Este documento describe vectores, incluyendo su definición como un segmento recto y dirigido con componentes X e Y, y cómo calcular su magnitud y dirección utilizando Pitágoras y funciones trigonométricas. También explica cómo sumar vectores agregando sus componentes correspondientes, y cómo calcular el producto punto o escalar de dos vectores para determinar su ángulo o si son perpendiculares.

1. VECTORES
QUE ES
Se dice que es un segmento recto y dirigido, también es un par ordenado (a,b),
ubicado en un plano (x) y (y); en donde a y b son componentes X y Y del vector
donde se les conoce como vectores r2 , también tenemos vectores en r3 también
llamados vectores en tercera dimensión.
Magnitud verdaderay dirección de un vector en r2:
Para hallar la magnitud verdadera de un vector utilizamos a Pitágoras.
| 𝑎| = √22 + 32 | 𝑎| = √13
Para hallar la dirección del vector utilizamos las razones trigonométricas en este caso tan
pero como está acompañada del ángulo y eso es lo que necesitamos, pues al despejar va a
quedar tangente a la menos uno o cotangente.
∅ = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑏
𝑎
) ∅ = 𝑡𝑎𝑛−1
(
3
2
) ∅ = 52°18`35.76``
y
x
a
b
(a,b)

2. Suma de vectores
Para sumar vectores se suman los mismos términos, por ejemplo:
Tenemos dos vectores a= (4i,5j) y b= (2i,4j). Al sumarlo vamos a tener los términos de esta
manera (4i+2i) +(5j+4j) y no dará uno nuevo vector c= 6i+9j.
En la gráficaveremos la suma de esta manera

3. PRODUCTO PUNTO O ESCALAR
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar dos
vectores y después sumar el resultado.
Ejemplo: a= (2i,4j) y b=(3i,-2j) entonces para este resultado también multiplicamos los
términos iguales, esto nos da a.b =(6i,-4j) para que nos del escalar sumamos esto
números así que no da 2
Hay una formula importantes en el producto punto que nos da el Angulo de dos
vectores que es:
 U.V=| 𝑈| × | 𝑉| 𝑐𝑜𝑠∅ para esto tenemos que despejar el ángulos entonces esto no
da:
∅ = 𝑐𝑜𝑠−1
(
𝑢. 𝑣
| 𝑢|| 𝑣|
)
 EJEMPLO: u= 2i-4j y v=-1i+3j
1. Sacamos la verdadera magnitud de cada vector
| 𝑢| = √22 + −42 = √20 | 𝑣| = √−12 + 32 = √10
2. Ahora sacamos el producto punto
u= 2i-4j v=-1i+3j u.v= -2i-12j = -14
3. Por ultimo sustituimos la formula
∅ = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−14
|√20||√10|
) ∅ = 17°52`11.6``
Con el productopuntopodemosdeterminarsi losvectoressonortogonalesesdecir
perpendiculares.en este casosolose da si el productoescalarda cero.
Ejemploa=2i+4j y b= 4i-2j entoncesestonosda a.b= 8i-8j que esigual a 0
Otro caso que podemosdeterminaressi sonparalelos,si al realizarla fórmuladel ángulo
de dos vectores este nosda1 o -1 quiere decirque esto dosvectoresvan a serparalelos.

4. El productopuntotambiénse utilizaal determinarlaproyecciónde unvector.La fórmula
utilizadaes:
𝑝𝑜𝑟𝑦
𝑢
𝑣
=
𝑢.𝑣
| 𝑣|2
× 𝑣 esto es para la proyeccióndel vectorvY para u solose cambian
algunosvalores 𝑝𝑜𝑟𝑦
𝑣
𝑢
=
𝑢.𝑣
| 𝑢|2
× 𝑢
 EJEMPLO:
u=2i+3j y v=1i+1j
1. Se hallael productopunto.
u=2i+3j v=1i+1j u.v=2i+3j=5
2. Se hallalamagnitudverdaderade losdosvectores
| 𝑢| = √22 + 32=√13 | 𝑢| = √12 + 12=√2
3. Solose remplazadependiendode laproyecciónque queramoshallar.
𝑝𝑜𝑟𝑦
𝑢
𝑣
=
5
|2|2
× (1𝑖 + 1𝑗) = (2,5𝑖 + 2,5𝑗)
3
1
1 2
u
v
y
x