1. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Las matemáticas de la relatividad
José Antonio Pastor González
CPR de Cehegín
Lunes 14 de noviembre de 2011
La geometría del espacio-tiempo:
una introducción al pensamiento de Albert Einstein

2. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Contenidos
1 El espacio de Minkowski
2 Curvatura 1D
3 Curvatura 2D y más allá

3. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Contenidos
1 El espacio de Minkowski
2 Curvatura 1D
3 Curvatura 2D y más allá

4. El n´mero de felicitaciones por a˜o nuevo
u
El espacio de Minkowski n Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Aquí nos quedamos... efecto Doppler
Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe s´lo una antes de llegar a α Centauro, cuando hab´ pasado 3 a˜os, just
o ıan n
de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a raz´n de una cada 1/3 a˜o (4 meses).
o n

5. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Las matemáticas de la relatividad especial
tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos
con coordenadas (x, t)
en este plano estamos modelando un espacio-tiempo
2-dimensional tal y como lo referencia un observador
inercial arbitrario
cualquier otro observador inercial – en configuración
estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano
que vienen dadas por los ejes habituales
así pues, un universo con una única dimensión espacial y
sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente
modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

6. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Las matemáticas de la relatividad especial
tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos
con coordenadas (x, t)
en este plano estamos modelando un espacio-tiempo
2-dimensional tal y como lo referencia un observador
inercial arbitrario
cualquier otro observador inercial – en configuración
estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano
que vienen dadas por los ejes habituales
así pues, un universo con una única dimensión espacial y
sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente
modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

7. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Las matemáticas de la relatividad especial
tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos
con coordenadas (x, t)
en este plano estamos modelando un espacio-tiempo
2-dimensional tal y como lo referencia un observador
inercial arbitrario
cualquier otro observador inercial – en configuración
estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano
que vienen dadas por los ejes habituales
así pues, un universo con una única dimensión espacial y
sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente
modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

8. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Las matemáticas de la relatividad especial
tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos
con coordenadas (x, t)
en este plano estamos modelando un espacio-tiempo
2-dimensional tal y como lo referencia un observador
inercial arbitrario
cualquier otro observador inercial – en configuración
estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano
que vienen dadas por los ejes habituales
así pues, un universo con una única dimensión espacial y
sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente
modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

9. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Las matemáticas de la relatividad especial
si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un
suceso, un evento
un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el
observador inercial que consideremos
pero aunque A se lea de forma distinta según el
observador, sabemos que hay cosas invariantes: el
estudio de las propiedades que permanecen invariantes
es muy importante porque tales propiedades no
dependen del observador: serán leyes físicas válidas
para cualquier sistema inercial

10. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Las matemáticas de la relatividad especial
si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un
suceso, un evento
un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el
observador inercial que consideremos
pero aunque A se lea de forma distinta según el
observador, sabemos que hay cosas invariantes: el
estudio de las propiedades que permanecen invariantes
es muy importante porque tales propiedades no
dependen del observador: serán leyes físicas válidas
para cualquier sistema inercial

11. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Las matemáticas de la relatividad especial
si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un
suceso, un evento
un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el
observador inercial que consideremos
pero aunque A se lea de forma distinta según el
observador, sabemos que hay cosas invariantes: el
estudio de las propiedades que permanecen invariantes
es muy importante porque tales propiedades no
dependen del observador: serán leyes físicas válidas
para cualquier sistema inercial

12. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Invariantes
si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB )
en cierto sistema inercial, entonces consideramos el
vector AB = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t)
se define el módulo de AB como
|AB| = ±(∆x)2 (∆t)2
es una buena definición ya que no depende de las
coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del
intervalo)

13. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Invariantes
si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB )
en cierto sistema inercial, entonces consideramos el
vector AB = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t)
se define el módulo de AB como
|AB| = ±(∆x)2 (∆t)2
es una buena definición ya que no depende de las
coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del
intervalo)

14. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Invariantes
si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB )
en cierto sistema inercial, entonces consideramos el
vector AB = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t)
se define el módulo de AB como
|AB| = ±(∆x)2 (∆t)2
es una buena definición ya que no depende de las
coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del
intervalo)

15. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Tipos de vectores
si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB es un vector
espacial (A y B no están conectados causalmente, no
modelan nada)
si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB es un vector
temporal (A y B están conectados causalmente, modelan
las trayectorias permitidas)
si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB es un vector
luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula
luminosa)

16. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Tipos de vectores
si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB es un vector
espacial (A y B no están conectados causalmente, no
modelan nada)
si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB es un vector
temporal (A y B están conectados causalmente, modelan
las trayectorias permitidas)
si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB es un vector
luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula
luminosa)

17. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Tipos de vectores
si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB es un vector
espacial (A y B no están conectados causalmente, no
modelan nada)
si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB es un vector
temporal (A y B están conectados causalmente, modelan
las trayectorias permitidas)
si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB es un vector
luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula
luminosa)

18. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Cosas curiosas
podemos definir a partir del módulo un producto escalar en
L2 así: si v , w son vectores entonces
v , w = v1 w1 − v2 w2
siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un
sistema inercial
noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1)
cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.

19. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Cosas curiosas
podemos definir a partir del módulo un producto escalar en
L2 así: si v , w son vectores entonces
v , w = v1 w1 − v2 w2
siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un
sistema inercial
noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1)
cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.

20. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Cosas curiosas
podemos definir a partir del módulo un producto escalar en
L2 así: si v , w son vectores entonces
v , w = v1 w1 − v2 w2
siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un
sistema inercial
noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1)
cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.

21. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
En definitiva... cambian las propiedades
métricas
la desigualdad triangular1 es falsa en este ambiente para
vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces
√
|v | = |w| = 3 y |v + w| = 4
por lo que |v | + |w| < |v + w|
consecuencia: en este ambiente, y dentro de las
trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las
líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos
puntos
esto no nos debería sorprender después de haber
entendido la paradoja de los gemelos
1
Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés

22. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
En definitiva... cambian las propiedades
métricas
la desigualdad triangular1 es falsa en este ambiente para
vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces
√
|v | = |w| = 3 y |v + w| = 4
por lo que |v | + |w| < |v + w|
consecuencia: en este ambiente, y dentro de las
trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las
líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos
puntos
esto no nos debería sorprender después de haber
entendido la paradoja de los gemelos
1
Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés

23. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
En definitiva... cambian las propiedades
métricas
la desigualdad triangular1 es falsa en este ambiente para
vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces
√
|v | = |w| = 3 y |v + w| = 4
por lo que |v | + |w| < |v + w|
consecuencia: en este ambiente, y dentro de las
trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las
líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos
puntos
esto no nos debería sorprender después de haber
entendido la paradoja de los gemelos
1
Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés

24. de la paradoja
El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Un esquema espacio-temporal

25. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Definición de tiempo propio

26. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Definición de tiempo propio

27. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Líneas rectas: las más largas

28. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y,
entre todos las coordenadas para ese plano (que hay
infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que
representan un sistema inercial
a partir de éstas tenemos todas las demás con las
transformaciones de Lorentz
en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar
que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual:
(+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el
producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))

29. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y,
entre todos las coordenadas para ese plano (que hay
infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que
representan un sistema inercial
a partir de éstas tenemos todas las demás con las
transformaciones de Lorentz
en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar
que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual:
(+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el
producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))

30. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y,
entre todos las coordenadas para ese plano (que hay
infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que
representan un sistema inercial
a partir de éstas tenemos todas las demás con las
transformaciones de Lorentz
en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar
que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual:
(+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el
producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))

31. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos,
distancias, áreas, ortogonalidad
no obstante, hay algunas propiedades que se parecen
bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo:
Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos
puntos es la línea recta, en el plano L2 la
distancia más larga entre dos puntos
(causalmente relacionados) es la línea recta
interesante... ¿verdad?

32. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos,
distancias, áreas, ortogonalidad
no obstante, hay algunas propiedades que se parecen
bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo:
Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos
puntos es la línea recta, en el plano L2 la
distancia más larga entre dos puntos
(causalmente relacionados) es la línea recta
interesante... ¿verdad?

33. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos,
distancias, áreas, ortogonalidad
no obstante, hay algunas propiedades que se parecen
bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo:
Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos
puntos es la línea recta, en el plano L2 la
distancia más larga entre dos puntos
(causalmente relacionados) es la línea recta
interesante... ¿verdad?

34. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad
especial de Einstein
a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos
matemáticos... decía que oscurecía la visión física e
intuitiva que él tenía de las cosas
así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo
aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski...
[...] henceforth space by itself and time by itself
are doomed to fade away into mere shadows, and
only a kind of union of the two will preserve an
independent reality [...]

35. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad
especial de Einstein
a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos
matemáticos... decía que oscurecía la visión física e
intuitiva que él tenía de las cosas
así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo
aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski...
[...] henceforth space by itself and time by itself
are doomed to fade away into mere shadows, and
only a kind of union of the two will preserve an
independent reality [...]

36. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Resumiendo...
en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad
especial de Einstein
a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos
matemáticos... decía que oscurecía la visión física e
intuitiva que él tenía de las cosas
así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo
aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski...
[...] henceforth space by itself and time by itself
are doomed to fade away into mere shadows, and
only a kind of union of the two will preserve an
independent reality [...]

37. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Terminamos otra vez con los gemelos...

38. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Contenidos
1 El espacio de Minkowski
2 Curvatura 1D
3 Curvatura 2D y más allá

39. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Qué es la curvatura?
Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y
nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese
mundo...
Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay
una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión
hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es
una curva
Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un
plano – para simplificar nuestro trabajo

40. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Qué es la curvatura?
Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y
nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese
mundo...
Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay
una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión
hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es
una curva
Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un
plano – para simplificar nuestro trabajo

41. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Qué es la curvatura?
Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y
nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese
mundo...
Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay
una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión
hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es
una curva
Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un
plano – para simplificar nuestro trabajo

42. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Primeras nociones intuitivas
La curva plana más elemental es, precisamente, una línea
recta... todos convenimos en que si definimos la noción de
curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no
tiene curvatura
Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta
parece curvarse y además su manera de hacerlo es
idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la
noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser
constante y no nula
¿qué hacemos a continuación?

43. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Primeras nociones intuitivas
La curva plana más elemental es, precisamente, una línea
recta... todos convenimos en que si definimos la noción de
curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no
tiene curvatura
Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta
parece curvarse y además su manera de hacerlo es
idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la
noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser
constante y no nula
¿qué hacemos a continuación?

44. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Primeras nociones intuitivas
La curva plana más elemental es, precisamente, una línea
recta... todos convenimos en que si definimos la noción de
curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no
tiene curvatura
Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta
parece curvarse y además su manera de hacerlo es
idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la
noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser
constante y no nula
¿qué hacemos a continuación?

45. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de una curva como aceleración
Supongamos que viajamos a través de la curva con
velocidad constante – en módulo – e igual a 1
(normalización)
Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces
α (t) = (x , y ) y la aceleración cumple
(x , y ) = α = aα + bJ(α )
donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados.
Al ser la velocidad constante, se tiene
0 = ( α ,α ) = 2 α ,α
por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada
por el valor de b

46. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de una curva como aceleración
Supongamos que viajamos a través de la curva con
velocidad constante – en módulo – e igual a 1
(normalización)
Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces
α (t) = (x , y ) y la aceleración cumple
(x , y ) = α = aα + bJ(α )
donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados.
Al ser la velocidad constante, se tiene
0 = ( α ,α ) = 2 α ,α
por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada
por el valor de b

47. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de una curva como aceleración
Supongamos que viajamos a través de la curva con
velocidad constante – en módulo – e igual a 1
(normalización)
Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces
α (t) = (x , y ) y la aceleración cumple
(x , y ) = α = aα + bJ(α )
donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados.
Al ser la velocidad constante, se tiene
0 = ( α ,α ) = 2 α ,α
por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada
por el valor de b

48. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Para curvas concretas...
...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una
recta se tiene que α = 0 por lo que
0 = bJ(α )
y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay
aceleración
Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces
α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos
llevan a que
b = ±1/r
donde el signo depende del sentido en que recorramos la
circunferencia
Definimos la curvatura de una recta como cero y la
curvatura de una circunferencia como el inverso de su
radio

49. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Para curvas concretas...
...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una
recta se tiene que α = 0 por lo que
0 = bJ(α )
y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay
aceleración
Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces
α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos
llevan a que
b = ±1/r
donde el signo depende del sentido en que recorramos la
circunferencia
Definimos la curvatura de una recta como cero y la
curvatura de una circunferencia como el inverso de su
radio

50. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Para curvas concretas...
...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una
recta se tiene que α = 0 por lo que
0 = bJ(α )
y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay
aceleración
Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces
α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos
llevan a que
b = ±1/r
donde el signo depende del sentido en que recorramos la
circunferencia
Definimos la curvatura de una recta como cero y la
curvatura de una circunferencia como el inverso de su
radio

51. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Es una definición estupenda
porque se comporta de la manera esperada y describe
perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si
la circunferencia es más pequeña – menos radio –
entonces está más curvada...
además nos permite ver una recta como una
circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es
cero
es muy operativa ya que funciona para todo tipo de
curvas... además responde a la intuición física pues es
precisamente la aceleración centrífuga que experimenta
una partícula que se mueve a velocidad constante uno –
en módulo

52. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Es una definición estupenda
porque se comporta de la manera esperada y describe
perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si
la circunferencia es más pequeña – menos radio –
entonces está más curvada...
además nos permite ver una recta como una
circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es
cero
es muy operativa ya que funciona para todo tipo de
curvas... además responde a la intuición física pues es
precisamente la aceleración centrífuga que experimenta
una partícula que se mueve a velocidad constante uno –
en módulo

53. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Es una definición estupenda
porque se comporta de la manera esperada y describe
perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si
la circunferencia es más pequeña – menos radio –
entonces está más curvada...
además nos permite ver una recta como una
circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es
cero
es muy operativa ya que funciona para todo tipo de
curvas... además responde a la intuición física pues es
precisamente la aceleración centrífuga que experimenta
una partícula que se mueve a velocidad constante uno –
en módulo

54. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Pero tiene un grave problema...
...porque no es una definición intrínseca
ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor
– el plano 2D – para que tenga sentido
más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la
curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una
dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni
cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura
de su mundo si la definimos en estos términos

55. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Pero tiene un grave problema...
...porque no es una definición intrínseca
ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor
– el plano 2D – para que tenga sentido
más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la
curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una
dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni
cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura
de su mundo si la definimos en estos términos

56. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Pero tiene un grave problema...
...porque no es una definición intrínseca
ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor
– el plano 2D – para que tenga sentido
más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la
curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una
dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni
cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura
de su mundo si la definimos en estos términos

57. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles

58. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles

59. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles

60. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles

61. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles

62. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Conclusiones
es posible definir la curvatura de una curva como una
medida que coincide con la aceleración
desde un punto de vista extrínseco es una medida
excelente
desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes
del mundo 1D – es una medida imposible de obtener
más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden
distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para
ellos la geometría es monótona y aburrida

63. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Conclusiones
es posible definir la curvatura de una curva como una
medida que coincide con la aceleración
desde un punto de vista extrínseco es una medida
excelente
desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes
del mundo 1D – es una medida imposible de obtener
más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden
distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para
ellos la geometría es monótona y aburrida

64. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Conclusiones
es posible definir la curvatura de una curva como una
medida que coincide con la aceleración
desde un punto de vista extrínseco es una medida
excelente
desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes
del mundo 1D – es una medida imposible de obtener
más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden
distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para
ellos la geometría es monótona y aburrida

65. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Conclusiones
es posible definir la curvatura de una curva como una
medida que coincide con la aceleración
desde un punto de vista extrínseco es una medida
excelente
desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes
del mundo 1D – es una medida imposible de obtener
más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden
distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para
ellos la geometría es monótona y aburrida

66. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Contenidos
1 El espacio de Minkowski
2 Curvatura 1D
3 Curvatura 2D y más allá

67. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Mundos 2D: superficies
Figura: La superficie de un melón: elipsoide

68. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Mundos 2D: superficies
Figura: La superficie de un donuts: toro

69. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Mundos 2D: superficies
Figura: La superficie de una torre de central térmica: hiperboloide
de una hoja

70. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Cómo definimos la curvatura de una
superficie?
la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de
curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido
desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como
poco, nos dice lo curvada que está una curva
¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas?
utilizando las secciones normales

71. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Cómo definimos la curvatura de una
superficie?
la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de
curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido
desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como
poco, nos dice lo curvada que está una curva
¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas?
utilizando las secciones normales

72. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Cómo definimos la curvatura de una
superficie?
la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de
curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido
desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como
poco, nos dice lo curvada que está una curva
¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas?
utilizando las secciones normales

73. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: En cada punto de una superficie podemos considerar su
plano tangente Tp S y su dirección normal N(p)

74. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: La sección normal a una superficie en un punto consiste en
tomar una dirección v en el plano tangente. A continuación, se
considera el plano generado por v y N(p) y se interseca con la
superficie: la curva – siempre plana – resultante es la sección normal
en la dirección v

75. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Esto mismo lo podemos hacer en todas las direcciones del
plano tangente: tenemos así un haz de planos perpendiculares y las
secciones normales correspondientes

76. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
una vez que tenemos todas las secciones normales, en
cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:
la de la sección normal correspondiente
tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo
y el máximo
llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a
sus direcciones principales correspondientes...
las curvaturas principales nos proporcionan información
sobre cómo se curva la superficie en el punto
correspondiente

77. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
una vez que tenemos todas las secciones normales, en
cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:
la de la sección normal correspondiente
tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo
y el máximo
llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a
sus direcciones principales correspondientes...
las curvaturas principales nos proporcionan información
sobre cómo se curva la superficie en el punto
correspondiente

78. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
una vez que tenemos todas las secciones normales, en
cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:
la de la sección normal correspondiente
tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo
y el máximo
llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a
sus direcciones principales correspondientes...
las curvaturas principales nos proporcionan información
sobre cómo se curva la superficie en el punto
correspondiente

79. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
una vez que tenemos todas las secciones normales, en
cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:
la de la sección normal correspondiente
tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo
y el máximo
llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a
sus direcciones principales correspondientes...
las curvaturas principales nos proporcionan información
sobre cómo se curva la superficie en el punto
correspondiente

80. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en un punto del plano: todas las
secciones son líneas rectas por lo que κ1 = κ2 = 0 (puntos planos)

81. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en un punto de la esfera: todas ellas
son circunferencias con el mismo radio que la esfera, por lo que
κ1 = κ2 = 1/r (puntos elípticos)

82. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en el cilindro: una elipse en este caso

83. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en el cilindro: una recta por lo que
κ1 = 0

84. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en el cilindro: una circunferencia por lo
que κ2 = 1/r (puntos parabólicos)

85. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Candidatos a ser la curvatura de una
superficie
las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P)
alguna de las dos
una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura
media:
κ1 (P) + κ2 (P)
H(p) =
2
o el producto de ambas, la curvatura de Gauss:
K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

86. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Candidatos a ser la curvatura de una
superficie
las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P)
alguna de las dos
una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura
media:
κ1 (P) + κ2 (P)
H(p) =
2
o el producto de ambas, la curvatura de Gauss:
K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

87. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Candidatos a ser la curvatura de una
superficie
las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P)
alguna de las dos
una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura
media:
κ1 (P) + κ2 (P)
H(p) =
2
o el producto de ambas, la curvatura de Gauss:
K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

88. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Candidatos a ser la curvatura de una
superficie
las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P)
alguna de las dos
una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura
media:
κ1 (P) + κ2 (P)
H(p) =
2
o el producto de ambas, la curvatura de Gauss:
K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

89. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Con cuál nos quedamos?
las dos más importantes son la curvatura media y la
curvatura de Gauss2
hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál de
las dos era mejor...
por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba la
supremacía hasta que...
el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuando
Gauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es,
sólo depende de medidas que efectuemos dentro de la
superficie con independencia de cómo ésta se vea desde
el espacio ambiente exterior
2
Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición está
hecha en términos de objetos externos a la superficie

90. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Con cuál nos quedamos?
las dos más importantes son la curvatura media y la
curvatura de Gauss2
hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál de
las dos era mejor...
por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba la
supremacía hasta que...
el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuando
Gauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es,
sólo depende de medidas que efectuemos dentro de la
superficie con independencia de cómo ésta se vea desde
el espacio ambiente exterior
2
Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición está
hecha en términos de objetos externos a la superficie

91. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Con cuál nos quedamos?
las dos más importantes son la curvatura media y la
curvatura de Gauss2
hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál de
las dos era mejor...
por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba la
supremacía hasta que...
el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuando
Gauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es,
sólo depende de medidas que efectuemos dentro de la
superficie con independencia de cómo ésta se vea desde
el espacio ambiente exterior
2
Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición está
hecha en términos de objetos externos a la superficie

92. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Con cuál nos quedamos?
las dos más importantes son la curvatura media y la
curvatura de Gauss2
hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál de
las dos era mejor...
por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba la
supremacía hasta que...
el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuando
Gauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es,
sólo depende de medidas que efectuemos dentro de la
superficie con independencia de cómo ésta se vea desde
el espacio ambiente exterior
2
Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición está
hecha en términos de objetos externos a la superficie

93. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Qué significa esto?
la curvatura de Gauss de una superficie – el producto de
las principales – puede determinarse desde dentro
sólo depende de las medidas que efectuemos en la
superficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen la
misma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0
en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)
¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separación
de trayectorias inicialmente paralelas, péndulos de
Foucault, etc.

94. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Qué significa esto?
la curvatura de Gauss de una superficie – el producto de
las principales – puede determinarse desde dentro
sólo depende de las medidas que efectuemos en la
superficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen la
misma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0
en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)
¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separación
de trayectorias inicialmente paralelas, péndulos de
Foucault, etc.

95. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Qué significa esto?
la curvatura de Gauss de una superficie – el producto de
las principales – puede determinarse desde dentro
sólo depende de las medidas que efectuemos en la
superficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen la
misma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0
en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)
¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separación
de trayectorias inicialmente paralelas, péndulos de
Foucault, etc.

96. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Qué significa esto?
la curvatura de Gauss de una superficie – el producto de
las principales – puede determinarse desde dentro
sólo depende de las medidas que efectuemos en la
superficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen la
misma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0
en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)
¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separación
de trayectorias inicialmente paralelas, péndulos de
Foucault, etc.

97. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Y lo más importante:
la curvatura de Gauss de una superficie determina
fuertemente la geometría de la misma
a saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas,
caminos de mínima distancia, etc.
así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura del
espacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la de
Gauss)3 ... y esto es, entre otras razones, porque no tiene
sentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas
3
De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera

98. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Y lo más importante:
la curvatura de Gauss de una superficie determina
fuertemente la geometría de la misma
a saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas,
caminos de mínima distancia, etc.
así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura del
espacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la de
Gauss)3 ... y esto es, entre otras razones, porque no tiene
sentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas
3
De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera

99. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Y lo más importante:
la curvatura de Gauss de una superficie determina
fuertemente la geometría de la misma
a saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas,
caminos de mínima distancia, etc.
así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura del
espacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la de
Gauss)3 ... y esto es, entre otras razones, porque no tiene
sentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas
3
De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera

100. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Geometría diferencial (I)

101. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Geometría diferencial (II)

102. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
La curvatura del espacio-tiempo
el espacio-tiempo es un mundo de 4 dimensiones... esto
es un problema porque nosotros sólo sabemos trabajar en
2... pero se puede generalizar... es duro, pero se puede
la forma de hacerlo es considerar las 2-rebanadas de
espacio-tiempo... estas 2-rebanadas son superficies y
teniendo información sobre la curvatura de Gauss de las
2-rebanadas, podemos saber cómo se curva el espacio
completo – análogo a las secciones normales

103. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
La curvatura del espacio-tiempo
el espacio-tiempo es un mundo de 4 dimensiones... esto
es un problema porque nosotros sólo sabemos trabajar en
2... pero se puede generalizar... es duro, pero se puede
la forma de hacerlo es considerar las 2-rebanadas de
espacio-tiempo... estas 2-rebanadas son superficies y
teniendo información sobre la curvatura de Gauss de las
2-rebanadas, podemos saber cómo se curva el espacio
completo – análogo a las secciones normales

104. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Por qué es importante la curvatura?
no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamos
nosotros la curvatura?
pues porque la curvatura determina la geometría, las
medidas, lo que son las líneas rectas y recordemos de
dónde venimos – problema de sistemas pequeños en el
principio de equivalencia – y a dónde queremos llegar –
una formulación de las leyes físicas válidas para cualquier
sistema
LA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LA
RESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN EL
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a una
formulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOS
SISTEMAS, INERCIALES O NO

105. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Por qué es importante la curvatura?
no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamos
nosotros la curvatura?
pues porque la curvatura determina la geometría, las
medidas, lo que son las líneas rectas y recordemos de
dónde venimos – problema de sistemas pequeños en el
principio de equivalencia – y a dónde queremos llegar –
una formulación de las leyes físicas válidas para cualquier
sistema
LA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LA
RESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN EL
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a una
formulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOS
SISTEMAS, INERCIALES O NO

106. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
¿Por qué es importante la curvatura?
no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamos
nosotros la curvatura?
pues porque la curvatura determina la geometría, las
medidas, lo que son las líneas rectas y recordemos de
dónde venimos – problema de sistemas pequeños en el
principio de equivalencia – y a dónde queremos llegar –
una formulación de las leyes físicas válidas para cualquier
sistema
LA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LA
RESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN EL
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a una
formulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOS
SISTEMAS, INERCIALES O NO

107. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Ecuación de campo (I)

108. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Ecuación de campo (II)

109. El espacio de Minkowski Curvatura 1D Curvatura 2D y más allá
Ecuación de campo (III)