Proyecto de aprendizaje

1. AREA DE MATEMATICA
PROYECTO DE APRENDIZAJE
“CALCULANDO ALTURAS”
Responsable:
Lic. LUIS ALBERTO DAVILA BANDA.

2. AREA DE MATEMATICA
PROYECTO DE APRENDIZAJE
I. IDENTIFICACIÓN DEL PROYECTO:
I.1 Título del Proyecto : Calculando alturas
I.2 Población destinataria : Quinto año A, B, C
I.3 Profesor Responsable : Luis Dávila Banda
I.4 Nivel : Secundaria
I.5 Modalidad : Presencial
I.6 Lugar : Lima – Perú
II. FUNDAMENTACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO:
Dentro del nuevo paradigma educativo en el cual la matemática carece de sentido en
la medida que no se percibe la aplicación real y verdadera de ella, lo que se
ve reflejado en la metodología de la mayoría de colegios, es conveniente desarrollar
e implementar algunas experiencias que permitan a los estudiantes de nuestra
Institución usar y aplicar la matemática de manera significativa, de tal manera
que esta ciencia les permita entender el desarrollo tecnológico y además les
permita comprender nuestra realidad.
Este proyecto, busca brindar a los alumnos las aplicaciones de la matemática
(geometría, trigonometría) en contextos reales, como el cálculo de alturas de edificios
utilizando instrumentos de medida hechos por ellos mismos con materiales caseros
como por ejemplo el goniómetro, el altímetro de cartón, tablillas de madera y listones;
así como también desarrollar la creatividad, el liderazgo y toma de decisiones a través
de la creación y resolución de problemas de índole matemático, en situaciones
cotidianas. Enmarcado en este contexto, este trabajo forma parte de un proyecto
interdisciplinario como lo es el Proyecto Huaraz que persigue el aprendizaje
integrando áreas académicas.
El proyecto se realiza en varias etapas. En la primera, los estudiantes con la dirección
del profesor, desarrollan los contenidos teóricos necesarios en el aula. En la segunda,
se realiza la elaboración de los instrumentos de medida. En la tercera etapa, los
equipos formados realizarán un entrenamiento en el uso de estas herramientas en las
instalaciones del colegio América, así como también en puntos estratégicos del
Callao. En la cuarta etapa, los alumnos desarrollarán un trabajo de campo en lugares
de Huaraz, en donde aplicarán las estrategias de medición. En una quinta etapa, los
equipos presentarán el informe del proyecto. En la etapa final, los alumnos elaboran
los productos finales que forma parte del Proyecto Huaraz para una presentación
multimedia a los padres de familia.
Estamos convencidos que implementar de una vez por todas una nueva visión de la
enseñanza – aprendizaje de la matemática logrará que los estudiantes se apropien y
se identifiquen más con ella. Mientras más reales sean las aplicaciones de la
matemática, más significativo será el aprendizaje, por lo tanto hay que apuntar la
materia en este sentido implementando proyectos de aula y para futuros proyectos,
un link matemático dentro de la página web del Colegio

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III. OBJETIVOS
Los objetivos que se proponen en este proyecto son:
1. Conocer una aplicación práctica de la geometría y la trigonometría de tal
manera que se perciba la utilidad de la matemática.
2. Conjugar el aprendizaje de conceptos y procedimientos de la geometría y la
trigonometría mediante el planteamiento y resolución de problemas de la vida
cotidiana.
3. Favorecer el desarrollo de destrezas procedimentales y la capacidad para
elaborar estrategias propias en la resolución de problemas, en los alumnos con
dificultades para comprender los conceptos elementales de geometría y/o
trigonometría.
4. Aportar una metodología innovadora de aprendizaje dirigida a la resolución de
triángulos desde una perspectiva interdisciplinaria, con el propósito de hacer
más efectivo y atractivo el aprendizaje.
IV. COMPETENCIAS
Competencias Indicadores
• Conoce los principios del diseño de
una herramienta de medición angular
y sabe para que sirve.
• Conoce el uso de un goniómetro y
aplica distintas técnicas para medir
alturas y distancias.
• Resuelve problemas reales
aplicando la trigonometría y
geometría.
• Construye un goniómetro casero y
otras herramientas de medidas
angulares.
• Desarrolla teóricamente distintas
técnicas en clase y las lleva a la
práctica al realizar mediciones reales.
• Crea tres problemas matemáticos
aplicados, propuestos en este
proyecto.
V. CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS PREVIAS DEL ESTUDIANTE
CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
• Figuras semejantes.
• Razón de semejanza.
• Interpretación de
mapas y planos.
• Escalas.
• Teorema de Tales.
• Razones
trigonométricas.
• Resolución de
triángulos rectángulos
• Teorema de Pitágoras
• Ángulos de elevación
y depresión
• Uso de técnicas
geométricas y
trigonométricas para
calcular alturas y
distancias inaccesibles
• Comprende la gran
utilidad de la
matemática y entiende
que el desarrollo de la
civilización está
íntimamente ligado al
de la ciencia y la
Tecnología.

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VI. DESARROLLO DEL PROYECTO
Este proyecto consta de 6 etapas, las mismas que encierran una serie de actividades
que se llevarán a cabo en forma grupal, propiciando el aprendizaje participativo.
6.1 PRIMERA ETAPA: Desarrollo de los contenidos teóricos
• Desarrollo de la teoría necesaria (conocimientos previos) que el alumno debe
comprender para realizar el proyecto
• Explicación y deducción de las técnicas necesarias para medir distancias.
• Explicación del uso del espejo y tablilla de madera y listón para medir alturas
• Explicación sobre construcción y uso de instrumentos de medida: goniómetro,
altímetro de cartón.
• Formación de equipos de 4 a 5 integrantes ( con un responsable por grupo)
• Entrega de una ficha de actividades a cada equipo de trabajo.
6.2 SEGUNDA ETAPA: Construcción de los instrumentos de medida
• Entrega de una cartilla informativa para la construcción de los instrumentos de
medida: goniómetro (teodolito) y altímetro de cartón, a cada responsable de
grupo.
• Construcción del teodolito usando materiales caseros, en clase.
• Presentación inicial de los instrumentos de medida, donde se harán las
observaciones y correcciones del caso.
6.3 TERCERA ETAPA: Entrenamiento en el uso del teodolito
• Realización de ejercicios prácticos en los predios del Colegio
• Medir la altura (sobre el patio de secundaria) de uno de los edificios del colegio.
• Medir la altura de uno de los edificios desde el patio de primaria.
• Cada grupo deberá contar con el siguiente material:
 Teodolito o goniómetro debidamente construido.
 Espejo, altímetro de cartón, y tablilla de madera y listón
 Cinta métrica de 30 m. profesional o casera (cuerda con un nudo cada
metro).
 Tiza
 Cuaderno de campo
• Se asignará como trabajo a cada equipo realizar las mediciones de las alturas
de puntos estratégicos del Callao (un lugar por equipo). Por ejemplo se pueden
citar los siguientes lugares:
 La Fortaleza del Real Felipe.

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 La Iglesia matriz
 El museo naval
 Complejo de Chivateros
 Templo de media luna, etc.
6.4 CUARTA ETAPA: Trabajo de Campo
• Los equipos de trabajo calcularán la altura de puntos estratégicos en la zona de
Huaraz.
• Cada equipo seleccionará un punto estratégico, entre los cuales se puede elegir:
el lanzón monolítico, la puya Raymondi, las cabezas clavas, Pastoruri, el Nevado
de Huascarán, etc. y calculará su altura y/o distancia con los instrumentos de
medida.
• Debe seguirse la misma metodología que en la etapa anterior, para lo cual el
docente debe verificar el uso de los guías de actividades.
6.5 QUINTA ETAPA: Elaboración de un informe
• Cada equipo de trabajo presentará un informe con los siguientes puntos:
 Carátula.
 Introducción ( De qué se trata el trabajo?)
 Objetivos ( ¿Qué se quiere lograr? )
 Marco teórico (¿Qué conocimientos se necesitan?)
 Desarrollo y proceso (Construcción de los instrumentos de medida, toma de
medidas, presentación de tablas, etc.)
 Cálculos y resultados
 Aplicaciones ( Elaboración y resolución de tres problemas matemáticos de
nivel básico, intermedio y avanzado con los datos obtenidos)
 Elaboración
 Conclusiones y comentarios( logros, dificultades, impresiones)
6.6 SEXTA ETAPA: Presentación de productos finales
• Cada equipo de trabajo realizará una de los siguientes productos:
 Un artículo de una página web (elaboración de power point)
 Un artículo matemático de las aplicaciones de la geometría para una revista
 Un artículo matemático de las aplicaciones de la trigonometría para un
periódico
 Un “corto” documental (video) de una de las aplicaciones de la matemática

6. AREA DE MATEMATICA
en la vida cotidiana
• Todos estos productos serán expuestos a los padres de familia en la fecha de la
gran presentación del proyecto Huaraz.
VII. RECURSOS Y MATERIALES
• Docentes y estudiantes
• Instrumentos de medida: goniómetro, altímetro de cartón, tablillas de madera,
listones, espejos.
• Filmadora
• Cámara fotográfica
• Computadoras. Usb
• Texto para el estudiante
• Guía de actividades
VIII. EVALUACIÓN
La Evaluación se contempla como un proceso permanente y continuo durante el
desarrollo del proyecto, con la utilización de instrumentos que evaluarán los
siguientes aspectos:
• Participación activa de los alumnos
• Niveles de logro
• El producto final (link matemático de la página web, artículo de matemática para
la revista y periódico, parte del video enfocado a la aplicación de la matemática
en la vida cotidiana)
Los criterios de evaluación en la que se evaluará este proyecto son: comprensión
de conceptos, estrategia operativa, razonamiento lógico y resolución de problemas.
Asimismo se propiciará la autoevaluación, la coevaluación y la heteroevaluación de
los alumnos.
IX. DIFUSIÓN Y PROYECCIONES
• Difusión del proyecto al interior del Colegio, a través, de un boletín informativo,
• Difusión externa del proyecto en la página web del colegio
• Exposición del proyecto a los padres de familia.

7. AREA DE MATEMATICA
ANEXOS

8. AREA DE MATEMATICA
1. OBJETIVO:
• El objetivo de la experiencia es medir la altura del edificio de nuestro colegio
América con distintos instrumentos y comparar la media de dichas mediciones
con la altura real.
2. ACTIVIDADES
Los equipos de trabajo deben realizar las siguientes actividades anotando los datos
obtenidos en una tabla.
2.1 MEDICIÓN DE LA ALTURA CON DISTINTOS INSTRUMENTOS
2.1.1 Con un espejo
Material: Espejo con forma de elipse marcar sobre él el eje principal.
Para medir la altura de un edificio con el espejo procedemos así:
a) Se sitúa el espejo en el suelo horizontal del patio a una distancia aleatoria.
b) Se sitúa el observador a una distancia del espejo de forma que en él se vea
reflejado el filo del edificio sobre el eje principal.
c) Se aleja el espejo una distancia conocida y el observador vuelve a hacer la
medición.
EXPERIENCIA DE CAMPO
Proyecto : Calculando alturas Fecha : ___/___/___
Profesor Responsable : Luis Dávila Banda Grupo: ____
Equipo : 1). .……………………………………………….. ( coordinador)
2). ………………………………………………….
3). ………………………………………………….
4). ………………………………………………….
5) …………………………………………………..

9. AREA DE MATEMATICA
2.1.2 Con un goniómetro.
Materiales: Transportador de ángulos de 180º, hilo pavilo, sorbete, bolsita llena
de arena y/o plomada.
Para medir la altura del edificio procedemos de la siguiente forma:
a) Se sitúa el observador a una distancia aleatoria de la fachada y dirige el
goniómetro apuntando a la parte superior del edificio.
b) Otro observador lee el ángulo que señala en el goniómetro la cuerda con la
plomada.
c) Los observadores se alejan del edificio una distancia conocida y vuelven a
hacer la medición.
d) Se obtienen así dos ángulos de elevación y con ellos se puede calcular la altura
del edificio.
2.1.3. Con un altímetro de cartón
Material: trozo de cartón para construir dos listones de la siguiente forma:
Para medir la altura del edificio procedemos de la siguiente forma:
a) Se sitúa el observador a una distancia aleatoria de la fachada y con ayuda de
la plomada dirige el altímetro en la posición de la figura 1 de forma que apunta
desde un extremo a otro con la parte superior del edificio.
b) Giramos 180° la pieza de forma que el segmento pequeño quede hacia arriba
y nos alejamos del edificio una distancia D hasta conseguir tener orientados
los dos extremos de la pieza con la parte superior del edificio

10. AREA DE MATEMATICA
2.1.4. Con una tablilla de madera y un listón.
Material: Tablilla de madera de 10 cm de ancho (para hacer de forma rápida los
cálculos) y un listón de madera.
Para medir la altura del edificio procedemos de la siguiente forma:
a) Se sitúa el observador a una distancia aleatoria de la fachada y con ayuda de la
tablilla, desplaza el listón por su costado hasta conseguir tener en la visual el
extremo de la tablilla, del listón y el extremo del edificio. Midiendo la longitud b
entre la longitud c, se obtiene el ángulo de elevación.
b) Nos alejamos del edificio una distancia D y se repite la observación.
2.2. MEDIDAS CON LOS CUATRO PROCEDIMIENTOS ANTERIORES
Con los procedimientos anteriormente descritos registra tus medidas en el
siguiente cuadro:
Espejo Goniómetro Altímetro Pieza de
Madera
Altura media
1era
Medición
2da
Medición
Media
• Determina una relación para calcular la altura del edificio en cada medición
• Realiza tus cálculos y determina la altura del edificio
• Anota tus conclusiones
• Determina el error que se obtiene al realizar tus cálculos
• Investiga sobre el teodolito digital.
• Realiza el mismo procedimiento para calcular la altura de un punto estratégico
del Callao.

11. AREA DE MATEMATICA
Entrenamiento en el uso del teodolito en puntos estratégicos del Callao
• Medir la altura de los siguientes lugares:
 La Fortaleza del Real Felipe.
 La Iglesia matriz
 El museo naval
 Complejo de Chivateros
 Templo de media luna, etc.
• Cada grupo elegirá un lugar que deberá tomar las mediciones respectivas el mismo
que debe contar con el Teodolito o goniómetro debidamente construido, cinta
métrica de 30 m. profesional o casera (cuerda con un nudo cada metro) y cuaderno
de campo
• Se seguirá la siguiente metodología:
 Escoger un punto C de la parte superior del edificio, del cual se medirá la altura
sobre el nivel del suelo.
 Marcar dos puntos A y B en línea recta y en dirección con el punto del edificio
del cual se medirá la altura, Llámese A al punto más lejano ( los puntos A y B
deben estar separados 10m a 20m entre sí, esta distancia debe medirse con la
cinta métrica)
 Ubicar el goniómetro exactamente sobre el punto A y medir a continuación el
ángulo de elevación α del punto C
 Ubicar el goniómetro exactamente sobre el punto B y medir a continuación el
ángulo de elevación β del punto C
 En cada caso todos los integrantes de cada equipo de trabajo deben realizar las
medidas de los ángulos α y β desde los puntos A y B respectivamente; luego
se tomará el promedio de estas observaciones que serán los valores definitivos
de estos ángulos. Llenar con estos datos la siguiente tabla:
EXPERIENCIA DE CAMPO
Proyecto : Calculando alturas Fecha : ___/___/___
Profesor Responsable : …………………………………………….Grupo: ____
Equipo : 1). .……………………………………………….. ( coordinador)
2). ………………………………………………….
3). ………………………………………………….
4). ………………………………………………….
5) …………………………………………………..

12. AREA DE MATEMATICA
Estudiante Punto A (ánguloα ) Punto B (ángulo β)
Media
• Las mediciones de cada ángulo realizadas por los integrantes del grupo, no
deben variar excesivamente (se sugiere como máximo 1º de variación). En caso
de existir mucha variación, el coordinador del grupo debe encargarse de que se
realice responsablemente la repetición de la toma de medidas.
• Finalmente se sustituyen los valores de α , β y d en la fórmula respectiva
para calcular la altura H del edificio:
αβ
βα
TgTg
TgTgd
H
−
⋅⋅
= o también βα CtgCtg
d
H
−
=
• Anota tus principales conclusiones.
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METACOGNICIÓN

13. AREA DE MATEMATICA
Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio
pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta de cómo aprendemos cuando
aprendemos.
Lee detenidamente cada una de las expresiones y compétalas conscientemente,
reflexiona sobre cómo desarrollar tus capacidades y lograr mejores aprendizajes al
tomar conciencia de tu manera de aprender y comprender.
Reflexiono sobre mi proceso de aprendizaje:
¿Cómo contribuyeron mis conocimientos
previos a la realización del proyecto?
¿Qué de nuevo aprendí en este proceso
de aprendizaje?
¿En qué partes del proyecto tuve más
problemas de comprensión?
¿Qué proceso seguí para desarrollar
eficazmente el proyecto?
¿Qué estrategias me permitieron
comprender mejor el tema de ángulos de
elevación y depresión?
¿En qué me será útil este proyecto?

14. AREA DE MATEMATICA
AUTOEVALUACIÓN
Respondo a las siguientes preguntas de manera reflexiva y responsable
INDICADORES
¿Comprendí el desarrollo de las actividades del
proyecto?
¿Procuré solucionar las dudas que tuve?
¿Desarrollé todas las actividades propuestas?
¿Acepté mis errores y los corregí?
¿Trabajo con orden y limpieza?
¿Comparto mis conocimientos con mis
compañeros?
COEVALUACIÓN
Respondo a las siguientes preguntas de manera objetiva respecto a un compañero y/o
compañera de equipo con: S: SIEMPRE, AV: A VECES o N: NUNCA
INDICADORES Compañero1 Compañero2 Compañero3 Compañero4
¿Trabaja en equipo con sus
compañeros y compañeras?
¿Cumple con las tareas que el
equipo le asigna?
¿Muestra entusiasmo y buena
disposición hacia la participación?
¿Manifiesta interés por los
miembros del equipo que presentan
dificultades?
¿Demuestra seguridad en sus
opiniones personales? ¿Es
asertivo?
¿Respeta las ideas de sus
compañeros de equipo?
Compañero 1:...................................................................
Compañero 2:...................................................................
Compañero 3:...................................................................
Compañero 4:...................................................................