniendo la siguiente gráfica: −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 Etiqueta X1 EtiquetaX2 Perceptrón con bolsillo Figura 5. Perceptrón con bolsillo cuyo vector de pesos tras su entrenamiento es: W = [1,3458 3,0498 − 0,9292]. El error de generalización se ha estimado mediante un script que recorre los mil puntos y determina cuales se encuentran bien clasificados obteniendo el siguiente resultado: clasificador/clasificacion Bien clasificados Mal calsificados % Error Perceptron 907 93 9.3 Bayes 904 95 9.5 Tabla 1. Error de generalización para los 2 clasificadores. Para comparar los 2 clasificadores se ha realizado un script en matlab el cual toma 100000 puntos al azar y cuenta cuanto puntos quedaron mal clasificados, dicho script se ejecuto 10 veces obteniendo los siguientes resultados:
- 8. 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 8 Universidad Distrital Francisco José de Caldas Perceptrón con bolsillo Clasificador de bayes 9147 9461 9336 9510 9364 9480 9254 9416 9334 9557 9207 9455 9275 9456 9265 9502 9376 9505 9261 9377 Tabla 2. Cantidad de errores tras tomar 100000 puntos al azar 10 veces. Al hacer el promedio se obtiene lo siguinte: %error Promedio Bayes 9509.2 9,5 Promedio perceptrón 9267.2 9,2 2. Punto 2: Transformación no lineal y clasificación con LMS Para este ejercicio se ha comenzado entrenando una neurona con el algoritmo LMS. mediante el siguiente script: clear all; clc; load(’set2.mat’); pex =[[ clase1;clase2] ones (2000 ,1) ]; %puntos extendidos yi=[-1*ones (492 ,1) ; ones (1508 ,1) ]; %clasificador hold on; axis ([-2 2 -2 2]); x = linspace (-5,5,100); w = [rand rand rand ]; %vector de pesos ys = -((w(1)/w(2))*x) -(w(3)/w(2)); plot(x,ys ,’k’); r = []; for j =1 : 1 :2000 r(end + 1)= dot(w’,pex(j,:)); %error en cada punto end etotal =(1/2)*sum((r’-yi).^2) contador = 0; miu =0.8; %Tasa de aprendizaje while etotal > 790 %Error minimo requerido j = randi (2000); g=dot(w,pex(j,:));
- 9. 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas Universidad Distrital Francisco José de Caldas 9 e=yi(j)-g; w=w+miu*e*pex(j,:); ys = -((w(1)/w(2))*x) -(w(3)/w(2)); plot(x,ys ,’g’); r = []; for j =1 : 1 :2000 r(end + 1)= dot(w’,pex(j,:)); %error en cada punto end etotal =0.5*sum((r’-yi).^2); %Error total contador=contador +1; end etotal % error total contador %cantidad de iteraciones que tardo en encontrar la solucion %impresion de los puntos for k=1:1:2000 if yi(k) == -1 plot(pex(k,1),pex(k,2),’r.’); else plot(pex(k,1),pex(k,2),’b.’); end end ys = -((w(1)/w(2))*x) -(w(3)/w(2)); %linea solucion plot(x,ys ,’r--’); Sin embargo al ser puntos no separables lineal mente la el algoritmo encuentra una recta bastante lejana de la dispersión como se observa a continuación: −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Etiqueta X 1 EtiquetaX2 Clasificacion con LMS Figura 6. Gráfica Resultante de aplicar el algoritmo LMS al conjunto de puntos del ejercicio, se observa que el algoritmo arroja que la recta con menor error esta fuera de la nube de puntos, las rectas verdes son pasos intermedios hasta encontrar la solución.
- 10. 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 10 Universidad Distrital Francisco José de Caldas Ahora se ha aplicado la transformación: φ(X) : (x1, x2) → (x12 , x22 , √ 2 · x1 · x2) (32) La cual envía la nube de puntos a un espacio de 3 dimensiones como se observa en la siguiente figura: 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 x1 x2 f(x1,x2) Figura 7. Gráfica Resultante de aplicar la transformación φ(X) : (x1, x2) → (x12 , x22 , √ 2 · x1 · x2) al conjunto de puntos propuesto. ahora se ha aplicado el algoritmo LMS para separar los puntos con la trans- formación expuesta en (32) mediante el siguiente script: clear all; clc; load(’set2.mat’); %datos a clasificar scatter3(clase1 (:,1).^2, clase1 (:,2).^2, sqrt (2).*clase1 (:,1).* clase1 (:,2),’g.’) hold on scatter3(clase2 (:,1).^2, clase2 (:,2).^2, sqrt (2).*clase2 (:,1).* clase2 (:,2),’m.’) totaldatos =[ clase1;clase2 ]; puntosex= [totaldatos (:,1) .^2 totaldatos (:,2) .^2 2.* totaldatos (:,1).*totaldatos (:,2) ones (2000 ,1) ]; %datos extendidos yi = [ones (492 ,1);-1*ones (1508 ,1) ]; w=[ rand rand rand rand ]; %pesos iniciales r = []; for j =1 : 1 :2000 r(end + 1)= dot(w’,puntosex(j,:)); %error en cad punto end etotal =0.5*sum((r’-yi).^2); %error total miu =1; % tasa de aprendizaje iteraciones = 0;
- 11. 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas Universidad Distrital Francisco José de Caldas 11 while etotal > 440 %error minimo requerido j = randi (2000); g=dot(w’,puntosex(j,:)); e=yi(j)-g; w=w+miu*e*puntosex(j,:); r = []; for k =1 : 1 :2000 r(end + 1)= dot(w’,puntosex(k,:)); end etotal =0.5*sum((r’-yi).^2); iteraciones=iteraciones +1; end iteraciones %cantidad deiteraciones para hallar la solucion etotal %error minimo obteido xd=linspace ( -0.01 ,0.3); yd=linspace ( -0.3 ,0.3); [x,y]= meshgrid(xd ,yd); z=-(w(1)/w(3))*x -(w(2)/w(3))*y-w(4)/w(3); surf(x,y,z) xlabel(’Etiqueta textit{X}1’,’Interpreter ’,’latex ’); ylabel(’Etiqueta textit{X}2’,’Interpreter ’,’latex ’); title ({’Clasificacion con LMS’},’FontWeight ’,’bold ’); A partir de dicho script se ha obtenido una clasificación a través de un plano como se observa a continuación: −0.1 0 0.1 0.2 0.3 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 −10 −5 0 5 10 15 Etiqueta X 1 Clasificacion con LMS Etiqueta X 2 Figura 8. Gráfica Resultante de aplicar el algoritmo LMS a la transformación φ(X) : (x1, x2) → (x12 , x22 , √ 2 · x1 · x2). La anterior gráfica se realizó con una taza de aprendizaje µ = 1,4 y un error mínimo requerido de 435.
- 12. 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 12 Universidad Distrital Francisco José de Caldas Para poner a prueba la velocidad del algoritmo con la transformación reali- zada se ha variado la tasa de aprendizaje entre 0 y 2 obteniedo: tasa de aprendizaje número de iteraciones 0.3 1105 0.5 675.5 0.8 442.16 1 329.33 1.2 289 1.5 616 1.8 2111.16 Tabla 4. Cantidad de iteraciones en promedio tras variar las tazas de aprendizaje con valores entre 0 y 2, se tomaron 10 datos para cada tasa de aprendizaje. La siguiente gráfica muestra como varia la velocidad de convergencia respecto a la tasa de aprendizaje: Figura 9. Velocidad de convergencia al aplicar el algoritmo LMS a la transformación φ(X) : (x1, x2) → (x12 , x22 , √ 2 · x1 · x2) variando la tasa de aprendizaje.
- 13. 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas Universidad Distrital Francisco José de Caldas 13 A continuación se presenta el comportamiento el error para una tasa de aprendizaje de 0,3: 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 X= 1296 Y= 434.9988 Iteraciones Magnituderror Error de generalizacion Figura 10. Error de generalización para una tasa de aprendisaje de 0.3. Se puede observar que aunque el error tiene oscilaciones, su tendencia es a decrecer exponencialmente hacia un valor , que para el caso tratado es de 430. 3. Punto 3: Método propuesto para solucionar el problema de la función XOR La función XOR se caracteriza por ser un problema no separable lineal-mente como se observa en la figura 11: −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Etiqueta X 1 EtiquetaX2 Funcion XOR Figura 11. Función XOR, Obsérvese que no existe ninguna linea que pueda separar la clase1(puntos rojos), de la clase2(puntos magenta).
- 14. 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 14 Universidad Distrital Francisco José de Caldas Para la solución del problema de clasificación en este documento se propone un método de clasificación basado en una ecuación general de segundo orden mas exactamente el conjunto de ecuaciones de segundo orden cuyas gráficas es- tán representadas mediante Hipérbolas. La ecuación general de segundo orden se representa como: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (33) La cual puede ser expresada de forma matricial como: XT · Aq · X = 0 (34) donde: X = x y 1 T y Aq = F D 2 E 2 D 2 A C 2 E 2 C 2 B Se denominará M0 a la submatriz de resultante de eliminar la primera fila y la primera columna de Aq. M0 = A C 2 C 2 B (35) Dado lo anterior se sabe que (33) es la ecuación de una hipérbola si: det(Aq) = 0 y det(M0) < 0 (36) Donde det(•) representa el determinante de la correspondiente matriz. 3.1. El Hiperton. Para la solución del problema de clasificación de la funcion XOR se propone utilizar un método que usa el algoritmo del perceptrón junto con la ecuación de una hipérbola para clasificar los puntos, al cual se denominará hipertrón. En este método se toma un vector de pesos W igual al del perceptron, en el cual se pondrán tres de los coeficientes de la ecuación (33) de la siguiente manera: W = [A B C D E] (37)
- 15. 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas Universidad Distrital Francisco José de Caldas 15 Los coeficientes DyE se asignaran como 0 (aunque no se tendrán en cuenta en el resultado final sus valores obtenidos en W) y se comprobaran las condi- ciones descritas en (36) si no se cumplen se actualizara el vector de pesos igual que en el perceptrón y también se actualizarán las matrices AQ y M0 con los nuevos coeficientes de W y los coeficientes restantes se asignaran aleatoria-mente. Después de que se cumplan las restricciones de (36) se procederá a clasificar un punto aleatoria-mente, si dicho punto no se encuentra bien clasificado se vol- verán a actualizar los pesos, y los demás parámetros. La regla de clasificación que se utilizará será: Ic = x ∈ C1 si g(x1, x2) > 0 x ∈ C2 si g(x1, x2) 0 (38) Donde C1 y C2 son las 2 clases y g(x1, x2) se define como: g(x1, x2) = A · (x1)2 + B · (x2)2 + C · x1 · x2 + D · x1 + E · x2 + F (39) A continuación se presenta un script que implementa el algoritmo anterior- mente descrito: clear all clc A=rand; B=rand; C=rand; D=0; E=0; F= -1.3; pex = [-1 -1 1 1 1; -1 1 1 1 1; 1 -1 1 1 1; 1 1 1 1 1]; yi = [1 -1 -1 1]; w = [A B C D E]; p = [-1 -1; -1 1; 1 -1; 1 1]; M=[F w(4)/2 w(5) /2; w(4)/2 w(1) w(3) /2; w(5)/2 w(3)/2 w(2)]; M0=[w(1) w(3) /2; w(3)/2 w(2)]; n=1; while n <100 j = randi (4); if det(M)~=0 && det(M0) <0 v=w(1)*p(j,1)^2 +w(2)*p(j,2)^2 + w(3)*p(j,1)*p(j,2) + D*p(j,1) + E*p(j,2)+F; if v < 0 && yi(j)==-1 w = w + pex(j,:)*yi(j); M=[F w(4)/2 w(5) /2; w(4)/2 w(1) w(3) /2; w(5)/2 w(3)/2 w(2) ];; M0=[w(1) w(3) /2; w(3)/2 w(2)]; end %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
- 16. 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 16 Universidad Distrital Francisco José de Caldas %segmento de codigo opcional , que para cuando encuentra la solucion %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %V1=w(1)*p(1,1)^2 +w(2)*p(1,2)^2 + w(3)*p(1,1)*p(1,2) + D*p (1,1) + E*p(1,2)+F; %V2=w(1)*p(2,1)^2 +w(2)*p(2,2)^2 + w(3)*p(2,1)*p(2,2) + D*p (2,1) + E*p(2,2)+F; %V3=w(1)*p(3,1)^2 +w(2)*p(3,2)^2 + w(3)*p(3,1)*p(3,2) + D*p (3,1) + E*p(3,2)+F; %V4=w(1)*p(4,1)^2 +w(2)*p(4,2)^2 + w(3)*p(4,1)*p(4,2) + D*p (4,1) + E*p(4,2)+F; % %if V1 <0 && V4 <0 % if V2 >0 && V3 >0 % disp(’pasos para la solucion :’); % n % break; % end % end %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %5 else w = w + pex(j,:)*yi(j); M=[F w(4)/2 w(5) /2; w(4)/2 w(1) w(3) /2; w(5)/2 w(3)/2 w (2)]; M0=[w(1) w(3) /2; w(3)/2 w(2)]; end n=n+1; end axis ([-2 2 -2 2]); syms g(x,y); A=w(1); B=w(2); C= w(3); g(x,y)=w(1)*x^2 +w(2)*y^2 + w(3)*x*y + D*x + E*y+F; hold on plot(p(1,1),p(1,2),’r.’); plot(p(2,1),p(2,2),’b.’); plot(p(3,1),p(3,2),’b.’); plot(p(4,1),p(4,2),’r.’); ezplot(g,[-7,7,-9,7]) xlabel(’Etiqueta textit{X}1’,’Interpreter ’,’latex ’); ylabel(’Etiqueta textit{X}2’,’Interpreter ’,’latex ’); title ({’Clasificacion con hiper -tron ’},’FontWeight ’,’bold ’);
- 17. 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas Universidad Distrital Francisco José de Caldas 17 Si ejecutamos dicho script imprimiendo todos los pasos se puede ver el si- guiente resultado: −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 Etiqueta X 1 EtiquetaX2 Clasificacion con hiper−tron Figura 12. Pasos intermedios hasta encontrar una solución. A continuación se presentan una clasificaciones exitosa con el hipertrón y su correspondiente función g(x1, x2): −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Etiqueta X 1 EtiquetaX2 Clasificacion con hiper−tron −5 0 5 −6 −4 −2 0 2 4 6 −200 −150 −100 −50 0 50 100 Clasificacion con hiper−tron Etiqueta X 2Etiqueta X 1 Figura 13. clasificaciones exitosa con el hipertrón y su correspondiente función o su- perficie de decisión g(x1, x2). Se puede observar que los puntos azules están por encima del paraboloide hiperbólico que representa su función de decisión.
- 18. 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 Universidad Distrital Francisco Jose de caldas 18 Universidad Distrital Francisco José de Caldas El modelo propuesto es posible de realizar para patrones d-dimensionales, acudiendo a la forma matricial de las ecuaciones de segundo grado para hiper- superficies, y tendría que establecerse las restricciones que se establecieron es este modelo, un ejemplo para el caso particular de 3 dimensiones se podrían uti- lizar hiperboloides de 2 hojas para clasificar los patrones, y su hiper-superficie de decisión estaría en R4 siendo hipeparaboloides hiperblolicos en 4 dimensio- nes, a continuacion se muestra un hiperboloide de 2 hojas para el caso de 3 dimensiones: Figura 14. Ejemplo de clasificación para el caso de 3 dimensione. 4. Conclusiones El clasificador bayesiano representa una clasificación óptimo para un proble- ma no separable lineal mente, pero en este caso se logro una mejor clasifica- ción con el perceptron con bolsillo, aunque eso se debe a que el clasificador bayesiano toma en cuenta la probabilidad de escoger un punto y que este pertenezca a una clase, en este caso la probabilidad era 60/40 pero aun así se cometían mas errores con el bayesiano que con el perceptron con bolsillo. Para el caso de dos clases no separables linealmente como el del segundo punto, es muy útil encontrar una transformacion no lineal que facilite la separación de los puntos como la que se propuso, se pudo observar que el algoritmo LMS aplicado a dicho problema no tenia ningún efecto separando los puntos, también se evidencio un costo computacional mayor al pasar de un espacio de 2 dimensiones a un espacio de 3. he podido encontrar un método,(ignoro si ya existía) para solucionar el pro- blema de la XOR el cual converge la mayoría de las veces en pocos pasos.