Relatividad, Geometría, Universo

1. Relatividad Geometría Universo Relatividad, Geometría, Universo José Antonio Pastor González CPR de Cehegín Martes 25 de Octubre de 2011 La geometría del espacio-tiempo: una introducción al pensamiento de Albert Einstein

2. Relatividad Geometría Universo Contenidos 1 Relatividad 2 Geometría 3 Universo

4. Relatividad Geometría Universo El éxito de la física Newtoniana Desde el siglo XVII, casi todos los fenómenos dispares de la naturaleza admitían una explicación coherente y bella a partir del sentido común y unas pocas leyes... Hecho: las medidas del espacio y el tiempo son absolutas, i.e, todos estamos de acuerdo en nuestras medidas

5. Relatividad Geometría Universo El éxito de la física Newtoniana Desde el siglo XVII, casi todos los fenómenos dispares de la naturaleza admitían una explicación coherente y bella a partir del sentido común y unas pocas leyes... Hecho: las medidas del espacio y el tiempo son absolutas, i.e, todos estamos de acuerdo en nuestras medidas

6. Relatividad Geometría Universo El éxito de la física Newtoniana Ley de la inercia los objetos libres – no sujetos a ninguna fuerza – se mueven en línea recta sin aceleración (siguen su inercia)

7. Relatividad Geometría Universo El éxito de la física Newtoniana Ley de la gravitación universal... ...que gobierna el movimiento de los planetas y estrellas por ejemplo.

8. Relatividad Geometría Universo El éxito de la física Newtoniana Éxitos... muchos (a lo largo de 200 años) La física de Newton y sus desarrollos posteriores explican, predicen y permiten la invención de... las órbitas de los planetas, satélites y cometas el ﬂujo y reﬂujo de las mareas oceánicas la trayectoria de un proyectil el motor de vapor

13. Relatividad Geometría Universo El electromagnetismo de Maxwell A mitad del siglo XIX... ...Maxwell conﬁrma la naturaleza ondulatoria de la luz asumiendo las siguientes características: 1 la existencia del éter como medio de propagación (y como patrón de quietud) 2 la velocidad de la luz en relación al éter es siempre la misma y está dada por c = 300,000km/s *

16. Relatividad Geometría Universo El experimento de Michelson-Morley Analogía: Si un camión circula a 100 km/h en la autovía... ... entonces... ... el coche que va en el mismo carril medirá 30 km/h, mientras que el otro coche medirá 220 km/h

17. Relatividad Geometría Universo El experimento de Michelson-Morley Analogía: Si un camión circula a 100 km/h en la autovía... ... entonces... ... el coche que va en el mismo carril medirá 30 km/h, mientras que el otro coche medirá 220 km/h

18. Relatividad Geometría Universo Pero... ¡las mediciones siempre eran idénticas! Sorpresa general de los físicos... ... pues era de esperar que dos observadores (dos coches) al medir la velocidad de la luz (del camión), en su movimiento a través del éter (de la autovía) a una velocidad constante de c (100 km/h), obtuvieran distintas mediciones según sus estados de movimiento (sus propias velocidades)

19. Relatividad Geometría Universo Consecuencias Si las cosas son así (si la luz no se comporta como el camión), entonces unas cuentas sencillas nos llevan a que... las longitudes de un objeto en movimiento se contraen el discurrir del tiempo en un reloj en movimiento es más lento que el un reloj idéntico en reposo Sin embargo... La comunidad cientíﬁca no acepta estos resultados... por ejemplo, todos sabemos que el TIEMPO ES EL MISMO PARA TODOS... ¿CÓMO VA A DEPENDER EL TIEMPO DE LA PERSONA QUE LO MIDE?

23. Relatividad Geometría Universo Una propuesta radical El razonamiento de Einstein si la velocidad de la luz es SIEMPRE LA MISMA sea quien sea el que la esté midiendo si para que sea así el espacio y el tiempo deben depender de quien hace las medidas si las leyes del electromagnetismo encajan mejor con estas ideas que con las leyes de clásicas de Newton entonces... cambiemos nuestras ideas de espacio y tiempo de modo que no existe espacio absoluto ni tiempo absoluto el tiempo y el espacio son relativos, dependen del estado de movimiento de quien efectúa las mediciones

24. Relatividad Geometría Universo Una propuesta radical El razonamiento de Einstein si la velocidad de la luz es SIEMPRE LA MISMA sea quien sea el que la esté midiendo si para que sea así el espacio y el tiempo deben depender de quien hace las medidas si las leyes del electromagnetismo encajan mejor con estas ideas que con las leyes de clásicas de Newton entonces... cambiemos nuestras ideas de espacio y tiempo de modo que no existe espacio absoluto ni tiempo absoluto el tiempo y el espacio son relativos, dependen del estado de movimiento de quien efectúa las mediciones

25. Relatividad Geometría Universo Los principios de la relatividad especial 1 cualquiera que sea su naturaleza, el espacio y el tiempo deben estar constituidos de tal forma que la velocidad de la luz sea siempre constante 2 las leyes de la física deben ser idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales (no hay sistemas privilegiados; sistema de referencia inercial ≡ aquel en el que los objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas)

26. Relatividad Geometría Universo Los principios de la relatividad especial 1 cualquiera que sea su naturaleza, el espacio y el tiempo deben estar constituidos de tal forma que la velocidad de la luz sea siempre constante 2 las leyes de la física deben ser idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales (no hay sistemas privilegiados; sistema de referencia inercial ≡ aquel en el que los objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas)

27. Relatividad Geometría Universo Diagramas espacio-temporales Un sencillo diagrama espacio-temporal... ... nos lleva a la relatividad de la simultaneidad Para vosotros, los sucesos A y B ocurren al mismo tiempo Para mí, el suceso B ocurre antes que el suceso A

28. Relatividad Geometría Universo Diagramas espacio-temporales Un sencillo diagrama espacio-temporal... ... nos lleva a la relatividad de la simultaneidad Para vosotros, los sucesos A y B ocurren al mismo tiempo Para mí, el suceso B ocurre antes que el suceso A

29. Relatividad Geometría Universo Consecuencias (experimentalmente probadas) Contracción espacial, dilatación temporal v2 T0 L = L0 1− y T = c2 1− v2 c2 Equivalencia entre masa y energía E = mc 2 Pero... ¿cómo no lo habíamos notado? 2 Es por el factor β 2 = v 2 que es muy pequeño a velocidades c normales... por ejemplo, si v ∼ 110km/h, entonces = β 2 = 10−8 = 0,00000001.

32. Relatividad Geometría Universo ¿Todo es relativo? Comencemos con una historia sencilla... La moraleja es... Aunque los dos midamos cosas distintas, puede existir una combinación determinada de nuestras medidas que sea absoluta, i.e, que no depende de quién efectúa las medidas.

33. Relatividad Geometría Universo ¿Todo es relativo? Comencemos con una historia sencilla... La moraleja es... Aunque los dos midamos cosas distintas, puede existir una combinación determinada de nuestras medidas que sea absoluta, i.e, que no depende de quién efectúa las medidas.

34. Relatividad Geometría Universo El espacio-tiempo absoluto Una famosa cita de Minkowski... ... las ideas del espacio y el tiempo que deseo exponer han brotado de las raíces de la física experimental y en ello reside su fuerza. Son, pues, radicales. En lo sucesivo, el espacio por sí mismo y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo una unión especial de ambos conservará una realidad independiente. ... que nos lleva a la aparición del intervalo Aunque los dos medimos espacios y tiempos distintos, una combinación de vuestro espacio y vuestro tiempo coincide con la misma combinación de mi espacio y mi tiempo. Esa combinación es el intervalo espacio-temporal.

35. Relatividad Geometría Universo El espacio-tiempo absoluto Una famosa cita de Minkowski... ... las ideas del espacio y el tiempo que deseo exponer han brotado de las raíces de la física experimental y en ello reside su fuerza. Son, pues, radicales. En lo sucesivo, el espacio por sí mismo y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo una unión especial de ambos conservará una realidad independiente. ... que nos lleva a la aparición del intervalo Aunque los dos medimos espacios y tiempos distintos, una combinación de vuestro espacio y vuestro tiempo coincide con la misma combinación de mi espacio y mi tiempo. Esa combinación es el intervalo espacio-temporal.

36. Relatividad Geometría Universo El espacio-tiempo absoluto El intervalo espacio-temporal (intervalo)2 ≡ (espacio)2 − (tiempo)2 (modelo 4D aunque aquí sólo ponemos dos)

37. Relatividad Geometría Universo Tras la relatividad especial... ...queremos pasar de lo inercial al mundo real Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave de Homer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que los objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en el espacio-tiempo llano – al... ...ámbito gravitacional en el que los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus trayectorias están curvadas (nuestro mundo real de todos los días)

40. Relatividad Geometría Universo Tras la relatividad especial... ...viene la general Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier sistema de referencia (covarianza) relatividad especial es la abolición del espacio absoluto como sistema inercial preferente (Maxwell, éter) relatividad general es la abolición del espacio absoluto (y de cualquier otro sistema inercial) como estándar de no aceleración (ideas de Mach) Una idea genial (1907) Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio? Respuesta: la situación de caída libre.

46. Relatividad Geometría Universo En caída libre... ...si estamos dentro de un ascensor y éste se encuentra en caída libre, todos los experimentos que efectuemos dentro del ascensor son equivalentes a los que podríamos hacer en un laboratorio inercial...

47. Relatividad Geometría Universo ¿Por qué? En un ascensor en caída libre... ...si jugamos con una pelota de tenis, desde nuestra perspectiva ésta se moverá siempre siguiendo una línea recta, como si estuviéramos en el espacio exterior (en un sistema inercial)

48. Relatividad Geometría Universo En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto

49. Relatividad Geometría Universo En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto ?

50. Relatividad Geometría Universo En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto ? )

51. Relatividad Geometría Universo En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto ? )

52. Relatividad Geometría Universo En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto ? 6 )

53. Relatividad Geometría Universo El Principio de Equivalencia Enunciado del Principio de Equivalencia No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y en el ámbito de un sistema inercial. Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de probar experimentalmente) la masa inﬂuye en la trayectoria de la luz y la curva dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo ﬂuye más lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema habitación-tierra).

57. Relatividad Geometría Universo ¿Cómo se curva la luz? Otra lectura del principio de equivalencia No hay diferencia entre un pequeño sistema de referencia sujeto a la gravedad y un sistema de referencia acelerado en la misma magnitud.

58. Relatividad Geometría Universo ¿Cómo se curva la luz? La luz es atraída por la gravedad... Con este experimento – mental – se demuestra que la luz debe ser atraída por la gravedad de la tierra, si aceptamos como válido el principio de equivalencia

59. Relatividad Geometría Universo ¿Por qué sistemas pequeños? Respuesta: Porque cuando son grandes los dos sistemas no son EQUIVALENTES como se ve aquí... ya que aparecen LAS FUERZAS DE MAREA (observad que las bolas en la misma vertical se separan mientras que las que están a la misma altura se aproximan)

60. Relatividad Geometría Universo ¿Qué son las fuerzas de marea? Si estamos cayendo hacia la tierra... ¿qué sentimos?

61. Relatividad Geometría Universo ¿Qué son las fuerzas de marea? Son las fuerzas que provocan las mareas...

62. Relatividad Geometría Universo Las fuerzas de marea... Dependen de la escala... Del tamaño del objeto que está en caída libre Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el radio de la tierra y su masa). ...y dieron paso a otra genialidad de Einstein... Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por la presencia de materia (y energía). En resumen: La materia y la energía curvan el espacio-tiempo cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?

68. Relatividad Geometría Universo Curvatura en una dimensión Curvatura de una C curva... ...es una medida de lo cerrada que es la curva en cada punto. Se maniﬁesta por la fuerza r centrífuga (desde nuestra perspectiva) y su valor P numérico es 1/r

69. Relatividad Geometría Universo Curvatura en dos dimensiones Curvatura de una superficie

70. Relatividad Geometría Universo ¿Cómo se mide la curvatura de una superficie? Métodos: triángulos, péndulos, bolas que ruedan... ¿Y existe curvatura en 3,4,5 y más dimensiones? Existe... PERO ES TAN COMPLICADO...

73. Relatividad Geometría Universo CURVATURA determina GEOMETRÍA Una lámina deformada Ejemplo La longitud de una circunferencia es L = 2πr pero esto es cierto solamente en un plano (donde K ≡ 0). Si K = 0 entonces L = 2πr .

74. Relatividad Geometría Universo CURVATURA determina GEOMETRÍA Curvatura y teorema de Thales En el plano (K ≡ 0) la suma de los ángulos interiores es 180 grados: α + β + γ = π. Pero si K = 0 el teorema es... α + β + γ = π ± áreaT ¿Por qué? Porque su demostración descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclides conocido como el V Postulado y éste no se cumple cuando K = 0

77. Relatividad Geometría Universo CURVATURA determina GEOMETRÍA La demostración del teorema de Thales... descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclides conocido como el V Postulado: dada una recta r y un punto P exterior, existe una única recta paralela a r que pasa por P Veámoslo más claro en un dibujo... Consecuencia Si en una superﬁcie con curvatura (K = 0) el teorema de Thales no se cumple es porque falla el V Postulado de Euclides... ¡La geometría de dicha superﬁcie es no euclidiana!

80. Relatividad Geometría Universo CURVATURA determina GEOMETRÍA Según K existen (o no) recta(s) paralela(s)... 1 en una superficie con K = 0 (plano) dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta paralela pasando por dicho punto (geometría euclídea) 2 en una superficie con K 0 (pseudoesfera) existen infinitas (geometría hiperbólica) 3 en una superficie con K 0 (esfera) no existen (geometría esférica)

84. Relatividad Geometría Universo CURVATURA determina GEOMETRÍA En la pseudoesfera hay infinitas paralelas

85. Relatividad Geometría Universo Aunque... ¿qué entendemos por recta? Geodésica ≡ línea recta en una superficie curvada Las líneas rectas en una superﬁcie con curvatura se llaman geodésicas y son los caminos más cortos para unir dos puntos dados.

86. Relatividad Geometría Universo El genio de Einstein Analogías 1 superﬁcies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura 2 geodésicas en superﬁcies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo CURVATURA GEOMETRÍA GEODÉSICAS MATERIA ⇒ del E-T ⇒ del E-T ⇒ del E-T Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

94. Relatividad Geometría Universo El genio de Einstein

95. Relatividad Geometría Universo Un ejemplo... Las trayectorias de dos bolas...son dos geodésicas que se cortan

96. Relatividad Geometría Universo Una vista del espacio-tiempo curvo Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas... ¿Qué significan estos dibujos? a la izquierda: las bolas que se encuentran en la misma vertical a distinta altura se van separando conforme pasa el tiempo a la derecha: las bolas que se encuentran en distinta vertical a la misma altura se van juntando conforme pasa el tiempo

100. Relatividad Geometría Universo La ecuación de campo de Einstein Una ecuación complicada La ecuación de campo de Einstein describe cómo la materia-energía provoca una curvatura en el espacio-tiempo. Esta ecuación se escribe 1 Ricij − gij S = 8πTij . 2 que se resume en este dibujo: ≡ distribución de materia-energía

101. Relatividad Geometría Universo La ecuación de campo de Einstein Una ecuación complicada La ecuación de campo de Einstein describe cómo la materia-energía provoca una curvatura en el espacio-tiempo. Esta ecuación se escribe 1 Ricij − gij S = 8πTij . 2 que se resume en este dibujo: ≡ distribución de materia-energía

103. Relatividad Geometría Universo La precesión del perihelio de Mercurio Explicamos el fenómeno... Tras unas cuentas más o menos complicadas... las ecuaciones de Einstein predicen la precesión de la órbita de Mercurio y el valor predicho coincide con el observado (no así la de Newton). También se ha efectuado el mismo experimento para la Tierra, Venus y el satélite Ícaro con idénticos resultados.

104. Relatividad Geometría Universo La precesión del perihelio de Mercurio Explicamos el fenómeno... Tras unas cuentas más o menos complicadas... las ecuaciones de Einstein predicen la precesión de la órbita de Mercurio y el valor predicho coincide con el observado (no así la de Newton). También se ha efectuado el mismo experimento para la Tierra, Venus y el satélite Ícaro con idénticos resultados.

105. Relatividad Geometría Universo La luz se curva en presencia de un campo gravitatorio El experimento de Eddington Y los resultados también daban la razón a Einstein... El ángulo observado era aproximadamente 1 75 de arco, que coincidía con lo predicho por la teoría de Einstein.

106. Relatividad Geometría Universo La luz se curva en presencia de un campo gravitatorio El experimento de Eddington Y los resultados también daban la razón a Einstein... El ángulo observado era aproximadamente 1 75 de arco, que coincidía con lo predicho por la teoría de Einstein.

107. Relatividad Geometría Universo Una lente gravitatoria ¿Cómo funciona?

108. Relatividad Geometría Universo Una lente gravitatoria vista por el telescopio Lente Gravitatoria. Imagen 1

118. Relatividad Geometría Universo Una prueba más para Einstein... ...el Gravity Probe A... satélite proyectado por la NASA en 1976 para veriﬁcar cómo la gravedad afecta al tiempo, utilizando un reloj de hidrógeno que corroboró la teoría de Einstein con una precisión de 70 partes por millón.

119. Relatividad Geometría Universo ...y ahora es el Gravity Probe B El récord de la física experimental...

120. Relatividad Geometría Universo Los agujeros negros... ¿qué son? Son una forma de morir... Las estrellas masivas – y también grupos de estrellas – cuando han agotado su combustible nuclear, no pueden sostener su propio peso y se hunden sobre sí mismas... si el radio de la estrella es menor que r = 2m (el radio de Schwarzschild) la estrella se convierte en un agujero negro y ni siquiera la luz que emite puede escapar de la curvatura del espacio-tiempo que genera. Un dato: el radio de Schwarzschild para el sol es de 2 kilómetros. El sol jamás se convertirá en un agujero negro.

124. Relatividad Geometría Universo ¿Cómo los vemos si son negros? Por los efectos que producen en su entorno más próximo...

125. Relatividad Geometría Universo ¿Cómo se distinguen de otras estrellas masivas?

126. Relatividad Geometría Universo También hay super-agujeros negros... ...y son los sumideros de algunas galaxias...

127. Relatividad Geometría Universo ¿Y los viajes en el tiempo? ¿Son posibles? ...utilizando algún agujero de gusano o topologías complejas quizás...

128. Relatividad Geometría Universo ¿De dónde venimos? El gran estallido o big bang...

129. Relatividad Geometría Universo El eco del pasado...

130. Relatividad Geometría Universo ¿Qué geometría tiene nuestro Universo? Nos olvidamos de los granos locales... ... como los agujeros negros y a gran escala... ... nuestro universo parece ser bastante monótono (homogeneidad, isotropía) lo que implica curvatura constante ... salvo la topología (por determinar), sólo hay tres posibilidades – tres geometrías, tres curvaturas – para el universo (espacial)

134. Relatividad Geometría Universo ¿Cuál es la curvatura del Universo? Gravedad vs Expansión La curvatura, la forma y los destinos del universo parecen estar determinados por dos tendencias contrarias: la tendencia a la expansión proveniente del Big Bang (velocidad de expansión ≡ constante de Hubble) la tendencia a la contracción de la gravedad (distribución de la materia y la energía) Según el resultado... si la gravedad es más fuerte que la expansión, el universo se cerrará sobre sí mismo y colapsará a un punto singular (big crunch) si la expansión es más fuerte que la gravedad, entonces el universo continuará expandiéndose indeﬁnidamente

140. Relatividad Geometría Universo La tres posibles geometrías del Universo... Según quien gane...

141. Relatividad Geometría Universo En cualquier caso, quedan millones de años... ...para seguir disfrutando de este espectáculo

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