Jose Gonzalez c.i: 28.576.187 ing.sistema

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Carrera: Ing. De Sistemas
Materia: Matemática III
Profe.: Estudiante:
Pedro Beltrán José Israel González Guillarte
C.I: 28.576.187
Barcelona Enero de 2020

2. Introducción
En el presente trabajo se estará hablando sobre los temas de límite y continuidad de
una función en el espacio R3, también estaremos dando a conocer de los conceptos de
derivación de funciones de varias variables en el espacio R3, luego mediante el tema
de derivadas nos desglosaremos en las derivadas parciales, luego en diferencial total
y gradientes, mediante estos temas también trabajaremos en los temas de divergencia y
rotor, también presentaremos los temas de plano tangente y recta normal, en este
apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables y algunas de
las técnicas utilizadas en su cálculo. Los gradientes en análisis matemático,
particularmente en análisis vectorial, el gradiente o también conocido como vector
gradiente, denotado de un campo escalar, es un campo vectorial. La divergencia de un
campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo
vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero,
para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación. Se llama
plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas
las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. Se llama recta
normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano
tangente.

3. Veamos entonces como podemos definir el concepto de función real
de varias variables reales, para ello, distinguieremos dos casos, las
funciones escalares y las funciones vectoriales.
Límite y Continuidad de una Función en el Espacio R3
Límites de funciones de varias variables:
Durante el presente tema, consideraremos con sus correspondientes métricas euclídeas 𝑑
que ya hemos introducido en el primer tema de la asignatura:
Veamos entonces como podemos definir el concepto de función real de varias variables reales, para
ello, distinguiéremos dos casos, las funciones escalares y las funciones vectoriales.
• Función Escalar:
Dado un conjunto , una función escalar es una aplicación:
• .Función vectorial: Dado un conjunto

4. Límite de un Campo Escalar:
Antes de comenzar con los campos escalares conviene recordar la definición de límite en un
punto de una función real de variable real de la forma:
Ejemplo:
Calcular el Límite de la Función en los puntos (1,2) y (0,0).
En primer lugar, el cálculo del límite cuando (x, y) tiende a (1,2) se efectúa, de forma sencilla, como:
En cambio, al calcular el límite en el origen de coordenadas, de la misma forma, se obtiene un indeterminación:

5. Utilizando los límites iterados se puede ver que, en el caso de existir, el límite debería ser L=0:
Para poder demostrar que 0 es el valor del límite cuando (x, y) → (0,0) hay que poder encontrar un valor δ > 0 de
tal forma que cuando se tenga la acotación (|| x, y) − || (0,0) < δ se esté seguro de que también se satisface la acotación
f (x, y) − 0 < ε , siendo ε > 0 un valor cualquiera (en general el valor δ dependerá del valor ε , esto es δ = δ (ε ) ).
En este caso (|| x, y) − ||(0,0) < δ se considera como
como

6. Derivación de Funciones de Varias Variables
En este apartado se presentan los conceptos básicos que aparecen en la derivación de
funciones de varias variables. La idea es establecer un método para estudiar sus variaciones y
también definir el concepto de diferencia. Por último, se presenta la forma de resolver algunos
problemas de optimización, en varias variables, sencillos.
Derivadas Parciales
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar este
concepto en el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una función de la
forma donde es un intervalo abierto un punto de dicho intervalo, se
define la derivada de como el límite:
Desde el punto de vista geométrico, corresponde a la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función f (x) en el punto , por tanto, mide la mayor o menor inclinación de
la gráfica de la función en ese punto. La pendiente de la recta tangente es el valor de la tangente
del ángulo que forma con la horizontal

7. Derivadas Parciales
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una
de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en
cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática, etc.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las
siguientes notaciones equivalentes:
Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede
representar como que es la primera derivada respecto a la variable
y así sucesivamente.
Cuando una magnitud A es función de diversas variables es decir:
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de la recta
tangente a dicha función A en un punto dado.

8. Derivada Parcial de una Función de Varias Variables
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas
parciales:
Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como
si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de
y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

9. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro
caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la
derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:
Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
Mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

10. Diferencial Total
En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables
reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes
(coeficientes) son los del gradiente de la función.
Al igual que con las funciones de una variable, un incremento dx y dy en las variables
independientes produce un cambio z en la variable dependiente z.
En analogía con la diferencial de una función de una variable independiente ( df = f '(x) dx ),
definimos la diferencial de una función de dos variables.

11. Entonces:

12. Ejemplos :

14. Gradientes
En matemáticas, el ‘gradiente’ es una generalización multivariable de la derivada.
Mientras que una derivada se puede definir solo en funciones de una sola variable, para
funciones de varias variables, el gradiente toma su lugar. El gradiente es una función de
valor vectorial, a diferencia de una derivada, que es una función de valor escalar..
El gradiente se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio
una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto
genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más
rápidamente.
Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas
direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

15. Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que,
multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El
gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal
(perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese
(x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etc.

16. El Gradiente Verifica Que:
Con estas dos propiedades, el
gradiente es un operador
lineal.
1) H
2) H
3) Es Ortogonal a las superficies equi-escalares, definidas por:
4) Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
5) Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.
6) Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
7) El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre ir rotacional, esto es:

17. Gradiente de un Campo Vectorial
En un espacio euclidiano tridimensional, el concepto de gradiente también puede
extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de F un tensor que da el
diferencial del campo al realizar un desplazamiento:
Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse por una matriz 3x3, que en
coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres
componentes del campo vectorial. El gradiente de deformación estará bien definido solo si
el límite anterior existe para todo V y es una función continua de dicho vector.
Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa que la aplicación
lineal de la que la matriz jacobiana es su expresión explícita en coordenadas.

18. Ejemplos
1. Dada la función ,, su vector gradiente es el
siguiente:
2. Dada la función , su vector gradiente
es el siguiente:
3. Dada la función , su vector
gradiente es el siguiente:

19. Divergencia y Rotor
Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir
rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino
cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable
en todos sus puntos.
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la
siguiente ecuación:

20. Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente
en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente
contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético,
V es el volumen que encierra dicha superficie S y es el operador nabla, que se calcula de la siguiente
forma:

21. Plano Tangente y Recta Normal
Plano Tangente
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la
misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas
trazadas sobre la superficie por el punto P.
Sea z= f (x , y) una función escalar con derivadas parciales
continuas en (a , b) del dominio de f . El plano tangente a la superficie
en el punto P( a, b, f(a, b)) es el plano que pasa por P y contiene a las
rectas tangentes a las Plano Tangente a una superficie por P y contiene
a las rectas tangentes a las dos curvas

22. Ecuación del Plano Tangente

23. Recta Normal
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un
punto P y es perpendicular al plano tangente.
Sea una función escalar con derivadas parciales continuas en (a , b)
del dominio de f. La recta que pasa por el punto P( a, b, f (a, b)) en la
dirección del vector
Se conoce como recta normal a la superficie en el punto P

24. Punto por donde pasa la recta:
Punto genérico de la recta:
Dirección de la recta:
Ecuación Simétrica de la Recta Normal:

25. Conclusión
Los limites y continuidad se encarga de estudiar el limite de una función de varias
variables y de aplicación de varias técnicas utilizadas en su calculación función f, se
representa como una superficie en el espacio tridimensional. Los componentes del
gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la
ecuación del espacio tangente al gráfico. Esta propiedad de caracterización del
degradado permite que se defina independientemente de la elección del sistema de
coordenadas, como un campo vectorial cuyos componentes en un sistema de
coordenadas se transformarán cuando se pase de un sistema de coordenadas a otro.
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo
a inducir rotación alrededor de un punto. La divergencia de un campo vectorial mide la
diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un
elemento de volumen dV . Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la
misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la
superficie por el punto P. Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por
un punto P y es perpendicular al plano tangente.

26. Anexos
 Derivación de funciones de varias variables
Link: https://www.youtube.com/watch?v=iJSPFaA66HA
 Diferencial total
Link: https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
 Gradientes
Link: https://www.youtube.com/watch?v=X2rqH5sS9a0

27. Bibliografía
1) Autor: (Jesús Infante), Año (2010)
Titulo: (Límite y Continuidad de una Función en el Espacio R3)
Dirección:http://www.eco.uc3m.es/docencia/matematicasii/notas/cap2.pdf
2) Autor: (Cesar Ruiz), Año (2015)
Titulo: (Límites de Funciones de Varias Variables)
Dirección: https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-ASIG/PG-ASIG- ntinuidad.pdf
3) Autor: (Math kendal), Año (2017)
Titulo: (Derivación de funciones de Varias Variables)
Dirección:https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-ASIG/PG-ASIG-
32395/TAB40335/Variasvariables03derivacion.pdf
4) Autor: (Wikipedia), Año (2019)
Titulo: (Derivada Parcial)
Dirección:https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial
5) Autor: (Wikipedia), Año (2016)
Titulo: (Diferencial Total)
Dirección:http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/varvaria/varvaria_total.html
6) Autor: (César Aching), Año (2016)
Titulo: (Gradiente l)
Dirección:http://www.eumed.net/libros-gratis/2006b/cag3/2e.htm